El documento proporciona información sobre los números naturales, incluidas sus propiedades, subconjuntos de pares e impares, números primos, divisibilidad, mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Explica que los números naturales son positivos y van de 1 a infinito, tienen sucesores y antecesores, y pueden descomponerse en factores primos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre estos conceptos.

1. Corporación Educacional del Arzobispado de Santiago NM4
COLEGIO JESÚS SERVIDOR Eduardo Cádiz A.
Departamento de Matemática
GUÍA DE APRENDIZAJE CON EJERCICIOS (Plan diferenciado)
NÚMEROS NATURALES
NOMBRE: ______________________________________
I) Números Naturales (N)
Corresponde a: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,…}
Sus características son:
1) Todo número natural tiene un sucesor. El
sucesor de un número natural es el número
aumentado en una unidad. El antecesor de un
número natural es el número disminuido en una
unidad. Por ejemplo:
El sucesor de 27 es 28, el de 501 es 502, etc.
2) Todo número natural, exceptuando el 1 tiene un
antecesor, por ejemplo:
El antecesor de 10 es 9, el de 912 e 911, etc.
3) El conjunto de los números naturales es
infinito, es decir, no existe un último número
natural.
Además de las propiedades anteriormente
mencionadas, este conjunto se puede separar en
dos “subconjuntos”: los pares y los impares, y
ningún número pertenece a ambos.
Pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…
Impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11,…
Los conceptos de sucesor y antecesor se pueden
también generalizar para los números pares e
impares, obteniendo de esta forma, los conceptos
de “par sucesor”, “par antecesor”, “impar
sucesor”, “impar antecesor”. Por ejemplo, el
impar sucesor de 37 es 39 y el par antecesor de 48
es 46.
Los números pares son de la forma 2n; n ∈N
Los números impares son de la forma: 2n – 1;
n ∈N
Además, dentro de los números naturales existen
los números primos los que se pueden
descomponer exactamente en dos factores
distintos: el 1 y el mismo número, es decir, al
dividirlos por 1 y por si mismos, el resultado sigue
siendo un número natural. Por ejemplo, el 23 es
un número primo, y sus factores son el 1 y el 23.
La siguiente tabla muestra los números primos del
1 al 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2. Los números primos tienen gran importancia
porque cualquier número natural mayor que 1 es
primo o se puede expresar como producto de
números primos. Por ejemplo el número 150 se
puede expresar como 2 * 3 * 5 * 5 o escrito en
potencias como 2 * 3 * 52
.
Esta descomposición se llama factorización prima
y tiene importancia para el estudio de las
propiedades de los números, entre ellas, los
divisores de un número, el cálculo del máximo
común divisor (M.C.D.) y del mínimo común
múltiplo (m.c.m.)
Para descomponer un número en factores primos,
procederemos dividiendo el número
sucesivamente por los números primos hasta
llegar al último factor primo. Por ejemplo:
Descomponer el número 700 en factores primos:
Por lo tanto, la descomposición de
700 en factores primos
corresponde a: 2 * 2 * 5 * 5 * 7, el
cual se puede escribir en notación
de potencias como:
22
* 52
* 7
Múltiplos y divisores
Para determinar en forma rápida si un número es
divisible o no por otro, existen las llamadas reglas
de divisibilidad:
Divisible
por
Cuando
2 Termina en 0 o en cifra par
3 La suma de sus cifras es múltiplo de 3
4
El número formado por sus dos últimas
cifras en 00 o es múltiplo de 4
5 Termina en 0 o 5
6 Es divisible por 2 y por 3 a la vez
8
El número formado por sus tres últimas
cifras es 000 o es múltiplo de 8
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9
10 Termina en 0
11
La suma de las cifras ubicadas en un lugar
par restada con la suma de las cifras
ubicadas en el lugar impar da 0 o es
múltiplo de 11
Mínimo común múltiplo y máximo común
divisor
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor
número natural que es múltiplo de cada uno de los
números dados. Se puede calcular desarrollando la
descomposición prima de todos los números y
multiplicando todos los factores distintos que
aparezcan.
El máximo común divisor (M.C.D.) es el mayor
número natural que divide a cada uno de los
números dados. Se puede calcular desarrollando la
descomposición prima y multiplicando
posteriormente los factores comunes elevados
cada uno a menor exponente que tenga en las
descomposiciones.
Ejemplos
1) Juan compró un vehículo y se dio cuenta que
el cambio de aceite debía hacerse cada 6.000 km,
el cambio de filtro de aceite cada 10.000 y la
revisión de frenos cada 12.000 km. Luego se
preguntó: ¿Y si tengo que hacer las tres cosas a la
vez, en cuántos kilómetros más las tendré que
hacer?
Solución
Al contar determinó lo siguiente:
Cambios de aceite: 6.000 – 12.000 – 18.000 - …
Cambios de filtro: 10.000 – 20.000 – 30.000 - …
Revisión de frenos: 12.000 – 24.000 – 36.000 - …
Sin embargo el número buscado corresponde al
menor de los números comunes, es decir, al
m.c.m.
Si se descompone en factores primos cada uno de
los números resulta:
6.000 10.000 12.000 2
3.000 5.000 6.000 2
1.500 2.500 3.000 2
750 1.250 1.500 2
375 625 750 5
75 125 150 5
15 25 30 5
3 5 6 5
3 1 6 3
1 1 2 2
1 1 1
Si se expresan como potencias y se multiplican, el
m.c.m. resulta:
25
* 54
* 3 = 60.000
Es decir, tendrá que hacer las tres cosas a la vez a
los 60.000 km
2) Se quiere entregar 90 globos, 120 chocolates y
180 juguetes a un cierto número de niños, de
manera tal, que cada uno reciba un número exacto
de globos, chocolates y juguetes. ¿Cuál es la
700 2
350 2
175 5
35 5
7 7
1

3. mayor cantidad de niños que pueden recibir los
obsequios?
Solución
Descomponiendo en factores primos a cada uno
de los números se tiene:
Expresando en potencias:
21
- 32
- 51
Expresando en potencias:
23
– 31
- 51
Expresando en potencias:
22
– 32
- 51
Luego tomando los números repetidos de menor
potencia y multiplicándolos, se obtiene el M.C.D.,
que para este caso resulta ser:
21
* 31
* 51
= 30
Es decir, los obsequios se pueden repartir entre 30
niños y a cada uno le corresponde:
3 globos
4 chocolates
6 juguetes
EJERCICIOS
I) Descomponer en sus factores primos, los
siguientes números:
a) 75
b) 123
c) 44
d) 121
II) Calcule el m.c.m. y el M.C.D. entre los
siguientes números:
a) 6, 9 y 12
b) 60 y 70
c) 14, 18 y 22
d) 20, 50 y 100
III) Indique los números por los cuales son
divisibles las siguientes cifras:
a) 145
b) 2356
c) 1542
d) 5814
e) 1400
90 2
45 3
15 3
5 5
1
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1