Este documento presenta material de apoyo para docentes sobre la unidad de nuevas propiedades de la multiplicación y la división para 5o año básico. La unidad se centra en los conceptos de múltiplo, divisor y números primos, y su relación con la multiplicación y división. El documento incluye contenidos esperados, recomendaciones metodológicas y descripciones de guías de trabajo para estudiantes.

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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
5º AÑO BÁSICO
UNIDAD 4
NUEVAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
Preparado por: Héctor Muñoz

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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
5º AÑO BÁSICO
UNIDAD 4
NUEVAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN
1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
En esta Unidad se profundiza en torno a la relación que existe entre la multiplicación y la
división. Al mismo tiempo, se introducen 2 nuevos conceptos: el concepto de múltiplo y el
concepto de divisor, ambos estrechamente relacionados con estas operaciones.
El concepto de divisor conduce a la introducción de los números primos, un tema que ha
mantenido el interés de los matemáticos por más de 2.000 años. Debido a las limitaciones de
tiempo, solo se ven algunas propiedades de estos números.
Especial importancia se da a la descomposición de números naturales en factores primos y a la
posibilidad de determinar, a partir de esa descomposición, múltiplos y divisores de un número
natural.
2. DURACIÓN APROXIMADA
3 semanas
3. CONTENIDOS
3.1 La división como operación inversa de la multiplicación
3.2 Múltiplos y divisores de un número natural
3.3 Los números primos
4. APRENDIZAJES ESPERADOS
4.1 La división como operación inversa de la multiplicación
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Establezcan las dos divisiones que son equivalentes a una multiplicación
dada de 2 factores.
• Establezcan la multiplicación y la segunda división que son equivalentes a
una división dada que tiene resto 0.
• Establezcan e interpreten adecuadamente la relación que existe entre
dividendo, divisor, cuociente y resto en una división no exacta de números
naturales.
Aprendizajes
esperados

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4.2 Múltiplos y divisores de un número natural
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Identifiquen múltiplos de un número natural.
• Caractericen la ubicación de los múltiplos de un número en la recta
numérica.
• Identifiquen y encuentren los divisores de un número natural dado.
• Reconozcan la relación entre los conceptos de “divisor” y “múltiplo”.
4.3 Los números primos
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Caractericen los números primos e identifiquen los números primos
menores de 100.
• Establezcan diferentes descomposiciones multiplicativas de números
naturales no primos.
• Descompongan un número dado en sus factores primos.
• Determinen múltiplos y divisores de un número natural a partir de su
descomposición en factores primos.
5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS
5.1 Múltiplos y divisores
El concepto de múltiplo es relativamente sencillo: decimos que un número natural m es
múltiplo del número natural a si existe un número natural p tal que m = a · p. En otras palabras,
m es múltiplo de a si m es igual al producto de a por algún número natural.
También podemos decir que m es múltiplo de a si m es divisible por a, es decir, m es múltiplo
de a si la división m : a es una división con resto 0.
De acuerdo con esto, es fácil encontrar múltiplos de un número natural cualquiera. Basta
multiplicarlos por 1, por 2, por 3, o por cualquier número natural.
De la definición se desprende que cualquier número natural es múltiplo de 1 y que el único
múltiplo de 0 es el propio 0. Así, también, podemos ver que, con excepción del 0, todo número
natural tiene una cantidad infinita de múltiplos.
En la recta numérica, los múltiplos de un número están espaciados regularmente. Así, los
múltiplos de 7 son 7, 14, 21, 28, etc. La distancia entre múltiplos consecutivos es igual a 7.
El concepto de múltiplo puede generalizarse a los números enteros, incluyendo los enteros
negativos. En tal caso, diremos que un número entero m es múltiplo del número entero a si
existe un número natural p tal que m = a · p. Sin embargo, los números enteros se estudian
recién en 7º año, de modo que en 5º año solo trabajamos con la definición restringida, es decir,
limitada a los números naturales.
De las definiciones de múltiplo y divisor se desprende que entre ambos conceptos existe una
estrecha relación: si m es múltiplo de d, entonces d es un divisor de m.
Aprendizajes
esperados
Aprendizajes
esperados

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Asimismo, si conocemos el producto de dos números naturales cualesquiera, por ejemplo, si
sabemos que a · b = c, entonces podemos afirmar que c es múltiplo tanto de a como de b, y que
tanto a como b son divisores de c.
Es conveniente mostrar este tipo de relaciones a los estudiantes, trabajando primero con datos
concretos y buscando luego una generalización.
5.2 Descomposición aditiva y descomposición multiplicativa
El estudiante está familiarizado con diversas formas de descomponer un número natural en
una suma de números naturales. En varias ocasiones hemos utilizado este tipo de
descomposición para resaltar la estructura del sistema de numeración y para destacar el valor de
posición de cada digito en un número de más de una cifra.
Ahora, se llama la atención al hecho que un número no solo se puede descomponer en una
suma (por ejemplo, 8 = 2 + 6) sino también se puede descomponer en un producto (por
ejemplo, 8 = 2 · 4).
Conviene hacer un breve paralelo entre estas dos formas de descomposición.
5.3 Las reglas de divisibilidad
Por diversas razones en el último tiempo ha disminuido fuertemente la importancia de dominar
procedimientos de cálculo. Esto ha traído como consecuencia que varios temas específicos, que
hace algunas décadas eran considerados importantes porque facilitaban los cálculos, hoy día han
perdido buena parte de su relevancia.
Entre los temas que ya no son tan importantes se encuentran las reglas de divisibilidad y los
conceptos de mínimo común múltiplo y de máximo común divisor.
En tal sentido, las reglas de divisibilidad pueden presentarse eventualmente como interesantes
propiedades de algunos números naturales, limitándonos a casos simples y sobre la base de la
observación de regularidades en el conjunto de los múltiplos de algún número.
Así, si observamos que todos los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5, podemos deducir de allí
la respectiva regla de divisibilidad. Algo similar podemos hacer con los múltiplos de 2, de 10 y de
potencias de 10.
De igual forma, en rangos acotados es posible observar regularidades en otros conjuntos de
múltiplos. Por ejemplo, los múltiplos de 11 hasta 99 son números de 2 cifras con dígitos
repetidos. Y los dígitos de los múltiplos de 9 hasta 90 suman 9.
Presentar estas regularidades no como hechos que deben ser aprendidos sino como
propiedades curiosas que se descubren, contribuye al desarrollo de una actitud favorable hacia
las matemáticas y a desarrollar el interés por su estudio.
5.4 Los números primos
Los números primos han atraído la atención de los matemáticos desde hace por lo menos
2.300 años y tal vez bastante más. Se definen como aquellos números naturales que solo son
divisibles por sí mismo y por 1. Por convención, se considera que el 1 no es número primo, de
modo que el menor de los números primos y el único número primo par es el 2. Información
bastante completa acerca de los números primos y acerca de su historia se puede encontrar por
ejemplo en la página de Wikipedia dedicada al tema (es.wikipedia.org/wiki/Número_primo).

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La principal propiedad de los números primos tiene que ver con la descomposición
multiplicativa de los números compuestos (es decir, de los números que no son primos). Se
puede demostrar que todo número compuesto se puede descomponer en el producto de factores
primos, y que para cada número hay una única descomposición de este tipo (si no se consideran
eventuales cambios de orden en los factores).
Esta propiedad ha sido considerada como el teorema fundamental de la aritmética y muestra
que los números primos son los ladrillos básicos de los que se forman todos los números
naturales.
Ya Euclides había demostrado hacia el año 300 a. de C. que existe un número infinito de
números primos. Durante siglos, muchos matemáticos dedicaron gran parte de su tiempo a
encontrar números primos cada vez más grandes. Hoy esta búsqueda se hace
computacionalmente y sobre la base del trabajo colectivo de miles de aficionados a lo largo del
mundo. El mayor número primo conocido hasta marzo de 2009 era el número 243.112.609
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número tiene nada menos que 12.978.189 cifras.
En Internet existen tablas de números primos que pueden ser utilizadas por los estudiantes
para encontrar algunas de sus propiedades.
6. DESCRIPCIÓN DE LAS GUÍAS DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES
GUÍA Nº 1
LA DIVISIÓN COMO OPERACIÓN INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓN
En la Guía nº 1 se introduce y ejercita la idea de que una multiplicación de 2 factores tiene dos
divisiones que son equivalentes a ella y que una división exacta tiene una multiplicación y otra
división equivalentes.
Asimismo se establece la relación que existe entre dividendo, divisor, cuociente y resto para el
caso de divisiones con resto distinto de 0.
La guía está dividida en 2 secciones:
1. Igualdades equivalentes
2. El caso de las divisiones con resto

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GUÍA Nº 2
MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL
En la Guía nº 2 se introducen los conceptos de múltiplo y de divisor de un número natural y se
presentan algunas de sus propiedades.
La guía está dividida en 2 secciones:
1. Múltiplos de un número natural
2. Divisores de un número natural
GUÍA Nº 3
LOS NÚMEROS PRIMOS
En la Guía nº 3 se introducen los números primos y se conocen algunas de sus propiedades
más relevantes. En especial, se discute el hecho que cualquier número natural no primo puede
descomponerse en el producto de factores primos.
A partir de la descomposición en factores primos de un número natural es posible inferir
algunas propiedades del número en relación con sus múltiplos y divisores.
La guía está dividida en 3 secciones:
1. Los números primos
2. Descomposiciones multiplicativas.
3. Descomposición en factores primos