Capitulo 6 nf

Capítulo 6
Números Complejos
Introducción
El matemático Diofanto (275 d. C.) construyó un triángulo con una cuerda
en la que había realizado 12 nudos equidistantes. Las longitudes de los
lados medían 3, 4 y 5 unidades. El triángulo es rectángulo porque cumple
el teorema de Pitágoras: 32 + 42 = 52. Al ser un triángulo rectángulo, es fácil
comprobar que el área de la superficie es 6 unidades cuadradas.
Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo, de forma
que su área fuese 7 unidades cuadradas. Su planteamiento fue el siguiente:

▪ Un cateto mediría x.
▪ Como el área de la superficie del triángulo debería ser 7 unidades
cuadradas, el otro cateto mediría 14 .
x
2
▪ La hipotenusa h debería cumplir el teorema de Pitágoras: x2 + 14 = h2 .
x
▪ Por otra parte, la suma de las longitudes de sus lados debería ser 12 unidades:
x + 14 + h = 12.
x
2
▪ Por lo tanto, se debería cumplir la ecuación: x2 + 196 = 12 - x - 14 .
2
x
x
2
De donde se llega a la siguiente ecuación cuadrática: 6x - 43x + 84 = 0.

Cuya solución, Diofanto expresó como:

43 ± √167 √-1 .
12

Pero no conocía número alguno que elevado al cuadrado fuese igual a
por tanto, el problema no tenía solución.

-1;

Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse.
Descartes, en 1637, puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos
y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la
forma a+ bi, con a y b reales.
pág. 555

En el siglo XVI, Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que
era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. A mediados
del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus
contemporáneos, comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones
que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo,
Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:

(5 + √-15) (5 - √-15)
En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de
con la letra i (por imaginario).

-1

Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró
su famoso teorema fundamental del álgebra, que
dice que todo polinomio con coeficientes complejos
tiene al menos una raíz compleja.
Los números complejos se usan en ingeniería
electrónica y en otros campos para una descripción
Gauss,
adecuada de las señales periódicas de corriente o
matemático, astrónomo
de voltaje. El campo complejo es igualmente
y físico alemán.
(1777-1855)
importante en mecánica cuántica, en la relatividad
especial y la relatividad general, algunas fórmulas
para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el
tiempo como una variable imaginaria.

6.1 Números Complejos
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Dado un número complejo, expresarlo como par ordenado o en
forma rectangular empleando la constante imaginaria i.
* Calcular potencias de la unidad imaginaria i.
* Simplificar expresiones complejas empleando potencias de
propiedades algebraicas de los números reales.

i y

* Dado un número complejo, determinar su conjugado.
* Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos.
Se puede considerar que los números complejos son de la forma x + iy, donde
i = √-1, lo cual puede interpretarse diciendo que x + iy es un polinomio de
variable imaginaria y coeficientes reales, con la particularidad de que i 2 = -1.
Para resaltar que x, yi tienen naturaleza diferente, usaremos la siguiente
definición para los números complejos.
pág. 556

Capítulo 6
Números Complejos
Definición 6.1 (Números complejos)
Al conjunto de pares ordenados:

= {z = (x, y) /x ∈ ∧ y ∈ }

tal que:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); y,
(x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)

se denomina conjunto de números complejos.
Un número complejo puede representarse en forma de par ordenado z = (x, y)
o en forma rectangular también llamada estándar z = x + yi . En esta última
expresión, x representa la parte real, y la parte imaginaria y al valor i = √-1
se lo denomina unidad imaginaria.
De esta forma, el número complejo
como z = -1 + 4i.
El número complejo
número real puro.

z = (-1, 4) también puede escribirse

x + 0i generalmente se escribe como x y constituye un

El número complejo 0 + yi generalmente se escribe como
número imaginario puro.

yi y constituye un

También se suele denominar a la parte real del número complejo simplemente
como Re y a la parte imaginaria como Im.

Re (z) = x
Im (z) = y
El conjugado de un número complejo z, se obtiene cambiando el signo a la
parte imaginaria de dicho número. Se lo denota por z.
De aquí, si

z = 2 - 6i, su conjugado es z = 2 + 6i.

Para efectos de operaciones, es muy útil conocer como se comportan las
potencias de la unidad imaginaria i . Al elevar i a las potencias enteras 1, 2, 3, 4,
se obtiene:

i1 = i
i 2 = -1
i 3 = -i
i4 = 1
Este comportamiento es cíclico, es decir, se repite cada cuatro potencias enteras.
De aquí que i 5, i 6, i 7 e i 8 tendrán estos mismos valores, respectivamente.
Como se analizará más adelante, i 0 es 1.
pág. 557

Ejemplo 6.1 Potencias de i.
Calcule el valor de las siguientes expresiones:

i 21, i 62, i 91, i 96.

Solución:

i 21 =
i 62 =
i 91 =
i 96 =

i 20i 1 = (i 4) 5i = i
i 60i 2 = (i 4) 15(-1) = -1
i 88i 3 = (i 4) 22i 3 = -i
(i 4) 24 = 1

Una forma práctica de deducir el valor de la potencia i n, con n > 4 , es
dividiendo n para 4 y trabajar con el residuo de esta división. El lector puede
veriﬁcar que esta regla se cumple para todos los números del ejemplo 6.1.

Determine el valor de la expresión:
Solución:

(2 - i)2 .
3 - 4i

(2 - i)2 4 - 4i + (i)2 4 - 4i - 1 3 - 4i
=
=
=
3 - 4i
3 - 4i
3 - 4i
3 - 4i
(2 - i)2
=1
3 - 4i

i + i 2 + i 3 + ... + i 10.

Solución:

a = i, r = i y n = 10.
i ( i 10 - 1)
La suma de sus términos viene dada por: P10 =
i- 1
i ( i 2 - 1)
2
P10 =
= i ( i + 1) = i + i = - 1 + i
i- 1
Se trata de una progresión geométrica con

Otra manera de resolver este mismo problema sería:

i + i2 + i3 + i4 = 0
i5 + i6 + i7 + i8 = 0
Es decir, los 8 primeros términos se anulan entre sí por la periodicidad
anotada de las potencias de i.
Por lo tanto:

i + i 2 + i 3 + ... + i 10 = i 9 + i 10 = i + i 2 = -1 + i
pág. 558

Capítulo 6
Números Complejos
Ejemplo 6.4 Expresiones algebraicas con números complejos.

Encuentre la forma rectangular del número complejo z

=1 -

i
1+

1-

i

.

i
1+i

Solución:

z =1 -

=1 -

=1 -

i
1+

1-

i

i
1+i

i

1+

i
1+i-i
1+i
i

1+

i
1
1+i

i
= 1 - 1 + i (1+ i)
=

1 + i (1+ i) - i
1 + i (1+ i)

=

1 + i + i2 - i
1 + i + i2

z=0
Debido a que el resultado de la simplificación es el número complejo 0,
su forma rectangular sería: z = 0 + 0i.
pág. 559

Dos números complejos z1 y z2 son iguales si y sólo si sus partes reales e
imaginarias coinciden, respectivamente.

Ejemplo 6.5 Igualdad entre números complejos.
Sean z1 = (1,

2) y z2 = (a + b, a - b); para que z1 = z2 debe cumplirse que:
a+b=1
a-b=2

el cual constituye un S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Al resolver el sistema se obtiene que a
el número complejo z2 es igual a z1.

= 3 y b = - 1 ; con estos valores
2
2

Ejemplo 6.6 Igualdad entre números complejos.
Determine α ∈

y β∈

para que se cumpla la siguiente igualdad:

2α - 3 + α i = α + β - 2β i - i - 1
Solución:

(2α - 3) + α i = (α + β - 1 ) - (2β + 1)i
Con lo cual se puede construir el S.E.L.:

2α - 3 = α + β - 1
α = - 2β - 1

⇒

α-β = 2
α + 2β = - 1

Al resolver el S.E.L., se obtiene que α = 1 y β = - 1 y se puede comprobar que
con estos valores se cumple la igualdad planteada.

6.2 Operaciones
Objetivos
* Dados dos o más números complejos, realizar y verificar propiedades
de las operaciones de suma, producto y división entre ellos.
* Demostrar propiedades de las operaciones entre números complejos.
* Aplicar las propiedades de la suma y producto para realizar
operaciones con números complejos.
pág. 560

Capítulo 6
Números Complejos
▪

Suma entre números complejos
La suma entre dos números complejos z1 y z2 es otro número complejo,
cuya parte real es la suma de las partes reales de ambos; y, cuya parte
imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los referidos números.
Esta operación se puede representar así:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
La suma de números complejos
propiedades:

z1, z2, z3 cumple con las siguientes

∀z1, z2 ∈ [z1 + z2 = z2 + z1]
∀z1, z2, z3 ∈ [z1 + (z2 + z3)] = [(z1 + z2) + z3]
∃ (0, 0) ∈ ∀ (x, y) ∈ [(x, y) + (0, 0) = (0, 0) + (x, y) = (x, y)]
∀ (x, y) ∈ ∃ (x*, y*) ∈ [(x, y) + (x*, y*) = (0, 0)]

Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento inverso aditivo

Cuadro 6.1: Propiedades de la Suma entre Números Complejos.
La resta de números complejos se realiza como la suma algebraica del
minuendo más el inverso aditivo del sustraendo.

Ejemplo 6.7 Demostración de propiedades de Números Complejos.
Demuestre que:

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, ∀z1, z2, z3 ∈ .

Solución:

z1 + (z2 + z3) = (x1 , y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)]
= (x1 , y1) + (x2 + x3 , y2 + y3)
= [x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)]
= [(x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3]
= (x1 + x2, y1 + y2) + (x3 , y3)
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

▪

Definición de números complejos.
Suma de complejos z2 y z3.

Suma de complejos z1 y (z2 + z3).
Ley asociativa de números reales.
Suma de complejos (z1 + z2) y z3.

Multiplicación de un número complejo por un valor real
Sean α ∈ y z ∈ , esta operación se deﬁne como:

α z = α (x, y) = (αx, αy)
Sean α, β ∈ y z, z1, z2 ∈ , entonces se cumple que:
1.
2.
3.

αz= zα
α (β z) = (α β) z
0 (z) = (0, 0)

4.

(α + β) z = αz + βz

5.

α(z1 + z2) = αz1 + αz2

Cuadro 6.2: Propiedades de la Multiplicación de un Número
Complejo por un Escalar.
pág. 561

Demuestre que:

α (β z) = (α β) z, ∀ z ∈ , ∀α, β ∈ .

Solución:

z = (x, y)

Definición de un número complejo.

Definición(β x, (NúmerosProducto de un número complejo por un valor real β.
complejos)
β z = 6.1 β y)

α (β z) = (α β x, α β y)
= (α β) (x, y)
α (β z) = (α β)z

▪

(βz) por un valor real α.
Producto de un complejo z por un valor real (αβ).
Producto de un complejo

Multiplicación entre números complejos
Sean

z1= (x1, y1) y z2= (x2, y2). El producto entre z1 y z2 está dado por:
z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1)

Esta operación para los números complejos z1, z2, z3 cumple con las siguientes
propiedades:

z1 z2 = z2 z1
z1(z2 z3) = (z1 z2) z3

Conmutativa

∃(1, 0) ∈ ∀ (x, y) ∈ [(x, y)(1, 0) = (1, 0) (x, y) = (x, y)]

Elemento neutro
multiplicativo

∀(x, y) ∈ - {(0, 0)} ∃(x*, y*) ∈ [(x, y) (x*, y*) = (1, 0)]

Elemento inverso
multiplicativo

Asociativa

Cuadro 6.3: Propiedades de la Multiplicación entre Números Complejos.
En la última propiedad, el elemento inverso multiplicativo es:

x

x2 + y2

,-

y

x2 + y2

Demuestre que:

z1 z2 = z2 z1, ∀z1, z2 ∈ .

Solución:

z1 z2 = (x1 , y1) (x2, y2)
= (x1x2 - y1y2 , x1y2 + x2y1)
= (x2x1 - y2y1 , y2x1 + y1x2)
= (x2 , y2) (x1 , y1)
z1 z2 = z2 z1

Definición de producto entre números complejos.
Propiedad conmutativa del producto de números reales.
Definición de producto entre números complejos.

Resulta de mucha utilidad saber cómo se comportan estas operaciones
sobre los números complejos y sus respectivos conjugados. Así, si z = x + yi,
se tienen las siguientes propiedades:
pág. 562

Capítulo 6
Números Complejos
1.
2.
3.
4.

z + z = 2x
z - z = 2yi
z z = x2 + y2
1 = 1z = z
z z z x2 + y2

5.
6.
7.

(z) = z
z1 + z2 = z1 + z2
z1 z2 = z1 z2

Cuadro 6.4: Propiedades del Conjugado de Números Complejos.

La propiedad

4 se emplea para el elemento inverso multiplicativo de z.

Demuestre que:

z1 + z2 = z1 + z2, ∀z1, z2 ∈ .

Solución:

z1 + z2 = (x1, y1) + ( x2, y2)
= (x1 + x2 , y1 + y2)
= (x1 + x2 , - (y1 + y2))
= (x1 + x2 , - y1 - y2)
= (x1 , - y1) + (x2 , -y2)
z1 + z2 = z1 + z2

▪

Definición de suma de números complejos.
Definición del conjugado de un número complejo.
Destrucción del signo de agrupación.
Definición de suma de números complejos.
Definición del conjugado de un número complejo.

División entre números complejos
Para hallar el cociente entre dos números complejos, con denominador
no nulo, se debe multiplicar y dividir por el correspondiente complejo
conjugado del denominador de la fracción, a ﬁn de expresar como un
número real el denominador de dicha fracción.

z1 z1 z2
z
z2 = z2 z2 ; 2 ≠ (0, 0)
pág. 563

Ejemplo 6.11 Operaciones entre números complejos.
Sean

z1 = (1, -1) y z2 = (-3, 4), realice:

a) 2z1 + 3z2
b) z2 - z1
c) z1 z2
d)

z1
z2

Solución:
a) 2z1 + 3z2

= 2(1, -1) + 3(-3, 4) = (2, -2) + (-9, 12) = (-7, 10)

b) z2 - z1 = (-3,
c) z1 z2 =
d)

4) - (1, -1) = (-3, -4) - (1, -1) = (-4, -3)

(1, -1) (-3, 4) = (-3 + 4, 4 + 3) = (1, 7)

z1
1-i
1-i
-3 - 4i
(-3 - 4) + (-4 + 3)i
=
=
=
-3 + 4i
-3 + 4i -3 - 4i
(-3)2 - (4i)2
z2
z1
-7 - i
- 7 - 1 i
z2 = 9 + 16 = 25 25

Ejemplo 6.12 Expresiones algebraicas.

3 - 2i
3 + 2i .
+
3 + 2i
3 - 2i

Solución:
Se podría definir el número
Su conjugado sería

z = (3, - 2).

z = (3, 2).

La expresión original se convierte en:
Pero:

z z z2 + z 2
.
+ =
zz
z z

z2 = ((3) (3) - (-2) (-2), (3) (-2) + (-2) (3)) = (9 - 4, -6 -6) = (5, -12)
z 2 = (5, 12)
z z = 32 + 22 = 13
z z (5, - 12) + (5, 12) 10
+ =
=
13
13
z z
pág. 564

Capítulo 6
Números Complejos
6.3 Representación geométrica
Objetivos
* Dado un número complejo, expresarlo en notación polar.
* Dado un número complejo, representarlo gráﬁcamente en el plano
complejo, identiﬁcando su módulo y su argumento.
* Demostrar propiedades del módulo y el argumento respecto a las
operaciones entre números complejos.
* Aplicar las propiedades del módulo y el argumento para realizar
operaciones con números complejos.
Todo número complejo puede ser considerado como un par ordenado (x, y); x ∈ ,
y ∈ ; así mismo, todo punto en el plano se puede representar mediante pares
ordenados, de aquí podemos representar los números complejos mediante
puntos en el plano.
Por convención, el eje horizontal del plano se emplea para representar la
componente real del número complejo, y el eje vertical se emplea para
representar la componente imaginaria.
Al unir el punto que representa al número complejo con el origen de coordenadas,
se forma un segmento cuya longitud se denomina r. Este segmento forma con
el eje horizontal positivo un ángulo θ, denominado argumento.
El plano usado para esta representación se conoce como plano complejo.
Eje
Imaginario

P(x,y)
r

0

θ

Eje Real

Puesto que los pares ordenados de la forma (x, 0) siempre se encuentran
en el eje horizontal, éste se denomina eje real. De manera análoga, los que
tienen la forma (0, y) se encuentran sobre el eje vertical, al cual se denomina
eje imaginario. Por geometría de triángulos rectángulos, se puede observar
además que:

x = r cos (θ)
y = r sen (θ)
pág. 565

▪

Módulo y argumento de un número complejo
El módulo o valor absoluto de un número complejo x + yi es la longitud r del
segmento dirigido desde el origen de coordenadas hasta el punto P(x, y) en
el plano complejo.

r = |z| = |x + yi| = √x2 + y2 = √z z
La medida del ángulo
θ = arg(z). Además:

tan(θ0) =

θ se denomina argumento de z y se denota por

y
, 0 ≤ θ0 ≤ 2�, x ≠ 0, donde los signos de x, y determinan el
x
cuadrante de θ ; y,
0

θ = θ0 + 2k�, k ∈ ,

donde

θ0 es el argumento fundamental.

El módulo de los números complejos z,
propiedades:

z1, z2 cumple con las siguientes

1. |z| = |z|

2. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
3. |z1 z2| = |z1 z2|
4. zz = |z|2
5. |z1| |z2| = |z1 z2|
6. |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2|
Cuadro 6.5: Propiedades del Módulo de Números Complejos.
El argumento de los números complejos
propiedades:

z1, z2 cumplen con las siguientes

1.

arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)

2.

z
arg z1 = arg(z1) - arg(z2) ; z2 ≠ (0, 0)
2

Cuadro 6.6: Propiedades del Argumento de los Números Complejos.

6.4 Notación de Euler
Objetivos
* Dado un número complejo, expresarlo en notación de Euler.
* Dados dos o más números complejos, realizar operaciones de
multiplicación, división y potenciación empleando la identidad de
Euler.
* Dado un número complejo, hallar sus
geométrica entre ellas.
pág. 566

n raíces y explicar la relación

Capítulo 6
Números Complejos
De acuerdo a lo que se estudió en la sección anterior, el número complejo
z = x + yi, expresado en forma rectangular, también puede ser expresado
como sigue:

z = r cos (θ) + i r sen (θ)
z = r (cos (θ) + i sen (θ))
Para simplificar la notación de esta representación se usa la fórmula o
identidad de Euler:

eiθ = cos (θ) + i sen (θ)
la cual puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de
radio unitario en el plano complejo, dibujada por la función eiθ al variar θ sobre
los números reales. Así, θ es la medida del ángulo en posición estándar de
una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia
de radio unitario. La fórmula sólo es válida si el seno y el coseno tienen sus
argumentos en radianes.
Con lo cual, el número complejo z en forma polar puede ser expresado como:

z = reiθ = |z| eiθ
De hecho, Euler, en un manuscrito fechado en 1777,
el cual no se publicó hasta 1794, le aseguró un puesto
definitivo en la historia de las notaciones matemáticas
a los tres símbolos e, i y π, de los que Euler fue en
gran medida responsable, y, que se relacionan con los
dos enteros más importantes 0 y 1, por medio de la
famosa igualdad:

eiπ + 1 = 0
en la que figuran los cinco números más importantes con
Leonard Euler,
las más relevantes operaciones y la más trascendente
matemático suizo
relación de toda la matemática. Lo equivalente a esta
(1707-1783)
igualdad, en forma generalizada, aparece en el más
famoso de todos los textos de Euler, “Introductio in analysin infinitorum”,
publicado en 1748.
Pero el nombre de Euler no aparece hoy asociado a ninguno de los símbolos
que intervienen en esta relación, sino a la llamada “constante de Euler”, la que
recibe este honor y se la considera una sexta constante matemática importante.
Es decir, el número complejo z puede definirse en función de su módulo, su
argumento y del número irracional e, lo cual permite obtener reglas para
calcular productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos.
pág. 567

▪

Multiplicación entre números complejos
Sean los números complejos z1 y z2, su producto puede ser encontrado de
la siguiente manera:

z1 = r1eiθ1 ∧ z2 = r2eiθ2
z1 z2 = (r1eiθ1) (r2eiθ2)
= r1r2ei(θ1 + θ2)
z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)]

▪

División entre números complejos
Sean los números complejos z1 y z2, su cociente puede ser encontrado de
la siguiente manera:

z1 = r1eiθ1 ∧ z2 = r2eiθ2 ; r2 ≠ 0
z1 r1eiθ1
=
z2 r2eiθ2
r
= 1 ei(θ1 - θ2)
r2
z1
r
= 1 [cos(θ1 - θ2) + i sen(θ1 - θ2)]
z2
r2

▪

Potenciación de números complejos
Si n es un entero positivo, aplicando multiplicaciones sucesivas se tiene:
zn = zz...z (n factores).
Aunque también se puede utilizar la identidad de Euler:

zn = (reiθ)n
zn = rneinθ
Ejemplo 6.13 Demostración de propiedades de argumentos
de Números Complejos.
Demuestre que:

arg (z1 z2) = arg (z1) + arg (z2), ∀z1, z2 ∈ .

Solución:
Expresamos

z1 y z2 en forma polar:
z1 = r1eiθ1 ⇒ |z1| = r1 ∧ arg (z1) = θ1
z2 = r2eiθ2 ⇒ |z2| = r2 ∧ arg (z2) = θ2
Realizando el producto z1 z2, tenemos:
z1 z2 = r1r2 ei(θ1 + θ2)
Luego:

arg(z1 z2) = θ1 + θ2
arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2)
pág. 568

Capítulo 6
Números Complejos
Ejemplo 6.14 Módulo de Números Complejos.
Sean los números complejos z1
i z1
del número e z2 .
Solución:
z
Realizamos la división 1 , así:

z1 (1 - 3i) (2 - i)
=
(2 + i) (2 - i)
z2
2 + 3i2 - i - 6i
=
4 - i2
- 1 - 7i
=
5
1 7 i
z1
- z2 = 5 5

= 1 - 3i y z2 = 2 + i, determine el módulo

z2

Luego reemplazamos este cociente en el número dado:
z

i 1
1
7
e z2 = ei(- 5 - 5i)
1
7 2
= e- 5i e- 5i
i z1
7 - 1i
e z2 = e 5 e 5

Dado que todo complejo z se puede representar en forma polar como
7
z = r eiθ, podemos concluir que: r = e 5, donde r es el módulo del
número complejo dado.

Ejemplo 6.15 Multiplicación y división de complejos.
Dados los números z1 = i y z2 =
a) z1 z2
b)

1 + i, realice las siguientes operaciones:

z1
z2

Solución:
a) z1 z2

z1 = 0 + i, z2 = 1 + i
r1 = √0 + 1 = 1, r2 = √1 + 1 = √2
tan(θ1) = 1 → θ1= � ∧ tan(θ2) = 1 → θ2= �
0
2
1
4
z1 z2 = r1r2ei(θ1 + θ2)
�
�
= (1) (√2) ei( 2 + 4 )
3�
= √2 ei( 4 )
3�
3�
= √2 [cos 4 + i sen 4 ]
2
2
= √2 (- √2 + √2 i)
z1 z2 = -1 + i

Obteniendo los módulos de
cada número complejo.
Obteniendo los argumentos de
cada número complejo.
Definición del producto entre
números complejos.
Producto en forma polar.
Expresando el producto en
forma rectangular.
Simplificando el producto.

pág. 569

b)

z1
z2
Aplicando la definición de la
división.

z1 r1eiθ1
z2 = r2eiθ2
�

=

ei( 2 )
�
√2ei( 4 )

=

1 ei( � - �)
2
4
√2

=

1 ei( �)
4
√2

=

1
[cos
√2

=

1
√2

Cociente en forma polar.
�
4

+ i sen

�
4

]

Expresando el cociente en forma
rectangular.

√2 + i √2
2
2

z1
1+1i
z2 = 2 2

Simplificando el cociente.

Ejemplo 6.16 Potenciación de números complejos.
Dado el número complejo
Solución:

z = - √3 - 1 i
2
2

2

- √3 + - 1
2
2

r=
r=1

2

-1
tan(θ) = 2
- √3
2
tan(θ) = 1
√3
θ = 7�
6

z = - √3 - 1 i, calcule z 6.
2
2

Encontrando la representación
polar del número complejo.
Módulo de z.

Argumento de z.

7�

z = ei 6
6
7�
z 6 = (e i ( 6 ) )
z 6 = ei7�
z 6 = cos(7�) + i sen(7�)
z 6 = -1 + 0i
pág. 570

Potenciación del número complejo.
Encontrando la representación
rectangular de z 6.

Capítulo 6
Números Complejos

Dado el número complejo

z = 1 + i √3 , calcule z10.
1 - i √3

Solución:
Utilizando la notación de Euler, el número complejo dado puede
escribirse como:
Donde:
a)

z
z = z1 .
2

z1 = 1 + i √3
r1 = √(1)2 + (√3)2
r1 = √1 + 3 = 2
�

z1 = 2ei 3
b)

z2 = 1 - i √3
r2 = √(1)2 + (-√3)2
r2 = √1 + 3 = 2
5�

z2 = 2ei 3

tan (θ1) = √3
1
�
θ1 =
3

tan (θ2) = √3
-1
5�
θ2 =
3

�

4�
ei 3
z = 2 i 5� = ei(- 3 )
2e 3

Luego:

z10= (ei(- 3 ))
40�
z10= ei(- 3 )
4�

10

- 40� coincide con la de - 4� ; y, por
3
3
2� , tenemos:
ángulos coterminales coincide con
3
Ya que la medida del ángulo

z10 = cos 2� + i sen 2�
3
3
z10 = - 1 + √3i
2 2
pág. 571

Calcule el valor de la siguiente expresión:

(1 + i)100i.

Solución:
Obtenemos el módulo del número complejo

z = 1 + i.

r = √(1)2 + (1)2 = √1 + 1 = √2
tan (θ)= 1
1
�
θ= 4
Expresando

z = √2ei

z en forma polar:

�
4

Realizando la potenciación:

z100 = (√2ei 4 )100
1
�
= (2 2 ei 4 )100
�

= 250 ei25�
= 250 ei�
= 250 [cos(�) + i sen(�)]
z100 = -250

Realizando el producto por i, tenemos:
(1 + i)100 i = -250i.
Partiendo de la representación polar, y si hacemos
teorema propuesto por Abraham De Moivre:

[cos(θ) + i sen(θ)]n = cos(nθ) + i sen(nθ)

r = 1, obtenemos el
∀θ ∈ ∀n∈

Esta expresión es importante porque relaciona a los números complejos con la
trigonometría. La expresión “ cos(θ) + i sen(θ)” puede abreviarse como cis(θ).
Desarrollando el segundo miembro mediante el teorema del binomio,
reduciéndolo a la forma x + yi e igualando partes reales y partes imaginarias,
se deducen ciertas expresiones para cos(nθ) y sen(nθ) como polinomios de
grado n en cos(θ) y sen(θ).

Ejemplo 6.19 Identidades Trigonométricas con De Moivre.
Empleando el teorema de De Moivre, deduzca una expresión para
cos(2θ) y otra para sen(2θ).
Solución:

n = 2 en la expresión del teorema de De Moivre, se obtiene:
[cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos(2θ) + i sen(2θ)
Si

pág. 572

Capítulo 6
Números Complejos
Desarrollando el primer miembro de esta igualdad:

[cos(θ) + i sen(θ)]2 = cos2(θ) + 2i cos(θ) sen(θ) + i2 sen2(θ)
= cos2(θ) + i2 sen2(θ) + 2 [cos(θ) sen(θ)]i
= [cos2(θ) - sen2(θ)] + 2 [sen(θ) cos(θ)]i
En base a la expresión encontrada e igualando cada término con el
segundo miembro de la igualdad original, la parte real y la parte
imaginaria nos indican respectivamente que:

cos(2θ) = cos2(θ) - sen2(θ)
sen(2θ) = 2 sen(θ) cos(θ)
Radicación de números complejos
Si z = r eiθ es un número complejo diferente de cero y n un entero positivo,
existen precisamente n diferentes números complejos w0, w1, ..., wn-1
que son las raíces n-ésimas de z. Sea w = δeiβ una raíz n-ésima, debe
cumplirse que w n = z.
n
δ n einβ = r eiθ, con lo cual δ = √r .
El cis de los ángulos nβ y θ deben tener la misma medida, por lo cual sus
periodicidades han de diferir en un múltiplo entero de 2�. Es decir:
nβ = θ + 2k�, k ∈

Por lo tanto, todas las raíces n-ésimas de z = r eiθ vienen dadas por la

Esto es:

expresión:

n

n

wk = √r eiθ = √r ei(

θ + 2k�
n

);

k = 0, 1, 2, ..., n - 1

Estas raíces pertenecen a una circunferencia centrada en el origen de radio

n-ésima raíz real positiva de r. El argumento de una de ellas
θ y las demás están uniformemente distribuidas a lo largo de tal
es β =
n
circunferencia, separadas un ángulo cuya medida es 2� .
n
igual a la

Ejemplo 6.20 Radicación de números complejos.
Dado el predicado

p(x): x4 + 1 = 0, determine Ap(x) .

Solución:
El problema se reduce a extraer las raíces cuartas de

- 1.
pág. 573

Expresando en forma rectangular el
número complejo.

z = -1 + 0i
r = √1 + 0 = 1
tan (θ) = 0 → θ = �
-1
z = e i�

Expresándolo en forma polar.

1
1
� 2�k
z 4 = r 4 ei(4 + 4 ); k = 0, 1, 2, 3.

k=0

Calculando su primera raíz.

w0 = 1ei( )
�
4

()

()

w0 = cos � + i sen �
4
4
w0 = √2 + √2 i
2
2

Forma rectangular de la primera raíz.

k=1
�
2�
w1 = 1ei(4 + 4 )
w1 = cos 3� + i sen 3�
4
4

( )

( )

w1 = -√2 + √2 i
2
2

Forma rectangular de la segunda raíz.

k=2
�
w2 = 1ei(4 + �)
5�
w2 = ei( 4 )
w2 = cos 5� + i sen 5�
4
4

( )

Calculando su tercera raíz.

( )

w2 = -√2 - √2 i
2
2

Forma rectangular de la tercera raíz.

k=3
�
6�
w3 = 1ei(4 + 4 )
7�
w3 = ei( 4 )

( )

Calculando su segunda raíz.

Calculando su cuarta raíz.

( )

w3 = cos 7� + i sen 7�
4
4
w3 = √2 - √2 i
2
2
pág. 574

Forma rectangular de la cuarta raíz.

Capítulo 6
Números Complejos
Comprobación:
Si graficamos las cuatro raíces obtenidas en el plano complejo, se
comprueba que las mismas están localizadas sobre una circunferencia
de radio r = 1, centrada en el origen, y están separadas �, tal como se
2
muestra en la siguiente figura:
Eje
Imaginario

w1 = -√2 , √2
2 2

�
2
�
2

w2 = -√2 , - √2
2
2

�
2

�
2

w0 = √2 , √2
2 2
Eje Real

w3 = √2 , - √2
2
2

Ejemplo 6.21 Radicación de números complejos.
Determine el número complejo z, tal que
cúbicas y calcule sus otras 2 raíces.

2(√3-i) es una de sus raíces

Solución:
Puesto que

2(√3 - i) es un raíz cúbica de z, se cumple que:

z = [2(√3 - i)]3
pág. 575

Luego:

z = (2√3)3 - 3(2√3)2 (2i) + 3(2√3)(2i)2 - (2i)3
= (8)(3) √3 - (3)(4)(3)(2i) + (3)(2)(√3)(4)i2 - 8i3
= 24 √3 - 72i - 24√3 + 8i
z = 0 - 64i
r = 64
θ = 3�
2

2k�
1
�
3
z 3 = wk = √64ei(2 + 3 ); k = 0, 1, 2.

k=0
�

w0 = 4ei 2

[ ()

( )]

w0 = 4 cos � + i sen �
2
2
w0 = 4i
k=1
�
2�
w1 = 4ei(2 + 3 )

[ ( )

( )]

w1 = 4 cos 7� + i sen 7�
6
6
w1 = 4 -√3 - 1 i
2
2
w1 = - 2√3 - 2i
k=2
�
4�
w2 = 4ei(2 + 3 )

[ ( )

( )]

w2 = 4 cos 11� + i sen 11�
6
6
w2 = 4 √3 - 1 i
2
2
w2 = 2√3 - 2i
Observe que
pág. 576

w2 es una de las raíces especificada en el problema.

Capítulo 6
Números Complejos
Comprobación:
Si graficamos las tres raíces obtenidas en el plano complejo, se
verifica que las mismas están localizadas sobre una circunferencia de
radio r = 4, centrada en el origen, y están separadas
muestra en la figura:

2�, tal como se
3

Eje
Imaginario

w0 = (0, 4)
2�
3

2�
3
Eje Real

w1 = (- 2√3 , - 2)

w2 = (2√3 , - 2)

2�
3

6.5 Aplicaciones
Objetivos
* Definir y analizar gráficamente las funciones hiperbólicas.
* Deducir identidades hiperbólicas empleando propiedades de los
números complejos.
* Resolver ecuaciones polinomiales con raíces complejas, empleando
el teorema fundamental del Álgebra.
* Resolver logaritmos de números complejos.
* Resolver ángulos de medida compleja.
Funciones Hiperbólicas
En el campo real, las funciones hiperbólicas son funciones dependientes
de la función trascendente e x.

senh (x) =

e x - e -x
2

cosh (x) =

e x + e -x
2

tanh (x) =

e x - e -x
e x + e -x
pág. 577

Ejemplo 6.22 Aplicación de números complejos.
Bosqueje las gráficas de las funciones hiperbólicas:
Solución:
a)

f (x) = senh (x)

y
4
3

y = senh (x)

2
1
-4 -3 -2 -1
-1

1

2

3

4

x

-2
-3
-4
b)

g(x) = cosh (x)

y
7
6
5

y = cosh (x)

4
3
2
1
-4 -3 -2 -1
-1
c)

h(x) = tanh (x)

1

x

3 4

-2

y
2

y = tanh (x)

1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
pág. 578

2

1

2

3

4

5

6

7

x

Capítulo 6
Números Complejos
Las funciones hiperbólicas se relacionan con las funciones trigonométricas
mediante las siguientes identidades:

cosh (ix) = cos (x)
senh (ix) = i sen (x)
Para las funciones hiperbólicas, se cumple la identidad:

cosh2 (x) - senh2 (x) = 1
Funciones Polinomiales
Cuando analizamos los ceros o raíces de las funciones cuadráticas y
en general de las funciones polinomiales en el capítulo 3, habíamos
observado que para ciertas situaciones dichos valores no son reales.
Con la definición de los números complejos, es posible encontrar las
referidas raíces.
Teorema 6.1 (Teorema fundamental del Álgebra)
La ecuación polinómica:

anxn + an -1xn -1 + ... + a1x + a0 = 0; ai ∈
tiene

∧

an ≠ 0

n raíces o ceros complejos, contando la multiplicidad algebraica.

Encuentre las raíces de la siguiente función:

f (x) = x3 - 10x2 + 33x - 34

Solución:
La función dada tiene cuanto mucho

(2)3 - 10(2)2 + 33(2) - 34 = 0
1 -10 33 -34 2
2 -16 34
1 - 8 17
0
2 - 8x + 17 = 0
x
8 ± √(- 8)2 - 4(1)(17)
x=
2
x = 8 ± √-4
2
x1 = 4 + i ∧ x2 = 4 - i

3 raíces o ceros.

∴ 2 es un cero de f .

Resolviendo la ecuación cuadrática.

Obteniendo las raíces complejas.
pág. 579

Por lo tanto, los ceros de

f son:
2, 4 + i, 4 - i

Note que si z es una raíz de la ecuación polinómica
z también lo es.
Comprobación:
Se puede construir
factores:

f (x) = 0, su conjugado

f (x) expresándola como el producto de los siguientes

f (x) = (x - 2)[x - (4 + i)][x - (4 - i)]

Al multiplicar se obtiene:

f (x) = (x - 2)(x2 - 8x + 17)
f (x) = x3 - 10x2 + 33x - 34

que corresponde a la función polinomial dada.
Otras Aplicaciones
Anteriormente habíamos indicado que no podíamos encontrar logaritmos
de números negativos, ni medidas de ángulos cuyos senos o cosenos
excedan la unidad. Sin embargo, con los números complejos podemos
encontrar tales valores.
La proposición
Si

-1 = ei(� + 2k�) es verdadera ∀k ∈ .

z = cos (θ), entonces θ = arcos (z).

Por la identidad hiperbólica,

z=

e iθ +

cos(x) = cosh(ix):

e -iθ

2
e iθ + e -iθ - 2z = 0
e2 iθ - 2zeiθ + 1= 0
La medida del ángulo puede ser encontrada resolviendo la última
ecuación cuadrática.

2z ± √(-2z) 2 - 4 (1)(1)
2
e iθ = z ± √z 2 - 1
e iθ =

Con lo cual:

θ = arccos (z) = 1 [ln (z ± √z 2 - 1)]+ 2k�i; k ∈
i
En general, se toma el valor para k = 0, el cual se conoce como valor
principal de la función.
Realizando un procedimiento similar, podemos encontrar que:
Si

z = sen(θ), entonces θ = arcsen(z).

pág. 580

Capítulo 6
Números Complejos
Con la identidad hiperbólica

e iθ - e -iθ
2i
iθ - e -iθ - 2zi
e
=0
e2 iθ - 2zieiθ - 1 = 0

sen(x) =

z=

La medida del ángulo
ecuación cuadrática.

senh(ix)
:
i

θ puede ser determinada resolviendo la última

2zi ± √(-2zi) 2 - 4 (1)(-1)
2
iθ zi ± √1 - z 2
e =
e iθ =

Con lo cual:

θ = arcsen (z) = 1 ln [zi ± √1 - z 2 ]+ 2k�i; k ∈
i
Encuentre los siguientes valores:
a) ln ( -1)
b) ln (1 - i)
c) arccos (2)
d) arcsen (3)
Solución:
a)

ln (-1) = ln (eiπ + i2kπ)
ln (-1) = �i + 2k�i, k ∈

ln (1 - i) = ln (√2ei 4 π + i2kπ )
ln (1 - i) = 7 �i + 2k�i + ln√2, k ∈
4
1
c) arccos (z) = ln (z ± √z 2 - 1) + 2k�i
i
arccos (2) = 1 ln (2 ± √3) + 2k�i, k ∈
i
b)

d)

7

arcsen (z) = 1 ln (zi ± √1 - z 2) + 2k�i
i
1 ln [(3 ± 2√2)i] + 2k�i, k ∈
arcsen (3) =
i
pág. 581

Si

z = ln (1 + i), determine Re(z) e Im(z) .

Solución:
Representando el número complejo z* = 1

z* = r

eiθ,

+ i en forma polar:

donde:

r = √(1)2 + (1)2
r = √1 + 1 = √2
�
z* = √2e i 4

tan (θ) = 1
θ= �
4

Reemplazando z* en z, tenemos:

z = ln (z*)
�
z = ln (√2e i 4

+ i2kπ

); k ∈

Aplicando la propiedad del logaritmo del producto.

z = ln√2 + ln(ei 4 + i2kπ)
z = ln √2 + � i + 2kπi
4
�

Luego:

Re(z) = ln√2
Im(z) = � + 2kπ ; k ∈
4

pág. 582

Capitulo 6 nf

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