ejercicios resueltos de integrales simples

1. Ejercicios resueltos 1
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
Bloque 4. Cálculo
Tema 6 Integración básica
Ejercicios resueltos
4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de
linealidad y la tabla de integrales inmediatas:
 
 

 










)
)
)
)
)
)
)
2
4
2
3 2
2
2
2
1
5
3
3
5 5
4
9 9
x
a x dx
b dx
x
x x
c dx
x
d e senx dx
e x dx
f dx
x
g dx
x
Solución
          
       
    )
2 2 2
3 2 3
2
2 4 4 4 4
4 4 2 4
3 2 3
a x dx x x dx x dx xdx dx
x x x
x C x x C


     
 )
3
4
4 3
1 1 1
3 3
x
b dx x dx C C
x x
   
       
 
   
    )
ln
2
2
5 5 1
1 5
5
2
x x
c dx x dx xdx dx dx
x x x
x
x x C
        ) cos3 3 3x x x
d e senx dx e dx senxdx e x C
         )
5 3
3 3 32 2 3 5 3 5 23 3 3
5 3 5 5 5
x
e x dx x dx C x C x C x x C
  
  ) 2 2
3 3 1 3
5 5 5 1 5
f dx dx arctagx C
x x
   
  
  ) 2 2 2
4 4 1 4 1 2
9 9 9 1 9 31
g dx dx dx arcsenx C
x x x

2. Ejercicios resueltos 2
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de
variable apropiado:
 











)
)
cos
)
)
)
ln
)
)
cos
2
3
4
4
2
1
2
3
2
1
x x
tagx
a x x dx
senx
b dx
x
x
c dx
x
d e e dx
x
e dx
x
x
f dx
x
e
g dx
x
Solución
 
   
  
       
 
        
       
   
   
)
5 2 3 2
1 2 1 2 3 2 1 2
5 2 3 25 2 3 2
1
1 1
5 2 3 2
2 2 2 2
1 1
5 3 5 3
t x
a x x dx t tdt t tdt tdt
dt dx
t t
t t dt t dt t dt t dt C
t t C x x C
  
       
  
           
   
cos
)
cos
cos
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2 2 2
1 2
t xsenx dt
b dx dt t dt
dt senxdx tx t
t
C t C t C x C
  
       
  
 ) ln ln
32
3
3 2
2 1 1 1
2
2 3 3 33
t xx dt
c dx t C x C
x tdt x dx
 
   
       
 
 )
5
5
4
4
33
3
5 5
xx
x x
x
et e t
d e e dx t dt C C
dt e dx
 
 
      
  
 )
2
2
4 2
2 1
1 12
t xx
e dx dt arctagt C arctag x C
x tdt xdx
  
      
  
 
 
ln
lnln
)
2
2
1
2 2
t x
xx t
f dx tdt C C
x dt dx
x
 
      
  
 
 )
cos
cos
2
2
1
tagx
t t tagx
t tagx
e
g dx e dt e C e C
x dt dx
x

3. Ejercicios resueltos 3
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de
integración por partes:







) ln
) ln
)
)
)
)
)
2
2
x
x
x
a xdx
b x xdx
c xe dx
d x e dx
e arcsenxdx
f e senxdx
g x senxdx
Solución
 
        
     
  
  
ln
) ln ln ln
ln
dx
u x du dx
a xdx x x x x x dxx
x
dv dx v x
x x x C
 
   
    
 
   
 
       
 

ln
) ln ln
ln ln ln
2
2
2
2 2 2 2 2
1
2 2
2
1 1
2 2 2 2 2 2 4
dx
u x du
x dxx
b x xdx x x
xx
dv xdx v
x x x x x
x xdx x C x C
   
      
   
 ) x x x x x
x x
u x du dx
c xe dx xe e dx xe e C
dv e dx v e
   
    
   
               
      
 


)
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
u x du xdx
d x e dx x e xe dx
dv e dx v e
u x du dx
x e xe e dx
dv e dx v e
x e xe e dx x e xe e C

4. Ejercicios resueltos 4
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 
 


 
       
    
  
     
  
     
       
 


) 2
2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
2 2
1
1
1
1
2
1 1
2 2 1 2
1 1
dx
u arcsenx du x
e arcsenxdx xarcsenx dxx
x
dv dx v x
t x
xarcsenx x x dx
dt xdx
t
xarcsenx t dt xarcsenx C
xarcsenx x C xarcsenx x C
 
   
     
    
   
  
   
   
   

  
 



) cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x
u e du e dx
f e senxdx e x e xdx
dv senxdx v x
u e du e dx
dv xdx v senx
e x e senx e senxdx
e senxdx e x e senx
e senx x
e senxdx C
   
     
    
   
  
   
    
    
 

) cos cos
cos
cos
cos
cos cos
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
u x du xdx
g x senxdx x x x xdx
dv senxdx v x
u x du dx
dv xdx v senx
x x xsenx senxdx
x x xsenx x C

5. Ejercicios resueltos 5
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:
)
)
)
)
)
)
)
x
a dx
x x x
x
b dx
x x x
c dx
x x x
x x
d dx
x
x x
e dx
x x
x x
f dx
x x
x x x
g dx
x

 

  
  
 

 

 
 
  








2
3 2
2
3 2
3 2
2
2
2
3 2
2
2
4 3 2
1
2
1
6 12 8
4
5 7 3
3 2
9
8
4
2 1
8 16
3 2 1
5
Solución
    

        
 )
2
3 2 2
3 2
1
2 2 1 2
2
x
a dx x x x x x x x x x
x x x

  
   
2
3 2
1
2 1 2
x A B C
x x x x x x
             2
1 1 2 2 1x A x x Bx x Cx x
    

   
   
:
:
:
0 1 2 1 2
1 2 3 2 3
2 5 6 5 6
x A A
x B B
x C C

    
   
      
   
ln ln ln
2
3 2
1 1 2 5
2 2 3 1 6 2
1 2 5
1 2
2 3 6
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C
 

     
  )
2
33 2
3 2
1
6 12 8 2
6 12 8
x
b dx x x x x
x x x
     

  
  
2
3 2 3
1
22 2 2
x A B C
xx x x
              
22 2
1 2 2 4 4 2x A x B x C Ax Ax A Bx B C

6. Ejercicios resueltos 6
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 

    
   
:
:
:
2
1
0
1 1
0 4 4
1 4 2 5
x A A
x A B B
x A B C C
   
 

   
     
    
 
   
ln
2
2 33 2
2
1
4 5
6 12 8 2 2 2
4 5
2
2 2 2
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x C
x x
   )c dx x x x x x
x x x
      
  
23 2
3 2
4
5 7 3 1 3
5 7 3
     
A B C
x xx x x
  
   
2 2
4
1 31 3 1
      A x x B x C x      
2
4 1 3 3 1
:
:
:
x B A
x C B
x A B C C
    

    
    
1 4 2 1
3 4 4 2
0 4 3 3 1
 
ln ln
dx dx dx
dx
x x x x xx
x x C
x
    
    
      

   23 2
4
2
5 7 3 1 31
2
1 3
1
   )
x x
d dx x x x x
x
 
        

2
2 2
2
3 2
3 2 1 9 3 11
9
  
x x x
dx dx dx x x x
x x
   
      
   
2
2
2 2
3 2 3 11
9 3 3
9 9
x A B
x x x
 
 
  2
3 11
9 3 3
   x A x B x      3 11 3 3
:
:
x A A
x B B
  

     
3 2 6 1 3
3 20 6 10 3
ln ln
x x x dx dx
dx dx dx x
x x x x
x x x C
   
     
   
     
    
2
2 2
3 2 3 11 1 10
9 9 3 3 3 3
1 10
3 3
3 3

7. Ejercicios resueltos 7
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 )
x x
e dx x x x x
x x
 
   

2
3 2 2
3 2
8
4 4
4
x x A B C
x x x x x
 
  
 
2
3 2 2
8
4 4
   x x Ax x B x Cx Ax Ax Bx B Cx           2 2 2 2
8 4 4 4 4
:
:
:
x A C A
x A B B
x B C
  

    
   
2
1
0
1 1 4
1 4 2
8 4 3 4
 
ln ln
x x
dx dx dx dx
x x x x x
x x C
x
 
   
 
    
   
2
3 2 2
8 1 1 1 3 1
2
4 4 4 4
1 2 3
4
4 4
   )
x x
f dx x x x x x
x x
 
         
 
2
2 2
2
2 1
2 1 2 8 16 17 31
8 16
 
x x x
dx dx dx x x x
x x x x
   
      
     
2
22
2 2
2 1 17 31
2 8 16 4
8 16 8 16
   
x A B
xx x
 
 
 
2 2
17 31
44 4
 x A x B     17 31 4
:
:
Ax A
Bx A B
  

   
1
0
1717
3731 4
 
ln
x x
dx dx dx dx
x x x x
x x C
x
 
   
   
    

   
2
22
2 1 1 1
2 17 37
8 16 4 4
37
2 17 4
4
)
x x x
g dx
x
  

4 3 2
3 2 1
5
   x x x x x x x         4 3 2 3 2
3 2 1 2 8 40 5 201
 
ln
x x x
dx x x x dx dx
x x
x x x
x x C
  
     
 
      
  
4 3 2
3 2
4 3 2
3 2 1 201
2 8 40
5 5
2 8 40 201 5
4 3 2