Este documento presenta ejercicios resueltos sobre integración básica. En la primera sección, se resuelven integrales indefinidas utilizando la propiedad de linealidad y la tabla de integrales inmediatas. La segunda sección involucra el uso de cambios de variable apropiados para resolver integrales. La tercera sección aplica el método de integración por partes para integrales que involucran funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas.

1. Ejercicios resueltos 1
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
Bloque 4. Cálculo
Tema 6 Integración básica
Ejercicios resueltos
4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de
linealidad y la tabla de integrales inmediatas:
 
 

 










)
)
)
)
)
)
)
2
4
2
3 2
2
2
2
1
5
3
3
5 5
4
9 9
x
a x dx
b dx
x
x x
c dx
x
d e senx dx
e x dx
f dx
x
g dx
x
Solución
          
       
    )
2 2 2
3 2 3
2
2 4 4 4 4
4 4 2 4
3 2 3
a x dx x x dx x dx xdx dx
x x x
x C x x C


     
 )
3
4
4 3
1 1 1
3 3
x
b dx x dx C C
x x
   
       
 
   
    )
ln
2
2
5 5 1
1 5
5
2
x x
c dx x dx xdx dx dx
x x x
x
x x C
        ) cos3 3 3x x x
d e senx dx e dx senxdx e x C
         )
5 3
3 3 32 2 3 5 3 5 23 3 3
5 3 5 5 5
x
e x dx x dx C x C x C x x C
  
  ) 2 2
3 3 1 3
5 5 5 1 5
f dx dx arctagx C
x x
   
  
  ) 2 2 2
4 4 1 4 1 2
9 9 9 1 9 31
g dx dx dx arcsenx C
x x x

2. Ejercicios resueltos 2
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
4.6-2 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando algún cambio de
variable apropiado:
 











)
)
cos
)
)
)
ln
)
)
cos
2
3
4
4
2
1
2
3
2
1
x x
tagx
a x x dx
senx
b dx
x
x
c dx
x
d e e dx
x
e dx
x
x
f dx
x
e
g dx
x
Solución
 
   
  
       
 
        
       
   
   
)
5 2 3 2
1 2 1 2 3 2 1 2
5 2 3 25 2 3 2
1
1 1
5 2 3 2
2 2 2 2
1 1
5 3 5 3
t x
a x x dx t tdt t tdt tdt
dt dx
t t
t t dt t dt t dt t dt C
t t C x x C
  
       
  
           
   
cos
)
cos
cos
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2 2 2
1 2
t xsenx dt
b dx dt t dt
dt senxdx tx t
t
C t C t C x C
  
       
  
 ) ln ln
32
3
3 2
2 1 1 1
2
2 3 3 33
t xx dt
c dx t C x C
x tdt x dx
 
   
       
 
 )
5
5
4
4
33
3
5 5
xx
x x
x
et e t
d e e dx t dt C C
dt e dx
 
 
      
  
 )
2
2
4 2
2 1
1 12
t xx
e dx dt arctagt C arctag x C
x tdt xdx
  
      
  
 
 
ln
lnln
)
2
2
1
2 2
t x
xx t
f dx tdt C C
x dt dx
x
 
      
  
 
 )
cos
cos
2
2
1
tagx
t t tagx
t tagx
e
g dx e dt e C e C
x dt dx
x

3. Ejercicios resueltos 3
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de
integración por partes:







) ln
) ln
)
)
)
)
)
2
2
x
x
x
a xdx
b x xdx
c xe dx
d x e dx
e arcsenxdx
f e senxdx
g x senxdx
Solución
 
        
     
  
  
ln
) ln ln ln
ln
dx
u x du dx
a xdx x x x x x dxx
x
dv dx v x
x x x C
 
   
    
 
   
 
       
 

ln
) ln ln
ln ln ln
2
2
2
2 2 2 2 2
1
2 2
2
1 1
2 2 2 2 2 2 4
dx
u x du
x dxx
b x xdx x x
xx
dv xdx v
x x x x x
x xdx x C x C
   
      
   
 ) x x x x x
x x
u x du dx
c xe dx xe e dx xe e C
dv e dx v e
   
    
   
               
      
 


)
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2 2 2
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
u x du xdx
d x e dx x e xe dx
dv e dx v e
u x du dx
x e xe e dx
dv e dx v e
x e xe e dx x e xe e C

4. Ejercicios resueltos 4
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 
 


 
       
    
  
     
  
     
       
 


) 2
2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
2 2
1
1
1
1
2
1 1
2 2 1 2
1 1
dx
u arcsenx du x
e arcsenxdx xarcsenx dxx
x
dv dx v x
t x
xarcsenx x x dx
dt xdx
t
xarcsenx t dt xarcsenx C
xarcsenx x C xarcsenx x C
 
   
     
    
   
  
   
   
   

  
 



) cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
2
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x
x
u e du e dx
f e senxdx e x e xdx
dv senxdx v x
u e du e dx
dv xdx v senx
e x e senx e senxdx
e senxdx e x e senx
e senx x
e senxdx C
   
     
    
   
  
   
    
    
 

) cos cos
cos
cos
cos
cos cos
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
u x du xdx
g x senxdx x x x xdx
dv senxdx v x
u x du dx
dv xdx v senx
x x xsenx senxdx
x x xsenx x C

5. Ejercicios resueltos 5
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
4.6-4 Resuelve las siguientes integrales indefinidas de funciones racionales:
)
)
)
)
)
)
)
x
a dx
x x x
x
b dx
x x x
c dx
x x x
x x
d dx
x
x x
e dx
x x
x x
f dx
x x
x x x
g dx
x

 

  
  
 

 

 
 
  








2
3 2
2
3 2
3 2
2
2
2
3 2
2
2
4 3 2
1
2
1
6 12 8
4
5 7 3
3 2
9
8
4
2 1
8 16
3 2 1
5
Solución
    

        
 )
2
3 2 2
3 2
1
2 2 1 2
2
x
a dx x x x x x x x x x
x x x

  
   
2
3 2
1
2 1 2
x A B C
x x x x x x
             2
1 1 2 2 1x A x x Bx x Cx x
    

   
   
:
:
:
0 1 2 1 2
1 2 3 2 3
2 5 6 5 6
x A A
x B B
x C C

    
   
      
   
ln ln ln
2
3 2
1 1 2 5
2 2 3 1 6 2
1 2 5
1 2
2 3 6
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x x x C
 

     
  )
2
33 2
3 2
1
6 12 8 2
6 12 8
x
b dx x x x x
x x x
     

  
  
2
3 2 3
1
22 2 2
x A B C
xx x x
              
22 2
1 2 2 4 4 2x A x B x C Ax Ax A Bx B C

6. Ejercicios resueltos 6
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 

    
   
:
:
:
2
1
0
1 1
0 4 4
1 4 2 5
x A A
x A B B
x A B C C
   
 

   
     
    
 
   
ln
2
2 33 2
2
1
4 5
6 12 8 2 2 2
4 5
2
2 2 2
x dx dx dx
dx
x x x x x x
x C
x x
   )c dx x x x x x
x x x
      
  
23 2
3 2
4
5 7 3 1 3
5 7 3
     
A B C
x xx x x
  
   
2 2
4
1 31 3 1
      A x x B x C x      
2
4 1 3 3 1
:
:
:
x B A
x C B
x A B C C
    

    
    
1 4 2 1
3 4 4 2
0 4 3 3 1
 
ln ln
dx dx dx
dx
x x x x xx
x x C
x
    
    
      

   23 2
4
2
5 7 3 1 31
2
1 3
1
   )
x x
d dx x x x x
x
 
        

2
2 2
2
3 2
3 2 1 9 3 11
9
  
x x x
dx dx dx x x x
x x
   
      
   
2
2
2 2
3 2 3 11
9 3 3
9 9
x A B
x x x
 
 
  2
3 11
9 3 3
   x A x B x      3 11 3 3
:
:
x A A
x B B
  

     
3 2 6 1 3
3 20 6 10 3
ln ln
x x x dx dx
dx dx dx x
x x x x
x x x C
   
     
   
     
    
2
2 2
3 2 3 11 1 10
9 9 3 3 3 3
1 10
3 3
3 3

7. Ejercicios resueltos 7
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad ZaragozaAna Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
GG33ww
 )
x x
e dx x x x x
x x
 
   

2
3 2 2
3 2
8
4 4
4
x x A B C
x x x x x
 
  
 
2
3 2 2
8
4 4
   x x Ax x B x Cx Ax Ax Bx B Cx           2 2 2 2
8 4 4 4 4
:
:
:
x A C A
x A B B
x B C
  

    
   
2
1
0
1 1 4
1 4 2
8 4 3 4
 
ln ln
x x
dx dx dx dx
x x x x x
x x C
x
 
   
 
    
   
2
3 2 2
8 1 1 1 3 1
2
4 4 4 4
1 2 3
4
4 4
   )
x x
f dx x x x x x
x x
 
         
 
2
2 2
2
2 1
2 1 2 8 16 17 31
8 16
 
x x x
dx dx dx x x x
x x x x
   
      
     
2
22
2 2
2 1 17 31
2 8 16 4
8 16 8 16
   
x A B
xx x
 
 
 
2 2
17 31
44 4
 x A x B     17 31 4
:
:
Ax A
Bx A B
  

   
1
0
1717
3731 4
 
ln
x x
dx dx dx dx
x x x x
x x C
x
 
   
   
    

   
2
22
2 1 1 1
2 17 37
8 16 4 4
37
2 17 4
4
)
x x x
g dx
x
  

4 3 2
3 2 1
5
   x x x x x x x         4 3 2 3 2
3 2 1 2 8 40 5 201
 
ln
x x x
dx x x x dx dx
x x
x x x
x x C
  
     
 
      
  
4 3 2
3 2
4 3 2
3 2 1 201
2 8 40
5 5
2 8 40 201 5
4 3 2