UDC. Numeros complejos

Tecnicatura en
Matemática I
Unidad I

Orden de Presentación
Introducion
1. Ecuaciones irresolubles en R
2. Numeros complejos
3. Operaciones Vectoriales
1. Adicion y Sustraccion
2. Multiplicacion
3. Division
4. Potencias
5. Reconstruccion
4. Numeros complejos y vectores
5. Forma
1. Polar
2. Trigonometrica
6. Operaciones Polares
1. Adicion y Sustraccion
2. Multiplicacion
3. Division
4. Potencias
7. Aplicaciones
Numeros Complejos

Numeros Complejos
Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz
cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y
sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir
entre 0) son posibles.
Presentaremos este mundo: expresión de los números complejos, su
representación gráfica, operaciones y su forma polar. El enfoque es
muy geométrico para facilitar la comprensión.
La importancia de los números complejos está marcada por sus
múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física,
Ingeniería o Tecnología)

Durante todo ese tiempo se manejaron
esas soluciones sin definirlas
claramente, aunque sí Albert
Girard en 1629 afirmaba ya que una
ecuación polinómica de grado n,
tiene n soluciones.
Desde Al'Khwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que
sólo obtenía las soluciones positivas de las ecuaciones,
pasaron más de ocho siglos, hasta que
finalmente Descartes en 1637 puso nombre a las raíces
cuadradas de números negativos, imaginarios, y dedujo
que las soluciones no reales de las ecuaciones son
números de la forma a+bi, con a y b reales.
Historia
Numeros Complejos

 Con los conocimientos que poseemos seriamos capaces de resolver bastantes
ecuaciones algebraicas, como por ejemplo:
x2
– 2 x - 3 = 0
Que tiene por soluciones
x = -1 y x = 3
Sin embargo existen ecuaciones irresolubles en R (números reales), pues por
ejemplo la ecuación
x2
– 2 x + 3 = 0.
Tiene por soluciones
x = 1 ±√(-2)
que no son soluciones reales.
 Para resolver este tipo de ecuaciones las matemáticas han tenido la necesidad de
ampliar los conjuntos numéricos, de tal manera que dichos conjuntos incluyan
soluciones como las expuestas en el ejemplo anterior.
Numeros Complejos

Esquema de los numeros
Numeros Complejos

 Un número complejo es un número de la forma z = a + b.î , donde a y b
son número reales y î = √(-1).
Al número a se le denomina parte real, al número b se le denomina parte imaginaria y a î
unidad imaginaria.
Si b = 0, z = a es un número rel.
Si a = 0, z = b.î es un número imaginario puro
Con esta notación, podemos representar cualquier número que contenga una raíz negativa, por
ejemplo: 3 + √(-10) = 3 + √10.î.
El conjunto de los números complejos se representa por ℂ, es decir:
ℂ = { a + b.î : a, b ∈ }ℝ
 Ejemplo: Hallar las soluciones complejas de la ecuación x2
– 2 x + 5.
( )
2
2 2 4.1.5 1 1
1 . 16 1 .4. 1 2.
2 2 2
x i i
± − −
= = ± − = ± = ±
2. Numeros complejos
Numeros Complejos

3.1 Adicción y sustracción.
 Para sumar o restar números complejos, basta con sumar o restar sus
partes reales y sus partes imaginarias respectivamente, es decir:
(a+b.î) ± (c+d.î) = (a±c) + (b±d).î
 Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 + z2 y z1 – z2.
z1 + z2 = (2+1) + (-1+3).î = 3 + 2.î
z1 - z2 = (2-1) + (-1-3).î = 1 - 4.î
Numeros Complejos

 Para multiplicar números complejos, se multiplican como si fueran
polinomios de variable î, después se agrupan los términos y se sustituye î2
por (-1), ya que î2
= √(-1)2
= -1 :
(a+b.î) ± (c+d.î) = (a±c) + (b±d).î
 Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 . z2.
z1 . z2 = ( 2 – î ) . (1+3.î) = 2.1 + 2.3.î - î.1 – î.3.î = 5 5.î
3.2 Multiplicación
Numeros Complejos

3.3 División. Números complejos conjugados.
 El número complejo conjugado de a + b.î es a – b.î
 Ejemplo.- El conjugado de 2 + 3.î es 2 – 3.î
 Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y el
denominador por el conjugado del denominador
 Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 / z2.
( ) ( )
( ) ( )
1
1
2 1 32 1 7 1 7
1 3 1 3 1 3 10 10 10
i iz i i
i
z i i i
× × ×
= = = = ×
+ × + × × ×
— —— — —
— —
—
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3.4 Potencias de î. Potenciación.
 Teniendo en cuenta que se cumple:
î1
= î î2
= -1 î3
= - î î4
= 1
î5
= î î6
= -1 î7
= - î î8
= 1
Y en general para cualquier número entero k se cumple
î4k
= î î4k+1
= -1 î4k+2
= - î î4k+3
= 1
 La potencia é-nésima de un número complejo a + b.î es decir ( a + b.î) n
,
consiste en multiplicar n veces a + b.î.
 Ejemplo.- Calcular (2 – î)3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2 1 4 2 2 9i i i i i i i= × × = × × = ×— — — — — — —
Numeros Complejos

3.5 Reconstrucción de una ecuación con soluciones complejas.
 Si una ecuación con coeficientes reales tiene por solución el número complejo
a + b.î, también tiene por solución el complejo conjugado a – b.î.
 Ejemplo.- Construir una ecuación de tercer grado con coeficientes reales, sabiendo
que dos de sus soluciones son r1 = 2 y r2 = 1 + 2.î
Solución: Como la ecuación buscada tiene también por raíz r3 = 1 – 2.î, será
(x – r1).(x - r2).(x – r3) = 0
 (x - 2).(x – (1 + 2.î)).(x – (1 - 2.î)) = 0
 (x - 2).(x – 1 - 2.î).(x –1 + 2.î) = 0
 (x - 2).[(x – 1)2
– (2.î)2
] = 0
 (x - 2).[x2
– 2.x + 1 + 4] = 0
 (x - 2).[x2
– 2.x + 5] = 0
 x3
- 4.x2
+ 9.x -10 = 0
Numeros Complejos

4.a Números complejos y vectores.
 Dado que podemos representar cada
número complejo z = a + b.î, en el plano
real, representando a en el eje real (eje de
abscisas OX) y representado b en el eje
imaginario (eje de ordenadas OY), cada
número complejo z = a + b.î, viene
representado en el plano por el afijo z(a,b)
o por el vector Oz
 Ejemplo.- Los número complejos z1 = 4 + 3.î y
z2 = 3 – 2.î tiene por afijos z1(4,3) y z2(3,-2) y
el complejo z2 – z1 = (3 – 2.î) – (4 + 3.î) tiene
por vector asociado a (-1,-5)
Numeros Complejos

4.b Adición y sustracción gráfica de números complejos
 Teniendo en cuenta que lo números
complejos z = a + b.î, lo podemos
representar por el vector vz = (a,b).
Gráficamente, la suma de dos
complejos z1 y z2 será el vector
diagonal del paralelogramo de lados
z1 y z2 y la resta de dos complejos z1
y z2 será el vector diagonal del
paralelogramo de lados z1 y –z2
 Ejemplo.- Representar gráficamente
gráficamente z1+z2 y z1–z2, siendo z1=1+î
y z2=1–2.î
Numeros Complejos

4.c Producto gráfico de un números complejos por î.
 Teniendo en cuenta z=a+b.î, lo
podemos representar por el vector
vz=(a,b). El producto de
z.î=(a+b.î).î=-b+a.î, que tiene de
afijo (-b,a) representa gráficamente
el giro respecto del origen de z de
90º
 Ejemplo: Representar gráficamente z.î2
,
siendo z=1+î
Numeros Complejos

5.1 Forma polar de un número complejo.
 Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) y vector asociadoz(a,b), se
define:
MÓDULO de z = r = |z(a,b) | = √(a2
+b2
).
ARGUMENTO de z = α = ángulo de z con el semieje positivo = arc tg (b/a)
 De este modo en número complejo, se puede
representar en forma polar z(r,α) o de forma
abreviada z = rα.
Un número complejo en forma polar z = rα, tendrá
de forma binómica
z = r.cos α + î.r.sen α
 Ejemplos.-
* Dado el número z = -√2+√2.î, como r = √(a2
+b2
) = 2, y arc tg (b/a) = { 135º, 315º} y se
encuentra en el segundo cuadrante, su forma polar abreviada será z = 2315º.
* Dado el complejo z = 4150º, su forma binómica
z = r.cos α + î.r.sen α = r.cos 150º + r.sen 150º . Î = -2.√3+2.î.
Numeros Complejos

5.2 Forma trigonométrica de un número complejo.
 Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) de modulo r y argumento α, su
forma trigonométrica será
z = r.(cos α + î.sen α)
 Ejemplo.- Dado el número complejo z = √3+î, como su modulo es r = 2 y como está en
el primer cuadrante su argumento es α = arc tg (1/√3) = arc tg (√3/3) = 30º y su forma
trigonométrica será
z = 2.(cos 30º + en 30º). î .
Numeros Complejos

5.3 Números complejos iguales.
 Dos números complejos expresados en forma binómica z1 = a+b.î y z2 = c+d.î son
iguales si y solo si a = c y b = d.
 Dos números complejos en forma polar z1 = rα y z2 = sβ son iguales si y solo si r = s y
α - β = 360º.k, siendo k un número entero cualquiera
 Ejemplo.- Para comprobar si son iguales z1 = 2315º y z2 = - √2 + √2.î, utilizando por
ejemplo la forma polar, como |z2 | = 2 y arc tg (√2/-√2 ) = -1 = {135º,315º}, pero como
z2 está en el segundo cuadrante, será z2 = 2135º , luego z1 ≠ z2
Numeros Complejos

6.1 Multiplicación de números complejos en forma polar.
 Dados dos complejos z1 = rα = r.(cos α+î.sen α) y z2 = sβ = s.(cos β+î.sen β), será:
z1. z2 = rα.sβ = r.s. (cos α+î.sen α).(cos β+î.sen β) =
= r.s. [ cos α.cos β - sen α.sen β + î. (sen α.cos β + cos α.sen β ) ] =
= r.s. [ cos (α+β) + î . sen (α+β) ] = r.sα+β
 Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será
z1.z2 = 3.2(60+30)º = 690º
Numeros Complejos

6.2 División de números complejos en forma polar.
 Dados dos complejos z1 = rα = r.(cos α+î.sen α) y z2 = sβ = s.(cos β+î.sen β), será:
 Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será
z1/z2 = (3/2)(60-30)º = (3/2)30º
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
2 2
cos sen cos sencos sen
cos sen cos sen cos sen
cos cos sen sen sen cos cos sen
cos sen
cos sen
1
i irz r i r
z s s i s i i
ir
s
ir r
s s
α
β
α α β βα α
β β β β β β
α β α β α β α β
β β
α β α β
+ × × − ×+ ×
= = × = × =
+ × + × × − ×
× + × + × × − ×  = × =
+
− + × −    = × =  ÷
 
( ) ( )cos sen
r
i
s α β
α β α β
−
 
× − + × − =   ÷ 
 
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6.3 Potenciación de números complejos en forma polar.
 Si z = a + b.î tiene su forma polar z = rα, teniendo en cuenta el producto de números
complejos en forma polar y también que la potencia n-ésima de z (zn
) es el producto
n veces de z, se obtiene.
 Ejemplo.-
n n
nz r α×=
( )5 5
5 30º 150º2 32 32 cos150º 150ºz sen×= = = × +
Numeros Complejos

6.4a Radicación de números complejos en forma polar.
 Sea el número complejo z = rα. Si w = sβ es una raíz en enésima de z, se tiene que
cumplir wn
=z, es decir
 Ejemplo.- Para hallar las raíces cuartas de z=1, como z=1= 1.(cos 0º +
î.sen 0º) = 10º.
Como
( ) 360º (t un entero cualquier)
360º
; k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
n n
n n
n
s r s r
n n ts r s r
k
n
β α β α
β α β α
α
β
×
 = ⇒ =

 × = ⇒ × − = ×= ⇒ = ⇒ 
+ ×
⇒ =
1 2
3 4
1 0º 2 90º 3 180º 4 270º
0º 360º 0 0º 360º 1
1 1 0º 90º
4 4
0º 360º 2 0º 360º 3
180º 270º
4 4
dichas raíces serán
z 1 z 1 z 1 z 1
n
α α
α α
+ × + ×
= = = = =
+ × + ×
= = = =
= = = =
Numeros Complejos

6.4b Radicación de números complejos en forma polar.
 Si el número complejo z = rα. La representación en el plano de las raíces
enésimas de z, son los vértices de un polígono regular de n lados cuyo
centro es el origen y radio es r1/n
.
 Ejemplo.- Representar en el plano las raíces cuartas de z=1.
Numeros Complejos

 Soluciones de ecuaciones polinómicas
 Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0.
Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado ntienen
exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la
igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz
entonces su conjugado también es una raíz delpolinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental
del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos
consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de
resolver ecuaciones.
 Variable compleja o análisis complejo
 Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran
cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El
análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas; mientras que
las funciones reales de variable real necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de
variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de
representar. Se suele utilizar una fotma coloreada en un espacio de tres dimensiones para representar la
cuarta coordenada.
 Ecuaciones diferenciales
 En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio
característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la
forma: .
 Fractales
 Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de
cálculos con números complejos en el plano.
Aplicaciones En matemática
Números Complejos. APLICACIONES

 Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para
una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis
de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y
en como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando
representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con
comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja
de la forma donde ω representa para las dos últimas (ver redes eléctricas).
Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez
de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
 El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya
matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita
sobre C (ℂ).
 En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica
del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una
variable imaginaria.
Aplicaciones En física
Números Complejos. APLICACIONES

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Números Complejos. aplicaciones al área de redes y telecomunicaciones
Expositor: Gustavo Arza

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