Números Reales y Plano Numérico.

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio dl Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial de Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo. Lara
Estudiante: Yeimar Alejandra Gil Rojo.
C.I: 31.161.782.
Sección: CO0113.
Tutor: María Carruido.
Unidad Curricular: Matemática.

Conjuntos
La palabra conjunto se refiere a aquello que se encuentra enlazado, combinado
o conectado con otra cosa. Por lo tanto, en matemáticas se puede definir un
conjunto como un grupo de objetos llamados elementos que comparten entre sí
una o varias características y propiedades semejantes. Cabe destacar que el orden
de los elementos de un conjunto es indiferente.
El causante de la teoría de los conjuntos fue el alemán Georg Cantor, quien
innovó, indagó y desarrolló los conjuntos de números infinitos. Además,
estableció que los conjuntos son finitos o infinitos.
Por ejemplo: la cantidad de granos de arena de la playa son infinitos; sin
embargo, las vocales son finitas (a, e, i, o, u).
Un conjunto puede ser el siguiente:
D= {días de la semana}
D= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,
domingo}
Representación de conjuntos: usualmente los conjuntos se
representan o se les asignan las letras mayúsculas, así como: A, B, C, D, etc.
Representación de Elementos: en este caso, los elementos se
simbolizan con las letras minúsculas: a, b, c, d, etc.
Pertenencia de un conjunto: permite demostrar la relación que
existe entre los elementos que pertenecen a un determinado conjunto. Se
representa con el símbolo ∈.
Ejemplo:
A={1,2,3,4,5}
Entonces:
4 ∈ A “4 pertenece a A”

Pero:
20 ∉ A “20 no pertenece a A”
Diagrama de venn: Son gráficos o esquemas que se aplican para
identificar y determinar la relación entre los elementos que pertenecen a dos o
más conjuntos.
U= {𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑜𝑗𝑜}
A= {𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠}
B= {𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠}
tipos de conjuntos:
Conjunto universal: es la base, referencia o total de los elementos que
contienen los conjuntos. Se detona con la letra U.
Ejemplo:
U= {−3, −2, −1,0,1,2,3}
A= {,0,1,2,3}
B= {−3, −2, −1}
Conjunto unitario: se caracteriza por un conjunto que presenta
exclusivamente un solo elemento.
Ejemplo:
Y= {8}
Conjunto VACÍO: es aquel conjunto que no posee elementos, por esta razón
se asigna como conjunto vacío. Se representa con los signos ∅ o {}.

Donde:
A= {}
También:
A= ∅
subconjunto: Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al
mismo tiempo a otro conjunto.
A= {𝑥 | 𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 ≤ 10}
B= {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑥 ≤ 10}
Conjuntos iguales: dos conjuntos son iguales sólo cuando sus elementos
también lo son.
A= {𝑥 | 𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 ≤ 5}
B= {1,2,3,4,5}
A=B
Conjuntos disjuntos: son aquellos que no poseen elementos comunes
entre los conjuntos.
A= {𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠}
B= {𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠}

Conjuntos finitos: se denomina conjuntos finitos a
aquellos que poseen un límite entre sus elementos.
Ejemplo: los números de un dado.
D= {1,2,3,4,5,6}
Conjuntos infinitos: como su palabra lo indica poseen elementos infinitos,
por ende, no hay un fin.
Ejemplo: los números pares.
P= {0,2,4,6,8,10,12 … }
Notación de conjuntos:
Conjunto por extensión: es aquel donde se mencionan todos los
elementos del conjunto. Ejemplo:
M= {𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑟, í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒, 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜, 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑟, 𝑚𝑒ñ𝑖𝑞𝑢𝑒}
Conjunto por comprensión: es aquel donde se menciona una
característica o propiedad común que alude a todos los elementos de un
conjunto. Ejemplo:
M= {𝑑𝑒𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠}
También se puede denotar como:
M= {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑜}
Operaciones con conjuntos:
• Unión: la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos
los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B. Cabe mencionar
que, si se encuentran elementos en común entre los conjuntos, estos se
deben de anotar una sola vez en la unión. Se simboliza con el signo ⋃.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴 ⋁ 𝑥 ∈ 𝐵}

Ejemplo:
1)
A= {1,2,3,4,5,6,7}
B= {2,4,5,6,8,10}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7,8,10}
2)
A= {𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟, 𝑥 < 14}
B= {𝑥 | 𝑥 ∈ ℕ. 𝑥 ≤ 6}
C= {𝑥 |𝑥 < 15, 𝑥 𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3}
Donde:
A= {0,2,4,6,8,10,12}
B= {1,2,3,4,5,6}
C= {0,3,6,9,12}
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {0,1,2,3,4,5,6,8,9,10,12}
• Intersección: la intersección entre dos conjuntos es el conjunto de sus
elementos comunes, es decir, los elementos que están a la vez en los dos.
Se le asigna el símbolo ∩.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ 𝑥 ∈ 𝐵}
Ejemplo:
1)
A={5,10,15,20}
B={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
𝐴 ∩ 𝐵 = {10,15,20}
2)
F= {𝑥 |𝑥 ∈ ℕ, 𝑥 ≤ 6}
G= {𝑥| 𝑥 ∈ ℤ, −5 ≤ 𝑥 < 2}
H= {𝑥 |𝑥 ∈ ℤ, 0 < 𝑥 ≤ 7}

Donde:
F={1,2,3,4,5,6}
G= {−5, −4, −3, −2, −1,0,1}
H={1,2,3,4,5,6,7}
𝐹 ∩ 𝐺 ∩ 𝐻 = {1}
• Diferencia: es el conjunto de elementos de A que no son elementos de B,
en otras palabras, al conjunto de A se le eliminan todos los elementos que
se localizan en B.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ 𝑥 ∉ 𝐵}
Ejemplo:
1)
A={𝑎, 𝑏, 𝑐}
B={𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝐴 − 𝐵 = {𝑎}
2)
A={1,2,3,4,5,6}
B={4,5,6,7,8,9}
C={2,4,6,8,10}
Entonces:
∗ 𝐴 − 𝐵 = {1,2,3} ∗ 𝐴 − 𝐶 = {1,3,5}
∗ 𝐵 − 𝐴 = {7,8,9} ∗ 𝐵 − 𝐶 = {5,7,9}
∗ 𝐶 − 𝐴 = {8,10} ∗ 𝐶 − 𝐵 = {2,10}
• Complemento: sea A un subconjunto de un conjunto universal (U) el
complemento de A (en U) es el conjunto A' de los elementos de U que no
pertenecen a A.
A′ = {x | 𝑥 ∈ 𝑈⋀ 𝑥 ∉ 𝐴}
Ejemplo:
1)
U={1,2,3,4,5}
A={2,4}
Donde:
A′ = {1,3,5}

2)
U={𝑥 | 𝑥 ∈ ℤ}
I={𝑥 | 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}
Entonces:
I′={𝑥 |𝑥 ∈ ℤ ⋀ 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}
• Diferencia simétrica: es el conjunto de los elementos de U que pertenecen
a A o B pero no los dos a la vez. Se simboliza con el signo △.
𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 − 𝐵) ⋃ (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵)
Ejemplo:
1)
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,5,6,7,8}
Donde:
𝐴 △ 𝐵 = {1,2,6,7,8}
2)
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
B={0,3,6,9,12}
C={2,3,5,7,11}
Entonces:
𝐴 △ 𝐵 = {1,2,4,5,7,8,9,12}
𝐴 △ 𝐶 = {0,1,4,6,8,11}
𝐵 △ 𝐶 = {0,2,5,6,7,9,11,12}
Operaciones combinadas con
conjuntos:
1)(𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) =
A={1,2,3,4,5,6}
B={2,4,6,8,10}
C={5,6,7,8,9}
Solución:
𝐴 ∩ 𝐶 = {5,6}
𝐵 ∪ 𝐶 = {2,4,5,6,7,8,9,10}

(𝐴 ∩ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = {5,6}
2)(𝐴 − 𝐶) ′=
U={𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔}
A={𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
C={𝑏, 𝑒, 𝑓, 𝑔}
Solución:
𝐴 − 𝐶 = {𝑎, 𝑐, 𝑑}
(𝐴 − 𝐶)′ = {𝑏, 𝑒, 𝑓, 𝑔}
3)(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐶′ − 𝐴′) =
U={𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔}
A={𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
B={𝑎, 𝑐, 𝑒, 𝑔}
C={𝑏, 𝑒, 𝑓, 𝑔}
Solución:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑔}
𝐶′
= {𝑎,𝑐,𝑑}
𝐴′
= {𝑒,𝑓,𝑔}
𝐶′
− 𝐴′
= {𝑎,𝑐,𝑑}
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐶′
− 𝐴′
) = {𝑎, 𝑐, 𝑑}
Números reales:
Se le asignan la letra ℝ, además, es el conjunto de todos los números
que se pueden representar en la recta numérica. Cabe mencionar que, el
conjunto de los números reales se clasifican en números racionales e
irracionales. A continuación, se presenta brevemente el sistema de los
números reales.
Números naturales: son aquellos números que utilizamos en el día a
día para contar, por tanto, son números mayores que cero. Se representa
con la letra ℕ. Ejemplo:
ℕ = {1,2,3,4,5,6 … }
Números enteros: es el conjunto de todos los números naturales y
negativos, a su vez incluye el cero (0). Se asigna la letra ℤ. Ejemplo:
ℤ = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 … }

Números racionales: se les conoce comúnmente con el nombre de
números fraccionarios. Un número racional es un cociente de dos números
enteros, donde el denominador siempre es distinto de cero (≠ 0). También
son expresiones que poseen decimales periódicos.
Se denota con la letra ℚ. Ejemplo:
ℚ = {
10
2
,
1
2
,
6
3
,
−3
4
, etc.}
Números irracionales: es un número que tiene expresión decimal
no periódica. Por ejemplo: 𝜋, 𝑒, √2, 𝑒𝑡𝑐.
Donde:
𝜋 = 3,14159 … 𝑒 = 2,7182818284 … √2 = 1,41415 …
Recta numérica:
Es una línea recta en donde se representan todos los conjuntos de los
números reales. Cabe destacar que, cada espacio de la recta se encuentra
ocupado por un número. En la recta real, se ubica a la derecha los números
positivos, a la izquierda los negativos y en un punto de la misma se fija el
origen, representado por el entero cero (0).
Propiedades de la adición y
multiplicación de los números
reales:
1. Leyes conmutativas: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 y 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
5 + 7 = 7 + 5 5 ∗ 7 = 7 ∗ 5
12 = 12 35 = 35
2. Leyes asociativas: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 y 𝑎(𝑏𝑐) = (𝑎𝑏)𝑐
−4 + (2 + 5) = (−4 + 2) + 5 − 4 ∗ (2 ∗ 5) = (−4 ∗ 2) ∗ 5
3 = 3 − 40 = −40
3. Ley distributiva: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 =
5(12 + 4) = 5(12) + 5(4) =
5(16) = 60 + 20 =
80 = 80

4. Elementos neutros: 𝑎 + 0 = 𝑎 y 𝑎 ∗ 1 = 𝑎
679 + 0 = 679 679 ∗ 1 = 679
5. Inverso aditivo: 𝑎 + (−𝑎) = 0
20 + (−20) = 0
6. Inverso multiplicativo: 𝑎 ∗ 𝑎−1
= 1
5 ∗ 5−1
= 1
desigualdades:
Son expresiones matemáticas con valores distintos que contienen
términos a la derecha, a la izquierda, y ambos se encuentran separados por
el siguiente signo:
Desigualdades estrictas:
• Mayor que (>): 𝑎 > 𝑏
• Menor que (<): 𝑏 < 𝑎
Desigualdades no estrictas o amplias:
• Mayor o igual que (≥): 𝑎 ≥ 𝑏 = 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏
• Menor o igual que (≤): 𝑎 ≤ 𝑏 = 𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 = 𝑏
Para que una desigualdad sea una inecuación, esta debe contener al
menos una incógnita.
Propiedades de las desigualdades:
• En caso de sumar o restar ambos miembros por un valor positivo, se
mantiene el signo de la desigualdad.
• En caso de multiplicar ambos miembros por un valor positivo, se mantiene
el signo de la desigualdad.
• Si se divide ambos miembros por un valor positivo, se mantiene el signo de
la desigualdad.
• Si se multiplica ambos miembros por un valor negativo, se invierte el signo
de la desigualdad.

• En caso de dividir ambos miembros por un valor negativo, se invierte el
signo de la desigualdad.
ejemplo de las desigualdades:
1. 2 (𝑥 − 5) − 3 > 5 (𝑥 + 4) − 1 =
2𝑥 − 10 − 3 > 5𝑥 + 20 − 1 =
2𝑥 − 5𝑥 > 10 + 3 + 20 − 1 =
−3𝑥 > 32 (−1) =
3𝑥 < −32 =
𝑥 <
−32
3
Sol= (−∞,
−32
3
)
2. 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3 > 0 =
Donde:
𝑎 = 2
𝑏 = 5
𝑐 = −3
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−5 ± √52 − 4 (2)(−3)
2 (2)
𝑥 =
−5±√49
4
=
Entonces:
(𝑥 −
1
2
)
(𝑥 + 3)
−5 + 7
4
=
2
4
=
1
2
−5 − 7
4
=
−12
4
= −3

Sol=(−∞; −3) ∪ (
1
2
, ∞)
3.
1
𝑥+1
−
𝑥−2
3
≥ 1 = Pero, 𝑥 ≠ −1
1
𝑥 + 1
−
𝑥 − 2
3
− 1 ≥ 0 =
𝑚. 𝑐. 𝑚 = 3 (𝑥 + 1)
3
3 (𝑥 + 1)
−
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
3 (𝑥 + 1)
−
3 (𝑥 + 1)
3 (𝑥 + 1)
≥ 0 =
3
3 (𝑥 + 1)
−
(𝑥2
+ 𝑥 − 2𝑥 − 2)
3 (𝑥 + 1)
−
3𝑥 + 3
3 (𝑥 + 1)
≥ 0 =
3 − 𝑥2
− 𝑥 + 2𝑥 + 2 − 3𝑥 − 3
3𝑥 + 3
≥ 0 =
−𝑥2
− 2𝑥 + 2
3𝑥 + 3
≥ 0 =
Donde:
𝑎 = −1
𝑏 = −2
𝑐 = 2
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−2) ± √(−2)2 − 4 (−1)(2)
2 (−1)
=
𝑥 =
2 ± √12
−2
=
2 + √22. 3
−2
=
2 + 2√3
−2
=
2(1 + √3)
−2
= −1(1 + √3) = −1 − √3
2 − √22. 3
−2
=
2 − 2√3
−2
=
2(1 − √3)
−2
= −1(1 − √3) = −1 + √3

Entonces:
• 𝑥 = −1 − √3 =
(𝑥 + 1 + √3)
• 𝑥 = −1 + √3 =
(𝑥 + 1 − √3)
• (3𝑥 + 1)
Queda:
−𝑥2
− 2𝑥 + 2
3𝑥 + 3
≥ 0 =
𝑥2
+ 2𝑥 − 2
3𝑥 + 3
≤ 0
Sol=(−∞, −1 − √3] ∪ (−1, −1 + √3]
Valor absoluto:
El valor absoluto de un número real a, denotado por |𝑎|, se define como:
|𝑎| = {𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0} ó |𝑎| = {−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0}
Es decir, el valor absoluto de un número real es igual al mismo número si
éste es 0 o positivo y es igual a su inverso aditivo si es negativo.
Sabemos que todo número positivo x posee dos raíces cuadradas, una
positiva y otra negativa. A la positiva la denotamos como √𝑥 y a la negativa
con −√𝑥.
Ejemplo:
a. |5| = 5
b. |−8| = 8
c. |0| = 0
Considerando que √𝑎2 es la raíz cuadrada positiva de 𝑎2
, se tiene que:
√𝑎2 = |𝑎|

Ejercicios de valor absoluto:
1. −|−135 + 178| − |140 − 323| − (−85 + 42) − (−13 − 215 + 42) =
−|43| − |−183| − (−43) − (−186) = −43 − 183 + 43 + 186 = 3
2. |(120 − 322)| + |(268 − 150) + (280 − 357)| + |(−123 − 220)| =
|−202| + |118 + (−77)| + |−343| = |−202| + |118 − 77| + |−343| =
|−202| + |41| + |−343| = 202 + 41 + 343 = 586
Desigualdades con Valor
absoluto:
Son aquellas expresiones que contienen propiedades del valor absoluto,
tales como: variables y el signo de valor absoluto (| |). A su vez presentan
los signos de la desigualdad, así como: (<, >, ≤, ≥).
Ejemplo:
1. |−4𝑥 − 3| > 1 =
Donde:
𝑥 < −𝑎 ó 𝑥 > 𝑎
−4𝑥 − 3 < −1 = −4𝑥 − 3 > 1 =
−4𝑥 − 3 + 1 < 0 = −4𝑥 − 3 − 1 > 0=
−4𝑥 − 3 + 1 < 0 = −4𝑥 − 3 − 1 > 0 =
−4𝑥 − 2 < 0 = (−1) − 4𝑥 − 4 > 0 = (−1)
4𝑥 + 2 > 0 = 4𝑥 + 4 < 0 =
𝑥 >
−2
4
= 𝑥 <
−4
4
=
𝑥 >
−1
2
𝑥 < −1
Sol=(−∞, −1) ∪ (
−1
2
, ∞)
2. |
1
1−2x
| ≥
1
3
= Pero, 𝑥 ≠
1
2
Donde:
𝑥 ≤ −𝑎 ó 𝑥 ≥ 𝑎

1
1 − 2𝑥
≤ −
1
3
1
1 − 2𝑥
≥
1
3
1
1 − 2𝑥
+
1
3
≤ 0 =
1
1 − 2𝑥
−
1
3
≥ 0 =
𝑚. 𝑐. 𝑚 = 3 (1 − 2𝑥)
3
3 (1 − 2𝑥)
+
1 − 2𝑥
3 (1 − 2𝑥)
≤ 0 =
3
3 (1 − 2𝑥)
−
−1 + 2𝑥
3 (1 − 2𝑥)
≥ 0 =
3 + 1 − 2𝑥
3 − 6𝑥
≤ 0 =
3 − 1 + 2𝑥
3 − 6𝑥
≥ 0 =
4 − 2𝑥
3 − 6𝑥
≤ 0 =
2 + 2𝑥
3 − 6𝑥
≥ 0 =
Entonces:
a.
4−2x
3−6x
≤ 0
• 4 − 2𝑥 = 0 (−1)
−4 + 2𝑥 = 0
𝑥 =
4
2
= 2
• 3 − 6𝑥 = 0 (−1)
−3 + 6𝑥 = 0
𝑥 =
3
6
=
1
2
b.
2+2𝑥
3−6𝑥
≥ 0 =
• 2 + 2𝑥 = 0
𝑥 =
−2
2
= −1
• 3 − 6𝑥 = 0 (−1)
−3 + 6𝑥 = 0
𝑥 =
3
6
=
1
2

Sol=[−1,
1
2
) ∪ (
1
2
, 2] , 𝑥 ≠
1
2
Sol=[−1,2] − {
1
2
}
3. |𝑥2
− 5| ≥ 4 =
Donde:
𝑥 ≤ −𝑎 ó 𝑥 ≥ 𝑎
𝑥2
− 5 ≤ −4 = 𝑥2
− 5 ≥ 4 =
𝑥2
− 5 + 4 ≤ 0 = 𝑥2
− 5 − 4 ≥ 0 =
𝑥2
− 1 ≤ 0 = 𝑥2
− 9 ≥ 0 =
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Entonces:
a. 𝑥2
− 1 ≤ 0
• 𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
• 𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
b. 𝑥2
− 9 ≥ 0
• 𝑥 + 3 = 0
𝑥 = −3
• 𝑥 − 3 = 0
𝑥 = 3
Sol=(−∞, −3] ∪ [−1,1] ∪ [3, ∞)

Referencias bibliográficas
Gómez, A. (2019). Qué son conjuntos.
Pérez Porto, J., Gardey, A. (29 de septiembre de 2010). Definición de conjuntos –
Qué es, Significado y Concepto.
Aria García, A. (2019). Operaciones entre conjuntos.
Plasencia, E. (2018). Conjuntos (Nivel básico y avanzado).
Rodó, P. (06 de noviembre de 2019). Números Reales.
Sáenz, J. (2005). Cálculo Diferencial con Funciones Trascendentes tempranas para
Ciencias e Ingenierías (2da edi). Barquisimeto: Hipotenusa.

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