Clase de intervalos

1. Elementos de Matemática
(10014-11014)
Matemática Básica (13014)
Ecuaciones e inecuaciones
Intervalos. Clasificación y representación gráfica.
Unión e intersección.

2. ¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
Es decir, una ecuación es una igualdad entre expresiones donde aparecen variables
(incógnitas) y números, vinculados mediante operaciones matemáticas.
𝑥2
− 7 =
3𝑥 − 5
2
1er miembro 2do miembro
• ¿𝑥 = 1 es solución de la ecuación?
• ¿𝑥 = 3 es solución de la ecuación?
• ¿Cómo se resuelve? ¿Cuántas soluciones tiene?

3. ¿Qué significa “resolver una ecuación”?
Resolver una ecuación significa hallar todos los valores que hacen verdadera la igualdad,
es decir que la verifican; o bien, llegar a la conclusión de que no tiene solución.
¿Cómo se resuelve una ecuación?
Se aplican propiedades de las operaciones y de las igualdades, para reducir las
expresiones, transformando la ecuación original en una equivalente más simple.
Es decir, se trata de convertir la ecuación en otra que tenga las mismas soluciones, pero
más fácil de resolver:
2 𝑥 + 5 = 4
2𝑥 + 10 = 4
2𝑥 = −6
𝑥 = −3
Para sintetizar procedimientos, se suelen utilizar distintos métodos de resolución:
- Pasaje de términos.
- Fórmulas.
- Factorización de expresiones.
- …

4. No es lo mismo una solución que el
conjunto solución de una ecuación
Se llama solución de la ecuación al valor de la incógnita que verifica la igualdad.
Por ejemplo, 𝑥 = 3 es solución de la ecuación 𝑥2 − 9 = 0, ya que 32 − 9 = 0.
Pero llamamos conjunto solución, al conjunto que contiene a todas las soluciones
posibles de la ecuación.
Por ejemplo, el conjunto solución de la ecuación 𝑥2
− 9 = 0 es 𝑆 = *−3, 3+ ya que
tanto el 𝑥 = 3 como el 𝑥 = −3 la verifican, y no tiene más soluciones que esas.

5. ¿Cuántas soluciones puede tener una
ecuación?
Una ecuación puede:
- No tener solución.
- Tener una cantidad finita de soluciones (una, dos, tres, …)
- Tener una cantidad infinita de soluciones.
 Que no tenga solución puede depender de varias cosas, entre ellas, el conjunto
numérico en donde se esté trabajando (Dominio de validez de la ecuación).
Por ejemplo, la ecuación: 𝑥2
+ 1 = 0 no tiene solución dentro del conjunto de
los números reales. Su conjunto solución, es el conjunto vacío 𝑆 = * +
 Una ecuación con infinitas soluciones puede ser: 2𝑥 = 𝑥 + 𝑥, que se verifica para
todos los números reales, su conjunto solución es 𝑆 = ℝ.

6. Dominio de validez de una ecuación
EJEMPLOS:
• ¿Cuál es el número entero cuyo doble aumentado en 3 unidades es 16?
2𝑥 + 3 = 16
Para 𝑥 = 6, el primer miembro da 15, para 𝑥 = 7 da 17. La ecuación no tiene solución ya
que el dominio de validez es ℤ.
•
𝑥(𝑥+1)
𝑥
= 1
𝑥 + 1 = 1
𝑥 = 0
• Hallar x usando el teorema de Pitágoras:
𝑥2
= 42
+ 32
𝑥2
= 25
𝑥 = 5
x
3
4
pero no es solución porque 0 no pertenece al dominio de
validez que es 𝐼𝑅 − *0+.
5 es la única solución ya que 𝑥 = −5 no
pertenece al dominio de validez que son los
números reales positivos, por tratarse de una
medida.

7. Ecuaciones lineales con una incógnita
Son aquellas que se pueden reducir a la forma 𝑎𝑥 = 𝑏.
Si tienen solución finita, ese valor es único.
Ejemplos:
a) 3(𝑥 − 2) + 𝑥 = 14
a) 9𝑥 + 7 = 4𝑥 + 2
a)
𝑥+2
3
=
2𝑥−1
2

8. Ecuaciones cuadráticas
Son aquellas que se pueden reducir a la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Puede tener
hasta dos soluciones.
Se resuelven con la fórmula “resolvente”: 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Pero si son “incompletas” se pueden resolver despejando x o sacando factor
común x.
Ejemplos:
a) −𝑥2
+ 8𝑥 − 16 = 0
b) 𝑥2 − 7 =
3𝑥−5
2
c) −3𝑥2 + 12 = 0
d) 𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 1
e) 4(𝑥 − 6)(𝑥 + 10) = 0

9. Ecuaciones polinómicas
Son aquellas que se pueden reducir a 𝑃(𝑥) = 0, donde 𝑃(𝑥) es un polinomio.
Puede tener hasta tantas soluciones como indique el grado.
Para este curso, vamos a resolver polinómicas que estén factorizadas, o que sean
fáciles de factorizar.
Ejemplos:
a) 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 − 9) = 0
b) 3 𝑥 + 4 𝑥2
− 36 = 0
c) 𝑋3
+ 4𝑥2
− 5𝑥 = 0
Ecuaciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas….

10. Ecuaciones racionales
Son las que se pueden reducir a
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 0. Hay que excluir de las posibles soluciones a
los valores de x que hagan “0” al polinomio de «abajo».
Ejemplos:
a)
𝑥2+2𝑥−3
𝑥+1
= 0
a)
𝑥3−8
𝑥−2
= 0
a)
𝑥2−1
2𝑥2−6𝑥+4
= 0

11. Inecuaciones
 Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Ejemplos:
2𝑥 + 3 > 𝑥 − 1 − 3 𝑥 − 2 < 10 𝑥2
≤ 25 𝑥 ≥ 0 2𝑥
< 0
 Una inecuación se resuelve usando propiedades válidas para las operaciones
matemáticas, incluyendo los axiomas de orden y los teoremas que derivan de
ellos.
2𝑥 + 3 > 𝑥 − 1 ⟺ 2𝑥 − 𝑥 > −1 − 3 ⟺ 𝑥 > −4
 El conjunto solución de una inecuación puede quedar representado con un
INTERVALO.
𝑥 > −4 ⟺ 𝑥 ∈ (−4; +∞)

12. Intervalos
Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos valores
denominados extremos del intervalo.
Ejemplos:
−2; 5 0; 10 −9;
1
3
,3,75; +∞)
El uso de paréntesis o de corchetes va a variar de acuerdo a si se quiere indicar que el número
del extremo pertenece al intervalo o no.
El intervalo −2; 5 se dice “abierto” e indica que en el conjunto están todos los infinitos
números reales comprendidos entre -2 y 5, pero que -2 y 5 no pertenecen a dicho conjunto.
El intervalo 0; 10 en cambio, indica que 0 y 10 sí pertenecen al conjunto. A este tipo de
intervalos se lo llama “cerrado”.
−9;
1
3
es un intervalo semiabierto (o semicerrado) y ,3,75; +∞) es un intervalo no acotado.

13. Intervalos. Definiciones.
En general, los tipos de intervalos se definen de la siguiente manera, a partir de
desigualdades:
𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
,𝑎; 𝑏- = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
,𝑎: 𝑏) = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
(𝑎; 𝑏- = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
−∞; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑏 (−∞; 𝑏- = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑏
𝑎; +∞ = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 𝑎 𝑎; +∞ = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 𝑎
Abierto
Cerrado
Semiabierto (o
semicerrado)
No acotado a izquierda
No acotado a derecha

14. Intervalos
Los intervalos se pueden representar en la recta numérica como se muestra a
continuación:
𝑎; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
,𝑎; 𝑏- = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝑎: 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏
(𝑎; 𝑏- = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
𝑎; +∞ = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 𝑎
𝑎; +∞ = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 𝑎
−∞; 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑏
(−∞; 𝑏- = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑏

15. Intervalos
Volvamos a los ejemplos del inicio:
−2; 5 −2 < 𝑥 < 5
0; 10 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
−9;
1
3
− 9 < 𝑥 ≤
1
3
3,75; +∞ 𝑥 ≥ 3,75
Intervalo Desigualdades Gráfico

16. Conjuntos que no son intervalos
En el libro
dice…
𝐴 = 𝑥 ∈ ℤ: −2 < 𝑥 ≤ 4
𝐴 = *−1, 0, 1, 2, 3, 4+
𝐵 = 𝑥 ∈ ℕ: −5 ≤ 𝑥 < 6
𝐵 = *1, 2, 3,4, 5+

17. Operaciones entre conjuntos:
Intersección y Unión.
𝐴 ∩ 𝐵 Se lee “A intersección B” y representa al conjunto formado por los
elementos que se encuentran tanto en A como en B (pertenecen a A a B).
𝐴 ∪ 𝐵 Se lee “A unión B” y representa al conjunto formado por los elementos
que pertenecen a A que pertenecen a B.
𝐴 = 𝑥 ∈ ℤ: −2 < 𝑥 ≤ 4
𝐴 = *−1, 0, 1, 2, 3, 4+
𝐵 = 𝑥 ∈ ℕ: −5 ≤ 𝑥 < 6
𝐵 = *1, 2, 3,4, 5+
𝐴 ∩ 𝐵 = 1, 2, 3, 4
𝐴 ∪ 𝐵 = *−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5+
1
2
3
4
-1
0
5
A
B

18. Operaciones entre conjuntos:
Intersección y Unión.
𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ: −2 < 𝑥 ≤ 4
𝐴 = −2; 4
𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ: −5 ≤ 𝑥 < 6
𝐵 = ,−5; 6)
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵
𝐴 ⊂ 𝐵

19. Operaciones entre conjuntos:
Intersección y Unión.
𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 3
𝐴 = −∞; 3
𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≻ −4
𝐵 = (−4; +∞)
𝐴 ∩ 𝐵 = (−4; 3-
𝐴 ∪ 𝐵 = ℝ

20. Operaciones entre conjuntos:
Intersección y Unión.
𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0
𝐴 = (−∞; 0)
𝐵 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≻ 2
𝐵 = (2; +∞)
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
𝐴 ∪ 𝐵 = (−∞; 0) ∪ (2; +∞)

21. 𝐴 = −3; 3
𝐵 = 0; +∞
𝐶 = (−3; 1-
𝐴 ∪ 𝐵 = −3; +∞
𝐵 ∩ 𝐶 = ,0; 1-
Terminar las operaciones
restantes del ejercicio 3.
Hacer el ejercicio 1, 2 y 4