Números Reales

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
NÚMEROS REALES
Eddimar Soto
PNF Agroalimentación
Sección AGMAT083-

2. CONJUNTOS
Un conjunto o colección están formados por elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y
que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para
designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números
que pueden ser expresados como un cociente entre dos enteros, fracción, Observen que algunos números con
infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los
números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en
correspondencia con los infinitos números de R.

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. Unión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Ejemplo: Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7} y B={8,9,10,11} la unión de estos dos conjuntos será AUB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Se puede
representar gráficamente así: AUB
2. Intersección de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un solo conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A∩B ={4,5}. Se puede representar gráficamente así:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
3. Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Ejemplo: Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Se puede representar
gráficamente así:
4. Diferencia simétrica de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos.
Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Se puede representar gráficamente así:

5. NÚMEROS REALES
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Se representa con la letra R. La palabra real se usa para distinguir estos números de los números imaginarios, I.
Clasificación.
Números Naturales: Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de
pequeños.De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales: 1,2,3,4,... hasta infinito. El conjunto de
los números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Números Enteros: El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números
simétricos. Se representa con la letra Z: {...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,....}
Números racionales: Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números
enteros y naturales.Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones
inexactas. Se representa con la letra
Ejemplo: ⅘, ⅖.

6. NÚMEROS REALES
Números irracionales: Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica. Se representa por la letra mayúscula I.Ejemplos: la relación de la circunferencia
al diámetro el número π=3,141592.. Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni
fracción, son números irracionales:√2, √7, √5.
Propiedades:
1. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b = b+a. Ejemplos:
2 + 8 = 16 8 + 2 = 16 √4 - 7 = -5 -7 + √4 = -5
2. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c). Ejemplos:
(25 + (- 55)) + ½ = -30 + ½ = -61/2 = -30,5 25+((-55)+½) = 25-111/2 = -61/2 = 30,5
(15 + 8) - √9 = 23 - √9 = 20 15 + (8 - √9) = 15 + 5 = 20
3. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a. Ejemplos:
√14 + 0 = √14 5/3 - 0 = 5/3
4. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0. Ejemplos:
(-5) + 5 = 0 √7 - √7 = 0

7. NÚMEROS REALES
5. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a. Ejemplos:
(-7) . 4/3 = -28/3 4/3 . (-7) = -28/3
15 . (- 5) = -75 (-5) . 15 = -75
6. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)Ejemplos:
(√16 . 2) .(-4) = 8 . (-4) = -32 √16 . (2 . (-4)) = √16 . (-8) = -32
((-6) . (-10)) . 5/2 = 60 . 5/2 = 300/2 = 150 (-6) . ((-10) . 5/2) = (-6) . (-25) = 150
7. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a. Ejemplos:
4 . 1 = 4 3/7 . 1 = 3/7
8. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1
=
1.Ejemplos: 7 . 1/7 = 1 5/2 . ⅖ = 1
9. Si a, b y c ∈ R, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c) Ejemplos:
10 . ((-7) + 8) = 10 . 1 = 10 (10 . (-7)) + (10 . 8) = -70 + 80 = 10
⅗ .( √4 + (-2)) = ⅗ . 0 = 0 (⅗ . √4) + (⅗ . (-2) = 6/5 + (-6/5) = 0

8. DESIGUALDADES
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o
igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Propiedades.
● Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad:
4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
● Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad:
4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
● Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad:
4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
● Si los miembros de la expresión son multiplicados o divididos por un valor negativo, sí cambia de sentido:
4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

9. DESIGUALDADES
Clasificación.
Inecuación de primer grado
5x > 16 es una inecuación de primer grado y una incógnita. Observamos que x = 2 no es solución, pues
5.2 = 10 es menor que 16. Sin embargo, x = 4 sí es solución, pues 5 . 4 = 20 sí es mayor que 16. Para encontrar el
conjunto de soluciones de la inecuación, despejamos la incógnita x:
5x > 16 ⇒ x > 16/5
Solución: [16/5, +∞)
Inecuación de segundo grado
x2
≥ 36 es una inecuación de segundo grado. Observamos que x = 4 y x = 5 no son solución, pues: 42
=
16 , no es mayor o igual que 36 ; 52
= 25 , no es mayor o igual que 36. Sin embargo, x = 6, x = 7, x = - 6, x = -7
sí son solución, pues: 62
= 36 , que es igual a 36.
x2
≥ 36 = (X + 6) . (X + 6)
Solución: (-∞ , -6] U [6, +∞)

10. DESIGUALDADES
Inecuación racional
Inecuación racional: Cuando las expresiones de uno o ambos lados son un cociente de polinomios. 2x+6/2x-2
<0 es una ecuación racional. En una ecuación racional el denominador no puede ser = 0. Al despejar tenemos: Al
despejar tenemos:
2x+6 < 0 ⇒ x = -3
2x - 2 < 0 ⇒ x = 1
Se evalúa al denominador y denominador con valores menores y x=0, x=-4 y x=2 x ≠ -1
2(-4) + 6 = -2 > 0 2(0) + 6 = 6 < 0 2(2) + 6 = 10 > 0
2(-4) - 2 = -10 2(0) - 2 = -2 2(2) - 2 = 2
Solución: (-3,1)
Inecuación irracional
√3x-2 ≥ 6 es una inecuación irracional. Admite como soluciones a: x = 2 y a x = 3 No admite como
soluciones a: x = 10 y a x = 20 Despejando: 3x-2 < 6 ⇒ x < 8/3
Solución: (-∞, 8/3]

11. VALOR ABSOLUTO
Es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. La definición del
concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Es decir, el valor
absoluto de los números opuestos es el mismo. Ejemplo: 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Propiedades.
● El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:
IxI ≥0 y IxI = 0
● El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:
Ix . yI = IxI . IyI
● Valor absoluto de la suma:
Ix + yI = IxI + IyI
● Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)
IxI ≤ a podemos escribir -a ≤ x ≤ a equivale a -a ≤ x y x ≤ a

12. VALOR ABSOLUTO
Si la desigualdad es (mayor o igual)
IxI ≥ 0
Podemos escribir x ≤ -b U b ≤ x (es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Resolución de ejercicios:
1. I2x - 1I ≤ 3 - x
Escribimos la inecuación como -(3 - x) ≤ 2x - 1 ≤ 3 - x
Por lo tanto, x - 3 ≤ 2x - 1 ≤ 3 - x
Resolvemos cada inecuación.
Por un lado: x - 3 ≤ 2x - 1 Por otro lado: 2x - 1 ≤ 3 - x
-3 ≤ 2x - x - 1 2x + x ≤ 3 + 1
-3 ≤ x - 1 3x ≤ 4
-2 ≤ x x ≤ 4/3
Solución: x E [-2 , 4/3]

13. VALOR ABSOLUTO
2. I 7 - 2x I ≥ x - 3
Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones: 7 - 2x ≥ x - 3 U 7 - 2x ≤ x - 3
Resolvemos la primera: Resolvemos la segunda:
7 - 2x ≥ x - 3 7 - 2x ≤ - (x - 3 )
7 + 3 ≥ x + 2x 7 - 2x ≤ - x + 3
10 ≥ 3x 7 - 3 ≤ -x + 2x
x ≤ 3/10 4 ≤ x
Solución: x E [-∞, 10/3] U [4, +∞)