Este documento presenta los conceptos básicos de conjuntos numéricos y operaciones con ellos. Define los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos. También cubre números reales, desigualdades, y el valor absoluto, incluyendo sus propiedades y cómo resolver ejercicios con ellos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO
NÚMEROS REALES
Eddimar Soto
PNF Agroalimentación
Sección AGMAT083-

2. CONJUNTOS
Un conjunto o colección están formados por elementos de la misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o características, y
que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos, ciertas relaciones.
Conjuntos numéricos.
En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números enteros, o números que sirven para
designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los números racionales, o números
que pueden ser expresados como un cociente entre dos enteros, fracción, Observen que algunos números con
infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los
números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en
correspondencia con los infinitos números de R.

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. Unión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Ejemplo: Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7} y B={8,9,10,11} la unión de estos dos conjuntos será AUB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Se puede
representar gráficamente así: AUB
2. Intersección de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un solo conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
intersección de estos conjuntos será A∩B ={4,5}. Se puede representar gráficamente así:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
3. Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Ejemplo: Dados dos
conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Se puede representar
gráficamente así:
4. Diferencia simétrica de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos.
Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Se puede representar gráficamente así:

5. NÚMEROS REALES
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Se representa con la letra R. La palabra real se usa para distinguir estos números de los números imaginarios, I.
Clasificación.
Números Naturales: Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de
pequeños.De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales: 1,2,3,4,... hasta infinito. El conjunto de
los números naturales se designa con la letra mayúscula N.
Números Enteros: El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números
simétricos. Se representa con la letra Z: {...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,....}
Números racionales: Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números
enteros y naturales.Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones
inexactas. Se representa con la letra
Ejemplo: ⅘, ⅖.

6. NÚMEROS REALES
Números irracionales: Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de
manera exacta ni de manera periódica. Se representa por la letra mayúscula I.Ejemplos: la relación de la circunferencia
al diámetro el número π=3,141592.. Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni
fracción, son números irracionales:√2, √7, √5.
Propiedades:
1. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b = b+a. Ejemplos:
2 + 8 = 16 8 + 2 = 16 √4 - 7 = -5 -7 + √4 = -5
2. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c). Ejemplos:
(25 + (- 55)) + ½ = -30 + ½ = -61/2 = -30,5 25+((-55)+½) = 25-111/2 = -61/2 = 30,5
(15 + 8) - √9 = 23 - √9 = 20 15 + (8 - √9) = 15 + 5 = 20
3. La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a. Ejemplos:
√14 + 0 = √14 5/3 - 0 = 5/3
4. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0. Ejemplos:
(-5) + 5 = 0 √7 - √7 = 0

7. NÚMEROS REALES
5. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a. Ejemplos:
(-7) . 4/3 = -28/3 4/3 . (-7) = -28/3
15 . (- 5) = -75 (-5) . 15 = -75
6. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)Ejemplos:
(√16 . 2) .(-4) = 8 . (-4) = -32 √16 . (2 . (-4)) = √16 . (-8) = -32
((-6) . (-10)) . 5/2 = 60 . 5/2 = 300/2 = 150 (-6) . ((-10) . 5/2) = (-6) . (-25) = 150
7. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a. Ejemplos:
4 . 1 = 4 3/7 . 1 = 3/7
8. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1
=
1.Ejemplos: 7 . 1/7 = 1 5/2 . ⅖ = 1
9. Si a, b y c ∈ R, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c) Ejemplos:
10 . ((-7) + 8) = 10 . 1 = 10 (10 . (-7)) + (10 . 8) = -70 + 80 = 10
⅗ .( √4 + (-2)) = ⅗ . 0 = 0 (⅗ . √4) + (⅗ . (-2) = 6/5 + (-6/5) = 0

8. DESIGUALDADES
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o
igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Propiedades.
● Si los miembros de la expresión son multiplicados por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad:
4x – 2 > 9 = 3(4x-2) > 3·9
● Si los miembros de la expresión son divididos por el mismo valor, no cambia el signo de la desigualdad:
4x – 2 > 9 = (4x-2)/3 > 9/3
● Si los miembros de la expresión son sumados o restados por el mismo valor, no cambia el signo de la
desigualdad:
4x – 2 > 9 = 4x-2 -3 > 9 - 3 / 4x – 2 > 9 = 4x-2 +3 > 9+3
● Si los miembros de la expresión son multiplicados o divididos por un valor negativo, sí cambia de sentido:
4x – 2 > 9 = -3(4x-2) < -3·9 4x – 2 > 9 = (4x-2) / -3 < 9/-3

9. DESIGUALDADES
Clasificación.
Inecuación de primer grado
5x > 16 es una inecuación de primer grado y una incógnita. Observamos que x = 2 no es solución, pues
5.2 = 10 es menor que 16. Sin embargo, x = 4 sí es solución, pues 5 . 4 = 20 sí es mayor que 16. Para encontrar el
conjunto de soluciones de la inecuación, despejamos la incógnita x:
5x > 16 ⇒ x > 16/5
Solución: [16/5, +∞)
Inecuación de segundo grado
x2
≥ 36 es una inecuación de segundo grado. Observamos que x = 4 y x = 5 no son solución, pues: 42
=
16 , no es mayor o igual que 36 ; 52
= 25 , no es mayor o igual que 36. Sin embargo, x = 6, x = 7, x = - 6, x = -7
sí son solución, pues: 62
= 36 , que es igual a 36.
x2
≥ 36 = (X + 6) . (X + 6)
Solución: (-∞ , -6] U [6, +∞)

10. DESIGUALDADES
Inecuación racional
Inecuación racional: Cuando las expresiones de uno o ambos lados son un cociente de polinomios. 2x+6/2x-2
<0 es una ecuación racional. En una ecuación racional el denominador no puede ser = 0. Al despejar tenemos: Al
despejar tenemos:
2x+6 < 0 ⇒ x = -3
2x - 2 < 0 ⇒ x = 1
Se evalúa al denominador y denominador con valores menores y x=0, x=-4 y x=2 x ≠ -1
2(-4) + 6 = -2 > 0 2(0) + 6 = 6 < 0 2(2) + 6 = 10 > 0
2(-4) - 2 = -10 2(0) - 2 = -2 2(2) - 2 = 2
Solución: (-3,1)
Inecuación irracional
√3x-2 ≥ 6 es una inecuación irracional. Admite como soluciones a: x = 2 y a x = 3 No admite como
soluciones a: x = 10 y a x = 20 Despejando: 3x-2 < 6 ⇒ x < 8/3
Solución: (-∞, 8/3]

11. VALOR ABSOLUTO
Es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo. La definición del
concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Es decir, el valor
absoluto de los números opuestos es el mismo. Ejemplo: 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Propiedades.
● El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:
IxI ≥0 y IxI = 0
● El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:
Ix . yI = IxI . IyI
● Valor absoluto de la suma:
Ix + yI = IxI + IyI
● Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)
IxI ≤ a podemos escribir -a ≤ x ≤ a equivale a -a ≤ x y x ≤ a

12. VALOR ABSOLUTO
Si la desigualdad es (mayor o igual)
IxI ≥ 0
Podemos escribir x ≤ -b U b ≤ x (es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Resolución de ejercicios:
1. I2x - 1I ≤ 3 - x
Escribimos la inecuación como -(3 - x) ≤ 2x - 1 ≤ 3 - x
Por lo tanto, x - 3 ≤ 2x - 1 ≤ 3 - x
Resolvemos cada inecuación.
Por un lado: x - 3 ≤ 2x - 1 Por otro lado: 2x - 1 ≤ 3 - x
-3 ≤ 2x - x - 1 2x + x ≤ 3 + 1
-3 ≤ x - 1 3x ≤ 4
-2 ≤ x x ≤ 4/3
Solución: x E [-2 , 4/3]

13. VALOR ABSOLUTO
2. I 7 - 2x I ≥ x - 3
Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones: 7 - 2x ≥ x - 3 U 7 - 2x ≤ x - 3
Resolvemos la primera: Resolvemos la segunda:
7 - 2x ≥ x - 3 7 - 2x ≤ - (x - 3 )
7 + 3 ≥ x + 2x 7 - 2x ≤ - x + 3
10 ≥ 3x 7 - 3 ≤ -x + 2x
x ≤ 3/10 4 ≤ x
Solución: x E [-∞, 10/3] U [4, +∞)