Este documento trata sobre los conjuntos y sus operaciones. Define los conjuntos como agrupaciones de elementos que comparten características. Explica las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos con ejemplos. También cubre los diagramas de Venn y la diferencia simétrica.

1. Números
Reales
Conjuntos
Valor
Absoluto
Nombre: David Alejandro
Apellido: Ortiz Rosendo
Sección: IN0114

2. Conjuntos
Es la agrupación de diferentes elementos
que comparten entre sí características y
propiedades semejantes. Estos elementos
pueden ser sujetos u objetos, tales como
números, canciones, meses, personas, etc.
operaciones
Unión U
Consiste en agarra los elementos
semejantes en los conjuntos y con
ellos unirlos en uno
Ejemplo
Conjunto A= {2,4,6,8,10}
Conjunto B= {1,3,4,8,12}
A U B = {1,2,3,4,6,8,10,12}
A B
2
6
10
1
3
12
4
8
Intersección ꓵ
Aquí se tienen que agarrar los
elementos semejantes y
separándolos de sus conjuntos
Ejemplo
Conjunto A= {1,2,5,8,9}
Conjunto B= {2,4,6,7,8}
A ꓵ B = {2,8}
A B
2
8
Diferenciación –
Consiste en agarrar uno de los conjuntos
con sus elementos que no sean
semejantes y sepáralo del otro conjunto
Ejemplo
Conjunto A= {1,3,5,6,7,9}
Conjunto B= {2,3,4,8,9}
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A-B= {1,5,6,7}
B-A={2,4,8}
1
5
6
7
A B A
1
5
6
7
2
4
8
B
Diagrama de Venn Complemento ‘
Se realizando una observación a la unión de los
conjuntos y destacar el complemento faltante de la unión
Ejemplo
Conjunto A= {1,3,4,6,9}
Conjunto B= {2,3,6,7,8}
U= {1,2,3,4,6,7,8,9}
A’= {1,4,9}
B’={2,7,8}
1
4
9
diferencia simétrica Δ
Es sacar los elementos de los conjuntos iniciales y descartando
los elementos semejantes formando así la diferencia simétrica
Ejemplo
Conjunto A= {2,3,5,6,8,10}
Conjunto B= {1,2,4,6,7,9}
AΔB= (A-B) U (B-A)
AΔB= (3,5,8,10) U (1,4,7,9)
AΔB= {1,3,4,7,8,9,10}
A B
3
5
8
10
1
4
7
9

3. Esto define dos tipos de numeroso muy distintos y significa que un numero deber ser Racional Q o irracional I nunca ambos
Números Reales
Son todos aquellos números que posean expansión decimal periódica o no periódica.
(A) 3 es un numero real ya que 3 = 3,0000000000………..
(B) ⅟₂ es un numero real ya que ⅟₂ = 0,5000000000………………
(C) ⅟₃ es un real ya que ⅟₃0,333333333333………………………
(D) 2 es un numero real ya que 2= 1, 4142135623730950488016887242097……
(E) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
(F) 1,01001000100001000001000000100000001…
EJEMPLO
Los números racionales denotados por la letra (Q) son
los que poseen expansión decimal periódica (a, b y c).
Los números irracionales denotados por la letra (I)
son los que poseen expansión no periódica (d, e, f y g).
Q I
(G) π También es numero real
Conjunto de los números reales
Según lo establecido anteriormente los números reales es la unión de los números racionales, e irracionales.
A su vez, los números racionales se clasifican en:
(a) Números Naturales (N): los
que usamos para contar. Por
ejemplo: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
(b) Números Enteros (Z): son los
números, sus negativos y el cero.
Por ejemplo: -3,-2,-1,0,1,2,3
(c) Números Fracciones: Son aquellos
números que se pueden expresar
como coeficiente de dos números
enteros, es decir, son números de la
forma a/b con a, b enteros y b = 0
(d) Números Algebraicos: son aquellos números que se encuentran en una ecuación algebraicas y se representa por
un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo √3.
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicas. Hay numerosas racionales que
parecen irracionales, como por ejemplo √25.
Verlo sin mas se ve irracional pero al analizar de manera profunda presenciamos que sus raíces son exactas y al
calcularlas llegamos a números racionales. En efecto √25
(e) Números trascendentales: son unidades las cuales no se pueden representar con números finitos de raíces libres o
anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricos , logarítmicas y exponenciales. El numero
π y e son irracionales transcendentes, ya que no se expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también
surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido.

4. La Recta Real
Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma es un número real.
Como cada punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta recta
es una recta compacta donde no queda ningún “espacio libre” entre dos puntos de ella.
Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos números racionales siempre
es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos
números cualquiera siempre está entre ellos dos. En la recta real representamos todos los
números (recuerde que todo punto de la recta esta etiquetado con un número real) y en
ella podemos visualizar el orden en que se ubican

5. Propiedades de números reales
Propiedades de las igualdades
Propiedad: Conmutativa
Operación: Suma y Resta
Definición: a + b = b + a
Que dice: El orden al sumar o
multiplicar reales no afecta el resultado.
Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Propiedad: Asociativa
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a+(b+c)=(a+b)+c ------ a(bc) = (ab)c
Que dice: Puedes hacer diferentes asociaciones al
sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.
Ejemplo:7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad: Identidad
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice: Todo real sumado a 0 se queda
igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real
multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la
identidad multiplicativa.
Ejemplo:-11 + 0 = -11 17 x 1 = 17
Propiedad: Inversos
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a + (-a) = 0------(a)1/a=1
Que dice: La suma de opuestos es
cero. El producto de recíprocos es 1.
Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4)=1
Propiedad: Distributiva
Operación: Suma respecto a Multiplicación
Definición: a (b + c) = ab + a c
Que dice: El factor se distribuye a cada
sumando.
Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)
Propiedad Reflexiva
Establece que toda cantidad o
expresión es igual a sí misma.
Ejemplo:2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en
común los otros dos miembros también son iguales.
Ejemplo: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
Si m = n y n = p, entonces m = p Propiedad Uniforme
Establece que si se aumenta o disminuye la misma
cantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva.
Ejemplo: Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)
Si a = b, entonces a + x = b + x
Propiedad Cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos
elementos iguales en ambos miembros y la igualdad
no se altera.
Ejemplos: Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12
Si a + b = c + b, entonces a = c
Propiedad Simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de los
miembros sin que la igualdad se altere.
Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a – b
Si x = y, entonces y = x

6. Inecuaciones y desigualdades
4
(-∞, 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
4
(-∞, 4]
2x − 1 > 7
2x > 8 x > 4
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
4
(4, ∞)
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
4
[4, ∞)
< Menor que 2x − 1 < 7 > Mayor que 2x − 1 > 7 ≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7 ≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1- Una representación gráfica.
2- Un intervalo.
Inecuaciones Equivalentes
Si a los dos miembros de una
inecuación se les suma o se les resta
un mismo número, la inecuación
resultante es equivalente a la dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <1
Si a los dos miembros de una inecuación
se les multiplica o divide por un mismo
número positivo, la inecuación resultante
es equivalente ala dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a los dos miembros de una
inecuación se les multiplica o divide
por un mismo número negativo, la
inecuación resultante cambia de
sentido y es equivalente a la dada.
−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x >−5

7. Inecuaciones de Primer Grado
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
2-(-2x -2 x -3) < 2x – 5x -3 + 3x
2 3 12
1º Quitar corchetes
y paréntesis
2 + 2x + 2 + X -3 < 2x – 5x – 3 + 3x
2 3 12
2º Quitar
denominadores.
24 + 24x + 24 + 6 · (x – 3) < 8x – (5x – 3) + 36x
3º Agrupar los términos en x a un
lado de la desigualdad y los
términos independientes en el otro.
24 + 24x + 24 + 6x – 18 < 8x -5x + 3 + 36x
4º Efectuar las
operaciones
24x + 6x -8x +5x -36x < 3 -24 -24 +18
5º Si el coeficiente de la x es negativo
multiplicamos por −1, por lo que
cambiará el sentido de la desigualdad.
-9x < -27 6º Despejamos
la incógnita.
9x > 27
7º Expresar la solución de
forma gráfica y con un intervalo
X > 3
[3, +∞)

8. Inecuaciones de Segundo Grado
Consideremos la inecuación:
x² -6 + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y
obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
X² -6x + 8 > 0
X= 6±√6² -4 · 8 = 6±√36 – 32 = 6 ± 2 =
2 2 2
X₁= 8 = 4
2
X₂= 4 = 2
2
2º Representamos estos valores en la recta real.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos
el signo en cada intervalo:
4
2
P (0)= 0² - 6 . 0 + 8 > 0
P (3)= 3² - 6 . 3 + 8 = 17 – 18 < 0
P (5)= 5² - 6 . 5 + 8= 33 – 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el
mismo signo que el polinomio.
+ - +
S= (-∞, 2) Ս (4, ∞)
X² + 2x +1 > 0
X² + 2x +1 = 0
X= -2 ± √2² - 4 = -2 ± 0 = -1
2 2
(x + 1)² > 0
Como un número elevado al cuadrado es
siempre positivo la soluciones R
solución
x² + 2x +1 > 0 (x + 1)² > 0 R
x² + 2x +1 > 0 (x + 1)² > 0 - {-1}
x² + 2x +1 < 0 (x + 1)² < 0 x= -1
x² + 2x +1 < 0 (x + 1)² < 0 Ø
x² + 2x + 1> 0
x² + 2x + 1= 0
X= -1 ± √1 – 4 = -1 ± √ - 3
2 2
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio
cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la
solución es R.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad,
no tienes solución.
x² + x +1 > 0 R
x² + x +1 > 0 R
x² + x +1 < 0 Ø
x² + x +1 < 0 Ø
2 4

9. Inecuaciones Racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero
X – 2
X – 4
> 0
1° hallamos las raíces del numerador y del denominador
X – 2 = 0 x = 2
X – 2 = 0 x = 4
2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en
cuenta que las raíces del denominador, independientemente
del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
3º Tomamos un punto de cada intervalo
y evaluamos el signo en cada intervalo:
2 4
X – 2
X – 4
> 0 X ≠ 4
X= 0
0 – 2
0 – 4
> 0
X= 3
3 – 2
3 – 4
< 0
X= 5
5 – 2
5 – 2
> 0
+ - +
2 4
4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo)
que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2) Ս (4, ∞)
X + 3
X – 2
< 2
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común
denominador
X + 3
X – 2
-2 < 0 X + 3 – 2 (x -2)
x - 2
< 0
-X + 7
X – 2
< 0
Hallamos las raíces del numerador
y del denominador
-x + 7 = 0x = 7
x – 2 = 0x = 2
X = 0
Evaluamos el signo:
0 + 7
0 – 2
< 0
X = 3
3 + 7
3 – 2
> 0
X = 8
-8 + 7
8 – 2
< 0
+ - +
2 7
S= (-∞, 2) Ս (7, ∞)

10. SOLUCION
(1)2(x + 1) -3(x - 2) < X + 6
2x +2 -3x +6 < x +6
2x -3x –x < 6 -2 -6
-2x < -2 (-1)
2x > 2
X >
2
2
X > 1 (1, + ∞)
(2) 3x +1 – 2 -4x > -5x -4 + 7x
7 3 14 6
3 . (3x +1) -7 . (2 -4x) > 6 . (-5x -4) + 14 . (7x)
9X +3 -14 +28x > -30 -24 -3 +14
31x > -13 (-1)
31x < 13
X < 13
31
X < 0,41 (-∞, 0,41]
6 X + 1 - 2x -3
8 16
> 3
3 x - 1
4 4
- 3
8
( )
( ) (3x -2) -36x + 9 x> -252 + 1
8
(-288 +9)x > -2016 +6
-279x > -2010 (-1)
279x < 2010
X < 2010
279
X < 7,20
6 [16 . (x + 1) – 8 (2x -3)] >3 (12x -4) -9 x + 6
8 8
6 [16x + 16 – 16x +24]> 36x -12 -9 x + 6
8 8
96x +96 -96x +144> 36x -12 -9 x + 6
8 8
96x -96x -36x + 9 x > -96 -144 -12 + 6
8 8