notas_ vectores_introduccion_plano cartesiano y operaciones

Movimiento en un Plano
 El estudio de la Física va de lo sencillo a lo complejo y de lo
particular a lo general.
 En este contexto, se analiza el movimiento de un cuerpo
que se mueve ya no en un eje (recta), sino en dos ejes
mutuamente perpendiculares que forman una superficie.
 Estos ejes serán ahora nuestro sistema de referencia, al cual
también se le conoce como:

Sistema de coordenadas cartesiano o
coordenadas rectangulares
y + ( unidades)
eje vertical
(variable dependiente)
x + (unidades)
eje horizontal
(variable independiente)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
l l l l l
l
l
l
l l l l l
l
l
l
l
3
abscisas
ordenadas

Localización de un punto en el plano cartesiano
 Se hace a partir del origen del sistema, ya sea:
 Mediante la pareja de puntos coordenados (x,y)
 Especificando la distancia, el ángulo y a partir de
que eje y hacia donde se mide el ángulo.
q
y + (m)
x + (m)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-1
-2
-3
-4
3 (4,3)
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante IV cuadrante
- 2
l l l l l l l l l l
l

Como medir DISTANCIAS EN EL PLANO
(Teorema de Pitágoras)
   2
1
2
2
1
2 y
y
x
x
d 



    m
m
m
m
m
m
m
m
d 5
25
9
16
0
3
0
4 2
2
2
2
2








q
y + (m)
x + (m)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-1
-2
-3
-4
3
( 4 , 3 )
- 2
l l l l l l l l l l
l
(x 2 , y 2)
(x 1 , y 1)
( 0 , 0 )
x 2 - x 1
y 2 - y 1

Como medir el ANGULO
 Se forma un triángulo rectángulo, donde el lado más largo se
denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos.
 El lado que está junto al ángulo se denomina cateto adyacente
 El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado contrario
al ángulo.
q
y + (m)
x + (m)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-1
-2
-3
-4
3
(4,3)
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
- 2
•Se requiere conocer las funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas
d
y
y
hipotenusa
opuesto
cateto
sen 1
2 


q
d
x
x
hipotenusa
adyacente
cateto 1
2
cos



q
1
2
1
2
tan
x
x
y
y
adyacente
cateto
opuesto
cateto




q
q
y + (m)
x + (m)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-1
-2
-3
-4
3
(4,3)
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
- 2

 El ángulo se encuentra sacando el inverso de la
función seleccionada
 El sentido se estipula haciendo referencia a los
puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa en
función de dichos puntos como:
 Lo cual indica que el ángulo se está midiendo hacia el
Norte a partir del Este.
E
del
N
al
0
87
.
36
0
1
1
1
1
2
1
87
.
36
)
6
.
0
(
5
3
5
0
3














 






 
 



sen
m
m
sen
m
m
m
sen
d
y
y
sen
q

 Un cuerpo cambia de posición, si cambia una de las
parejas coordenadas (x , y)
 Eso implica que hay desplazamiento.
 Este se calcula de la forma acostumbrada
Posición final – Posición inicial
 Como involucra dos variables (x , y) se utiliza el
teorema de Pitágoras para determinar la magnitud
del desplazamiento (que en la mayoría de las
situaciones, no es igual a la distancia recorrida).
 Veámoslo mediante un ejemplo que involucra dos
movimientos sucesivos.
CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO

 Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen.
Recorre 4 m en dirección horizontal en el sentido del
eje de las x positivo. Posteriormente se mueve 3 m en
dirección vertical en sentido del eje y positivo.
 Los cambios de posición se representan gráficamente
en el plano cartesiano mediante flechas A y B.
 La longitud de las flechas es proporcional a la
distancia que recorre.
 La punta de la flecha indica el sentido en el cual a
ocurrido el movimiento.
Ejemplo CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO

Representación gráfica de
CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO
y + (m)
x + (m)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-1
-2
-3
-4
3
(4,3)
- 2
A
B
Posición inicial
Posición final

 El DESPLAZAMIENTO resultante o cambio de posición se representa
mediante la flecha C que va desde la posición inicial hasta la posición
final.
Tiene las siguientes características:
Magnitud (o longitud): 5
Unidad: metros
Dirección: 36.87 0
Sentido: al Norte del Este
Todas las cantidades físicas que cumplan con las
características anteriores, se les denominan VECTORES .
Vector DESPLAZAMIENTO
y + (m)
x + (m)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-1
-2
-3
-4
3
(4,3)
- 2
C
Posición inicial
Posición final
N
S
O E

E s c a l a r e s
 Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse
completamente basta con dar un número y su unidad
correspondiente.
 Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la
aritmética: suma, resta, multiplicación y división.
Cantidad física Unidades Cantidad física Unidades
Tiempo 30 s Volumen 10 cm3
Masa 20 kg Gravedad 9.81 m/s2
Distancia, longitud,
profundidad, altura.
50 m Presión 760
mmHg
Temperatura 300 C Densidad 1 Kg/m3
Rapidez m/s Carga 5x10-6
Coulomb

V E C T O R E S
 Son todas aquellas cantidades físicas que para especificarse
completamente hay que proporcionar:
 un número (4);
 una unidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb);
 una dirección (horizontal, vertical, inclinada);
 un sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x
negativo)
Se representan gráficamente mediante flechas.
 Se manejan mediante operaciones especiales:
 Suma y resta vectorial
 Producto punto o producto escalar
 Producto cruz o producto vectorial

Cantidades Vectoriales
Cantidad Magnitud Unidad Dirección Sentido
Desplazamiento 5 m Horizontal Hacia la izquierda
Fuerza 10 Newton 300 al N del E
Peso
15 Newton Vertical Hacia el centro de
la Tierra
Aceleración
9.81 m/s2 Vertical Hacia el centro de
la Tierra
Campo Eléctrico 12 N/C Radial Saliendo
Velocidad
11 Km/hr 600 A partir del eje x+
en sentido de las
manecillas del reloj
Graficar los vectores anteriores en el plano cartesiano

Diferencia entre escalares y vectores
Para diferenciar entre escalares y vectores analicemos los
siguientes ejemplos:
 La distancia entre dos puntos es de 5 metros (es un escalar).
 Una persona recorre 5 metros de donde estaba inicialmente.
(hay un cambio de posición o desplazamiento)
5 es el NÚMERO de metros y éste a su vez es la UNIDAD.
Sin embargo no podemos localizar a la persona, puede estar
ubicada en cualquier punto de una circunferencia de radio 5
metros, medidos a partir de donde estaba inicialmente.
Tenemos que dar su DIRECCIÓN y SENTIDO, por ejemplo,
300 al S del O

NOTACIÓN DE VECTORES
 Se denotan (escriben) mediante letras mayúsculas o
minúsculas, a las cuales se les pone encima una flechita para
indicar que es un vector. Ejemplo:
 Generalmente en libros de textos o notas de clase donde se
facilita más la escritura, se suprime la flechita pero se remarca
la letra por ejemplo:
A, B, C, D, E, etc. ó a, b, c, etc.
que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".
.
. etc
etc d
c
b
a
F
C
B
A









Representación, magnitud e igualdad de Vectores
 Se representan mediante flechas.
A b
F c
 Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha
A Magnitud del vector A = valor absoluto del vector A
A = |A| = |A|
 Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud,
dirección y sentido, no importa si sus orígenes no coincidan.
A
B
F c
A = B = c ≠ F ≠ M
M

Operaciones con Vectores
Como se mencionó anteriormente, los vectores se manejan mediante
operaciones especiales siendo éstas:
 SUMA VECTORIAL.- Sean A y B dos vectores, se define la suma
vectorial como:
A + B = C
donde C es un nuevo vector con su propia magnitud, dirección y sentido.
 PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.- Sean A y B dos
vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como:
A ● B = |A| |B| cos θ = A B cos θ = B A cos θ = C
donde A B cos θ = C es un escalar que posee únicamente magnitud y unidad.
θ es el MENOR ÁNGULO que se forma entre los dos vectores. Si ….

Operaciones con Vectores …
00 < θ < 900 A ● B > 0
θ = 900 A ● B = 0
900 < θ < 2700 A ● B < 0
θ = 2700 A ● B = 0
2700 < θ < 3600 A ● B > 0

Operaciones con Vectores …
 PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sean A y B dos vectores, se define el producto vectorial como:
donde C es un nuevo vector
 La MAGNITUD del vector C viene dada por:
A x B = C
|C| = C = | A x B | = | A | | B | sen θ = AB sen θAB
Donde θAB es el menor ángulo que se forma entre los vectores
 La DIRECCIÓN del vector C es perpendicular tanto al vector A como
al B
 Su SENTIDO viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHA

Regla de la mano derecha
 Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a
ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del
segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el
sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde
apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores
A
B
q
C = A x B
A
B
q
C' = B x A
A x B = - B x A
Si el ángulo entre los dos vectores es de 900, entonces el producto
vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 900
= 0
Nota: Los vectores A y B forman o están en un plano, siendo el vector C
perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores A y B
estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C estaría saliendo o
entrando perpendicularmente al piso.

Para sumar dos o más vectores, existen dos
métodos:
 Métodos Gráficos
 Método del paralelogramo (es ideal para dos
vectores)
 Método del polígono ( Para sumar más de dos
vectores)
 Método Analítico
Suma de V e c t o r e s

Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se
realiza de la siguiente manera:
 Se unen los orígenes de los dos vectores.
 A partir de sus puntas o terminaciones se trazan
paralelas a cada uno de ellos formando una
paralelogramo.
 La diagonal de dicho paralelogramo es el vector
suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente
ejemplo:
Método del Paralelogramo

ejemplo:
Método del Paralelogramo
A
B
A
B

Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta
del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen
del tercer vector con la punta del segundo y así
sucesivamente, el vector resultante es el que va desde
el origen del primero hasta la punta del último.
A
B
B
C
A
C
D
D
Método del Polígono

Ley conmutativa de la suma:
 Al sumar dos o mas vectores se obtiene el mismo
resultado, no importa el orden en que se sumen. Del
ejemplo anterior:
A
B
C
D
B
A
C
D
C
D
A
B
Propiedades de la Suma Vectorial

Ley asociativa de la suma:
 Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos se
pueden asociar para obtener semi-resultantes, las
cuales se suman a su vez para obtener el vector
resultante. Del ejemplo anterior:
A
B
B
C
A
C
D
D
A +
D
C + B

Multiplicación de un vector por un escalar
 Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un
nuevo vector ( B ) que es k veces mayor, k veces
menor o bien igual que el vector que le dio origen,
todo depende del escalar. Ejemplo:
F
B = 2 F
k = 2
k = 1/2
W = 1/2 F = F/
2

Negativo de un vector
 El negativo de un vector S es aquél que tiene la
misma magnitud y dirección que S pero sentido
contrario.
 El negativo de un vector S es aquél que hay que
sumarle a S para obtener el vector nulo.
 O bien el vector multiplicado por un escalar unitario
negativo. Ejemplo:
S
-
S
B = - S
k = - 1
S + ( - S ) =
0

Se define la resta de vectores como:
A - B = A + ( - B ) = R
Para restar un vector B al vector A, se procede igual que
en la suma con la única salvedad de que se toma el
negativo del vector B. Ejemplo
A
B
A
- B
Resta de Vectores

Se define la resta de vectores como:
A - B = A + ( - B ) = R
Para restar un vector B al vector A, se procede igual que
en la suma con la única salvedad de que se toma el
negativo del vector B. Ejemplo
Resta de Vectores …
A
B
A
- B
- A
B

 El método analítico consiste en hablar de vectores con
respecto a un sistema de referencia, en el caso del
plano, éste es el plano cartesiano
M E T O D O A N A L Í T I C O
A
0 1 2 3 4
1
2
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
l l l l l
l
l
l
l l l l l
l
l
l
l
3
x +
y +

 Una vez elegido el plano, se definen las componentes
Ax y Ay de un vector como las proyecciones o sombras
del vector sobre los ejes coordenados, éstas se
obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la
terminación del vector.
Método analítico: componentes rectangulares
A
0 1 2 3 4
1
2
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
l l l l l
l
l
l
l l l l l
l
l
l
l
3
x +
y +
A x
A y

 Cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación
mediante el ángulo, las componentes rectangulares se calculan
utilizando las funciones trigonométricas.
 Se forma un triángulo rectángulo, en donde las componentes vienen
siendo los catetos y la hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando
las funciones trigonométricas:
Método analítico: cálculo de las componentes rectangulares
A y
A
0 1 4
1
-1
-1
l
l
l l l
3
x +
y +
A x
q
cateto adyacente
cateto opuesto
hipotenusa
cateto opuesto
sen q = =
A y
|A|
despejando la componente vertical:
despejando la componente horizontal: A x= |A| cos q
cos q =
hipotenusa
cateto Adyacente
=
A x
|A|
A y = |A| sen q

 Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A x , A y )
de un vector, se puede conocer:
 Su magnitud aplicando el teorema de Pitágoras
 Su orientación mediante el inverso de la función tangente del ángulo.
A y
A
0 1 4
1
-1
-1
l
l
l l l
3
x +
y +
A x
q
|A| = √ (A x )2
+ ( A y )2
q = tan -1
A y
A x
tan q =
cateto opuesto
cateto adyacente
A y
A x
=
Método analítico: cálculo de la magnitud y ángulo de un
vector

Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A x , A y ) de
un vector, éste puede estar en:
 I cuadrante si: Ax > 0 y Ay > 0 sentido al N del E
 II cuadrante si: Ax < 0 y Ay > 0 sentido al N del O
 III cuadrante si: Ax < 0 y Ay < 0 sentido al S del O
 IV cuadrante si: Ax > 0 y Ay < 0 sentido al S del E
Método analítico: ubicación y orientación de un vector
x +
A y
A
0 1 4
1
-1
-1
l
l
l l l
3
x +
y +
A x
A y < 0
A
y +
A x < 0
q
N
S
O E
Aplicando la igualdad de vectores

Método analítico: problema de la tangente
si: | Ax | > | Ay | mas orientado al eje X
si: | Ay | > | Ax | mas orientado al eje Y
A y > 0
A
0 4
-1
-1
l
l l
2
x +
y +
A x > 0
q
A x y A y > 0
O
x +
A y < 0
A
y +
A x < 0
q
N
S
E
A x y A y < 0
En ambos casos la función tan θ es positiva.
Se recomienda graficarlos para visualizarlos o, analizar signos
para ubicarlos en el cuadrante respectivo. Su orientación será
de acuerdo a:
-4
-2

A
0 4
-1
-1
l
l l
2
x +
y +
q
Método analítico: problema del ángulo y los ejes
 El ángulo puede ser dado respecto al eje x o con respecto al eje y. Hay
que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular
las componentes, ya que para la misma función, las componentes
CAMBIAN.
A
0 4
-1
-1
l
l l
2
x +
y +
q
hip.
cat. op.
sen q = =
A y
|A|
A y = |A| sen q
A x = |A| cos q
hip.
cat. op.
sen q = =
A x
|A|
A y = |A| cos q
A x = |A| sen q

Suma de vectores: método analítico
A
B
R
qR
qB
qA
A x B x
R x
A y
B y
R y
x +
y +
| R |= √ ( Rx)2 + (Ry)2
Donde:
Rx= Ax + Bx
Ry= Ay + By
Además:
Ax = | A | cos θA
Ay = | A | sen θA
Bx = | B | cos θB
By = | B | sen θB
qR= tan -1 Ry
Rx

Ejercicio: suma de vectores
La magnitud del vector A es de 200 unidades y forma una
ángulo de 300 con respecto a la horizontal; la magnitud del
vector B es de 300 unidades y forma una ángulo de 1350 con
respecto a la horizontal; la magnitud del vector C es de 150
unidades y forma un ángulo de 2350 con respecto a la
horizontal. Todos los ángulos son medidos en sentido
contrario a las manecillas del reloj.
a) Utilizando el método gráfico, encuentre:
i ) A + B + C
ii ) B + A + C
iii ) A - B + C
iv ) C - B – A
b) Encuentre los puntos del i ) al iv ) del inciso anterior
utilizando el método analítico.

Representación de vectores: vectores
unitarios
Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los
siguientes ejemplos:
A = |A|
Simbología incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es
la magnitud de un vector.
A = A x + A y
Simbología incorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos
escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.
|A| = A x + A y
Simbología incorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina mediante el
teorema de Pitágoras.
Como se puede apreciar, aún no contamos con una terminología para describir a un
vector en notación vectorial.
Para suplir esta falta de información, se definen los vectores unitarios î , ĵ cuya
magnitud como su propio nombre lo indica es la unidad y su dirección es a lo largo
de los ejes coordenados, su sentido saliendo del origen.
Veámoslos en el plano.

Vectores unitarios
Para indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra se le
pone un gorrito.
La letra î se reserva para el vector unitario en la dirección del eje de
las x positivo
La letra ĵ para el vector unitario en la dirección del eje de las y
positivo.
También pueden ser escritos en negritas.
Se le conocen también como vectores direccionales
î = i
ĵ = j
| î | = | ĵ | = 1
1 2
1
2
î
ĵ
x +
y +
Un vector se representa como:
A = Ax i + Ay j

Suma de Vectores: método de vectores unitarios
Sumar los siguientes vectores:
A = 4 i + 5 j
B = 6 i + 2 j
Solución
C = A + B = (4 i + 5 j ) + (6 i + 2 j )
= 4 i + 6 i + 5 j + 2 j
= (4 + 6) i + (5 + 2) j
=10 i + 7 j
ó más sencillo
A = 4 i + 5 j +
B = 6 i + 2 j
R = 10 i + 7 j
R = |R| = √100+49 = √149 = 12.2 u
θ = tan-1 (7/10) = 350
Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx >
Ry, mas cargado hacia el eje x. Es decir, al N del E
5 10
5
10
x +
y +
Dibujar los vectores y sumarlos

Producto punto o producto escalar
El producto punto o producto escalar se definió como:
A ● B = |A| |B| cos θ = A B cos θ
En función de los vectores unitarios
A ● B = (A x i + A y j) ● (B x i + B y j)
Desarrollando:
A●B = A x B x (i●i) + A x B y (i●j) + A y B x (j●i) + A y B y (j●j)
Aplicando la definición
i ● i = (1) (1) cos 00 = 1
i ● j = (1) (1) cos 900 = 0
j ● j = (1) (1) cos 00 = 1
j ● i = (1) (1) cos 900 = 0

Producto punto …
Sustituyendo los productos punto
A ● B = A x B x + A y B y
Igualando ambas definiciones
|A| |B| cos θ = A x B x + A y B y
Despejando el ángulo
θ = cos-1
A x B x + A y B y
|A| |B|

Ejemplo: producto punto
Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:
A = 4 i + 5 j análisis: I cuadrante a 51.340 al N del E; magnitud 6.4
B = 6 i + 2 j análisis: I cuadrante a 17.430 al N del E; magnitud 6.3
A ● B = A x B x + A y B y
= 24 + 10
= 34
El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es:
θ = cos-1
θ = cos-1
θ = 32.90
A x B x + A y B y
|A| |B|
34
√16+25 √36+4

Producto cruz o producto vectorial
El producto cruz o producto vectorial se definió como:
A x B = |A| |B| sen θ = A B sen θ
En función de los vectores unitarios
A x B = (A x i + A y j) x (B x i + B y j)
Desarrollando:
AxB = A x B x (ixi) + A x B y (ixj) + A y B x (jxi) + A y B y (jxj)
i x i = (1) (1) sen 00 = 0
i x j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha)
j x j = (1) (1) sen 00 = 0
j x i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)

Producto cruz …
Sustituyendo los productos cruz de vectores unitarios
A x B = A x B y (k) + A y B x (-k)
A x B = (A x B y - A y B x ) k
Un nuevo vector cuya:
Magnitud es: A x B y - A y B x
Dirección: perpendicular al plano formado por A y B.
Sentido:
Sale del plano si A x B y - A y B x > 0
Entra al plano si A x B y - A y B x > 0

Producto cruz en tres dimensiones
El producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios
A x B = (A x i + A y j + A z k) x (B x i + B y j + B z k)
Desarrollando:
A x B = A x B x (i x i) + A x B y (i x j) + A x B z (i x k) +A y B x (j x i) + A y B y
(j x j) + A y B z (j x k) + A z B x (k x i) + A z B y (k x j) + A z B z (k x k)
i x i = (1) (1) sen 00 = 0
i x j = (1) (1) sen 900 = k
i x k = (1) (1) sen 900 = - j
j x i = (1) (1) sen 00 = - k
j x j = (1) (1) sen 900 = 0
j x k = (1) (1) sen 900 = i
k x i = (1) (1) sen 00 = j
k x j = (1) (1) sen 900 = - i
k x k = (1) (1) sen 900 = 0

Producto cruz …
Sustituyendo
A x B = AxBy (k) + AxBz (-j) +AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) +
AzBy (-i)
Reagrupando
A x B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k

Producto cruz: determinantes
A x B =
i j k
Ax Ay Az
Bx By Bz
= +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az
) j
+ (Ax By – Bx Ay )k

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