Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define los conceptos básicos como elementos, conjuntos y representaciones. Explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad e intersección. También cubre operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.

1. Quinto Año
Quinto Año
TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS
CONCEPTO
Se entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados
elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias.
Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C ....... etc, o
entre llaves { } y sus integrantes generales separados con comas ( , ) o punto
y coma ( ; )
OJO:
EN EL CASO DE QUE A = {a, b, {a}, {a, b}}, ENTONCES:
LA PROPOSICIÓN a ∈ {a} ES UNA VERDAD ABSOLUTA INDEPENDIENTE
DEL CONJUNTO A, SIN EMBARGO TENIENDO EN CUENTA AL CONJUNTO
A, LA PROPOSICIÓN a ∈ {a} ES FALSO PUES “a” Y {a} SON ELEMENTOS
DEL CONJUNTO A (DE MANERA SIMILAR OCURRE EN EL CASO b ∈ {a, b}.
ESTAS SON PUES, LAS FAMOSAS “PARADOJAS ” O AMBIGÜEDADES
CONJUNTISTAS.
DIAGRAMAS DE VENN
Son regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan
Ejemplos:
A = {1; 4; 6; 8; 10; 12}
B = {a; e; i; o; u}
C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0)
generalmente para representar a un conjunto y visualizar que elementos
están o no en él. Por ejemplo:
RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈)
Un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte o es
agregado de dicho conjunto. La pertenencia (∈) es un vinculo que va de
elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre
conjunto.
(elemento) ∈ (conjunto)
OBSERVACIÓN:
Conjunto Universal o Referencial
U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; ), 10; 11; 12}
∉ “NO PERTENECE a”
A = {2; 3, 4; 5}
B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9}
Ejemplo:
Sea A = {a; φ; {a; b}; {4; 5}}
• a∈A∧b ∉A
• {4} ∉ A
• φ∈A
• {φ} ∉ A
• {a; b} ∈ A
Aritmética
C = {8; 9; 10; 11; 12}
NOTA:
n(A) = # (A)
SE LEE “NÚMERO DE ELEMENTOS O CARDINALES DE
A, ASÍ
DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES:
n(A) = 5; # (B) = 7; # (C) = 5; n(U) = 12
7
8
Aritmética

2. Quinto Año
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Quinto Año
Para B:
Tabulando
Por Comprensión
Resulta cuando se da a conocer una característica común a todos los
elementos que forman un conjunto:
Ejemplo:
x
2
x −1
2
1
0
2
2
3
3
4
4
15
2
5
12
6
35
2
7
2
8
63
2
⇒ B = {0; 4; 12; 24}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A = {3x ∈ N/ x < 2}
Inclusión o Subconjunto
2
 x −1

B =  ∈ Z /x ∈ N, x < 9 
 
2   
  Condiciones
El conjunto A está incluido en B, cuando todos, los elementos de A son
también elementos de B; es decir:
A⊂B⇔∀x∈A → x∈B
Notas
Forma de los
elementos
1.
A ⊂ A, ∀ A
2.
φ ⊂ A φ = “Conjunto vacío o nulo”
3.
Si A = B y además A ≠ B entonces A es subconjunto propio de B.
Por extensión
Resulta cuando se nombre explícitamente a cada uno los elementos que
forman un conjunto.
De los ejemplos anteriores:
Para A:
4. Si n(A) = ik entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k
x < 2 → 3x < 6
Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6}
Como: 3x ∈ N:
3x = 1, 2, 3, 4, 5
A = {1; 2; 3, 4; 5}
Subconjuntos:
φ: {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}
Se observa 23 = 8 elementos.
Aritmética
9
10
Aritmética

3. Quinto Año
•
Para determinar la cantidad de subconjuntos “n” arios (binarios
ternarios, etc) de un conjunto que tiene “k” elementos, se tiene:
. n
 Subconjunto


 n − arios 


= C
.
Propiedad Antisimétrica:
Si: A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B
•
A = {2; 4; 6; 8; 10}

↑ ↑ ↑ ↑ ↑  Son coordinables
B = {a; e; i; o; u} 
Graficando:
k
n
Propiedades:
• Propiedades Reflexivas: A ⊂ A
•
Quinto Año
Propiedad Transitiva:
Si: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Conjunto Comparables
Dos conjuntos A y B son comparables cuando por lo menos uno de ellos
11
está incluido en el otro.
A y B comparables ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
No Comparables
Conjuntos Iguales
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tiene los mismos elementos, es
decir:
A=B⇔A⊂B∧B⊂A
OBSERVACIÓN:
{2; 5} = {5; 2} ; {a; b} = {a; b; b}
Relaciones de Coordinabilidad de Conjuntos
Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos
puede establecer una correspondencia biunívoca.
Cuando dos conjuntos son coordinales tienen el mismo número de
elementos.
Aritmética
CONJUNTO ESPECIALES
Conjunto Universal o Referencial U
Dados dos o más conjuntos, se llama conjunto Universal o Referencial
de ellos, a otro conjunto que contiene a los conjuntos dados:
Aritmética

4. Quinto Año
El conjunto universal se puede elegir de acuerdo al estudio particular
que se quiera analizar con algún conjunto.
El conjunto universal se representa gráficamente por el rectángulo y
simbólicamente por un U.
Conjunto Vacío:
Llamado también conjunto nulo, se le denota con ∅ o { } se le considera
incluido en cualquier otro conjunto.
El conjunto formado por todos los subconjuntos que
denota con P(A) y tiene 2 elementos donde, “n” es el número de elementos
de A.
Ejemplo:
Si A = {m, n}
P(A) = {∅}: {m}; {n}; {m; n}
Conjunto Unitario
Llamado singletón, tiene un solo elemento:
Nota
1.
A = {m} ; B = {{{a}}} ;
A es 2n(A) – 1. en conclusión A tienen tres subconjuntos propios.
OJO:
EL CASO DE
A = {∅},
DONDE
∅
ES EL CONJUNTO VACÍO, ENTONCES
REPRESENTA UNA FAMILIA DE CONJUNTOS UNITARIOS. CONVIENE
ACLARAR QUE ESTE CONJUNTO
(QUE
ES SU ELEMENTO) OSEA;
{∅}
{∅}
UNITARIOS
∅ ⊂ A (PROPIEDAD),
∅
ES DIFERENTE DE
FÁCIL
DISTINGUIR QUE
Y
“∅”
NO PUEDE TENER EL DOBLE DE COMPORTAMIENTO, QUE VIENE PUES
ESTA CONCLUSIÓN ES “PARADÓJICA” PUES
ESTA ES UNA DE LAS TANTAS
“PARADOJAS
A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}
∅
∈ A
A = {∅},
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
13 14
Reunión ∪
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los
elementos que perteneces a A ó B ó a ambos.
≠ ∅. SIN EMBARGO LA RIGUROSIDAD
MATEMÁTICA NO EXIGE ANALIZAR , PUES ES
DE DEFINIR
Si x ∈ P(A) → x ⊂ A
3. Del ejemplo podemos deducir que el número de subconjunto propios de
C = {x ∈ N / 3 < x < 5}
A
Si A ⊂ B → P(A) ⊂ P (B)
2.
Ejemplo:
EN
tiene A, se le
n
Entonces:
∅ ⊂A;∀ A
12
Quinto Año
Gráficamente:
DE
RUSSELL”
Conjunto Potencia (P(A)):
A∪B
•
Aritmética
A∪B
A∪B
A∪B=B∪A
Aritmética

5. Quinto Año
•
•
•
Quinto Año
A∪A=A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A∪∅=A
Intersección ∩
Se define la intersección de dos elementos A y B al conjunto de
elementos que son comunes a A y B.
A ∩ B = {X/X ∈ A
YX
A–B
B
A–B
A–
A – B = ∩ BC
∈ B}
Complemento de A
Notación:
Gráficamente:
CUA = A = AC = A´= U – A
AC = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}
Gráficamente:
•
•
•
•
A∩B
A ∩ B = B ∩A
A∩∅=∅
A ∩ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A∩A=A
A∩B=∅
A∩B
Diferencia
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por
todos los elementos de A pero no pertenecen a B. Ola diferencia se denota
por: A – B que se lee. A diferencia B ó A menos B. Se define a la diferencia
de dos conjuntos también como:
A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B}
Gráficamente:
Aritmética
•
•
•
AC ∪ A = U
AC ∩ A = ∅
(AC)C = A
•
(A  B)C = AC  BC 
Morgan
C
C
C
(A  B) = A  B 
15
Diferencia Simétrica (∆)
A ∆ B = (A – B) ∪ (B - A)
Aritmética

6. Quinto Año
Quinto Año
NOTA:
“A ∆ B” ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS
A ∪ B QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A ∩ B. EN
OTRAS PALABRAS “A ∆ B” ES EL CONJUNTO FORMADO POR
LOS
ELEMENTOS “EXCLUSIVOS” DE A O DE B.
PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE
ELEMENTOS DE
Gráficamente:
A∆B
•
•
A∆B
i. A ∪ B = {2, 3, 7, 8, 9}
ii. A ∩ B = {2, 3}
iii. A – B = {7, 8}
iv. B – A 0 {9}
v. A ∆ B = {7, 8, 9}
vi. A' = {4, 9}
vii. B' = {4, 7, 8}
viii. (A ∆ B)´= {2, 3, 4}
A∆B
A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
A ∆ B = A C ∆ BC
Aplicación:
Sean los conjuntos:
A = {7; 8; 2; 3}
B = {2; 3; 9}
U = {2; 3; 4; 7; 8; 9}
Calcular:
i. A ∪ B
ii. A ∩ B
16
iv. B – A
v. A ∆ B
vii. B'
viii. (A ∆ B)'
Resolución
Aritmética
RELACIONES CON CARDINALES
1. Para dos conjuntos cualesquiera A y B
. n(A ∪B) = n(A) + (B) – n(A ∩ B) .
iii. A – B
vi. A´
. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B) .
. n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B) .
LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
I)
Reflexiva:
•A ∪ A = A
•A ∩ A = A
•A ∆ A = ∅
17 18
Aritmética

7. Quinto Año
II)
Asociativa:
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A
• A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C
III) Conmutativa:
•A ∪ B = B ∪ A
•A ∩ B = B ∩ A
•A ∆ B = B ∆ A
IV)
V)
Distributiva:
• A ∪ (B ∩ C) = (A
• A ∩ (B ∪ C) = (A
• (A ∪ B) ∩ C = (A
• (A ∩ B) ∪ C = (A
Quinto Año
VIII) Del Conjunto Producto:
• n(A x B) = n(A) x n(B)
• A x (A ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
IX)
Si A y B son disjuntos
∪ B) ∩ (A ∪ B)
∩ B ∪ (A ∩ C)
∩ C) ∪ (B ∩ C)
∪ C) ∩ (B ∪ C)
X)
A  B = B

A  B = A
Si: A ⊂ B ⇒ 
A − B = ∅
 A∆ B = B − A

XI)
Elemento Neutro:
•A ∪ ∅ = A
•A ∩ ∅ = ∅
•A ∪ U = U
•A ∩ U = A
VII) De la Diferencia:
• A – B = A ∩ B'
• A – B = B'- A'
A  B = ∅

A − B = A
A ∆ B = A  B

Del Complemento:
• (A')'= A
• A ∪ A' = U
• A ∩ A´= ∅
• ∅' = u
• U' = ∅
Leyes de Morgan:
• (A ∪ B)'= A' ∩ B'
• A ∩ (A ∪ B) = A
• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B
• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B
De la Inclusión:
VI)
De la Exclusión:
XII) De Absorción:
• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A
• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B
• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B
INTERPRETACIONES DE ALGUNAS REGIONALES SOMBREADAS
19
Aritmética
Aritmética

8. Quinto Año
“Solo A”, “Exclusivamente A”,
“únicamente A”, “A – B”
“A ∩ B”, “Ocurre A y B”,
“Ocurre ambos sucesos a la
vez”
“Ocurre exactamente dos de
ellos”, “Sucede únicamente
dos de ellos”
20
Aritmética
Quinto Año
“Ocurre A o B”, “A ∪ B”, “al
menos uno de ellos” o “por lo
menos uno de ellos”
“Ocurre al menos dos de
ellos”, “Ocurre por lo menos
dos de ellos”
“Ocurre a lo más dos de ellos”
APLICACIÓN
Se encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres
periodos A, B y C.
“Ocurre sólo uno de ellos”,
“Únicamente uno de ellos,
“Exactamente uno de ellos”
(B ∪ C) – A
“Ocurre B o C pero no A”
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
¿Cuántas personas leen sólo un periódico? {1; 2; 3}
¿Cuántas personas leen dos periódicos solamente? {4; 5; 6}
¿Cuántas personas leen los tres periodos? {7}
¿Cuántas personas leen el periódico A? {1, 4, 5, 7}
¿ Cuántas personas leen sólo A? {1}
¿ Cuántas personas leen A y B pero no C?{5}
¿ Cuántas personas leen A o B pero no C? {1, 5, 2}
¿ Cuántas personas no leen ninguno de los periódicos? {8}
¿ Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos? {4, 5, 6, 7}
¿ Cuántas personas leen como máximo dos periódicos? {1, 2,3, 4, 5, 6}
¿ Cuántas personas leen B pero no A ó C? {2}
21
Aritmética

9. Quinto Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Si: A = {5, {2},
expresión falsa
a)
{a} ∈ A
c)
9∈A
e)
{5, {2}} ⊂ A
9}; señale la
b)
{12} ⊂ A
d)
{5 ,9} ∈ A
5. En una entrevista realizada en
el aeropuerto se determino
que 49 viajaban al Cuzco, 43 a
Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo
a Tacna y 21 sólo a Arequipa.
Si 16 viajan a Tacna y
Arequipa y 5 de ellos viajaban
también al Cuzco, determinar
cuántas personas viajaban sólo
al Cuzco.
2. De las
siguientes. notaciones
determinar cuál de ellas es falsa:
Rpta. 34
a)
{2, 5, 3} = {3,
5, 2}
b)
{4} ∈ {{14}, 5}
6. Se selecciona al azar a 43
c)
{3} ⊂ {2, 3, 4}
alumnos de la Academia. Luego
d)
∅ ∈ {3, {4} 2}
se observa que:
e)
∅ ⊂ {3. {4}, 2}
Son 5 las
mujeres
que
estudian
aritmética
3. Si U ={x/x ∈ z ∧ 0 ≤ x < 10}
El número de
(A ∪ B)' = {0, 6, 9} ;
hombres es 28
A ∩ B = {1, 2, 7}
El número es
A – B = {3, 5}
el doble que no estudian
¿Cuál es la suma de los elementos
aritmética es el doble del
de B – A?
número de mujeres que no
Rpta. 12
estudian aritmética.
¿Cuántos hombres estudian
aritmética?
4. Dado A ={∅; {∅}} . ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es falsa?
Rpta. 8
Aritmética
Quinto Año
a)
∅∈A
c)
{∅} ⊄ A
e)
{{∅}} ∈ A
b)
∅⊂A
d)
{{∅}} ⊂ A
7. Si el conjunto e es unitario
22 hallar
“a . b” e = {a + 2b; 3b –
a + 2; 11}
10. Si: A ={1, 2, 3,5} B ={2, 3, 4,5}
Hallar:
[(A ∩ B ) ∪ (A ∆ B)] - B
Rpta.
Rpta. 12
8. ¿Que representa el gráfico?
{1}
11. Para dos conjuntos A y B se
cumple que n(A ∪B) = 6
n[P(A)] + n[P(B)] = 40
Hallar: n[P(A ∩ B)]
Rpta. 4
(A ∩ B)
a)
∪C
(C ∪ B)
b)
– (B – A)
(B ∪ C)
c)
– (A – B)
13. De
un
grupo
de
105
deportistas se observo que:
15 son atletas, que
practican el fútbol y la
natación
52 son atletas
55 son nadadores
todos
son
futbolistas, son atletas y
12 son deportistas que sólo
practican el atletismo
15 deportistas no
Aritmética

10. Quinto Año
(A ∪ C)
d)
– (A ∩ B)
e)
9.
N.A.
A = {a, o, i}; B = {a, o, u} el
número
de
propios tiene
Rpta.
su
practican ninguno de los
deportes mencionados
¿Cuántos
deportistas
son
atletas y nadadores, pero no
futbolistas?
Rpta.
que no estudian en el ciclo
semianual?
A ∆ (B
c)
∪ C)
Rpta. 0
d)
B) – (A ∩ B ∩ C)
2
e)
(A ∆
N.A.
subconjunto
A∪B
NO INTERRUMPAS UN TRABAJO PARA INICIAR
OTRO, SI LO HACES ES MUY PROBABLE
QUE
15
14. De un grupo de postulantes a
universidades, se sabe que:
• 16% postulan a la UNI
• 42% postulan a San Marcos
• 58% postulan a Católica
• 8% postulan a las 3
Universidades
• El 5% no postulan a ninguna
de estas 3 Universidades
Si 390 estudiantes postularon
a por lo menos 2 universidades,
diga
¿Cuántos
postulantes
hubieron en total?
Rpta. 3000
AMBOS
12. En un salón de las clases 65
alumnos se observo 30 son
hombre, 40 son de ciclo semianual,
hay 10 señoritas que son del ciclo
semianual. ¿Cuántos son hombres
QUEDEN
SIN
TERMINAR
CUANDO
EL
SEGUNDO TRABAJO SEA INTERRUMPIDO POR UN
TERCERO.
15. ¿Cuál
de
las
siguientes
relaciones expresa mejor de
23
la región achurada?
a)
(A ∪ B)
∪C
en el
3. De 40 alumnos de una sección,
15
aprobaron
física,
6
probaron física y química.
¿Cuántos
alumnos
desaprobaron los dos cursos
mencionados,
si los
que
aprobaron química fueron 7?
A) 18
D) 10
Representa la operación:
(A - B) ∩
A)
(A ∆ B)
b)
K. GLEESON
PROBLEMAS PARA LA CASA
24
1. La región sombreada
diagrama
∆C
Aritmética
Quinto Año
(C ∪ B)
(B
B)
-
A)
∪(C ∪ B)-(C ∩ D)
C)
4.
B) 15
E) 6
C) 12
Si: n(A ∆ B) = 8
n(A ∩ B) =2
Hallar: n(A ∪ B)
A y B son
Aritmética

11. Quinto Año
Quinto Año
correctas
E) N.A
A)
B)
C)
D)
E)
(B – A) ∪
D)
(C - D) ∪ (D – C)
E)
B y D son
correctas
2. De
un
grupo
de
100
universitarios, 49 no estudian
Lengua y 53
no estudian
Matemáticas.
Si
27
no
estudian ninguno de ninguno de
los
cursos
mencionados,
¿Cuántos estudian sólo un
curso?
A) 28
D) 58
B) 38
E) 18
B) 9
E) NA
C) 10
5. Determine el conjunto “B”:
B = {x/x2 – 5x + 6 = 0}
10. Si A tiene 3 elementos. Hallar
n[P(A)]
A) {2; 1} B) {2, 5} C) {2, 3}
D) {1,4} E) {3,4}
8. Hallar ”x” si el conjunto es
unitario:
A = {2x – 3, x +2}
C) 48
A) 1
D) 7
6. Si: a = {3, {5}} ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es
verdadera?
A) {3, 5} ⊂ A
C) 5 ∈ A
E) {{{5}}} ⊂ A
A) 8
D) 11
(A - B) ∪ {A ∪ B}
(A ∆ B) ∪ C
{(A - C) ∩ (B - C)} ∪ C
{(A ∩ B) – C } ∪ {C – (A ∪ B)}
N. A
B) {5} ⊂ A
D) {{5}} ⊂ A
9. ¿Cual es la alternativa que
representa
la
región
25
achurada?
A) (A ∩ B) – C
B) 3
E) N.A
A) 2
B) 4
D) 16
C) 8
E) N.A
C) 5
26
CLAVES
B) (A ∩ C) - B
7. Del gráfico: ¿Cuál de las
siguientes relaciones expresa
mejor la siguiente región
sombreada achurada?
Aritmética
C) (A ∩ B) ∩ C
D) (A ∩ C) ∪ {B – (A ∪ C)}
1. E
6. D
2. C
7. D
Aritmética

12. Quinto Año
3. A
8. C
4. C
9. C
5. C
Quinto Año
10. C
El ingeniero industrial diseña, mejora y administra sistemas
de producción que integran recursos humanos, materiales y
financieros para generar bienes y servicios, de calidad y costos
competitivos, consciente de preservar el medio ambiente en el
cual desarrolla sus actividades.
El ámbito de trabajo:
En empresas del sector público o privado que diseñan,
planean, operan y dan mantenimiento a sistemas productivos de
bienes o de servicios.
¿SABÍAS QUÉ...
27
INGENIERÍA INDUSTRIAL
TEMA: NUMERACIÓN
28
NUMERACIÓN
Es la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la
lectura de los números.
Aritmética
Aritmética
29 30

13. Quinto Año
La numeración puede ser:
Escritura o simbólica
Es aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismo o caracteres.
Quinto Año
Base 10: 14
Base 4: 324 “Se lee: tres dos en base 4”
4. Contar en Base 3:
Oral o Hablada
Es aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y
lectura de los números, mediante la adecuada combinación de un grupo
reducido de símbolos y palabras.
Base de un Sistema de Numeración
Es aquel número que nos indica la cantidad de unidades de un orden
cualquiera que se quieren para formar una unidad de orden superior.
Ejemplos:
1. Sistema de Base 10:
Diez unidades 1 decena (unidad de segundo orden)
Diez decenas forman 1 centena (unidad de tercer orden), etc
2. Sistema de Base 4:
Cuatro unidades de primer orden forman 1 unidad de segundo orden.
Cuatro unidades de segundo orden forman 1 unidad de tercer orden
Cuatro unidades de tercer orden forman 1 unidad de cuatro orden, etc.
3. Contar en Base 4:
Base 10: 23
Base 3: 212(3) “ Se lee: dos en base tres”
Características de un Sistema de Numeración
a) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor
de base y con las combinaciones de ellas pueden formar todos los
números posibles de dicho sistema.
b) El Mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el
cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.
c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo
mayor que 1.
d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera
de las cifras que se usan en dicho sistema.
Ejemplo:
4271(5)
314(7)
1358(6)
64103(8)
Nomenclatura
:
:
:
:
de los
numeral mal escrito
numeral bien escrito
numeral mal escrito
numeral bien escrito
Sistema d Numeración
Base
Cifras utilizadas
2
3
4
Aritmética
Nombre del Sistema
Binario
Ternario
Cuaternario
0,1
0,1,2
0,1,2,3
Aritmética

14. Quinto Año
5
6
7
8
9
10
11
12
.
.
n
Quinario
Senario
Heptaniario
Octanario y octal
Nonario o nonal
Decimal
Undecimal
Duodecimal
.
.
Enesimal
Quinto Año
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α,β
.
.
0,1,2,3,4, . . ., n – 2, n – 1
NOTA:
PARA BASES MAYORES QUE DIEZ MAYORES SE USAN LOS SÍMBOLOS α,
β, γ, ETC. QUE REPRESENTAN LAS CIFRAS DIEZ, ONCE, DOCE, ETC,
RESPECTIVAMENTE, TAMBIÉN SE PUEDEN LAS LETRAS DEL ABECEDARIO
CIFRAS DIEZ
: α=a =A
CIFRAS ONCE
: β=b =B
CIFRAS DOCE
: γ=c =C
CIFRAS TRECE
: φ=d =D
EJEMPLOS:
• 34A5(DOCE)
“SE LEE: TRES CUATRO A CINCO EN BASE DOCE”
• 62B7C(QUINCE)
“SE LEE: SEIS DOS B SIETE C EN BASE QUINCE”
VALORES DE UNA CIFRA:
Valor Relativo o Posicional: (V. R)
Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del
número.
Ejemplo:
Aritmética
En todo sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir
como la suma los valores relativos a sus cifras.
632 = 600 + 30 + 2
[BASE 10]
5479 = 5 . 10 + 4 . 10 + 7 . 10 + 9
[BASE 10]
235(7) = 2 . 7 3 .7 + 5
[BASE 7]
3
2
Valor Absoluto o por su Forma (V.A)
Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.
Descomposición Polinómica
31
2
4523(8) = 4 . 83 + 5 . 82 + 2 . 8 + 3 [BASE 8]
Orden de una Cifra
Es un lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda.
32
Ejemplo:
Aritmética

15. Quinto Año
Quinto Año
414(7)
7557(9)
53235(8)
abccba(7)
En cualquier Sistema de Numeración, la cifra de primer orden, es la de
las unidades.
Conversión de un Número de una Base a otra
Se representa tres casos
• Caso I: De base “n” a base 10:
En este caso se calcula el número de unidades que posee dicho número,
para esto es suficiente aplicar la “descomposición polinómica” del
número y efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo:
Convertir 324(7) a la base 10
324(7) = 3 . 72+ 2 . 7 + 4 = 165
⇒ 324(7) = 165
Representación Literal de un Número
Cada cifra de un número puede ser representado por una letra del
abecedario
y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para
distinguirlos de las expresiones algebraicas.
ab
: Representa cualquier número de dos cifras de la base n.
: Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede
ser:
{100, 101, 102, 103, ........, 998, 999}
ab37 : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10, que
termina en 37, puede ser:
{1037; 1137; 1237; .......; 9837; 9937}
ab 4 (6) :
Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis; que
termina en 4, puede ser
{104(6); 114(6); 124(6); ..........; 544(6); 554(6)}
a(2a)b (5):
Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco,
donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer
orden puede ser:
{120(5); 121(5); 122(5); ..........; 244(5)}
Número Capicúa
Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda a
33
derechas, también se dice es aquel número cuyas cifras equidistantes de los
extremos son iguales.
•
(n)
abc
Aritmética
Caso II: De base 10 a base “n”
Se efectúa empleando el método de “divisiones sucesivas”, para lo cual
se divide el número dado “n” (base del sistema al cual se desea pasar).
Si el cociente es igual o mayor que “n” se divide este nuevamente
entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”.
El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los
residuos obtenidos de derecha a izquierda.
Ejemplo:
Convertir 328 a la base 6
•
34
328 = 1304(6)
Caso III.: De base “n” a base “m”(n, m ≠ 10)
En este caso primero se convierte el número de base “n” a la base
10 y el resultado se convierta a la base “m”
Aritmética

16. Quinto Año
Ejemplo: Convertir 413(8) a la base 5
Primero: 413(8) a la base 10
413(8) = 4 . 82 + 1 . 8 + 3 = 267
Luego: 267 a la base 5
Quinto Año
66(m) = 88(n)
Rpta. 5
Rpta. 26
2. Hallar el valor de “n”, si:
102(n) = 234(7)
7. Hallar: “a + b” si:
ab (8) + ba ( 9) = 1ba ( 7 )
Rpta. 11
Rpta. 7
413(8) = 2032(5)
Propiedad:
Si un numero es expresado en dos sistemas de numeración se
cumple que: “a mayor representación aparente le corresponde
menor base y viceversa”
Ejemplo:
i.
ii.
Si: UNMSM (x) = UNFV
Como: UNMSM > UNFV
Se cumple: x < y
3. Hallar el valor de “a + b”, si
abb ( 9) = bba ( 6)
8. Calcular:
“x
xy ( 9) = xy ( 7 )
Rpta. 7
Rpta.
4. Si: “a” es menor que 3, cómo
se expresa a33 (9) en el
sistema de base 3. Dar como
respuesta la suma de sus
cifras
Sea:
Rpta.
(k 1)(−1  )
 − k  )............(k −1)(k −1 (k) = kn – 1


+
y”
si;
7
9. Calcular: “a + n”; si
aaa (12) = (n 2 )n10( a )
Rpta. 8
a+2
"n " cifras
5. Hallar: “a + x
aaaa (5) = xy8
iii.
“k” veces
=n+a.k
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar el valor de “n”: si
401(n) = 203(n + 2)
Aritmética
35
6. Hallar “m + n” sabiendo que es
lo menor posible y que:
+
y”;
si:
Rpta. 135(9)
Rpta. 13
11. Sabiendo que los numerales:
36
10m ( 4 ) ; 2np ( m)
Están
bien
10. Escribir el sistema de base 9
el número: x(x − 3( x + 2) (6)
y nn ( p)
escritos.
Hallar
14. Si:
( a − 4)a( a − 4) ( 6) = xyyz ( 4)
Hallar: x + y + z
Aritmética

17. Quinto Año
“m+n+p”
Rpta.
Rpta.
6
1. Expresar
4
A) 16a
D) 16
15. ¿Cuántas cifras tiene 128
12. Si: abbb ( 6) − 5ba (8) .
Hallar (a + b)
Rpta.
Rpta.
200
4
aaaa 2 en base 10:
B) 31a
E) 30
C) 15
al
ser expresado en base 8?
2. Si: 1122(3) = abcdef (x)
Hallar: a + b + c + d + e + f + x
467
A) 3
D) 6
13. Un numeral de dos dígitos es
“n” veces la suma de sus cifras.
El numeral que se obtiene al
intercambiar
los
dígitos
resulta la suma de sus cifras
multiplicando por:
Rpta.
Quinto Año
B) 2
E) 4
C) 5
3. Determinar: (a + b + c) en:
abab 5 = bcb
A) 12
D) 18
11 – n
B) 13
E) 16
C) 14
FELICIDAD
CUANDO
VA
ACOMPAÑADA
DE
A) a
D) 0
B) b
E) 1
A) -6
D) –7
7. Calcular
C) 10a
B) 6
E) 4
“a
C) 7
+
aaa0 ( 9) = ab0ab ( 5)
A) 4
D) 3
B) 5
E) 8
b”;
si:
C) 6
8. Si: abab (n ) = 221. Hallar el
valor de: (3a + b + 2n)
A) 17
D) 15
4. Hallar E = aab - 110a – b
“LA PACIENCIA ES LA PARTE MÁS DELICADA,
DIGNA DE LA GRANDEZA DEL ALMA, Y TAMBIÉN
LA MÁS ESCASA. LA PACIENCIA ESTÁ EN LA RAÍZ
DE TODO. LA MISMA ESPERANZA DEJA DE SER
6. Si: 62n ( x ) = 47 m ( 8) . Hallar:
“n - m”
B) 13
E) 21
C) 18
9. Hallar “n”, si: 1331(n) = 260(9)
A) 4
D) 9
B) 5
E) 10
C) 8
LA
IMPACIENCIA...”
5. Hallar “a”, si 25 a = a75 ( 8)
RUSKIN
A) 2
D) 5
PROBLEMAS PARA LA CASA
B) 3
E) 6
C) 4
10. Dar “n” en:
(n − 1)(n − 1)(n − 1)n = 511
A) 6
D) 7
B) 5
E) 9
C) 8
37
Aritmética
38
Aritmética

18. Quinto Año
Quinto Año
¿SABÍAS QUÉ...
INGENIERÍA METALÚRGICA
CLAVES
1. C
6. E
2. C
7. B
3. E
8. C
4. D
9. B
5. B
10. C
El ingeniero metalúrgico se desempeña profesionalmente en
la creación, diseño y dirección de operaciones y procesos
relacionados con la obtención de metales a partir de minerales y
en la adaptación de estos últimos a usos industriales. El
ingeniero metalúrgico requiere especiales habilidades para
relacionar conocimientos de matemática, física y química con los
principios de ingeniería de procesos, orientadas a la obtención
de bienes primarios y manufacturados. Estudia, elabora,
proyecta, diseña y supervisa la transformación de los minerales
metálicos y no metálicos, equipos y plantas metalúrgicas; analiza
las propiedades y tecnología de metales y aleaciones.
Aritmética
39
40
Aritmética

19. Quinto Año
Quinto Año
Otro Ejemplo:
TEMA: CUATRO OPERACIONES
4 7
(9)
8 0
(9)
1 0
Operación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas (de una
(9)
20 8
1ra columna
7+1=8
(9)
5 1
ADICIÓN
+
2da. Columna
(9)
4 + 8 + 1 + 5 = 18 = 2(9) + 0
Se lleva
Queda
misma especie), en una sola llamada suma total.
Ejemplo:
Adición en Otros Sistemas de Numeración
Calcular: “n” ; en:
Ejemplo:
a325 (8) + 432n (8) = 7650( 8 )
Calcular:
123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)
Resolución
Resolución:
colocando verticalmente
n 3 2 5(8) +
Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden(como el sistema
4 3 2 n(8)
decimal eran las unidades, decenas, ........... etc)
7 6 5 0(8)
•
De la 1era Columna, se tendrá que:
5
•
(8)
+ n (8) = 10 (8)
Llevando a base decimal, se tiene:
5+n =8
→ n=3
SUSTRACCIÓN
Operación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas
minuendo y sustraendo, hallar una cantidad llamada sustraendo.
Ejemplo:
123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)
Aritmética
41
42
Aritmética

20. Quinto Año
Quinto Año
Ejemplo:
Calcular:
237 – 128
5+2=7
→7–3=4
queda.
Resolución:
•
OJO:
EN BASE 10, “1
UNIDADES DE UNA ORDEN CUALQUIERA ES
ORDEN CUALQUIERA ES
10 UNIDADES
10
2da Columna:
Como se presto una base del 3, ahora será: luego le prestaremos al 2 una base,
es decir:
UNIDADES
DEL ORDEN INMEDIATO INFERIOR”
5+2=7
→7–4=3
Queda.
•
3ra Columna:
Como se prestó una base de 4, entonces ahora será: 4 – 3 , y a este “3” si le
puede restar 1, con lo que necesario prestarle una base.
→3–1=2
Queda.
∴ 432(5) – 143(5) = 234(5)
Sustracción en Otras Bases
Ejemplo ilustraciones:
Calcular: 432(5) – 143 (5)
Otros Ejemplos:
5 1 3 (8) 3 1 5 (8)
176
Resolución
Recordando que en base 5, “1” unidades de orden cualquiera es 5 unidades del orden
del orden inmediato inferior.
Propiedades:
I)
Dado:
a b c (c) −
c b a (n )
x y z (n )
Explicación
•
1ra Columna:
Como a “2” no se lee puede ser restar 3, entonces lo que se hace es prestar una
base a “2”, es decir:
Aritmética
43
II)
6 2 3 1 (7) –
3 6 5 4 (7)
2 2 4 4 (7)
 Si a > c, entonces

 1) y = n − 1
 2) x + z = n − 1

En Base 10:
Aritmética

21. Quinto Año
a b c−
c b a
x y z
44
 Si a > c, entonces

 1) y = 9
 2) x + z = 9

Ejemplo:
Si:
m 2 + n2
•
•
a b c −c b a = m n 7
Calcular:
Quinto Año
Resolución:
Aplicando directamente la propiedad, se tendrá que:
I)
n=9
II)
m+7=9→m=2
Piden 22 + 92 = 85
Complemento Aritmético CA(N)
Es lo que falta a u número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato
superior, es decir lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras tiene “N”
Ejemplo:
•
CA (7) = 101 – 7 = 10 - 7 = 3
•
CA (341) = 103 – 341 = 1000 – 341 = 659
En general:
Sea “N” número de “k” cifras, luego:
C A (N) = 10K – N
Forma Práctica:
A la primera cifra (diferente de cero) o menor orden se le resta de 10 y a
todas las restantes se restan de 9. si hay ceros en las menores ordenes estos
permanecen en el complemento, es decir:
(
)
C A = abcd = (9 − a)(9 − b)(9 − c)(10 − d)
45
•
Complementos Aritméticos en Otras Bases
•
C A(34(7)) = 72 – 34(7)
•
C A (429(11)) = 113 – 429(11)
•
C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)
Método Práctico:
En General:
K
C A (N(B)) = 10(B) − N( B)
K: números de cifras de “N”
Forma Practica para Calcular el CA en Otras Bases
A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cuál va a
disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos 1.
Ejemplos:
•
Ejemplos:
Aritmética
Aritmética

22. Quinto Año
Quinto Año
(# impar) (.... 5) = ..... 5
(# par) (... 5) = .......0
•
5.
Se cumple:
•
n(n + 1) =
MULTIPLICACIÓN
Es una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados
46
multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado
producto.
Origen:
M  + .........  = P
M
 + M + M + 

DIVISIÓN
Es una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero
47
llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado
cociente.
m veces
. M.m=P .
Donde:
M : multiplicando 
 factor
m : multiplicador 
........ 0
....... 2
........ 6
. D÷d=q .
D : dividendo
d : divisor; d ≠ 0
q : cociente
División Entera:
Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son
número enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.
P: producto
Notas:
1.
D d
r q
Si se multiplica:
2 43 x
65
1215 → 1er producto parcial
1458
→ 2do producto parcial
15795 → Producto Total
2.
3.
Si: abc . 4 = .......... 2 → c =
4.
Se cumple:
3
8
r : residuo
puede ser:
1. Exacta (residuo = 0)
Ejemplo:
45 9
0 5
→ = 9(5)
D
0
→ D = dq
En general
Si: abc . 7 = .......... 6 → c = 8
Aritmética
D=d.q
2. Inexacta (residuo > 0)
a) Por defecto
Ejemplo:
d
q
67 9 → 67 = 9(7) + 4
Aritmética

23. Quinto Año
4
Quinto Año
7
EN LOS MOMENTOS DE CRISIS SÓLO LA
IMAGINACIÓN ES MÁS IMPORTANTE QUE EL
En general
D
r
Donde: 0 < r < d
q : cociente por defecto
r : residuo por defecto
b) Por exceso
Ejemplo:
48
En general:
d
q
→ D = dq + r d ∈ Z
ALBERT EINSTEIN
PROBLEMAS PARA LA CLASE
67 9
5 8
→ 67 = 9(8) – 5
D d → D = dqe – re d∈Z+
Re qe
Donde: 0 < re < d
qe : cociente por exceso
re : residuo por exceso
2
Rpta. 6
16
producto:
P
=
2003
(99.......99)

70 cifras
3. Dar (a + b + c) en:
3246 + 3546 + 5356 = abcd 6
Alteración de la división por multiplicación
Ejemplo:
Dx3
67 9
dx3
201 27
4 7
12 7
Aritmética
Rpta.
49
7.
a3b + a 4b + a5b + ......... + a9b = aabb Hallar la suma de cifras del
r +re = d
En general
Si:
6. Sabiendo que:
CA [CA aabc = 174] = 25.
Hallar a + b + c
2. Dar (a + b) en:
rmin = d – 1
3.
1. Dar (a – b + c), si:
ab + bc = 89 ∧ (a + b + c) 2 =
144
Rpta.
Propiedades de la división inexacta
1. qe = q + 1
2.
CONOCIMIENTO
x3
D d
r q
→ Dn
rn
dn
q
Rpta.
3
4. La suma de los 3 términos de
una sustracción es 1440. hallar
el sustraendo si es 1/3 del
minuendo.
Rpta.
240
Rpta.
630
8. Hallar la suma de cifras del
producto abc . 27, sabiendo
que los productos parciales
suman 2862.
Rpta. 27
9. En una multiplicación la suma
de sus 3 términos es 149, si al
Aritmética

24. Quinto Año
5. Si: abc − 2nm = cba . Calcular
(a – c + n + m)
Rpta.
19
multiplicando se le multiplica
por 3. La suma de sus 3 nuevos
términos es 429. hallar el
multiplicador
Rpta.
11. En una división entera, la suma
del
dividendo,
divisor
y
50
cociente es 984. Hallar el
cociente si el residuo por
defecto es 31 y el residuo por
exceso es 21.
Rpta.
Rpta.
“Manuel Scorza”
V.L.E.B.
9
PROBLEMAS PARA LA CASA
E = 3 + 33 + 333 + 3333 +...... +
33 
 ......3
 
1. Si:
"n cifras "
Rpta.
10 n +1 − 9n − 10
27
A) 1
D) 6
982
=
....
262.
5. Hallar la suma de las cifras
del producto:
B) 2
E) 9
C) 4
9999........99


P = 438 .  
40 CIFRAS
A) 360
D) 90
15. Hallar “E” si :
33...3

E = 3 + 33 + 333 +...+  
Si la suma de sus términos es
185. el dividendo es:
Rpta.
10
C) 180
divisor en una división exacta.
"n " cifras
n +1
B) 270
E) 450
2. El dividendo es 5 veces el
− 9n − 10
27
A) 150
D) 120
11
13. Al dividir abc entre bc se
obtuvo 11 de cociente y 80 de
residuo. Hallar abc
abc . cb 3
Hallar “a”
16. Si: 43. N = (a + 2)72b 6 ;
Rpta.
DPTO. DE PUBLICACIONES
14. Hallar “E” si
17
12. ¿Cuántos numerales de la
forma 5ab5 son tales que al
ser dividido entre otro entero
positivo, se obtiene otro
cociente 17 y por residuo el
máximo posible?
Quinto Año
B) 200
E) 140
C) 180
3. Hallar el número a (a −1) si
28 . N = a 72(b + 2)6
“N”
A) 43
D) 76
Rpta. 12
Aritmética
B) 54
E) 87
A) 1554 B) 1545 C) 1525
D) 1555 E) N.A
7. Hallar: cdu ; si c + d + u = 13
y cd + du = 97
si CA es (5 − b )(b + 3)
Calcular la suma de cifras de
6. Si: a + b + c = 14. hallar:
abc + bca + cab
C) 65
A) 436
D) 543
B) 634
E) 765
C) 546
Aritmética
51
52

25. Quinto Año
4. Hallar: A +
B + C + D si
8. Si: abc −cba = xy 2 . Hallar:
ABCD . 7 =JCDDD
A) 20
D) 16
B) 23
E) 14
x2 + y2
C) 15
A) 110
D) 140
9. El producto de 2 números es
588 y el cociente entre ellos
es 4 dando como residuo 1.
¿cuál es el menor número?
A) 14
D) 12
B) 21
E) 7
Quinto Año
B) 120
E) 150
C) 130
TEMA: DIVISIBILIDAD
10. Si: aa . bb = 3388. Hallar
“ a + b”
A) 9
D) 13
C) 28
B) 10
E) 13
C) 11
53
Son reglas que al aplicarlos a los números naturales, nos permiten
determinar si son divisibles por cierto divisores. Si no fueran divisibles, con
dichas reglas se podrían determinar los residuos.
Múltiplo
Un número A es múltiplo de otro B cuando A contiene a B cierto número
entero y exacto de veces.
CLAVES
Divisores
Se dice que un número B es divisor o divide a A, cuando está contenido
un número entero y exacto de veces.
1. D
6. A
2. A
7. B
3. C
8. C
Donde k ∈ Z.
Se dice que A es múltiplo de B.
4. D
9. D
⇒ A = BK: A = B
5. A
10. B
Si:
A
o
B
k
º
Operaciones con los Múltiplos
º
º
º
º
1. a + a + a = a
PRACTICA DEPORTE
Aritmética
2.
º
º
º
a - a = a
Aritmética

26. Quinto Año
º
º
Quinto Año
0
º
0
3.
a . a = a
abcd = 3 ⇒ a + b + c + d = 3
4.
a .K= a
º
abcd = 9 ⇒ a +b c + d = 9
º
0
º
0
º
5. ( a )k = a
º
6. Si 5a = 7 , como 5 no tiene ningún factor común que 7 aparte de la
unidad, entonces “a” tiene que ser múltiplo de 7.
7. Todo número es múltiplo de la base en la cual está escrito, más la última
cifra abcde n =
Divisibilidad por 11
Si:
a bc d ef
−+−+−+
=
0
11
Entonces: (f + d + b) – (e + c + a) =
0
n +e
Divisibilidad por 7
0
54 0
8. ( a + b)k = a + bk
0
11
0
55
a b cdefghk = 7
k
a + b (k es par)
3 1 2 31 231
+ − +
0
Entonces: 3a + b – 2c – 3d – e + 2f + 3g+ h = 7
0
También: (a - b)k =
k
a - b (k es impar)
Criterios Divisibilidad
Son las condiciones que debe reunir un número para asegurar que es
divisible por otro, sin que sea necesario efectuar la división y también para
encontrar los residuos.
Divisibilidad por 2
Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.
abcd =
0
2 ⇒ d = 0, 2, 4, 6, 8
0
Divisibilidad por 13
0
a b c d e fgh k =13
43 1 4 3 143 1
− +
− +
0
Entonces: –4a – 3b + c + 4d + 3e – f + 4g – 3 h + k = 13
OBSERVACIONES:
SI AUN NÚMERO SE LE
APLICA EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR
“a”
Y
ESTA APLICACIÓN NO RESULTA EXACTA, ENTONCES SE OBTENDRÁ UNA
Divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco
0
abcd = 5 ⇒ d = 0, 5
Divisibilidad por 3 ó 9
Un número es divisible por 3 ó 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de
3 ó 9.
Aritmética
CANTIDAD QUE SERÁ EL RESIDUO DE DIVIDIR
N ENTRE “a”
Divisibilidad por 2n ó 5n
Un número es divisible por 2 n o 5n si sus últimas “n” cifras son ceros o
forman un número que sea divisible por 2n o 5n respectivamente.
Aritmética

27. Quinto Año
Quinto Año
0
4. Hallar “a - b” ab 1ba = 44
Rpta.
0
Rpta.
56
1. Hallar de “a + b”, si:
30 ab60 =
Rpta.
6. En un barco iban 100 personas
ocurrió un naufragio un se
sabe que los 2/7 de los
sobrevivientes son peruanos y
los 5/9 de los sobrevivientes
son
casados.
¿Cuántas
personas murieron?
0
99
9
0
2. Hallar “b” si: 89152b = 91
Rpta.
7
Rpta.
7. Hallar: “a . b”, si:
0
aba + a = 7
0
3.
0
Si: abba = 63 (b ≠ 0)
Hallar: “a + b”
Rpta.
9
abb + b = 11
Rpta.
18
0
 4+ 3
 0
abbc =  9+ 4
0
 25+ 1

Rpta.
0
13. Hallar “x” si: 2x78 = 17
Rpta.
2
Rpta.
69
2
15. Simplificar:
0
0
0
( 9 +1)2 +( 9 +2)2 + ( 9 + 3)2 +57.
.
0
. . . . +( 9 +51)2
Rpta.
0
9 -1
16. ¿Qué numero natural debemos
quietar a 21019 para que el
0
resultado sea 15 ?
Rpta.
8
8. Hallar “a” sabiendo que: 366
42a 43 8 =
Aritmética
18
14. ¿Cuántos números de 3 cifras
son múltiplos de 13 más 8?
37
3
9. Hallar “a” si:
5
5. Si: abba = 72 . Hallar “a . b”
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Rpta.
0
7+2
Aritmética

28. Quinto Año
Quinto Año
0
222........222 para ser 99 ?
A) 6
D) 24
B) 12
E) 9
0
8. Hallar “a”si: 7a 3a 7 = 9
C) 18
A) 1
D) 6
B) 3
E) 7
C) 5
0
4. Hallar “a” si 2a 3a 5 = 7 + 6
A) 2
D) 6
B) 5
E) 6
9. ¿Cuántos números de la forma
777aaa son divisibles por
4?
C) 4
0
5. Hallar ab si: 2ab 532 = 99
A) 42
D) 23
B) 24
E) N. A
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
C) 32
PROBLEMAS PARA LA CASA
58
1. Hallar “a”, si a 486 =
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
0
11
C) 3
0
2. Hallar “a”, si 5a 4 = 4
A) 0
D) 7
B) 3
C) 5
E) Hay 2 res puestas
6. ¿Cuántos números de 4 cifras
consecutivas, sin importar el
orden de ellas, son divisibles
por 9?
A) 6
D) 24
B) 12
E) 256
C) 18
0
10. Si 157aa 4 = 6 , Dar la suma
de valores que forma “a”
A) 3
D) 10
B) 5
E) 15
59
C) 7
7. Hallar el residuo de dividir
777.......7
  por 9


77 cifras
CLAVES
3. ¿Cuántas cifras como mínimo
debe
tener
el
número
Aritmética
A) 8
D) 5
B) 7
E) 4
C) 6
Aritmética

29. Quinto Año
1. B
7. A
3. C
8. C
4. C
9. C
5. B
Ejemplo:
6 sus divisores son: 1, 2, 3, 6
15 sus divisores son: 1, 3, 5, 15
20 sus divisores son:1, 2, 4, 5, 10, 20
6. D
2. E
Quinto Año
10. E
Los Números Primos Entre Sí (PESI)
Llamado también relativos, se denomina así al conjunto de números que
tiene como único divisor común a la unidad.
Métodos para Reconocer si un número es o no Primo
• Se tiene la raíz cuadrada por exceso del número
• Se divide el número entre todos los números primos. Menores o iguales que
su raíz cuadrada por exceso y sin ninguna de las divisiones resulta exacta, el
número es primo
Aplicación – Determine si 97 es o no número primo
– Determinar si 173 es o no número primo
Formulas Usuales
• Número de Divisiones: (N°D)
Sea N = aα . bβ . cλ ........
Entonces
TEMA: NÚMEROS PRIMOS
60
. N°DN = (α + 1)(β + 1)(λ + 1) ......... .
Estudia los posibles divisores de un número (N). Esta división debe ser por
lo general exacta.
Un número es PRIMO ABSOLUTO, cuando tiene sólo dos divisores que son
el mismo número y la unidad
1
2
1
;
2
3
1
;
3
5
1
;
5
7
1
; 23
7
Un NUMERO COMPUESTO, cuando tiene más de dos divisores
Aritmética
Ejemplos:
1. ¿Cuántos divisores tiene 540?
2. Hallar el número de divisores de 588 000
•
Ejemplo:
; etc.
23
61
Suma de Divisiones de un número: (SD)
Sea N = aα . bβ . cλ ........
Entonces:
 a α +1 − 1  b β +1 − 1  c λ +1 − 1 

 b − 1  c − 1 ...... .





. SDN = 
 a −1

Aritmética

30. Quinto Año
Ejemplos:
1. Hallar la suma de divisores de 540
2. La suma de todos los divisores de 2160 es:
•
Conceptos Adicionales:
•
PD(N) =
N
•
Ejemplo:: 6 ∧ 28
O También: PD(N) = N N °D(N )
.
PD( N ) = N
2
•
Número defectuoso: Son aquellos números que cumplen con la condición que
las sumas de sus divisores son propios son menores que él mismo.
.
Ejemplo: 35
Ejemplos:
1. Hallar el producto de los divisores
2. Hallar el producto de todos los divisores de 36.
•
Números perfectos: Son aquellos números cuya suma de sus divisores es
igual a él mismo
(α+ )( β+ )( λ+ ).....
1
1
1
N ºD( N )
Divisor propio: Son todos aquellos divisores menores que él mismo
Ejemplo: 12, divisores propios {1; 2; 3; 4; 6}
Producto de los divisores de un número:
SeaN = aα . bβ . cλ ........
Entonces:
Quinto Año
•
Números abundantes: Llamados también, son aquellos cuya suma de
divisores propios es mayor que él mismo.
Ejemplo: 20
Suma de las inversas de los divisores de un número “N”: (SIN)
. SI(N) =
SDN
N
•
.
Número amigos: Sea N1 ∧ N2 los números. Serán amigos si la suma de
divisores propios de N1 es igual a N2 y viceversa.
Ejemplo: 220 ∧ 284
Ejemplos:
62
•
El indicador de un número “N”(ϕ(N)); son indica la cantidad de números
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Determinar la Suma de las Inversas de los divisores de 540
menores enteros que N que son primos con N.
Sea N = aα . bβ . cλ ........
Entonces:
1. Si: ab es un número primo
¿Cuántos divisores tiene el número
ababab ?
Rpta.
32
Rpta. 3
. ϕ(N) = aα - 1 . bβ - 1 .cλ - 1 ...............(a – 1)(b - 1)(c - 1) .
Ejemplos:
1. Sea el número 180 ¿Cuántos números con primos con el y son también
menores que él?
Aritmética
63
6. Hallar el número de 3 cifras,
cuyos factores primos son sus
3 cifras. Dar el valor de la
cifra de las centenas.
2. Al dividir el mayor número de la
forma bbb
que tiene 12
divisores entre 5, se obtiene de
residuo:
7. Si: mm m tiene 16 divisores,
“m” vale lo menos “”
Aritmética

31. Quinto Año
Rpta.
Rpta. 3
4
3. ¿Cuántos divisores 15 tiene 453?
Rpta. 18
9. Si 6n tiene 30 divisores más
que 7n. ¿Cuantos tendrá 8n?
10. ¿Por
cuánto
números
compuestos es divisible el
número 8200?
Rpta.
14. Si: 4a 3b tiene aa divisores.
¿Cuántos
divisores
tiene
abba ?
12. ¿Cuántos divisores tiene la
suma de todos los números de
3 cifras?
Aritmética
72
18
15. Si: P = 4
+ 4 + 4 , tienen 36
divisores, hallar el valor de “n”
n+1
Rpta.
8
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. ¿Cuántas
veces
hay
que
5. Determinar
el
número
65
de
n
n
multiplicar a 40 por 50 para
divisores pares del numeral
que tenga 64 divisores más?
10
Rpta.
Rpta.
20
6
11. Si: N = 10α .15β tiene 385
64 divisores. Hallar α + β
Rpta.
23
Rpta. 16
18
5. ¿Cuál es el menor número por el
cual hay que multiplicar a 120, para
que el producto tenga 30
divisores?
Rpta.
13. Si: aaa tiene 8 divisores dar
la suma de todos los valores de
“a”
Rpta.
Rpta. 15
4. Hallar la suma de las cifras del
menor número impar de 20
divisores
Rpta.
8. Hallar a + b, si ab tiene 12
divisores y ( ab )2 tiene 33.
Quinto Año
360
A) 1
D) 4
B) 2
E) 6
C) 3
A) 45
D) 65
6. Calcular
2. Si: N = 13
n + 2
– 13 tiene 75
n
B) 40
E) 70
la
C) 18
cantidad
de
divisores impares del numeral
54000
Aritmética

32. Quinto Año
divisores compuestos, hallar el
1. B
B) 4
E) 7
C) 15
C) 5
7. Si el numeral 4a es PESI con
30; calcular la suma de valores
de a:
3. Indicar la suma de cifras del
número de divisores de 600
A) 6
D) 12
B) 3
E) 15
A) 19
D) 30
C) 9
B) 20
E) N.A
2. B
7. B
8. A
4. A
9. C
5. C
B) 9
E) 18
6. D
3. A
A) 12
D) 16
valor de n
A) 3
D) 6
Quinto Año
10. A
C) 25
8. Si: A = 9 . 10n; tiene 27 divisores,
hallar cuantas cifras tiene A3
4. ¿Cuántos divisores compuestos
tienen el número 360?
A) 20
D) 18
B) 21
E) 19
C) 22
9. ¿Cuál es el valor de “a” si el
66 número 24 . 49ª tiene 68
divisores compuestos?
A) 2
D) 5
B) 8
E) 9
A) 9
D) 12
C) 10
10. 2k + 2k + 2 + 2k + 2 tiene 9
divisores. Determinar el valor
de K
C) 4
A) 2
D) 5
CLAVES
Aritmética
B) 7
E) 13
B) 3
E) 6
C) 4
TEMA: MCD, MCM
67
Mínimo y Múltiplo (MCM)
El MCM de varios enteros es el menor número entero positivo que sea
divisible entera cada uno de ellos.
Máximo Común Divisor (MCD)
El MCD de varios enteros positivos, el menor entero que sea divisor de
cada uno de ellos.
Aritmética

33. Quinto Año
Quinto Año
Ejemplo:
Divisores
1; 2; 4 ; 8
1; 2;
4 ; 6; 12
Números
8
Múltiplos
a; 16; 24; 32; ....
12
45 – 120 – 150
15 – 40 – 50
3 – 8 – 10
3 – 4–
5
3– 1–
5
1– 1–
5
1– 1–
5
1– 1–
1
12; 24; 36 ........
.. .. .
MCD(8; 12)
MCM(8, 12)
3
5
2
2
2
3
5

MCD = . 5 =
3
15


MCM = 3
2
. 32 . 5 2
=
1800
.. .. .
c) Métodos de Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides
Métodos par hallar el MCD y MCM
a) Por Descomposición Canónica
• El MCM es igual al producto de los factores primos comunes y no
comunes con mayor exponente
• El MCD es igual al producto de los factores comunes extraídos de
menor exponente
Ejemplo:
Dados los números
A = 25 . 34 . 72
B = 24 . 3 6 . 7 6 . 5
MCM(A, B) = 25 . 36 . 76 . 5
MCD(A, B) = 24 . 34 . 72
b) Por Descomposición Simultanea
68 •
•
El MCD es igual al producto de los factores comunes
No permite calcular el MCD de dos números
Sean los números A y b (A > B)
Ejemplo:
Hallar el MCD de 125 y 13
69
El MCM es igual al producto de los factores comunes y no comunes
extraídos
Ejemplo:
Hallar el MC-------m, Y MCD de 45; 150 y 120
Propiedades:
Aritmética
Aritmética

34. Quinto Año
1. Si: A =
0
B
MCD (A, B) = Número Menor
MCM (A, B) = Número Mayor
2. Si: A y B son PESI
MCD (A, B) = 1
MCM (A, B) = A . B
3. Si MCM (a, b, c) = M
Entonces:
MCM(ak; bk; ck) = Mk
MCM(a/k; b/k; c/k) = M/k
4. Si: MCD (a, b, c) = N
Entonces:
MCD(ak; bk; ck) = Nk
MCD(a/k; b/k; c/k) = N/k
5. Si: MCD (A, B) = d
A/d = q1 ∧ B/d = q2
Donde: q1 ∧ q2 son PESI
Entonces: A = d91
B = dq2
6. Para dos números A y B
70
MCM (A, B), MCD (A, B) = A . B
7. Para dos números A y B
MCM(A, B) = MCD (A, B) . q1 . q2
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
Condiciones:
1° Es divisor común a los números dados
2° Es el mayor posible
Aritmética
Quinto Año
•
Ejemplos:
1. Sean los números: 30 y 45
30 → , 3, 5, 6, 10, 15, 30
45 → 1, 3, 5, 9, 15, 45
1° Divisores comunes: 1; 3; 5; 15
2° El mayor es 15 ⇒ MCD (30, 45) = 15
2. Sean los números: 24 y 40
24 → 1, 2,3, 4, 6, 8, 12, 24
40 →1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
1° Divisores comunes: 1, 2, 4, 8
2° El mayor es 8 ⇒ MCD (24, 40) = 8
Propiedad
“Todos los divisores comunes de los números dados son también
divisores del M.C.D de estos números”
Determinación de MCD
1° Por Factorización Individual
De cada número dado a realizar su descomposición canónica y tomar
únicamente los factores comunes con su MENOR EXPONENTE
Ejemplo:
Sean A, B y c descompuestos en sus factores primos.
A = 23 . 3 2 . 5 3 . 7
B = 24 . 52 . 73 . 11 ⇒ MCD = 23 . 52 . 78
C = 25. 54 . 72 . 132
71
2º Por Factorización Simultanea
Ejemplo:
Hallar MCD de 2100, 2520 y 840.
3º Por Divisiones Sucesivas: (Algoritmo de Euclides)
Aritmética

35. Quinto Año
Quinto Año
Ejemplo:
Calcule el MCD de 611 y 182
1° Se divide el mayor entre el menor y se colocan en el gráfico
siguiente:
Se sigue con este proceso hasta que la división sea exacta (r = 0)
OBSERVACIÓN:
LOS DIVISORES SE P PEDEN
REALIZAR POR DEFECTO O EXCESO.
Ejemplo: Hallar el MCD de 1534 y 403
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)
Condiciones
72
1° Es el múltiplo común a los números dados
2° Es el menor posible
•
Ejemplos:
1. Sean los números 9 y 6
9 → 9, 18, 27, 36, 45, 54, .....................
6 → 6, 12, 18, 24, 30, 36, ......................
1° Múltiplo comunes: 18, 36, ....................
Aritmética
2° El menor es 18 ⇒ MCM (9 y 6) = 18
2. Sean los números 6, 12 y 18
6 → 6, 12, 18, 24, 36, 42, ..................
12 → 12, 24, 48, 60, 72, 84, ................
18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, ................
1° Múltiplos comunes: 36, 72, 108 ................
2° el menor es 36 ⇒ MCM (6, 12, 18) = 36
Propiedades
“Todos los múltiplos comunes de los números dados son también
múltiplos del mcm de esos números”
Determinación de MCM
1° Por Factorización Individual
Luego de realizar la descomposición canónica, se toman todos los
factores pero con su MAYOR EXPONENTE.
Ejemplo : Sean los números A, B y y C descompuestos en sus factores
primos.
A = 23 . 3 5 . 5 4
B = 22 . 33 . 55 . 72 ⇒ MCD (A, B Y C )= 24 . 35 . 55 . 72 . 113
C = 24. 53 . 113
2° Por Descomposición Simultanea
Ejemplo:
73
Hallar el MCM de 2100, 2520 y 420
PROPIEDADES GENERALES
1.
Si: A =
0
B ⇒ MCD (A, B) = B
MCD (A, B) = A
Aritmética

36. Quinto Año
Quinto Año
Ejemplo:
OBSERVACIÓN:
SI SE DIVIDE MCM
0
24 = 6 ⇒MCD (24, 6) = 6
DE VARIOS NÚMEROS ENTRE CADA UNO DE ELLOS,
LOS COCIENTES OBTENIDOS SON NÚMEROS
PESI
MCM (24, 6) = 24
2. Si A y B son números PESI
- MCD (A, B) = 1
- MCM(A,B) = A . B
4. Dados 2 números A y B se cumple que:
. MCD (A, B) . MCM (A .B) = A . B .
OBSERVACIÓN:
[MCM (A, B) = A . B . C]↔ [A, B, C son PESI 2 a2]
Ejemplo:
5. Si a varios números se les multiplica o divide por una misma cantidad,
entonces el MCD y MCM de dichos números quedad multiplicado o
dividido por dicha cantidad.
Calcule “a + b” si el MCM de ab y a (b + 1) es 992
-
 MCD (Ak , Bk , CK ) = dk

MCD(A, B, C) = d 
A B C  d
MCD  , ,  =

k k k  k

-
 MCD (Ak , Bk , CK ) = mk

MCM(A, B, C) = m 
A B C  m
MCD  , ,  =

k k k  k

Resolución
ab y a (b + 1) por ser números consecutivos son PESI luego:
(
) (
)
MCM ab ; a (b + 1) = ab . a (b + 1) = 992
⇓
(31 . 32)
3. Si en varios números se les divide a cada uno entre su MCM, los
cocientes que se obtienen son números PESI.
MCD(A, B, C) = d
74
A
B
C
= p;
=q ;
=r
d
d
d
son PESI
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. La suma de los residuos que se
obtienen al calcular el MCD de
Aritmética
4. Hallar 2 números cuyo MCD es75
18
y que tienen 21 y 10 divisores
Aritmética

37. Quinto Año
924 y 548 por método de las
divisiones sucesivas es:
Rpta.
604
2. Se dispone de ladrillos cuyas
dimensiones son 16, 14 y 12cm.
¿Cuántos de éstos ladrillos
serán necesarios para formar
el cubo compacto mas pequeño
posible?:
Rpta.
14112
3. Se tiene un terreno de forma
rectangular cuyas dimensiones
son 360m y 280m, se debe
parcelarlo
en
terrenos
cuadrados e iguales de tal
manera que no sobre ni falte
terreno. El número de parcelas
que se obtendrán como mínimo
es:
Rpta.
63
8. Si: MCD de 1ab7 y 1cb3 es
76 99. Hallar (a + b + c)
Rpta.
16
respectivamente.
Dar
como
respuesta la suma de dichos
números.
Rpta. 738
Quinto Año
9. A = 4n . 5n . y B = 12n . 15n y MCD
(A, B) tiene 15 divisores, calcular
“n”
Rpta.
5. Si el MCD de A y B es 74 y MCD
de 7A y 5B es 2590, calcule B si
la suma de A y B es 888.
Rpta. 518
4235
14. Hallar el menor de dos
números tales que su MCD sea
36 y su MCD sea 5148
Rpta.
10. Determinar el MCD de 227 y
2125 por el método de Algoritmo
de Euclides e indicar la suma de
los residuos obtenidos.
6. Hallar el valor de dos números
sabiendo que están en la relación
de 5/16 y que su MCD es 21.
Rpta.
37
36
15. El MCD de los números 36k;
54k y 92k es 1620. hallar el
menor de los números:
Rpta.
3240
SI
LA
11. El valor de MCM de 20n y 152n es:
Rpta. 105 y 336
Rpta.
7. En la determinación del MCD de
un par de números por el método
de Algoritmo de Euclides, se
obtuvo los cocientes sucesivos: 1;
3; 2 y 4. Si el MCD es 7; el
número mayor es:
Rpta.
2
Rpta.
A
QUIERES
12. El producto y el cociente de
MCM y el MCD de dos números
son 1620 y 45 respectivamente.
El mayor de dichos números
será:
280
Rpta.
13. Determinar el MCM de dos
números, cuya diferencia es
mínima y tiene por MCD a 55.
siendo su suma 990.
900n
UNIVERSIDAD
INGRESAR
“Manuel
EN
EL
Scorza”
TIENES QUE ESTUDIAR
54
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Determinar el MCD es 1240 y
980 por el método de
Aritmética
4. El MCD de dos números es 9.
¿Cuál
es
su
MCM,
si
el
Aritmética
77
78

38. Quinto Año
Algoritmo de Euclides. La suma
de los cocientes que se
obtienen en el proceso
A) 9
D) 12
B) 10
E) 13
C) 11
2. Se tiene tres cajas de galletas
y
granel
y
se
desea
empaquetarlas
en
bolsas
plásticas de manera que no
sobren de las 270, 390 y 450
galletas que respectivamente
hay en las cajas. ¿Cuántas
bolsas plásticas como mínimo
se necesitan?
A) 74
D) 37
B) 38
E) 84
C) 66
producto de dichos números
A) 15
D) 10
es 1620?
A) 180
D) 58
B) 190
E) 135
B) 58
E) 52
C) 56
7. El MCM de dos números es 630
si su producto es 3780. ¿Cuál
es su MCD?
Aritmética
C) 6
A) A . B; A - B B) A + B, A – B
C) AB; 1
D) 1; A . B
E) No se puede determinar
8. Hallar el MCD de 168; 248 y
360
5. N representa un número entre
50 y 60. el MCD de N y 16 es
A) 4
D) 12
B) 8
E) 24
C) 16
10. Hallar el valor de “k” si:
MCD (5A; 5B) = 20K
MCD(A, B) ) 5K - 10
A) 6
D) 12
8. ¿Cuál es el valor de N?
A) 52
D) 58
B) 54
E) 59
B) 8
E) 16
C) 10
C) 56
CLAVES
6. El MCD de 2 números es 8 y
los cocientes de las divisiones
los números
A) 136 y 184 B) 248 y 326
C) 296 y 736 D) 304 y 728
E) 312 y 744
9. Sean A y B dos números
primos entre sí, ¿cuál será su
MCD y cuál su MCM?
1. A
6. D
2. D
7. C
3. D
MCD son 2, 2, 1, 1 y 7. Hallar
A) 60
D) 54
B) 12
E) 9
C) 45
sucesivas para obtener dicho
3. El MCD de dos números es 18 y
su MCM es 108. si un o de los
números es 36. ¿Cuál es el
otro números?
Quinto Año
8. B
4. A
9. D
5. C
10.C
79
Aritmética

39. Quinto Año
Quinto Año
1)
ÍNDICE
a)
b)
c)
d)
e)
PÁG.
2)
TEORÍA
DE
CONJUNTOS.............................................................................................. 7
3)
CUATRO OPERACIONES................................................................................................ 41
4)
Y
M.C.M............................................................................................................ 68
5)
b) 30%
d) 44%
Si la base de un triángulo se triplica y su altura se duplica. ¡En que porcentaje
aumenta su área?
a) 200%
c) 400%
e) 900%
6)
b) 40,6%
d) 50%
Si un lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En que porcentaje aumenta su área?
a) 20%
c) 36%
e) 48%
NÚMEROS PRIMOS........................................................................................................ 61
b) 62,5%
d) 43%
En un corral, el 40% son patos; el 35% son conejos y el resto, pavos. Si el número
de patos se triplica y se duplica el de los otros 2. ¿Que porcentaje del nuevo total
son patos?
a) 20,83%
c) 29,16%
e) N.A.
DIVISIBILIDAD............................................................................................................. 54
Aumenta 10%
Disminuye 10%
No varia
Disminuye 4%
Disminuye 8%
Si en una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres.
¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres?
a) 37,5%
c) 56,5%
e) 36%
NUMERACIÓN................................................................................................................ 29
M.C.D.
Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye su
20%, se puede afirmar, con respecto a la cantidad inicial, que:
b) 300%
d) 500%
Si el largo y el ancho de un rectángulo aumentan en 20% y 25% respectivamente
su área aumenta en 2400 m2. hallar el área inicial del rectángulo.
a) 3600 m2
c) 3200
e) 7200
b) 4800
d) 4500
80
Aritmética
Aritmética
80

40. Quinto Año
7)
Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por 45 de 1500.
a) 150
c) 80
e) 90
8)
b) 130%
d) 125%
Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría.
Perdería S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?
a) 3500
c) 1500
e) 1800
10)
b) 120
d) 60
Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en
el mes de julio, un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo
del año anterior estará recibiendo en Agosto?
a) 128%
c) 103%
e) 132%
9)
Quinto Año
b) 2000
d) 1560
Se estima que una mezcladora de concreto sufre un depreciación del 10% por cada
año de uso, respecto al precio que tuvo al comenzar el año. Si al cabo de 4 años su
precio es de S/. 131 220. entonces el costo original de la mezcladora es:
a) 200 mil
c) 170 mil
e) 300 mil
Aritmética
b) 150 mil
d) 250 mil
Aritmética