Aritmetica 4° 3 b

33 34COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Secundaria ARITMÉTICA 4to.
Secundaria
NOCIÓN DE CONJUNTO
Intuitivamente un conjunto es la reunión,
colección o agrupación de objetos reales o
ideales, a estos objetos se les denomina
ELEMENTOS del conjunto.
Los conjuntos generalmente se denotan con letras
mayúsculas (A, B, C, …Z) y sus elementos
separados por comas y encerrados entre llaves.
Ejemplos:
A = {6, 7, 8, 9}
B = {Las Universidades del Perú}
C = {a, b, ∆, *}
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
I. Por Extensión o en Forma Tabular
Es cuando se pueden indicar explícitamente a
cada uno de los elementos de un conjunto,
enumerándolos o indicándolos en forma sobre
entendida.
Ejemplos:
A = {2, 3, 5, 7, 11}
B = {1, 4, 9, 16, 25}
C = {a, e, i, o, u}
II. Por Comprensión o en Forma
Constructiva
Es cuando se menciona una o más
características comunes y exclusivas a los
elementos del conjunto.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A. Inclusión ⊂
Se dice que A esta incluido en otro conjunto
B, si todos los elementos de A pertenecen a
B.
Se denota. A ⊂ B
Se lee: “A esta incluído en B”
“A esta contenido en B”
“A es subconjunto de B”
Ejemplos:
1) A = {p, q}
B = {p, q, r, s}
B
A
. p
.q
. r
.s
⇒ A ⊂ B
Observación
1. A ⊂ B ↔ ( ∀ x ∈ A) → x ∈ B
A ⊂ B ó B ⊃ A
∀: Para todo (Cuantificador)
2. Todo conjunto está incluido en sí mismo
o es subconjunto de sí mismo.
∀ A : A ⊂ A
3. El conjunto vacío está incluido en todo
conjunto.
4. Si un conjunto tiene “n” elementos
entonces tendrá: 2n
subconjuntos.
Ejemplo 1:
B = {a, b}
Sub conjuntos de “B”:
∅ ; {a} , {b} , {a , b}
∴ Numero de subconjuntos de B es:
22
= 4
Ejemplo 2:
Si: B = { 3, {3}, {4}, {{4}} }
Dar su valor de verdad de las proposiciones:
- {3} ∈ B … ( V )
- {3} ⊂ B … ( V )
- {{3}} ⊂ B … ( V )
- {{{4}}} ⊂ B … ( V )
- {{4}} ⊂ B … ( V )
- 7 ⊂ B … ( F )
- 7 ⊄ B … ( F )
B. Igualdad
Dos conjuntos A y B son iguales cuando
tienen los mismos elementos sin importar el
orden.
Se denota: A = B
Se define:
A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A
Ejemplo:
A = {x/x ∈ Z ∧ x + 3 = x 2
- 9}
B = {-3, 4}
De A: x + 3 + x2
- 9
X2
- x - 12 = 0
X -4
X 3
Ejemplos:
De la parte I
A = {P/P es un número primo ∧ P<12}
B = {x2
/x ∈ N ∧ x < 5}
C = {x/x es una vocal}
Esquema General:
Conjunto =






es)(Propiedadelemento
ticasCaracterísdelForma
Ejemplos:
A = {x4
/ (x + 3) (x + 1) x (x-1) (x-3) = 0}
Observación
x = - 3 : - 1 ; 0 ; 1 ; 3
∴ A = {81 , 1 , 0}
Nota
No todo conjunto se puede determinar por
extensión y comprensión a la vez.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Si un objeto es elemento de un conjunto, se dice
que pertenece, (∈) a dicho conjunto, en caso
contrario no pertenece (∉) a dicho conjunto.
Ejemplo:
A = {a, {a}, b, c}
a ∈ A {b} ∉ A
e ∉ A c ∈ A
{a} ∈ A {{c}} ∉ A
S4AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AR33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
III
TEORÍA DE

Secundaria
DIAGRAMAS DE VENN – EULER
Son regiones planas limitadas por figuras
geométricas cerradas que se utilizan para
representar gráficamente a los conjuntos, así:
Ejemplo:
A = {1, 8, 27, 64} 
Observación
Otro diagrama para representar gráficamente
a los conjuntos es:
DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL
HOMRES MUJERES
FUMAN
NO FUMAN
Se observa que:
Hombres que fuman
Mujeres que no fuman
NÚMERO CARDINAL
El número cardinal de un conjunto (A) nos indica
la cantidad de elementos diferentes que posee y
se denota por: n(A)
Ejemplos:
A = { 5, 6, 6, 5 } → n ( A ) = 2
B = { x/x ∈ IN ∧ 3 < x < 6 }
n (B) = 2 ; x = 4 ; 5
( x – 4 ) ( x – 3 ) = 0
x = – 3 ∨ 4
BA
. -3
. 4
C. Conjuntos Diferentes ( ≠ )
Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos
tiene por lo menos un elemento que no posee
el otro.
Se define:
A ≠ B ⇔ A ⊄ B ∨ B ⊄ A
Ejemplo:
A = { x/(x–1)(x–2)(x–3) x = 0 }
B = {0, 1, 2, 3, 4}
De A: (x – 1)(x – 2)(x – 3) x = 0
x = 0 ; 1 ; 2 ; 3
B
A. 0
. 1
. 2
. 3
A ≠ B
D. Conjuntos Comparables
Dos conjuntos A y B son comparables cuando
sólo uno de ellos está incluido en el otro es
decir:
A ⊂ B ó B ⊂ A
Observación:
Si dos conjuntos son iguales, entonces son
comparables; lo contrario no siempre se
cumple.
E. Conjuntos Disjuntos
Se dice que dos conjuntos son disjuntos
cuando poseen elementos comunes.
Simbólicamente:
A y B son disjuntos ⇔ ∃ x/x ∈ A ∧ x ∉ B
∃ : “Existe alguno” (Cuantificador)
Ejemplo:
{ }
{ }76,5,B
432,A
=
=
∴ A y B son
disjuntos
Gráfica:
A . 2
. 3
B
. 4
. 5
. 6
. 7
F. Conjunt. Equipotentes o Coordinables
“Para hablar de éstos conjuntos de alguna
forma, el proceso de contar sus elementos
siempre termina” .
Dos conjuntos serán coordinables cuando el
número de sus elementos son iguales.
Ejemplo:
{ }
}pn,m,{B
1211,10,A
=
=
∴ A y B son
equipotentes
DIAGRAMAS LINEALES
Son representaciones gráficas que sirven para
indicar relación de inclusión.
Ejemplo:
Si : A ⊂ B ⇒
A
B
Si : A = B ⇒ A  B
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS
Todos son números complejos: C
Imaginarios
A
.1
.8
.27
.64
1-
4 104 10-
i33-
=
=
=
i
i

Secundaria
Complejos
Reales
R Imaginarios
Racionales
Q Irracionales
Enteros
Z Fracciones
negativos cero positivos (Naturales)
(N)
Propiedad:
Ν ⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
I. Unión o Reunión
La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el
conjunto formado por la agrupación de todos
los elementos de “A” con todos los elementos
de “B”.
Notación: A ∪ B (A o B)
Simbólicamente se define:
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Observación
“ ∨ <> ó : unión”
Ejemplo:
{ }
{ }


=
=
43,B
32,A
A ∪ B = {2, 3, 4}
POSICIONES RELATIVAS PARA 2
CONJUNTOS A Y B
A
B
U
A B
U
A B
U
→ B ∪ A
Observación
Si : B ⊂ A ⇒ A ∪ B = A
Propiedades:
A ∪ B = B ∪ A (Conmutativa)
A ∪ (B ∪ C)=(A ∪ B) ∪ C (Asociativa)
A ∪ A = A (Idempotencia)
A ∪ U
= U
A ∪ ∅ = A (Elemento Neutro)
II. Intersección
La intersección de dos conjuntos “A”y “B” es
el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a los dos conjuntos a la vez.
Notación: A ∩ B (A y B)
A ∩ B = x/x ∈ A ∧ x ∈ B
Observación
“∧ <> y : intersección”
Ejemplo:
{ }
{ }


=
=
65,4,B
54,3,A
A ∩ B = {4, 5}
CONJUNTOS A Y B
A B
U
A
B
U
A B
U
Observación
* Si : B ⊂ A ⇒ A ∩ B = B
* Si : A y B son conjuntos disjuntos
⇒ A ∩ B = ∅
Propiedades:
A ∩ B = B ∩ A (Conmutativa)
A ∩ (B ∩ C)=(A ∩ B) ∩ C (Asociativa)
A ∩ A = A (Idempotencia)
A ∩ U = A
A ∩ ∅ = ∅ (Elemento Neutro)
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
- Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- Ley de Absorción:
A ∪ (A ∩ B) = A
A ∩ (A ∪ B) = A
(A ∪ B) ⊂ C) ⇔ A ⊂ C y B ⊂ C
Si : A ⊂ B y C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
III. Diferencia
La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese
orden) es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a “A” pero no a
“B”
Simbólicamente:
A <> B ⇔ n(A) = n(B)
CLASES DE CONJUNTOS
A. Conjunto Finito
Un conjunto es finito, si posee una cantidad
limitada de elementos, es decir el proceso de
contar sus elementos termina en algún
momento.
Ejemplo:
A = {x/x es un contribuyente de la Sunat}
B = {x/x es un mes del año}
B. Conjunto Infinito

Secundaria
Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad
ilimitada de elementos diferentes; es decir el
proceso de contar sus elementos nunca
termina.
Ejemplo:
A = {P/P es un número primo}
B = {x/x ∈ IR ∧ 8 < x < 9}
C = {x/x es una estrella del universo}
CONJUNTOS ESPECIALES
1. Conjunto Nulo o Vacío
Es aquel conjunto que carece de elementos.
Ejemplo:
A = { x/x es el actual INCA del Perú }
B = { x/x ∈ IN ∧ 7 < x < 8 }
Notación: “∅” ó { }
⇒ A = B = ∅ = { }
Nota:
El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo
conjunto.
2. Conjunto Unitario o Singletón
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo:
A = { x/x ∈ Z ∧ 10 < x < 12} = {11}
B = { 2, 2, 2, 2, …} = {2}
3. Conjunto Universal ( U )
Es un conjunto referencial para el estudio de
una situación particular, que contiene a todos
los conjuntos considerados. No existe un
conjunto universal absoluto.
Ejemplo:
A = { 1, 3, 5 }
B = { 2, 4, 5, 6 }
Podrían ser conjuntos universales
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
U = { x/x ∈ IN }
* Gráficamente el conjunto universal se
representa generalmente mediante el
rectángulo.
Ejemplo:
A = { x/x es peruano }
B = { x/x es colombiano }
C = { x/x es mexicano}
⇒ U = {x/x es americano}
4. Conjunto de Conjuntos ó familia de
Conjuntos
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos.
Ejemplo:
A = { {5} , {7,9} , ∅ }
5. Conjunto Potencia o Conjunto de Partes
Dado un conjunto A, el conjunto potencia de
A está formado por toda la familia de
subconjuntos de A.
Notación: P (A)
Ejemplo:
A = { 2, 3 }
}{2,3}
AdePropios
conjuntosSub
{3},{2},,{P(A)

φ=
n[P(A)] = 4 = 2n(A)
= 22
Ejemplo:
A = { a, b, c }
P(A)=
vacio
}
Ternario
c}b,{a,,
Binarios
c}{b,c},{a,b},{c,,
Unitarios
{c}{b},{a},,{
↓
  φ
n [ P (A) ] = 23
= 8
Simbólicamente:
P(A)= {x/x ⊂ A}
Observación
* Si un conjunto A tiene “n” elementos
entonces el número de subconjuntos de A
es 2.
* Los subconjuntos propios de A son aquellos
subconjuntos diferentes al conjunto A.
Ejemplo 1:
Si n(A)=5 entonces el número de
subconjuntos propios es:
n[P(A)]=25
= 32
# subconjuntos propios de A = 25
– 1 =31
Ejemplo 2:
Determinar el valor de verdad de cada
proposición.
A = {∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}}}
- ∅ ∈ A … ( V )
- ∅ ⊂ A … ( V )
- {{∅}} ∈ A … ( V )
- {{∅}} ⊂ A … ( V )
- {{∅}} ∈ P(A) … ( V )
- {{{∅}}} ⊂ P(A) … ( V )
- {{{{∅}}}} ∈ P(A) … ( V )
Notación: A – B
Se lee: “A pero no B” (sólo A)
Simbólicamente:
A – B {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Observación
Si : A ≠ B ⇒ A – B ≠ B – A
Si : A = B ⇒ A – B = B – A = ∅
CONJUNTOS A Y B
A
B
U
A B
U

Secundaria
A B
U
→ A – B
Observación
* Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅
* Si: A y B son conjuntos disjuntos
A – B = A ; B – A =B
Ejemplo:





=
=
}65,4,3,{B
}43,2,{A
}65,{AB
}2{BA
=−
=−
IV. Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y
B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen a “A” o “B” pero no a ambos.
Notación: A ∆ B
A ∆ B = {x/x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)}
ó
A∆B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ x ∉ A ∩ B}
CONJUNTOS A Y B
A
B
U
A B
U
A B
U
Observación
* Si: B ⊂ A ⇒ B – A = ∅
* Si: A y B son conjuntos disjuntos
A ∆ B = A ∪ B
Propiedades:
* A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A)
* A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
* A ∆ B = ∅
* A ∆ ∅ = A
Ejemplo:
2,5}{BA
5}4,{3,B
}43,2,{A
=∆





=
=
V. Complemento
El complemento de A, es el conjunto formado
por los elementos que pertenece al conjunto
universal U pero no a “A”
Notación: A´ ; A ; AC
; C A
Simbólicamente:
A´ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} = U – A
Diagrama
A
U
→ A‘
Observación
A
BC = B – A
Propiedades
1. A(A´)´ = (Involución)
2. φ
φ
=
=
U´
U´
3. BÁBA ∩=−
4. φ=∩
=∪
AÁ
UAÁ
5. Leyes de Morgan
BÁ´B)´(A
BÁ´B)´(A
∪=∩
∩=∪
6. Caso particular de la absorción
BA´B)(AA´
BA´B)(AA´
∩=∪∩
∪=∩∪
Observación
1) n( ∅ )=0
2) n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B)
3) Si A y B son conjunto disjuntos
n(A∪B)=n(A)+n(B)
4) n(A∪B∪C) = n(A)+n(B)+n(C) –
-n(A∩B)–n(A∩C) –
-n(B∩C)+n(A∩B∩C)
PRACTICA DE CLASE
01. Dado el conjunto unitario
{ }12;3b2a;baA −++=
Calcular: a2
+ b2
a) 80 b) 74 c) 104
d) 90 e) 39
02.Diana realiza un viaje mensual durante todo
el año a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y
11 viajes a Tacna. ¿Cuántos meses visitó a
los dos lugares?
a) 4 b) b c) 7
d) 8 e) 5
03.Los conjuntos A y B son tales que
( ) 30BAn =∪ ,
( ) 12BAn =− y
( ) 10ABn =− . Hallar
( ) ( )BnAn +
a) 22 b) 38 c) 36
d) 25 e) 37
04.Si: ( )[ ] 128BAPn =∪ ,
( )[ ] 16BPn = y
( )[ ] 8BAPn =∩
Hallar: ( )[ ]BAPn ∩
a) 128 b) 32 c) 256
d) 1024 e) 512
05.Durante todas las noches del mes de Octubre,
Soledad escucha música o lee un libro. Si
escucha música 21 noches y lee un libro 15
noches. ¿Cuántas noches escucha música y
lee un libro simultáneamente?
a) 5 b) 6 c) 4
d) 3 e) 10
06.De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan
el curso de Matemática y 53 no siguen el
curso de Administración. Si 27 alumnos no

Secundaria
siguen Matemática ni Administración.
¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de
tales cursos?
a) 47 b) 43 c) 42
d) 48 e) 45
07.Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos
propios y el producto cartesiano de A y B
tiene 50 elementos ¿cuántos subconjuntos
propios de 3 elementos posee el conjunto
potencia de B?
a) 10 b) 12 c) 11
d) 13 e) 9
08.De 100 personas que leen por lo menos dos
de tres revistas ( A, B y C ), se observó que
40 leen A y B; 50 leen A y C, 60 leen B y C.
¿Cuántas personas leen sólo dos revistas?
a) 50 b) 25 c) 75
d) 29 e) 80
09.En una encuesta de un club se determinó que
le 60% de los socios lee. “La República” y el
30% “El Comercio”. Se sabe que los que leen
“La República” o “El Comercio” pero no
ambos constituyen el 70% del club y hay 400
socios que no leen ningún diario. ¿Cuántos
socios leen ambos diarios?
a) 240 b) 210 c) 180
d) 200 e) 150
10.Dados:
{ }
{ }5;4ed;1cB
ed;cbaA
2
222
+−+=
+++=
Si: A = B ; A es unitario, c > a > b y son no
negativos.
Hallar: a + b + c + d x e
a) 9 b) 6 c) 8
d) 7 e) 10
11.¿Cuántos elementos tiene conjunto potencia
de H?
( ) ( ){ } BACCAH ∩−∪−=
Si:
{ } { } { }s,q,pCq,p,nBp,n,mA ===
a) 8 b) 4 c) 64
d) 16 e) 32
12.Dados los conjuntos A y B contenidos en un
universo. A que es igual:
( )( )( ) ( )( ) ( )''B'A''AB'''B'A ∪∪−∪∪
a) A ∩ B b) A ∪ B c) A ∆ B
d) A’ ∪ B c) B’ ∪ A
13.Si:
{ }
{ }
{ }
( ) BCAD
5xBx/1xC
Zx6x1/1x2B
040x13x/xA
2
2
−∪=
<∧∈−=
∈∧<≤+=
=+−=
Calcular: n [ P (D) ]
a) 2 b) 8 c) 64
d) 32 e) 16
14.Sean los conjuntos:
{ }
{ }5x2Zx/xxB
93x2Zx/xA
4
3
<<∧∈−=
≤−∧∈= +
Cuántas proposiciones son falsas
1. A y B son disjuntos .................
2. n (A) > n (B) ..........................
3. n (A) = n (B) ..........................
4. A ⊂ B .....................................
5. A = B ....................................
6. A y B son comparables ..........
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
15. Simplificar la expresión conjuntista:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }CC
BABACBCAA ∩∪∪∩∩∪∆∩
a) AC
b) A ∪ B c) A ∩ BC
d) B e) A ∪ B
16. Si: A ⊂ B. Simplificar:
( ) ( )[ ]{ } 'B'AC'BAB ∪∪∩∩∪
a) B’ b) A’ ∩ B’ c) A - B
d) A’ e) ( A ∪ B )’
17. Si los conjuntos A y C; B y C son conjuntos
disjuntos, además:
n ( A - C ) = n ( B - C ) = 12
n [ P (A) ∩ P (B) ] =16
n ( A ∪ B ∪ C ) = 23
Calcular: n (C)
a) 5 b) 4 c) 2
d) 6 e) 3
18.A y B son subconjuntos de U y se cumple
que:
A ∩ B = φ
BC
tienen 512 subconjuntos
( ) ( )Bn
4
3
An =
El número de subconjuntos de B excede el número
de subconjuntos propios de A en 193. ¿Cuántos
subconjuntos tiene AC
?
a) 526 b) 2048 c) 1496
c) 684 e) 1024
19. Dado el A = { a, { a }, φ, { φ } }
1. φ ∈ A
2. φ ⊂ A
3. { φ } ∈ A
4. {{ a } ; φ } ∈ P ( A )
5. {{ φ }} ⊂ P (A)
6. {{ a }}, φ, { φ } ∈ P (A)
7. {{ φ }} ⊂ A
¿Cuántas son verdaderas?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
20. En un momento de una fiesta se observó que el
número de varones que no bailaban era el doble del
número de personas que estaban bailando y además
el número de damas que no bailaban es al número
de varones como 2 es a 5. si en total asistieron 104
personas.
¿Cuántas personas no bailaban?
a) 82 b) 78 c) 72
d) 39 e) 26
21. Se tiene 3 conjuntos A, B y C cuyos números
cardinales son consecutivos, además se sabe que:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 448CPnBPnAPn =++
Hallar el número de elementos que puede tener
como máximo el conjunto potencia de
CBA ∪∪
a) 85
b) 89
c) 87
d) 84
e) 810
22. Si A=B, halle la suma de elementos de C.
{ }
{ }
{ }Ax/xC
y,2B
3,12A
2
x
xx
∈=
=
+=
a) 5 b) 2 c) 3
d) 8 e) 6
23. En un club hay 61 personas, tal que:
1. 5 mujeres tienen 17 años

Secundaria
2. 16 mujeres no tiene 17 años
3. 14 mujeres no tiene 18 años
4. 10 hombres no tienen 17 ó 18 años
¿Cuántos hombres tienen 17 ó 18 años?
a) 25 b) 30 c) 28
d) 31 e) 32
PROBLEMAS PROPUESTOS 01
01. De 72 postulantes, se supo que 45 postulan a la
UNI, 36 postulan a Pacífico y los que postulan a las
dos universidades son el doble de los que no
postulan a ninguna de las dos. ¿Cuántos postulan a
una sola universidad?
a) 54 b) 36 c) 18
d) 27 e) 45
02. En un grupo de 55 personas, 25 hablan Inglés, 32
Francés, 33 Alemán y 5 los 3 idiomas. ¿Cuántas
personas del grupo hablan dos de estos idiomas,
sabiendo que, todos hablan por los menos uno de
estos 3 idiomas?
a) 20 b) 25 c) 22
d) 28 e) 21
03. Si: M = { a + b; 12; 2a - 2b + 4 } es un
conjunto unitario.
Además:
{ }
{ }ZK;bkx/xG
Zk;akx/xS
∈==
∈==
Hallar: ( S ’ ∪ G ’) ‘
a) { }Zk;k8x/x ∈=
b) { }Zk;k4x/x ∈=
c) { }Zk;k2x/x ∈=
d) { }Zk;k12x/x ∈=
e) N.a.
04. Dado el conjunto: M = { 2; 3; { 5; 7 }}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
1. 5 ∈ M
2. 7 ∈ M
3. { 5; 7} ⊂ M
4. { 2; 3} ⊂ M
5. φ ∈ M
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05. De 60 personas se sabe:
• 6 hombres tienen 20 años
• 18 hombres no tienen 21 años.
• 22 hombres no tienen 20 años.
• Tantas mujeres tienen 20 años como hombres
tienen 21 años.
¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?
a) 18 b) 22 c) 24
d) 32 e) N.a.
06. Hallar la suma de los elementos del siguiente
conjunto:
( ){ }6xNx/12G x
≤∧∈−=
a) 119 b) 120 c) 112
d) 127 e) N.a.
07. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B?. Siendo:
{ }10xNx/Z1x3B <∧∈∈+=
a) 31 b) 127 c) 63
d) 7 e) N.a.
08. En un grupo de 90 alumnos:
• 36 no llevan el curso de matemática
• 24 no llevan el curso de lenguaje y,
• 18 no llevan matemática ni leguaje.
¿Cuántos alumnos llevan exactamente un solo
curso?
a) 24 b) 48 c) 36
d) 30 e) N.a.
09. Dados los conjuntos A, B y C subconjuntos del
conjunto de los números naturales.
( ){ }






∈
+
=






∈
+
=
<<∧∈−=
Bz/
3
1z2
C
Ay/
2
3y
B
10x2Nx/1x2A
10. Al combinar “n” colores básicos de 2; 3; 4; ....; n
colores, se han obtenido 1013 nuevos tonos. Hallar:
“n”
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10.
TAREA DOMICILIARIA
01. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tal que están
incluidos en el universo U, donde:
• A ∩ C = C
• n( C ’) = 150
• n (AC
∩ BC
) = 90
• n [ (A ∪ b) - C ] = 6n (C)
Calcule: n (U)
02.Sean los conjuntos:
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
S = { (a, b) ∈ A x B/ b = a + 3 }
03.Dados los conjuntos unitarios:
{ }
{ }3,a3b2B
14,baA
−=
+=
Calcular n [P (C)] si n (C) = b - 3a
04.Para dos conjuntos comprables donde uno de
ellos tiene 3 elementos más que el otro, se
cumple que la suma de los cardinales de sus
conjuntos potencia es 576.
¿cuántos subconjuntos propios tiene la unión
de ellos?
a) 511 b) 15 c) 31
d) 107 e) 255
05.Cierto número de medallas de Oro, Plata y
Bronce es distribuido entre 100 atletas en un
festival deportivo. Se sabe que 45 atletas
reciben medallas de Oro, 45 reciben medallas
de Plata , 60 reciben medallas de Bronce, 15
reciben medallas de Oro como de Plata, 25
atletas reciben de Plata y Bronce, 20 reciben
medallas de Oro y Bronce, 5 reciben de Oro,
Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron
medallas?
06.Sean A y B dos conjuntos cualesquiera.
Simplificar:

Secundaria
( ) ( ) ( ){ }'B'A'BABA ∩∪∩∩∪
07. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres
partes, si se sabe que:
• 10 aprobaron sólo la primera parte
• 20 aprobaron la primera parte
• 25 aprobaron la segunda parte
• 21 aprobaron la tercera parte
• 6 aprobaron la segunda y tercera parte pero no la
primera
• 7 aprobaron las dos primeras partes
• 3 aprobaron las tres partes.
¿Cuántos desaprobaron las tres partes?
08. ( ) ( ) 26CnAn =+
Calcular el número de subconjuntos propios de B.
09. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente:
• 10 fuman pero no van a la academia
• 25 van a la academia pero no tienen 17 años
• 16 que no van a la academia no fuman y tienen 17
años.
• 5 van a la academia tienen 17 años pero no
fuman.
• 2 fuman van a la academia y tiene 17 años.
¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman, ni
van a la academia?
10. Si: C - B = φ, además:
A ∩ ( B ∪ C ) = { 0, 2, 3, 7, 6}
Calcular: A - ( B - C )C
si: A y C son disjuntos.
INTRODUCCIÓN
Antiguamente los egipcios, griegos y romanos
tenían formas distintas de representar los
números, la base de su numeración era decimal.
Otros pueblos elaboraron distintos sistemas: por
ejemplo, los babilonios tenían como base el
sesenta; los mayas, en América, desarrollaron un
sistema de base veinte. En cambio, los hindúes
habían desarrollado un práctico sistema de
notación numeral, al descubrir el cero y el valor
posicional de las cifras. Los árabes dieron a
conocer el sistema de Europa a partir de siglo
VIII por eso, nuestras cifras se llaman
indoarábigas.
En el siglo XVIII Leibnitz descubrió la
numeración de base binaria y la posibilidad de
infinitos sistemas de numeración.
En la actualidad el lenguaje de los números en
forma hablada y escrita tiene su alfabeto, que hoy
en día se utiliza en todas las naciones y se
denomina Sistema Decimal de Numeración que
utilizas las diez cifras del 0 al 9. Además, el uso
de los sistemas binario y hexadecimal que son los
que utilizan las computadoras para realizar sus
cálculos.
Numeración
Es la parte de la aritmética que se encarga del
estudio de la correcta formación, lectura y
escritura de los números.
Número
Es la idea asociada a una cantidad que nos
permite cuantificar los objetos de la naturaleza
Numeral
Es la representación simbólica o figurativa del
número
Ejemplo: Se puede representar:
, ≡, oo , 3, tres, etc.
Cifras
Los símbolos que convencionalmente se van a
utilizar para la formación de los números son:
0, 1, 2, 3, 4, …
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de principios, normas y convenios
que nos permite la formación, lectura y escritura
de los naturales.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
A. Del Orden
Toda cifra que forma parte de un numeral
ocupa un orden determinado, el cual se
considera de derecha a izquierda.
Ejemplo:
Cinco Cuatro Tres Dos Uno ORDEN
NUMERAL
LUGAR 1 2 3 4 5
9 6 5 7 4
⇒
⇒
B. De la Base
Todo sistema de numeración tiene una base
que es un número entero y mayor que la
unidad, el cual nos indica la cantidad de
unidades necesarias y suficientes de un orden
cualquiera para formar una unidad del orden
inmediato superior.
Ejemplo: Representar treinta y dos unidades
en la base 3, 10, 8, 6 y 4
Cuatro Tres Dos uno
1 0 1 2(3)
ORDEN
Nota:
En forma práctica la base nos indica de
cuanto en cuanto estamos agrupando las
unidades
Conclusiones:
1. Toda cifra que forma parte de un numeral
es un número entero no negativo y menor
que la base, es decir, en base “n”, se
puede utilizar “n” cifras diferentes, las
cuales son:
NUMERA

Secundaria
ivasignificat
nocifra
ivassignificatcifras
1)-(n,..........3,2,1,0,
máximacifra
↑
↓
  
A mayor numeral aparente le corresponde
menor base.
Del ejemplo obtenemos:
32 = 40(8) = 44(7) = 200(4) = 1012(3)
Es decir, si 120n = 45k
Como: 120 > 45
Afirmamos: n < k
ALGUNOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base Nombre
Del
Sistema
Cifras
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Binario
Ternario
Cuaternario
Quinario
Senario
Heptanario
Octavario
Nonario
Decimal
Undecimal
duodecimal
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3, … 6
0,1,2,3, … 7
0,1,2,3, … 8
0,1,2,3, … 9
0,1,2,3, … 9(10)
0,1,2,3,...9(10),(11)
Nota:
Por convención, cuando la cifra es mayor que 9
se utilizan letras para su representación.
(10) <> α <> A
(11) <> β <> B
(12) <> γ <> C
Ejemplos:
4(11)6(10)(15) = 4β6α(15) = 4B6A(15)
REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS
NÚMEROS
Cuando no se conocen las cifras de un numeral,
éstas se representan mediante letras teniendo en
cuenta que:
 Toda expresión entre paréntesis
representa una cifra.
 La primera cifra de un numeral debe
ser diferente de cero.
 Letras diferentes no necesariamente
indican cifras diferentes.
Ejemplos:
 Un numeral de 2 cifras de la base 10
ab ∈{10,11,12, …, 98, 99}.
 Un numeral de 3 cifras en base 7.
7mnp ∈ { 1007
,
1017, 1027, …, 6667 }
 Un numeral de 4 cifras consecutivas
creciente en base 7.
73)-2)(a1)(aaa( ++
NUMERAL CAPÍCUA
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes
son iguales.
Ejemplos: 557; 3538; naa ; 8
xyyz ;
k
mnppnm
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Ejemplo:
1. Simple.
 4352 = 4x103
+3x102
+5 x101
+2
 206458 = 2x84
+6x82
+4x81
+5
 3005046 = 3x65
+5x62
+4
 kabcd = ak3
+bk2
+ck+d
2. Por Bloques.
 4352 = 43x102
+52
 206458 = 208x83
+648x81
+5
 513abc = 135x53
+ 5abc
 nabab = nab x n2
+ nab
 kmnpmnp = kmnp x k2
+
kmnp
CAMBIO DE BASE
1. De base “n” a base 10(n≠0)
Ejemplo: Exprese 5246, en base 10
5246=5x62
+2x6+4=196
∴ 5246=196
2. De base 10 a base “n” (n≠0)
Ejemplo: Exprese 196, en base 6.
190 6
32 64
2 5
∴ 196 = 5246
Propiedades.
A. Numeral de cifras máximas
9 = 10 – 1 78 = 8 – 1
99 = 102
– 1 778 = 82
– 1
999 = 103
– 1 7778 = 83
– 1
En general:
n
cifrask""
1)-(n...1)-1)(n-(n    = nk
– 1
B.  1c = n + c
 n1b1b = n + c + b
 n1c1b1a = n + c + b + a
En general:
n1x
1d1c1b1a 
= n + x + … +d+c+b+a
Casos Especiales de Conversión:
1. De base “n” a base “nk
”
Procedimiento:
 Al numeral dado se les separa en
bloques de k, cifras (de derecha a izquierda)
 Cada bloque considerado en su base
respectiva, se descompone
polinómicamente, siendo el resultado una
cifra del numeral en la base “n”
Ejemplo: Expresar 111011101112 a base 8
Resolución:
Como 8 = a3
las cifras se separan en bloques
de 3 y luego se descompone cada bloque.
Base 2 11 101 110 1112
Base 8 3 5 6 78
∴ 111011101112 = 35678
2. De base nk
a base n
Procedimiento:
 Cada una de las cifras del numeral se
convierte a la base n, teniendo cuidado de
obtener bloques de k cifras (si existiesen
grupos incompletos, se completará con
ceros a la izquierda)
 Los bloques obtenidos conformarán la
representación en la nueva base
Ejemplo: Expresar 42839 en base 3
Resolución:

Secundaria
Como 9 = 32
, cada cifra del numeral se
convierte a base 3, generándose un bloque de
2 cifras.
Base 9 4 2 8 39
Base 3 11 02 22 103
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar (m + n), si 7n 341m45 =
a) 4 b) 8 c) 2
d) 10 e) 7
02.Hallar (a + b), si
( )58 2a43ab1 −=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
03.Calcular (b - a), si: 97 4a3aba =
a) 0 b) 1 c) 5
d) 3 e) 4
04.Si: 8n 13ab5a = . Hallar (a + b + n)
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
05.SI: ab5628 n = . Hallar (a + b + n)
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 45
06.Se tiene una colección de pesas: 1kg, 3kg,
9kg, 27kg, ...., y se desean pesar 3171 Kg.
¿Cuál es el menor número de pesas que deben
tomarse?
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
07.¿Cuál es la suma de las cifras del mayor
número de k cifras en base “n”?
a) n2
b) kn2
c) k (n - 1)
d) n (k - 1) e) k2
08.Hallar: a + b
( )( )( ) ( )5b 12331aa2a =+
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
09.Se tiene un número “N” expresado de la
siguiente manera:
31915.815.2115.2N 23
+−+=
a) 15 b) 20 c) 21
d) 25 e) 26
10.Calcular: a2
+ b2
+ c2
( ) ( )178 cbaabc =
a) 35 b) 34 c) 33
d) 36 e) 37
11.Calcular a + b + c, si: ( ) aaacab =
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
12.¿Cuál es la última cifra del menor número
capicúa de 5 cifras cuya suma de cifras es 27,
siendo cada una de ellas mayor que 9?
a) 4 b) 5 c) 3
d) 2 e) 6
13.Si: ( ) p44136n33m13 npn =++
Determine mnp en base “p” y dar como
respuesta la cifra de segundo orden
a) 6 b) 8 c) 12
d) 10 e) 16
14.Calcular m + n + p si los siguientes
numerales están bien escritos:
( ) ( ) ( ) ( )p5nm aa2a,m3n,21p,q23n
a) 20 b) 12 c) 18
d) 15 e) 16
15.El mayor numeral de 3 cifras diferentes de
cierto sistema de numeración es representado
en el sistema octavario, como 165. Calcule la
base de dicho sistema de numeración.
a) 8 b) 6 c) 5
d) 10 e) 12
16.Al convertir el número ( )50n2n sistema
heptanario se obtiene el numeral de tres cifras
consecutivas crecientes. Halle el numeral en
base 6.
a) 5006 b) 3236 c) 2136
d) 5056 e) 3026
17.Cuál es la base del mayor numeral de “k”
cifras que sea equivalente al mayor numeral
de “2k” cifras de la base 7.
a) 49 b) 25 c) 40
d) 36 e) 30
18.Un móvil recorre 2 tramos de una carrera
empleando un mismo tiempo, partiendo un
kilómetro 0a hasta ( )baa + . Si el
primer tramo fue hasta el kilómetro ab
empleando a partir de ese momento una
velocidad 3/4 de la anterior. Hallar a + b.
a) 8 b) 7 c) 12
d) 10 e) 14
19.¿Cuántos números se representan con
numerales de dos cifras tanto en el sistema
quinario como en el octal a la vez?
a) 16 b) 17 c) 18
d) 20 e) 256
20.Si 4n 00aa2a = . Hallar:
E = an
an
an
an
+ an
an
an
an
an
30
veces
20
veces
a) 280 b) 170 c) 200
d) 160 e) 240
21.Expresar 93278 a base 3 y dar como
respuesta la suma de sus cifras.
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
22.Hallar (a + b + c), si:
( ) 31d,42c,21b,432,3a dcab +
a) 21 b) 25 c) 26
d) 27 e) 28
PROBLEMAS PROPUESTO 02

Secundaria
01.Si: ( ) 7n 6616ba5ab =
Hallar el valor de. A + b + n
a) 11 b) 10 c) 12
d) 13 e) 14
02.Determinar el valor numérico de:
( )cba −+ , si se cumple que:
bac9 120516112553abc ===
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 1
03.César nació en el año ab19 y se sabe que
en el año ba19 , cumplirá (a + b) años.
¿Cuántos Años cumplirá en el año 2002?
a) 54 b) 55 c) 56
d) 57 e) 58
04.¿Cuál es el número comprendido entre 200 y
300, tal que leído al revés es el doble del
número que sigue al original?
a) 297 b) 295 c) 237
c) 247 e) 252
05.Si el numeral 21212 n se convierte a base n2
,
se obtiene un numeral cuya suma de cifras
(en base decimal) es 16. hallar “n”
a) 4 b) 3 c) 6
d) 8 e) 5
06.Si al número abcde se le agrega un 3 a la
derecha y a continuación se le multiplica por
2, no da como resultado el número abcde
con un 2 a la izquierda. Hallar a+b+c+d+e.
a) 11 b) 12 c) 13
d) 14 e) 15
07.Si los siguientes numerales están
correctamente escritos:
p6nm 1211;m3n;21p;p23n
Calcular: (m + n - p)
a) 2 b) 6 c) 4
d) 8 e) 10
08.El mayor número de 3 cifras diferentes en
cierto sistema de numeración viene expresado
por 225 en el sistema de base 7. Hallar la base
de dicho sistema.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
TAREA DOMICILIARIA
01.Trasladar 243(8) a base 10. Dar como
respuesta la cifra que ocupa el orden de las
unidades.
02.Efectuar: ( ) ( )22 1101011 +
Dar la respuesta en el sistema decimal.
03.Si: ( )4baab = . Calcular: 3a + 2b.
04.Si se cumple:
( ) ( )c9 72ab2a =
Calcular: a.b.c
05.Calcular: a + b,
Si: 252ba.ab =
06.¿Qué numeral está dicho de manera
incorrecta?
1. ( )14αβαβ
2. αβαβ
3. ( )15αβαβ
4. ( )91αβαβ
07.Represente correctamente(reconstruya):
45.c5.25.a 354
+++
08.Si los siguientes numerales están bien
representados ( ) ( ) ( )ac4 c2;bb;1a1
Calcular: a + b + c
09.Hallar: a + b + c
Si: abcccbbaa =++
10.Trasladar 1010 (2) a base 4.
TEORÍA DE LA

Secundaria
DIVISIBILIDAD DE LOS NÚMEROS
Un número entero A se dice que es divisible entre
otro número entero positivo B, llamado divisor, si
al dividir A entre B la división resulta exacta. Es
decir:
Donde: A ∈ Z
B ∈ Z+
K ∈ Z
Se dice:
A es divisible entre B
B es un divisor de A
Ejemplos: Sea el número 28 y el 7 al dividir:
28 7
0 4
Se puede decir:
28 es divisible entre 7
7 es un divisor de 28
MULTIPLICIDAD DE LOS NÚMEROS
Un número entero A es múltiplo de otro número
entero positivo B, si existe un tercer número
entero “K”, tal que al multiplicar por B resulta el
número A.
A = BK de la división anterior
Se dice:
A es múltiplo de B
B es un factor de A
Del ejemplo anterior
28 = 7 x 4
28 es múltiplo de 7
7 es un factor de 28
Nota:
 Indicar que un número es
divisible o múltiplo de otro, lo consideramos
como equivalente
 Todo divisor de un número, es
un factor de dicho número.
Si un número entero A es múltiplo o divisible
entre otro entero positivo B se denota:
 A =
o
B
 A = o
B
Ejemplo:
 21 =
o
7  5 =
o
5
 -45 =
o
9  0 =
o
3
 -460 =
10
o
 14 =
o
2
 -57=
19
o

25
o
ab00 =
Nota:
El cero es múltiplo de cualquier positivo
Ejemplos:
1. Indique en forma explícita los divisores
positivos de 12 y 125.
a. 12:   
Divisores
126,4,3,2,1,
b. -125: 
Divisores
12525,5,1,
Se observa que un número es múltiplo o
divisible de cada uno de sus divisores
2. Indique en forma explícita los múltiplos de 7
y 11
a.
o
7 : … -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …
⇒
o
7 = 7k, k ∈ Z
b.
…… 23,22,11,0,11,-22,-33,-:11
o
⇒
Ζ∈= kk,1111
o
Aplicación:
1. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras
son:
a. múltiplos de 15.
b. múltiplos de 9 pero no de 5
c. múltiplo de 7.
d. múltiplo de 13 que terminan en cifras
cero.
Rpta:
a. 60 b. 80
c. 128 d.7
NÚMEROS NO DIVISIBLES
Si un número entero A al dividir entre el número
entero positivo B, la división resulta inexacta, se
afirma que A no es divisible entre B. Por ser
inexacta la división puede ser de dos tipos:
Por defecto Por exceso
A B
r qd
A B
r q + 1e
Donde:
rd + re = B
Si un número no es múltiplo de un módulo, se
puede expresar dicho número respecto a este
módulo, por defecto o por exceso.
Ejemplo:
 63 = 10 x 6 + 3 
63 = 10 x 7 - 7
63 = o
10
+3 63 = o
10
-7
Además:
N = o
21
+11⇒M = o
21
-10
M = o
10
-6⇒M= o
10
+4
Aplicaciones:
1. Calcule la suma de todos números positivos
de dos cifras, tal que al dividirse entre 8 se
obtienen residuos máximos.
Rpta. 605
2. Calcule cuántos números positivos de 3 cifras
son o
13
+7 y además dichos números
terminan en cifra dos.
Rpta. 7
Principios:
I. Operaciones con números múltiplos de un
mismo módulo:
a. 33 + 22 = 55
o
11
+ o
11
= o
11
⇒ o
n
+ o
n
= o
n
b. 33 – 22 = 55
o
11
- o
11
= o
11
⇒ o
n
- o
n
= o
n
c. 91 =
o
7
11 x (91) =
o
7
A B
0 K

Secundaria
Si A =
o
n
⇒ Am
=
o
n
Si: m ∈ Z+
Aplicación:
1. Calcule cuál es el residuo al dividir entre 13.
Si: N = 11x 2m
+ 910 x 2m
+ 132 x 2n
n ∈ Z+
y m∈ Zo
+
II. Si un número es múltiplo entre cierto módulo
es múltiplo con cada divisor del módulo.
Ejemplo: 15: 
divisores
155,3,1,
Entonces:
15 =
o
1
15 =
o
3
15 =
o
5
15 =
o
15
III. Si un número es múltiplo con varios módulos,
entonces es múltiplo del MCM de dichos
módulos.
Ejemplo: Sea.









=
=
=
o
o
8A
5A
6A
o
Entonces:⇒A=
120
o
MCM(6,5,8)
o
=
En General:
Si:









=
=
=
o
o
o
cA
bA
aA
Entonces: ⇒A=
c)b,MCM(a,
o
Ejemplo sea:









+=
+=
+=
310N
38N
39N
o
o
o
Entonces: ⇒
3c)b,MCM(a,
o
N
+
=
Si:









±=
±=
±=
rcN
rbN
raN
o
o
o
Entonces: ⇒=
rc)b,MCM(a,
o
N
±
=
Aplicaciones
1. Calcule el menor número positivo de 4
cifras, tal que al ser divididos entre 2,3,4,
… y 9 siempre se obtiene residuos
máximos.
Rpta. 2519
2. Calcule cuántos números de 3 cifras son
múltiplos de 4 y pero no de 5.
Rpta. 60
Observación
(
o
8 +3)(
o
8 +2)=
o
8 +
o
8 +
o
8 +
o
6
o
8= +6
Ejemplo:
 (
o
9 +2)(
o
9 +1)(
o
9 +3)=
o
9 +6
 (
o
n +a)(
o
n +b)(
o
n +c)…(
o
n +x)=
o
n +axbxCx…xX
Aplicaciones:
1. Calcule el residuo al dividir N entre 9 si:
N = 393 xy10xmn7xab12
Rpta. 6
2. Calcule el residuo al dividir A entre 22 si:
A = 23 x 24 x 25 x … x 29
Rpta. 2
BINOMIO DE NEWTON:
Sea la multiplicación:
k
o
factoresk""
oooo
a)n(a)nx(...a)xna)(na)(n( ±=±±±±   
Su desarrollo:
1. a)n(
o
± =
±
o
n ak
2. k
o
a)n( ±










−
+
k
o
k
o
an
imparesKSi
an
paresKSi
Ejemplos:
 (
o
7 +2)6
=
o
7 +26
 (
o
9 - 3)20
=
o
9
+320
 45
)519
o
( −
=
45
519
o
−
 abc)143
o
( +
=
143
o
+
 ab31
)18
o
( −
=
18
o
−
Aplicaciones
1. Calcule el residuo al dividir:
A = (1333)508
entre 11
Rpta. 3
2. Si: B = 623
2 )ab101( se expresa en base
8, calcule la última cifra.
Rpta. 5

Secundaria
3.
165
o
ab
−= además ab =
o
7 calcule la
suma de valores de ab
Rpta. 336
RESTOS POTENCIALES
Se llaman restos potenciales de un entero
E(diferente de cero) respecto a un módulo m a los
residuos que deja la serie natural de las potencias
sucesivas, enteras y positivas de E al ser divididas
entre el módulo “m”
Ejemplo:
Calcular los restos potenciales de 5 respecto al
módulo 9.
50
= 0+1 =………….. =
o
9 + 1
51
= 0+5 =…………. =
o
9 + 5
52
=5.5 =………….. =
o
9 + 25 =
o
9 +7
53
= 5.52
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +7)
=
o
9 +35=
o
9 +8
54
=5.53
=………….. = (
o
9 +5)(
o
9 +8)
=
o
9 +40=
o
9 +4
55
=5.54
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +4)
=
o
9 +20=
o
9 +2
56
=5.55
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +2)
=
o
9 +10=
o
9 +1
57
=5.56
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +1)
=
o
9 +5
58
=5.57
=………….. =(
o
9 +5)(
o
9 +5)
=
o
9 +25=
o
9 +7
Obsérvese que los restos potenciales empiezan a
repetirse en forma ordenada y periódicamente. Al
tomar una potencia cualquiera luego de 6
potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto
que deja la potencia tomada inicialmente.
Ejemplo:
51
, 57
, 513
, …, 16
5 +
o
Siempre dejarán de resto 5 respecto al módulo 9
 Las potencias: 53
, 59
, 515
, …, 36
5 +
o
Siempre dejarán de resto 8 respecto al módulo 9
CASO PARTICULAR: El 5302
al dividirse entre
9, ¿Cuánto deja como resultado?
Solución:
5302
+ 9
5302
= 26
5 +
o
= 79
o
+
Toda potencia de 5 cuyo exponente sea múltiplo
de 6 más 2, siempre deja como residuo 7.
GAUSSIANO (q)
SE llama gaussiano de un entero E respecto a un
módulo m, a la cantidad de restos potenciales
diferentes entre sí y diferentes de cero que se
repiten ordenada y periódicamente.
Del ejemplo anterior el gaussiano de 5 módulo 9
es 6 porque existen 6 restos potenciales diferentes
entre sí que se repiten ordenada y periódicamente.
Ejemplo2:
Calcular los restos potenciales de 3 respecto al
módulo 5.
30
=
o
5 +1 … =
o
5 +1
31
=
o
5 +3 … =
o
5 +3
32
=
o
5 +4 … =
o
5 + 4
33
= (
o
5 +3)(
o
5 +4) =
o
5 +2
34
= (
o
5 +3)(
o
5 +2)
o
5 +1
35
=(
o
5 +3)(
o
5 +1)=
o
5 +3
36
=(
o
5 +3)(
o
5 +3)=
o
5 +4
37
=(
o
5 +3)(
o
5 +4)=
o
5 +2
Los restos que se repiten ordenada y
periódicamente son: 1,3,4 y 2.
Luego el gaussiano(g) = 4
Ejemplo:
Al dividir 326
entre 5. ¿Cuál es el residuo?
326
= 24
o
3 + =
o
5 +4
Toda potencia de 3 que se
o
4 +2 al ser dividido
entre 5 deja de resto 4.
r = 4
Observaciones
Mediante la aplicación de estos potenciales se
determina cualquier criterio de divisibilidad
Ejemplo:
Hallar el criterio de divisivilidad por 7.
Si: N =
o
7fgh.....abcde.................... =
Por descomposición Polinómica:
N = h+10g +102
f+103
e+104
d+105
c+106
b
+107
ª+…
Expresando las potencias de 10 según módulo 7.
+
+
++
6)
o
7(
2)e73)(7(+2)f+7(+3)g+7(+h=N
oooo
  
+
+
+++
+
+++
+
++
1)
o
7(
5)b73)(7(
5)
o
7(
4)c73)(7(
4)
o
7(
6)d73)(7(
oooooo
      
...a)17)(37(
3)7(
oo
o
+++
+
  
4)d7(6)e7(+2)f+7(+3)g+7(+h=N
oooo
+++
+++++++ 3)a7(1)b7(5)c7(
ooo
O también:
)d37()e17(+2)f+7(+3)g+7(+h=N
oooo
−+−
+++++−+ 3)a7(1)b7()c27(
ooo
d37e7+2f+7+3g+7+h=N
oooo
−+−
+++++−+ 3a7b7c27
ooo
)3ab2c-d3e2f+3g+h(7=N
o
+++−−+
Interpretación:
Si N es múltiplo de 7 entonces al multiplicar sus
cifras de de derecha a izquierda por: 1,3,2, -1, -3,
-2, 1, 3, … respectivamente y al efectuar la suma
algebraica, el resultado es también múltiplo de 7.
Ejemplo 2:
Hallar el criterio de divisibilidad por 4 en el
sistema de base 5.
Solución:
Si: N =
o
(5) 4.abcdef.................... =
Descomponiendo Polinómicamente:

Secundaria
N = f +5e + 52
d+53
c+54
b+52
a+…
Expresando N según módulo 4:
N=f+(4+1)e+(4+1)2
d+(4+1)3
c+(4+1)4
b+
(4+1)5
a+…
Por Binomio de Newton aplicado a la
divisibilidad:
N = f(
o
4 +1)e + (
o
4 +12
)d + (
o
4 +13
)c +
(
o
4 +14
)b + (
o
4 +15
)a + …
N = f+
o
4 + e+
o
4 + d+
o
4 + c+
o
4 + b+
o
4 +
a + …
N =
o
4 +(f +e +d +c +b +a +…)
Interpretación:
Para que N sea
o
4 , entonces la suma de sus
cifras tiene que ser también múltiplo de 4.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Sea el numero “N”
Donde: N = abcde
Divisibilidad por 2n
y 5n
 N =
o
2 ↔e =
o
2
 n =
o
4 ↔ de =
o
4

oo
8cde8 =↔
 N =
oo
5e5 =↔

oo
125cde125 =↔
Aplicaciones
1. Si:
o
81)aa431(a =+
Calcule: “a”
Rpta. 4
2. Si:
o
251)3ba(a =−
Calcule al suma de los valores de (a+b)
Rpta. 19
3. Si:
o
1251)baa3(b =+
Calcule la suma de valores de (a+b)
Rpta. 12
Divisibilidad por 3 y 9
 N = abcde
 N =
o
3 ↔ a + b + c + e =
o
3
 N=
o
9 ↔ a + b + c + e =
o
9
Aplicaciones:
1. Si
o
3abc = . Calcule cuál es la última cifra
al expresar.
N = ab132ba2cc en base 3
Rpta. 2
2. Si:
-mnpy5pnm;9mpn
oo
−−
calcule (m + n + p) máximo
Rpta. 18
DIVISIBILIDAD POR 11
N = abcde
+-+-+
N = ↔
o
11 a + c + e – b – d =
o
11
Aplicaciones:
1. Calcule el residuo al dividir
N = aabccb357 entre 11
Rpta. 5
2. Si:
o
11ab3abab =
calcule (a + b) máximo.
Rpta. 15
IV. Principio de Arquímedes
Si el producto de dos números enteros es
múltiplo de cierto módulo y uno de los
números no es múltiplo del módulo, entonces
el otro número debe ser múltiplo de dicho
módulo.
Ejemplo:
 5a =
o
17
a =
o
17
 23xb=
o
16
b =
o
16
 4xc =
o
6
2c =
o
3
c =
o
3
 91xd=
o
39
7xd =
o
3
d =
o
3
 12e =
o
37 +24 → 12(e-2)=
o
37 → e
– 2
=
o
37 →e =
o
37 +2
 8xf=
o
17 -16→8(f+2)=
o
17 ∧f+2=
o
17
f =
o
17 -2
 11xg=
o
53 +44
g =
o
53
+4
 5xh=
o
7 +3

10
o
7375xh ++=
h =
o
7 +2
 9xi =
o
13 +1

27
o
261139 ++=i
i =
o
13
+3
 23n =
o
24 +1
23n =
o
24
-23
n =
o
24
-1

Secundaria
Aplicaciones:
I. Si: 1 +++++ abc5abc3abc 
41
o
170abc =
Calcule la suma de valores de abc
Rpta. 2550
II. Alexandra tiene una cantidad de estampillas,
si los agrupa de 7 en 7 sobran 2; si se agrupan
de 9 en 9 le faltan 4 unidades para formar un
grupo más. ¿Cuántas estampillas posee si
dicha cantidad es el menor posible de 3
cifras?
Rpta. 149
III. Un número expresado en cierta base es:
 múltiplo de la base más la última
cifra.
 múltiplo de la base elevado al
cuadrado más las dos últimas cifras en
dicha base.
 múltiplo de la base elevado al cubo
más las tres últimos cifras en dicha base.
Sea: N = (K)abcd
Entonces:
 N =
o
K +d
 N =
)(
o
2
cd KK +
 N =
)(
o
3
bcd KK +
Ejemplo:

37ab3
o
7 +=

59mn5
o
9 +=

3
o
3 129xy12 +=
59
o
+

2
o
2 114mn11 +=
34
o
+

3
o
3 10127ab101 +=
1027
o
+

2
o
(2) 1018cd101 +=
58
o
+
 N =
o
9 +3= …….3g = ….103
 M =
o
7 +4= …47
 P =
1381
o
+
 P = ……… (13)(81)
 P = ……… 14(9)
PRACTICA DE CLASE
01.Hallar la suma de todos los valores que puede
adoptar la cifra “c” para que el número
76a67 sea divisible por 8.
a) 5 b) 2 c) 3
d) 20 e) 25
02.¿Cuántos números de la forma a472 son
divisibles por 6?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03.Hallar el valor de “a” si el número
4aa157 es divisible por 9.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04.¿Cuántos números de 4 cifras consecutivas,
sin importar el orden de ellas, son divisibles
por 9?
a) 6 b) 12 c) 18
d) 24 e) 256
05.Hallar el residuo de dividir 
cifras77
7...777
por
9.
a) 8 b) 12 c) 6
d) 5 e) 4
06.Hallar “a+b”, si el número
( )( )( )2b1aa −+ es divisible por
75 y el menor posible.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07.¿Cuántos números de la forma
babababab son divisibles por 15?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Hallar. “a - b”
Si: °=72b53ab8
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
09.Hallar la menor cantidad de páginas que
puede tener un libro: sabiendo que si se
cuenta de 18 en 18 sobran 11, de 24 en 24
sobran 17, de 30 en 30 sobran 23, de once no
sobra nada. Dar como la suma de sus cifras.
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
10.Sea:
217N
719N
+°=
+
°
=
Hallar el resto que resulta al dividir “N” entre
323.
a) 12 b) 119 c) 102
d) 34 e) 121
11.Cuántos 1013 +° hay en la siguiente
serie:
29; 37; 45; 53; 4517
a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45
12.En la siguiente serie:
( ) ( ) ( ) (16;...;3156;2156;1156 +++
¿Cuántos términos no son °
45 ?
a) 2 b) 6 c) 10
d) 94 e) 98
13.Si se sabe que:
°=++++ 17a9....a3a2a1
Calcular el valor de “a”
a) 1 b) 6 c) 10
d) 94 e) 98
14.Si:
10ab3cdy17abcd +=°= .
Calcular: “a + b + c + d”
a) 15 b) 20 c) 25
d) 27 e) N.a.
15. En un barco hay 200 personas; ocurre un
accidente y de los sobrevivientes los 4/3 son
solteros; los 2/7 son casados y los 3/8 son
mujeres que usan minifalda. ¿cuántas
personas perdieron la vida?

Secundaria
a) 23 b) 32 c) 34
d) 36 e) 42
16.En una fiesta hay 140 personas. Los 5/11 de
las mujeres coquetean y los 8/17 de los
varones fuman. ¿cuántos son los varones y
cuántas las mujeres? . Dar la diferencia de
ellos.
a) 35 b) 40 c) 45
d) 25 e) 30
17.Si: 89abc
a
+°= ;
79abc
b
−°= ; y 49
c
abc +°=
.
Hallar el residuo de dividir abc
abc entre 9
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 5
18.Si se sabe que: 252003 ab
+°= .
¿cuántos valores puede tomar ab ?
a) 21 b) 22 c) 23
d) 24 e) 25
19.Expresar el segundo numeral 3271
en base 8.
dar la cifra de primer orden.
a) 1 b) 0 c) 2
c) 3 e) 4
20.Hallar el resultado en la siguiente división
942326
÷ 13
a) 3 b) 6 c) 9
d) 1 e) 7
21.Calcular el residuo que se obtiene de dividir
17N ÷
N = 24. 242
. 243
. ...... 24240
a) 13 b) 11 c) 15
d) 1 e) 16
22.Hallar “a - b”. Si °=7ab
( )ba729108 baab
++°=+×
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
23.El segmento numeral N = 256 652
se expresa
en base 9 ¿Cuál es la suma de sus unidades?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
EJERCICIOS PROPUESTOS 03
01.¿Cuántos números de la siguiente sucesión:
47, 53, 59, ... ; 809 son múltiplos de 11 más
2?
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 8
02.En el sistema de base 7 la cifra de las
unidades del número: 19931994
es:
a) 1 b) 5 c) 4
d) 6 e) 2
03.¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos
de 5 ó de 6 pero no de 8?
a) 246 b) 247 c) 248
d) 249 e) 251
04.Si el número abcd es divisible entre 13 y
se cumple que ( )2ab3cd +=
Calcular: “a + d”
a) 16 b) 12 c) 8
d) 4 e) 15
05.Se dispone de 100 soles para comprar sellos
de 1, 4 y 12 soles la unidad ¿Cuántos sellos,
como máximo, de cada uno de estos precios
deben comprarse?
a) 28; 15; 1 b) 20; 12; 8 c) 20; 11; 9
d) 28; 78; 4 e) 18; 16; 6
06.Si: 4368000aba130!15 =
Calcular:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e)7
07.¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos
de 17 terminan en la cifra 6?
a) 8 b) 7 c) 15
d) 12 e) N.a.
08.En los salones de la Academia hay 690
alumno; se observa que los 5/8 de las mujeres
son menores de 17 años; los 3/11 de las
mismas son estudiosas y los 2/5 de ellas
postulan a la UNT. ¿Cuántos hombres hay en
la academia?
a) 440 b) 250 c) 360
d) 300 e) 490
TAREA DOMICILIARIA
01.Entre 300 y 7000. ¿Cuántos números que
terminan en 8 son divisibles entre 12?
02.Encuentra todos los números de 3 cifras
divisibles entre 11, tal que al agregarles la
suma de cifras el resultado también sea
múltiplo de 11. Dar la suma de todos estos
números.
a) 3014 b) 6666 c) 4444
d) 2516 e) 1414
03.Al dividir ( )
a
ab entre 7 el restos es 2 y al
dividir ( )
b
ab entre 7 el resto es 5. Calcular
el resto de dividir ( )
ab
ab entre 7.
04.Determinar el mayor valor de abc ,
sabiendo que: 7974 abc
+°=
05.Al dividir un número formado por 40 cifras 3,
seguido de 45 cifras 4 entre 7. ¿qué residuo
dejará?
06.Si el numeral:

Secundaria
( )( )( )( )( )5a4a3a2a1a +++++
Es múltiplo de 7 con residuo 5. hallar b
sabiendo que:
( ) 2114abbb +°=+
07.En el sistema de base 7 la cifra de las
unidades del número 1459 es:
08.Cuál es el menor valor que puede tomar ab
si:
°=++++ 91ab20....ab3ab2ab
09.El numeral ( )( )( )abcc2b2a2 es
siempre divisible por:
10.La expresión: ( ) ( )
2
5
2
5 cbaabc − no
siempre será divisible entre:
11.La expresión:
( ) ( ) ( ) 243
611311211S +°++°++°=
Es igual a:
12.En un barco viajaban 150 personas y ocurre
un accidente, obteniéndose la siguiente
información de los sobrevivientes: los tres
séptimos son casados y los cuatro treceavos
eran extranjeros. ¿Cuántos murieron en el
accidente?
13.Si: °=°= 11A7y11A4 , ¿Cuál
es el menor valor que puede tomar “A” si es
un número de tres cifras?. Dar como
respuesta la suma de sus cifras?
14.Un número de la forma: ( )( )b2a2ab
es siempre divisible por:
15.Determinar la suma de cifras del primer
término de la progresión: 7; 12; 17;... que
resulte ser múltiplo de 13.
16.La diferencia de aba y bab será
siempre divisible por:
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03
01. E A C
02. B D C
03. A D D
04. B B D
05. B E A
06. B D E
07. C B C
08. A A B
09.
10. E
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