NUMEROS ENTEROS con ejercicios y preguntas.pptx

RETROALIMENTACION PRUEBA
DIAGNOSTICA

PREGUNTA 1
Una caja de frasco de mermelada pesa 65 kg. Si se sabe que cada frasco lleno pesa
7 kg . ¿Cuántos frascos hay en una caja?
65
7
= 9, 285714
Respuesta → 9 𝑓𝑟𝑎𝑠𝑐𝑜𝑠

PREGUNTA 2
Teniendo en cuenta la pregunta anterior, el peso aproximado de la caja de frascos
mermelada vacía es de:
Respuesta → 2 𝑘𝑔

PREGUNTA 3
En un albergue coinciden tres grupos de excursionistas de 40, 56 y 72 personas cada grupo. El camarero
quiere organizar el comedor de forma que en cada mesa haya igual número de comensales y se reúna el
mayor número de personas posible sin mezclar los grupos. ¿Cuántos comensales sentará en cada mesa?
• Primero hay que encontrar el MCD
• 𝑀𝐶𝐷 → 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Respuesta → 8 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠
40 56 72 2
20 28 36 2
10 14 18 2
5 7 9

PREGUNTA 4
Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida
por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué
distancia coinciden las huellas del gato y las de la
rana?
• Primero hay que encontrar el MCM
• 𝑀𝐶𝑀 → 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 180
Respuesta → 180 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠
60 90 2
30 45 3
10 15 5
2 3 2
1 3 3
1

PREGUNTA 5
En una competencia de carros, los competidores han recorrido 243,82 km en la
primera etapa, 246,4 km en la segunda y 162 km en la tercera etapa. ¿Cuanto
corrieron en total?
Respuesta → 652,22 𝑘𝑚
243,82
246,40
162,00
652,22

PREGUNTA 6
Lina necesita
2
4
de harina para hacer una torta para el cumpleaños de su hermana y
además necesita
1
7
de harina más, para las galletas de sus sobrinos, ¿Cuánta harina
debe comprar Lina?
2
4
+
1
7
=
2 ∙ 7 + 4 ∙ 1
4 ∙ 7
=
14 + 4
28
=
18
28
=
9
14
Respuesta →
9
14

PREGUNTA 7
Según los puntos obtenidos, cada
estudiante o grupo de estudiante se
ubica en un nivel de clasificación tal
como se señala en la siguiente tabla.
11.
¿En que nivel se ubica la mayoría de los
estudiantes que presentaron la prueba?
Respuesta → 𝐵𝑎𝑠𝑖𝑐𝑜

PREGUNTA 8
Teniendo en cuenta la pregunta
anterior, ¿Cuántos estudiantes en total
presentaron la prueba?
Respuesta → 150

PREGUNTA 9
La siguiente imagen muestra un plano
de una ciudad, donde se muestran
diferentes vías. Las vías que son
paralelas en la figura anterior son:
Respuesta → Valencia y Ávila

PREGUNTA 10
¿En cuál de las siguientes imágenes, la
figura punteada NO representa una
rotación en torno al punto P?
Respuesta → 𝐵

LOGRO DE METAS PERSONALES.
En palabras simples, el logro de metas y objetivos, es
por un lado (o en ciertos aspectos) Muy Fácil, y por el
otro Muy Difícil. ¿Cómo puede ser esto posible? Bien, es
posible debido a que hablamos de contextos diferentes.
Principalmente, para lograr objetivos y metas en la vida,
necesitaremos 3 pasos fundamentales:
• Definir Claramente Nuestros Objetivos y Metas
• Aprovechar Nuestra Fuerza De Voluntad Y Actuar
• Persistir Y Perseverar Hasta Llegar Al Destino
Dichos pasos indudablemente te llevarán al logro de
metas y objetivos, si los aplicas de forma juiciosa. Sin
embargo, he aquí el problema, no siempre será sencillo
llevarlos a cabo.

ACTIVIDAD «ESCALERA DEL ÉXITO».
La actividad consiste en elaborar un
cuadro visual sobre una meta que te
proponga y los pasos que debe cumplir
para alcanzarla. piensa en la meta y los
pasos para que puedan completar la
escalera y establecer la estrategia con
tus propios pasos. Luego, anoten en el
siguiente esquema o cuadro para no
olvidarlo y lo pongan en un lugar
visible de su casa junto con la escalera.

SABERES PREVIOS
Resuelve las siguientes preguntas.
1. Escribe cuatro números que pertenezcan al conjunto de los números naturales
2. ¿Por qué la sustracción 124 − 253 no tiene solución en el conjunto de los números naturales.
3. ¿Cómo se ubica el número 4 en una semirrecta numérica?
4. Entre 248 y 284, ¿qué número es menor?
5. Escribe cinco números mayores que 2450 y menores que 3000,
6. Describe cómo se resuelve la operación 5 + 2 × 3 − 1,
7. El producto de un número por 24, es 72. ¿Cuál es el número?

SITUACION DE APRENDIZAJE.
Camilo y Sara viven sobre la misma calle en la que se encuentra un parque. La casa de Camilo está
tres cuadras antes del parque, y la de Sara está tres cuadras después del parque. ¿Cómo son las
posiciones de las casas de Camilo y Sara en relación con la ubicación del parque?
Solución.
La situación planteada se puede representar como en la Figura.
Si se toma la ubicación del parque como punto de referencia, se puede afirmar que las casas de
Camilo y de Sara están en posiciones opuestas.

NÚMEROS RELATIVOS.
Al fijar un punto de referencia es posible determinar dos sentidos u orientaciones.
Los números que indican una cantidad con respecto a un punto de referencia se
denominan números relativos.
Los números relativos se escriben acompañados por el signo más (+) o por el signo
menos (– ). Se ha convenido utilizar el signo más para las cantidades que expresan
situaciones como “a la derecha de”, “encima de”, “sobre el nivel del mar”, etc., y se
utiliza el signo menos para las cantidades que se refieren a situaciones como “antes
de”, “a la izquierda de”, “bajo cero”, “bajo el nivel del mar”, entre otras.

TEN EN CUENTA
Un punto de referencia determina dos sentidos. Se utiliza al establecer expresiones como:
• Arriba de – abajo de
• Sobre el nivel – bajo el nivel
• Antes de – después de
• Atrás de – adelante de
• A la izquierda de – a la derecha de
• Por debajo de – por encima de
• Menos que – más que
• Encima de – debajo de

EJEMPLO 1
Kelly nació en el año 2000. Sus padres contrajeron matrimonio en 1996 y tuvieron su primer hijo Felipe,
en 1999. El bautizo de Kelly fue en el 2005 y cursó su quinto grado en 2011.
a) ¿Cuál es el punto de referencia en esta situación?
b) ¿Cuál es el número relativo asociado a los sucesos alrededor del punto de referencia? Explica en
cada caso tu respuesta.
Solución.
a) El año 2000 cuando nació Kelly
b) Los puntos de referencia asociados serian los siguiente
.
1996 1999 2000 2005 2011
-4 -1 0 5 11

EJEMPLO 2
Identifica el punto de referencia en cada caso, luego escribe el número relativo
correspondiente.
a. Hace nueve años viajé a Madrid.
b. Dos años después de graduarme tuve mi primer carro.
c. Se sumergió 30 metros bajo el nivel del mar.
Solución.
a. El presente.
b. La graduación.
c. El nivel del mar.

Santiago realizó los siguientes movimientos en su cuenta bancaria: el lunes consignó $
300, el martes retiró $ 120, el miércoles retiró $ 95 y el jueves consignó $ 80. Representa
matemáticamente estos movimientos bancarios.
Solución.
En los movimientos bancarios, se acostumbra a representar las consignaciones
precedidas con el signo más y los retiros con el signo menos. Por lo tanto, los
movimientos en la cuenta bancaria de Santiago se pueden representar como se muestra
en la Tabla.
.

NUMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros está formado por los enteros negativos, los
enteros positivos y el 0.
ℤ = ℤ−⋃ ℤ+
ℤ = … , −4, −3, −2, −1,0, +1, +2, +3, +4, …
Ten en cuenta
El 0 es el único número entero que no tiene signo: no es positivo ni negativo.
Los números enteros positivos coinciden con los números naturales; por eso, es
común que al escribir un número entero positivo se omita el signo más (+).

EJEMPLO 3.
Al tomar 0 °𝐶 como punto de referencia (temperatura nula), ¿con que numero
entero se puede representar una temperatura de 13 °𝐶 bajo cero y una temperatura
extrema de 38 °𝐶?
Solución.
Al tomar 0 °𝐶 como punto de referencia (temperatura nula), se puede representar
una temperatura de 13 °𝐶 bajo cero con el número entero negativo −13 °𝐶 y una
temperatura extrema de 38 °𝐶 como +38 °𝐶

EJEMPLO 4.
Para expresar la fecha de ocurrencia de diferentes acontecimientos, se ha convenido
tomar como referencia o punto 0 el año de nacimiento de Cristo. Por esta razón, las
fechas anteriores al nacimiento de Cristo se escriben precedidas por el signo
menos (−) y, las posteriores, con el signo más (+). El suceso “Euclides, geómetra
griego, nació en el año 306 𝑎. 𝐶. y murió en el año 283 𝑎. 𝐶.” ¿Como se puede
expresar con números enteros?
Solución.
El suceso “Euclides, geómetra griego, nació en el año 306 𝑎. 𝐶. y murió en el año
283 𝑎. 𝐶.” se puede expresar así: “Euclides, geómetra griego, nació en el año −306 y
murió en el año −283”.

OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO
Cada elemento del conjunto de los enteros positivos tiene un opuesto en el
conjunto de los enteros negativos, y viceversa. El opuesto de un número entero 𝑎 se
simboliza como −𝑎.

EJEMPLO 5.
a. Halla el opuesto a cada uno de los siguientes números enteros.
𝑎. −3 𝑏. +10 𝑐. +8 𝑑. −6
b. Las expresiones −(−9) y −[−(−7)] son respectivamente equivalentes a +9 y −7, porque el
opuesto de −9 es +9 y el opuesto de −(−7) es -7. Esto es cierto, ¿Por qué?
Solución.
a. .
b. Las expresiones −(−9) y −[−(−7)] son respectivamente equivalentes a +9 y −7, porque el
opuesto de −9 es +9 y el opuesto de −(−7) es −7.

NÚMEROS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA
Los números enteros se pueden representar en la recta numérica como sigue.
1. Sobre una recta horizontal se marca un punto que represente el 0.
2. Se fija la distancia del 0 al 1. Esta medida se toma como unidad y se traslada a
la derecha y a la izquierda del 0 tantas veces como sea necesario.
3. Se sitúan a la derecha del 0 los números enteros positivos y a la izquierda los
números enteros negativos (Figura ).

EJEMPLO 6.
Dibuja la recta numérica y ubica los números enteros 8, −4, −9, 5, −1 𝑦 0.
Solución.

Dos ciclistas parten de un mismo punto en sentidos opuestos y hacen un recorrido
en línea recta.
Si los dos van a una velocidad de 50 km/h, ¿qué distancia separa a cada ciclista del
punto de partida al cabo de una hora de recorrido?
Solución.
La ubicación de los ciclistas se puede representar en una recta numérica como la de
la Figura.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO.
El valor absoluto de un número entero es la distancia que separa al número del cero
en la recta numérica. Esta medida siempre es una cantidad positiva. El valor
absoluto de un número entero 𝑎 se simboliza como |𝑎|.
Ejemplo 7.
Halla el valor absoluto de +14.
Solución.
El valor absoluto de +14 es 14 porque, en la recta numérica, la distancia de +14 a 0
es de 14 unidades. Se escribe 14 = 14. Observa la Figura

Sofía registró en la Tabla la temperatura de tres cuartos fríos de un laboratorio.
Según esta información, ¿en cuál de los tres cuartos hace más frío?
Solución.
Para determinar en cuál de los cuartos hace más frío, se pueden representar las
temperaturas en una recta numérica y luego comparar su ubicación (Figura).

ORDEN EN LOS NÚMEROS ENTEROS
Cuando se comparan dos números enteros en la recta numérica, se deduce que es mayor el número que
se encuentra ubicado a la derecha del otro. A su vez, es menor el que se encuentra ubicado a la
izquierda. De acuerdo con lo anterior, se pueden establecer las siguientes relaciones de orden:
• Como −2 está a la derecha de −5, entonces −5 < −2.
Esto quiere decir que el orden de las temperaturas es:
Por lo tanto, en el cuarto B es en el que hace más frío.

Si dos números enteros 𝑎 y 𝑏 están representados en la recta numérica, entonces
𝑎 > 𝑏, siempre que 𝑎 esté ubicado a la derecha de 𝑏. Otros criterios que permiten
determinar la relación de orden existente entre dos números enteros son:
• Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor
absoluto.
• Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor
absoluto.
• Un número positivo siempre es mayor que cualquier número negativo.

LOS NÚMEROS ENTEROS EN EL PLANO
CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas
numéricas perpendiculares que se cortan en un
punto llamado origen, el cual corresponde al cero
de cada una de ellas.
Las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones
llamadas cuadrantes. Estas regiones se
representan con los números romanos I, II, III y IV.
La recta horizontal llamada también eje de
abscisas se representa con la letra 𝑥, en ella, se
escriben los números enteros positivos a la
derecha del origen y los enteros negativos a la
izquierda del origen. La recta vertical o eje de
ordenadas, se representa con la letra 𝑦. Los
números enteros positivos se escriben en este eje
hacia arriba del origen y los enteros negativos
hacia abajo del origen.

COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANO
CARTESIANO
Un punto en el plano cartesiano se determina mediante una pareja de números,
denominados coordenadas del punto. Un punto en el plano se escribe entre
paréntesis y se separa con una coma: (𝑎, 𝑏). La primera componente 𝑎 se ubica en
el eje de abscisas y la segunda componente 𝑏 en el eje de ordenadas.

EJEMPLO 8.
Ubica el punto cuyas coordenadas son (−3,1).
 Paso 1. Localiza la primera componente −3
en el eje 𝑥 y la segunda componente 1 en el
eje 𝑦.
 Paso 2. Traza por el punto correspondiente a
− 3 una recta vertical y por el punto
correspondiente a 1 una recta horizontal
 Paso 3. Localiza el punto de intersección de
las rectas trazadas, este punto corresponde
al punto de coordenadas (−3, 1).

EJEMPLO 9.
Ubica en el plano cartesiano el punto M
de coordenadas (3, −2) y determina el
cuadrante en el cual está ubicado.
Solución:
Traza una recta vertical que pase por el
punto 3 del eje 𝑥 y una recta horizontal
que pase por el punto −2 en el eje 𝑦. La
intersección de estas dos rectas
determina la ubicación del punto M en el
plano cartesiano.
El punto M quedó ubicado en el
cuadrante IV.

Observa la siguiente gráfica:
Responde indicando en cada caso la cantidad en forma de
valor absoluto:
• ¿Qué distancia hay desde la Fosa de Chile al nivel del mar?
• ¿Qué diferencia de profundidad hay entre el mar Muerto y
el Valle de la Muerte?
• ¿Qué diferencia de altura hay entre Bogotá y el mar
Muerto?
• ¿Qué diferencia de altura hay entre el Aconcagua y la Fosa
de Chile?
• ¿Qué distancia es mayor, la de la Fosa de Chile al nivel del
mar, o la diferencia de altura entre el Aconcagua y el mar
Muerto?

La latitud geográfica de una ciudad indica la distancia, medida en grados, entre la linea del ecuador y la
ciudad. Si es positiva, indica que la ciudad se encuentra al norte de esta linea y si es negativa, se
encuentra al sur.
Si las cuatro ciudades se ubicaran sobre una misma linea vertical (meridiano). ¿cuáles de las siguientes
afirmaciones son correctas? Reescribe de forma correcta las que resulten falsas.
• Nueva Deli se encontraria exactamente al norte de Brasilia
• México D.F. se encontraria exactamente al sur de Nueva Deli.
• Brasilia estaria exactamente al norte de México
• Quito seguiría estando sobre la linea del Ecuador.

La tabla registra los resultados de 5 equipos de fútbol.
• ¿Cuándo se utilizan números negativos para expresar la diferencia de goles?
• ¿Qué condiciones deben cumplirse para que la diferencia de goles sea cero?

PRUEBA SABER PREGUNTA DE SELECCIÓN
MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA.
Observa la ubicación en el plano cartesiano de dos rectángulos.
Respecto al área de los rectángulos ABCD y EFGC, es correcto afirmar que:
A. El área del rectángulo EFGC es mayor.
B. El área del rectángulo ABCD es negativa.
C. El área de los dos rectángulos es igual.
D. El área del rectángulo EFGC es menor.

SABERES PREVIOS
• ¿Para qué sirve un transportador?
• ¿Cuántas rectas puedes trazar por tres puntos?
• ¿Qué tipo de figura geométrica puede dibujarse con un compás?
• ¿Cuántos ángulos tiene un cuadrado?
• ¿Cuántas rectas puedes trazar por dos puntos?
• Dibuja tres segmentos con diferentes longitudes y midelos con una regla.

NOCIONES BÁSICAS DE GEOMETRÍA
En geometría se llaman nociones básicas a tres conceptos que no se definen
formalmente y a partir de los cuales se pueden construir todos los demás
conceptos geométricos. Estos tres conceptos son punto, recta y plano.
• Punto. No tiene dimensión ni medida. El punto se puede entender como la huella
que deja la punta de un lápiz sobre un papel. Se simboliza utilizando una letra
mayúscula.

Recta. Es una figura en una sola dimensión, formada por una sucesión infinita de
puntos que se prolonga en sentidos opuestos. La recta se representa dibujando
flechas en sus extremos para indicar que se extiende indefinidamente Se simboliza
con una letra minúscula o nombrando dos de sus puntos y una flecha.
Plano. Está formado por infinitos puntos que se extienden por todas las direc
ciones. Para simbolizar un plano se utilizan las letras griegas

Ejemplo 1: Identifica en la gráfica los siguientes elementos
• Tres puntos coplanares
• Tres puntos colineales.
• Tres rectas coplanares
Solución:
• Los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 pertenecen al plano 𝛼 Por tanto, 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son coplanares
• Los puntos 𝐴, 𝐸 y 𝐶 pertenecen a una misma recta. Portanto, 𝐴, 𝐸 y 𝐶 son puntos
colineales
• 𝐴𝐵, 𝐶𝐵 y 𝐴𝐶 son tres rectas que pertenecen al plano. Por tanto, son coplanares

Ejemplo 2.
Nombra en la siguiente figura tres planos que tengan un unico punto en común.
Solución:
Cada vértice del cubo es un punto común a tres caras. Como cada cara del Cubo está contenida en
un plano diferente, entonces se puede afirmar que los planos 𝐴𝐵𝐶, 𝐸𝐴𝐵 y CAE tienen como único
punto común al punto 𝐴.

RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS
Dos puntos cualesquiera del plano determinan una única recta. Observa.
Cuando se ubica un punto en una recta, la recta queda dividida en dos partes que se denominan
semirrectas. Cuando se ubican dos puntos sobre la recta estos determinan los extremos de un segmento.
Observa
Una semirecta es una parte de la recta que tiene un punto de origen y se prolonga indefinidamente en
un sentido Se simboliza 𝐴𝐵
Un segmento es una parte de la recta que tiene dos puntos extremos. Se simboliza: Segmento 𝐴𝐵

Ejemplo 1.
Los puntos 𝐷, 𝐴 y 𝐵 pertenecen a la recta 𝑚.
Nombra dos semirrectas y tres segmentos determinados por los puntos D. А у В.
Solución.
El punto 𝐴 divide a la recta en dos semirectas 𝐴𝐵 es la parte de la recta que contiene al punto 𝐵 y
𝐴𝐷 es la parte de la recta que contiene el punto 𝐷. A su vez, cada pareja de puntos corresponde a
los extremos de un segmento, por lo cual los segmentos determinados por los puntos 𝐷, 𝐴 y 𝐵 son
𝐴𝐵, 𝐷𝐵 y 𝐴𝐷.

Ejemplo 2.
Indica las semirectas, los segmentos y las rectas que se pueden determinar en la siguiente figura.
Solución.
Semirectas: 𝐴𝐶, 𝐶𝐺, 𝐺𝐶, 𝐶𝐴, 𝐴𝐷, 𝐵𝐷, 𝐷𝐴, 𝐵𝐴, 𝐵𝐸, 𝐸𝐵, 𝐶𝐹, 𝐹𝐶, 𝐹𝐺, 𝐸𝐺, 𝐷𝐺, 𝐸𝐷, 𝐹𝐷 𝑦 𝐺𝐷.
Segmentos: 𝐴𝐶, 𝐴𝐺, 𝐴𝑅, 𝐷𝐵, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹, 𝐹𝐺, 𝐸𝐺, 𝐷𝐺, 𝐷𝐹 𝑦 𝐷𝐸
Rectas: 𝐴𝐵, 𝐴𝐺, 𝐵𝐺, 𝐵𝐸 𝑦 𝐹𝐶

Ejemplo 3.
Se tienen cuatro puntos colineales 𝑀, 𝑁, 𝑃 𝑦 𝑄, tales que está entre 𝑁 𝑦 𝑄 y 𝑁 está
entre 𝑀 𝑦 𝑃. Cuáles puntos pertenecen a la semirrecta 𝑁𝑄?
Solución.
Observa la ubicación en una recta de los puntos 𝑀, 𝑁, 𝑃 𝑦 𝑄.
Por tanto, los puntos 𝑁, 𝑃 𝑦 𝑄 pertenecen a la semirrecta 𝑁𝑄

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS
Dos rectas en el plano pueden tener uno, todos o ningún punto en común. Observa las diferentes
posiciones que pueden adoptar dos rectas:
.

Ejemplo 1.
Según su posición, identifica que rectas son:
• Los rieles de la vía de un tren en un trayecto recto.
• Los márgenes superior e inferior de esta página que estás leyendo.
• El margen superior y el margen derecho de esta página.
Solución
• Los dos rieles de las vías de un tren son un ejemplo de rectas paralelas: la distancia entre ellas es la que existe entre las ruedas
del tren.
• Los márgenes superior e inferior son ejemplos de rectas paralelas, cuya distancia corresponde a la altura de la página.
• El margen superior y el margen derecho son rectas secantes, pues se cortan en un punto, que en este caso es el vértice
superior derecho. Como el ángulo formado es recto, entonces las rectas correspondientes a estos dos márgenes son
perpendiculares entre sí.

Ejemplo 2.
Observa la gráfica y clasifica cada pareja
de rectas de acuerdo con su posición.
Solución:
Rectas perpendiculares: las rectas
𝑛 𝑦 𝑞 y las rectas 𝑚 𝑦 𝑞.
Rectas secantes: las rectas 𝑝 𝑦 𝑛, las
rectas 𝑚 𝑦 𝑝 y las rectas 𝑝 𝑦 𝑞.
Rectas paralelas: las rectas 𝑚 𝑦 𝑛.

Cuando enterró su tesoro en la isla Tortuga, el pirata Morgan tomó como referencia
dos palmeras y un cocotero. Para ello, elaboró un mapa con las siguientes
indicaciones:
Al volver años después, un huracán había arrasado el cocotero. ¿Cómo localizó
Morgan el tesoro?

PRUEBA SABER PREGUNTA DE SELECCIÓN MÚLTIPLE
CON ÚNICA RESPUESTA.
Si 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝐷 y 𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐹, entonces, respecto a las rectas 𝐶𝐷 y 𝐸𝐹, es válido afirmar
que:
A. Son perpendiculares entre sí.
B. Son paralelas entre sí.
C. Son rectas iguales.
D. Son rectas secantes, no perpendiculares.

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