010 051 se matematicas 7

1
10 proyecto sé © ediciones sm
Los números
enteros
Pensamiento numérico
En esta unidad...
Reconocerás el conjunto de los números
enteros y su utilidad en la representación
y resolución de situaciones.
Realizarás operaciones básicas entre nú-
meros enteros, aplicando sus propiedades.
Plantearás y resolveras ecuaciones con
números enteros, que conducen a la re-
solución de problemas en contextos deter-
minados.
Hallarás potencias y raíces de números
enteros, aplicando estos procedimientos
en la solución de situaciones dadas.
Saberes previos
La temperatura es una magnitud relacionada con las nociones co-
munes de caliente o frío. Por lo general, cuando un objeto está más
“caliente” que otro se considera que tiene una temperatura mayor
que 23 °C, y si está “frío”, se considera que tiene una temperatura
inferior a –3 °C. De esa manera, se asocia que 23 °C es la tempe-
ratura de un ambiente soleado y caliente, mientras que –3 °C se
asocia con un ambiente frío.

Educación en valores
Responsabilidad democrática
En las elección del representante del curso, el pri-
mero de los candidatos tuvo ocho votos a favor y seis
votos en contra. El segundo, obtuvo seis votos a favor
y ocho votos en contra. Sin embargo, el ganador fue
el segundo participante porque ofreció una entrada a
cine para todos.
¿Qué opinas de la situación anterior? ¿Cuál sería tu
actitud frente a una situación parecida?
11PROYECTO SÉ © EDICIONES SM
DESARROLLA TUS COMPETENCIAS
Los cambios climáticos
Los cambios climáticos de los próximos 20 años po-
drían generar una catástrofe mundial que costará mi-
llones de vidas en guerras y desastres naturales.
Ciudades importantes de Europa quedarán sumergi-
das por la crecida de los mares, en tanto que para el
año 2020, Gran Bretaña tendrá un clima “siberiano” de
50 ºC bajo cero.
En años anteriores, la comisión intergubernamental
presentó un informe donde alertaba un cambio brusco
de la temperatura media de la Tierra, la cual aumentó en
0,6 °C en el siglo XX y así seguirá aumentando entre
1,4 °C y 5,8 °C.
Pero que sea un problema tan grande, no signiﬁca que
no se pueda hacer nada. De hecho, nosotros en nuestra
vida diaria tenemos la oportunidad de evitar la emisión
de toneladas de CO2
y así contribuir a solucionar el pro-
blema. Para ello es imprescindible cambiar nuestros
hábitos, por ejemplo, reducir el consumo eléctrico de
nuestro lugar de trabajo o de estudio, utilizar bombillas
de bajo consumo, elegir productos con pocos envases
en la compra y reciclar los residuos que se generan en
casa, así se evitará que esa central térmica tenga que
funcionar más horas. ¡Ayuda a evitar el cambio climá-
tico!
Adaptado de ecologistas en acción.
Observa el video: Seis grados que podrian cambiar el mun-
do en www.e-sm.net/7mt01
Actividades
I. Utiliza números negativos o positivos para indicar las dife-
rentes temperaturas que se mencionan en la lectura.
II. Averigua ¿cuál es la temperatura actual de Gran Bretaña y
cuál sería su variación si llega a tener la misma tempera-
tura que Siberia?
III. ¿Cómo afecta el CO2
la atmósfera?
IV. Construye con tus compañeros una propuesta que ayude a
evitar la producción de CO2
y promuévela en tu institución.

12
Ten en cuenta
Ten en cuenta
pensamiento numérico
Figura 1.2
1 cuadra
Casa de
Sandra
Estación
gasolina
Trabajo de
Esteban
Figura 1.1
1857 1867 1877
Teléfono
1887 1897 1907 1917 1927 1937 1947 1957 1967 1977 1987 1997
Teléfono celular
Radio
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1
proyecto sé © ediciones sm
Números relativos
A partir de la ubicación de un punto, es posible determinar dos sentidos u
orientaciones; a ese punto se le denomina punto de referencia.
El punto de referencia ayuda a determinar la posición de uno o varios objetos
con relación a ese punto.
Ejemplo 1 En la figura 1.1 se observa que Esteban trabaja dos cuadras
después de la estación de gasolina y Sandra vive tres cuadras antes de la
misma. En ese caso, el punto donde se ubica la estación de gasolina es el
punto de referencia.
En matemáticas se ha convenido utilizar el signo más () para designar
situaciones como a la derecha de, encima de, sobre el nivel del mar; y el
signo menos (2), para referirse a situaciones como antes de, a la izquierda
de, bajo cero, etc.
Ejemplo 2 Para indicar que Esteban trabaja dos cuadras después de la
estación de gasolina, se utiliza el número 2. Para señalar que Sandra vive
tres cuadras antes de la estación de gasolina, se utiliza el número 23.
Los números 2 y 23, son números relativos.
Los números relativos son números que indican una cantidad determinada
a partir de un punto de referencia. Generalmente, se escriben acompañados
de un signo  o 2. Se utilizan para representar situaciones de variación de
temperatura, de tiempo, de distancia, entre otras.
Ejemplo 3 El teléfono fue inventado en 1876 por Alexander Graham Bell, el
teléfono celular fue inventado en 1983 y la radio en 1887 por Enrique Hertz.
Si tomamos como punto de referencia el año de la invención de la radio,
¿cuántos años antes fue inventado el teléfono por Graham Bell y cuántos
años después el celular?
En la línea del tiempo de la figura 1.2, en la cual el año 1887 es el punto
de referencia, se observa que el teléfono fue inventado 11 años antes que
la radio.
Esa situación puede representarse con el número 211.
El teléfono celular fue inventado 96 años después que la radio, situación que
se representa con el número 96.
Los números 211 y 96 son números relativos.
Una posición relativa es el
lugar que ocupa un objeto
con relación a un punto
de referencia. Se utilizan
expresiones como:
• izquierda – derecha
• arriba – abajo
• atrás – adelante
• sobre – debajo
Los números relativos se
determinan a partir de un
punto de referencia.

13
Ten en cuenta
ActividAd resueltA
ActividAdes propuestAs
Tabla 1.1
Picos de la Sierra Nevada de Santa Marta.
Ejemplo 4 La tabla 1.1 muestra los dineros aportados por un grupo de
estudiantes para completar una cuota mínima, propuesta para un evento de
su colegio.
nombre Cuota ($) aPortes ($) dinero Que sobra o Falta
Felipe 20000 18000 22000
José 18000 20000 2000
William 22000 21000 21000
Manuela 15000 18000 3000
Ana María 15000 17000 2000
Si se considera como punto de referencia el valor de la cuota que debe
aportar cada uno, los números con signo positivo, en la tercera columna,
indican que el estudiante ha aportado más de lo que corresponde y los nú-
meros con signo negativo, indican que aún le hace falta.
resolución de problemAs
1. El pico Colón y el pico Bolívar son los más al-
tos de Colombia, ambos con una altura de 5775
m sobre el nivel del mar. El Nevado del Ruiz
tiene una elevación máxima de 5400 m y la ciu-
dad de Bogotá se encuentra a una altura de
2600 m sobre el nivel del mar. Si tomamos la
altura del Nevado del Ruiz como punto de re-
ferencia, ¿cuáles son las alturas de Bogotá, del
pico Colón y del pico Bolívar con respecto a la
altura del Nevado del Ruiz?
Solución:
La altura de los picos Colón y Bolívar con respecto a la altura del Nevado del Ruiz, es de 375 m
por encima, lo cual se representa con el número 375 m y la de la ciudad de Bogotá sería de
2800 m por debajo, que se indica con el número 22800 m.
ejercitAción
2. Representa con números relativos cada tem-
peratura.
a) 12 ºC sobre cero b) 20 ºC bajo cero
c) 8 ºC sobre cero d) 65 ºC sobre cero
e) 40 ºC bajo cero f) 24 ºC bajo cero
3. Ana María nació en el año 1985. Terminó
la secundaria en el año 2002 y su carrera
universitaria en el año 2007. Si se conside-
ra como punto de referencia el año en que
terminó la secundaria, ¿cuántos años antes
nació y cuántos años después terminó su
carrera universitaria?
• Más actividades en la página 36, numerales 68 al 74.
comunicAción
4. Escribe una situación que se pueda repre-
sentar con cada uno de los siguientes nú-
meros relativos.
a) 2500 m
b) 123 años
c) 34 cm
d) 25 horas
comunicAción
5. Toma como punto de referencia tu año de
nacimiento, escribe algunos sucesos que ha-
yan ocurrido antes y después de esa fecha.
Utiliza números relativos.
Los números acom-
pañados con el signo
 o con el signo 2, se
conocen como núme-
ros signados.

14
Sabías que...
Sabías que...
0 ϩ1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ5 ϩ6 ϩ7 ϩ8 ϩ9 ϩ10 ϩ11 ...
Figura 1.3
Figura 1.4
... Ϫ11 Ϫ10 Ϫ9 Ϫ8 Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0
El conjunto de los números enteros
El conjunto de los números enteros surge de la necesidad de representar
situaciones relacionadas con temperaturas bajo cero, pérdidas económicas
o profundidades en el mar, entre otras.
En este conjunto numérico se toma el número cero como punto de refe-
rencia y a partir de él, se determinan posiciones relativas como derecha o
izquierda.
Los números precedidos por el signo , se denominan enteros positivos y
se representan sobre una recta numérica a la derecha del cero, como se
muestra en la figura 1.3. Se simbolizan con ‫ޚ‬
.
Los números precedidos del signo 2, se conocen como enteros negativos.
Se representan a la izquierda del cero en la recta numérica. Se simbolizan
con ‫ޚ‬2
.
La unión de los enteros positivos (‫ޚ‬
), los enteros negativos (‫ޚ‬2
) y el número
cero forman el conjunto de los números enteros y se simboliza con ‫.ޚ‬
‫ޚ‬ = { …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
‫ޚ‬ = ‫ޚ‬
U ‫ޚ‬2
U {0}
El número cero (0), no se considera ni positivo ni negativo.
Ejemplo 5 La posición de un submarino bajo el nivel del mar se puede
simbolizar con un número entero negativo. Si un submarino se encuentra
a 250 m bajo el nivel del mar, su posición será –250 m. El número cero,
considerado punto de referencia, corresponde al nivel del mar.
Ejemplo 6 Para diferenciar las temperaturas sobre cero y bajo cero,
también se utilizan los números enteros. ¿Con qué número entero simbo-
lizarías una temperatura extrema de 15 grados centígrados bajo cero?
¿Y una temperatura extrema de 42 grados centígrados sobre cero?
El número cero como punto de referencia, representa un punto de tempe-
ratura nula. Para representar una temperatura de 15 grados centígrados
bajo cero, se emplea el número entero –15 ºC. Y para representar una
temperatura extrema de 42 grados centígrados sobre cero, se emplea el
número entero 42 ºC.
Los números enteros también se utilizan para ubicar fechas en la línea
del tiempo, en este caso el número cero corresponde al año cero o al año
del nacimiento de Cristo y a partir de él, se determinan fechas antes de
Cristo (a. C.) y fechas después de Cristo (d. C.).
En China se utilizaban los
números negativos des-
de el siglo I, y en la India,
desde el siglo VI. Sin em-
bargo, en las matemáti-
cas europeas no aparecen
sino hasta el siglo XV.
2
Un submarino puede estar
sumergido por un tiempo
hasta de un año y medio,
sin salir a la superﬁcie.

15
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Tabla 1.2
Ejemplo 7 Eratóstenes de Cirene nació aproximadamente en el año
276 a. C., es decir nació en el año 2276.
Miguel de Cervantes Saavedra nació en el año 1547, en este caso por ser
una fecha después de Cristo, no se acostumbra a escribir el signo + antes
del número.
Cada elemento del conjunto de los enteros positivos, tiene un opuesto en
el conjunto de los enteros negativos y viceversa. El opuesto de un número
entero a, se representa como 2a.
Ejemplo 8 El opuesto del número 13, es el número 213.
El número 243, es el opuesto del número 43.
El opuesto del opuesto de un número es el mismo número.
Ejemplo 9 Encuentra el opuesto del opuesto de:
a) 226 b) 78 c) 269
a) El opuesto de 226 es 26, y el opuesto de 26 es 226.
b) El opuesto de 78 es 278, y el opuesto de 278 es 78.
c) El opuesto del opuesto de 269 es 269.
ejercitAción
6. Daniel retiró de su cuenta bancaria el lunes $ 23000, el martes consignó $ 16000, el miércoles
retiró $ 7500, el viernes depositó $ 18000 y finalmente, el sábado retiró $ 12000. Utiliza los nú-
meros enteros para representar los movimientos realizados en su cuenta.
Solución:
Los movimientos realizados por Daniel en los seis días de la semana se aprecian en la tabla 1.2.
día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
retiros 223000 27500 212000
ConsiGnaCiones 16000 18000
comunicAción
7. Escribe el número entero que representa
la situación, y a qué conjunto pertenece
(‫ޚ‬
o ‫ޚ‬2
).
a) Hypatía de Alejandría, matemática egipcia
de la antigüedad, nació en el año 370 a. C.
b) Alfred Nobel inventó la dinamita en el año
1886 d. C.
c) El hombre llegó a la Luna, único satélite
natural de la Tierra, en el año 1969 d. C.
d) La altura del monte Everest, el punto más
alto en el mundo, sobre el nivel del mar es
de 8884 m.
• Más actividades en las páginas 36 y 37, numerales 75 al 77.
e) El lago Victoria en África, segundo lago más
grande del mundo, tiene una profundidad de
82 m.
f) La temperatura corporal normal para un ser
humano adulto es de 37 ºC.
comunicAción
8. Escribe un número que cumpla la condi-
ción.
a) Número entero negativo.
b) Opuesto de –11.
c) Número entero positivo.
d) Opuesto del opuesto de –3.
El signo  que ante-
cede a los números
positivos puede omi-
tirse.
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16
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
0
Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4
izquierda derecha
Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 ϩ1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ5 ϩ6
Figura 1.5
Figura 1.6
Figura 1.7
Figura1.8
Figura 1.9
Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4
Adriana
David
Inicio
Salomón
Pilar
Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 ϩ1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ5 ϩ6
Ϫ9 Ϫ8 Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
C E A D F B
0
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3 Los números enteros en la recta numérica
Al igual que los números naturales, el conjunto de los números enteros se
puede representar en una recta numérica.
Para representar números enteros en la recta numérica, se siguen los si-
guientes pasos:
a. Se elige un punto inicial, que se marca con 0.
b. Se elige una unidad de medida arbitraria y se marcan puntos a la derecha
y a la izquierda del cero con la misma unidad de medida.
c. Los números a la derecha del cero son los enteros positivos y los de la
izquierda son los enteros negativos. Observa la figura 1.6.
Ejemplo 10 En la recta numérica de la figura 1.7, se representan los nú-
meros enteros 24, 5, 21, 0, 8, 29.
Los números negativos se ubican a la izquierda de cero y los positivos a la
derecha.
ejercitAción
9. En el juego de la “escalera”, los jugadores sacan por turnos, una carta. Las cartas rojas indican
pasos de avance y las azules, pasos de retroceso. Representa la posición de cada uno en la recta
numérica, a partir del punto salida, luego del primer turno.
Solución:
Las posiciones de los jugadores se pueden representar así:
comunicAción
10. Escribe el número entero que corresponde
a cada letra en la recta numérica.
rAzonAmiento
11. ¿De qué valor y de qué color debe ser la
carta que saque un jugador para pasar del
punto F al punto E, indicados sobre la recta
de la figura 1.9?
Los desplazamientos so-
bre la recta numérica son
movimientos de un punto
a otro.
Los avances se represen-
tan con números positivos
y los retrocesos con nú-
meros negativos.
Soy Adriana y
saqué 4 azul.Soy Salomón y saqué 2 rojo.Soy Pilar y
saqué 3 rojo.
Soy David y
saqué 1 azul.

17
Ten en cuenta
Ten en cuenta
10 6 10Ϫ15 Ϫ8
D B C E A
a
|a|  a |a|  a
0 a
Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2
|Ϫ3| ϭ 3
Ϫ1 0 1 2 3 4
0 1 2 3 4Ϫ1Ϫ2
|Ϫ3| ϭ 3
Ϫ3Ϫ4
|ϩ3| ϭ 3
Opuestos
Figura 1.10
Figura 1.11
Figura 1.12
Figura 1.13
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número se define como la distancia que hay entre
ese número y el punto cero sobre la recta numérica. El resultado de esa
medida siempre es un número positivo.
El valor absoluto de un número entero a, se simboliza como |a|.
Ejemplo 11
En la recta numérica de la figura 1.10 se puede ver que 23 está a 3 unida-
des de distancia de 0.
Ese valor de la distancia es el valor absoluto de 23 y se escribe:
23 5 3
La distancia del opuesto de 23 a 0, también es 3. Se escribe: 3 5 3.
Dos números enteros opuestos tienen el mismo valor absoluto.
Ejemplo 12 En la figura 1.12, se observa la distancia, en kilómetros, a la
que se encuentran cinco aviones del punto de referencia 0, en el cual se
ubica el radar del aeropuerto.
El avión A, se encuentra a 10 km del punto 0; esa distancia se escribe como
|10| = 10.
El avión B, se está acercando al punto en el que se encuentra el radar,
le faltan 8 km, por eso se utiliza el número relativo 28. Esa distancia se
representa como |28| = 8.
La distancia del avión C al radar es |1| = 1. La distancia del avión D al radar
es |215| = 15 y la distancia del avión E al radar es |6| = 6.
4
Dos números enteros
son opuestos si están a
la misma distancia de
cero, situados en sen-
tidos contrarios sobre
la recta numérica.
• El opuesto de un en-
tero a es 2a y vice-
versa.
• Elopuestodelopues-
to de un número es
el mismo número.
rAzonAmiento
12. En cada caso, escribe el número entero que
cumple la condición dada.
a) Su valor absoluto es 5 y está entre 26 y 2.
b) Coincide con su opuesto.
c) Su opuesto es 15 y es menor que 9.
d) Entero negativo cuyo valor absoluto es 2.
e) Su opuesto es un entero mayor que 3.
comunicAción
13. Completa las expresiones con números en-
teros.
a) 6 5   5
b)   5   5 4
c) 0 5
d)   5 3
e)   5 15 5
En la recta numérica,
un número entero y
su opuesto, están a la
misma distancia del
punto cero.

18
Ten en cuenta
Ten en cuenta
En la red
estaBLece reLaciones De orDen
entre nÚmeros enteros consuL-
tanDo La pÁGina:
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Ϫ10 Ϫ8 Ϫ6 Ϫ4 Ϫ2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
23
3
b
421012
a
3
Ϫ16 Ϫ12 Ϫ8 Ϫ4 0 4 8 12 16
Ϫ15 Ϫ9 Ϫ5 5
Ϫ16 Ϫ12 Ϫ8 Ϫ4 0 4 8 12 16
4
b a
5 63210Ϫ1Ϫ2
Figura 1.14
Figura 1.15
Figura 1.16
Figura 1.17
Figura 1.18
Relaciones de orden entre números enteros
Para establecer relaciones de orden entre números enteros, se utiliza la
recta numérica.
Si a está representado en la recta numérica a la izquierda de b, entonces
a es menor que b, y se escribe a , b.
Ejemplo 13 Observa los números representados en la figura 1.14.
En la gráfica se observa que 22 está a la izquierda de 3, entonces 22 , 3
Todo número negativo siempre es menor que un número positivo.
Si a está representado en la recta numérica a la derecha de b, entonces a
es mayor que b, y se escribe a . b.
Ejemplo 14 En la figura 1.15, se muestra la comparación de los números
5 y 6.
Como 6 está ubicado a la derecha de 5, entonces 6 . 5.
Ejemplo 15 En cada grupo, ordena de mayor a menor los números da-
dos.
a) 210, 4, 23, 8
b) 215, 12, 29, 25, 5
a) Al ubicar los números en una recta numérica se determina el or-
den.
23 . 8 . 4 . 210
b)
12 . 5 . 25 . 29 . 215
Ejemplo 16 Si se comparan dos números negativos, es mayor aquel que
esté más cerca del cero cuando se representan en la recta numérica.
28 . 212
Cuando se representan
números enteros en una
recta numérica horizontal,
es mayor el número que
esté más a la derecha.
5
La recta numérica tam-
bién se puede utilizar de
manera vertical.

19
Actividad resuelta
Actividades propuestas
Figura 1.20
Figura 1.19
0 1
0 1
Ϫ1 0
Ϫ1
0Ϫ2
1
Ϫ3
0
Catherine
Sergio
Lucas
Camilo
Andrea
5
10
Ϫ12
Ϫ8
Figura 1.24
Figura 1.25
Figura 1.26
Figura 1.21
Figura 1.22
Figura 1.23
Ϫ14 Ϫ12 Ϫ10 Ϫ8 Ϫ6 Ϫ4 Ϫ2 0 2 4 6 8 10 12
Resolución de problemas
14. Lucas, Sergio, Catherine, Camilo y Andrea, practican el juego del mar-
tillo, que consiste en subir un peso a lo largo de una polea mediante
un golpe que se da en la base de un tablero.
Los resultados después del primer intento son los siguientes:
• Lucas quedó tres unidades por debajo de la marca azul.
• Sergio quedó cinco unidades por encima.
• Catherine logró diez unidades por encima.
• Camilo quedó ocho unidades por debajo.
• Andrea marcó doce unidades por debajo.
Representa con números enteros la posición de cada jugador respecto
a la marca azul. Luego, ordena los resultados obtenidos de menor a
mayor.
Solución:
Ubicando las unidades logradas por cada jugador en una recta vertical
y tomando como punto de referencia la marca azul, es decir el número
cero, se establece el orden de los resultados obtenidos.
• Camilo alcanzó más unidades que Andrea, entonces 28 . 212.
• Lucas no superó la marca azul, entonces 23 , 0.
• Sergio logró más unidades que Lucas, esto es 5 . 23.
• Catherine obtuvo más unidades que Sergio, es decir 10 . 5.
• Al ordenar de menor a mayor las posiciones logradas, se obtiene:
212 , 28 , 23 , 5 , 10.
Ejercitación
15. Observa la ubicación de los números enteros en la recta numérica y escribe . ó ,, según cada
caso.
a) 22 4 b) 29 25 c) 6 28
d) 1 7 e) 3 23 f) 213 0
Ejercitación
16. Representa cada pareja de números enteros en la recta numérica y escribe . ó ,, según cada
caso.
a) 25 2 b) 26 0
c) 21 4 d) 4 212
e) 23 28 f) 0 25

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En la red
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con enteros en La pÁGina:
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2 3 4 5 610Ϫ1Ϫ2Ϫ3
Ϫ2
Ϫ4
ϩ7
210Ϫ1Ϫ2Ϫ3
Ϫ3
Ϫ4
Ϫ4
Ϫ5Ϫ6Ϫ7Ϫ8
Figura 1.27
Figura 1.28
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6 Adición de números enteros. Propiedades
Adición de números enteros del mismo signo
Para adicionar dos números enteros del mismo signo, se halla la suma
de sus valores absolutos y al resultado se le coloca el mismo signo de los
sumandos.
Ejemplo 17 Un ascensor baja cuatro pisos y luego baja tres pisos más.
¿Cuántos pisos ha bajado?
Para saber cuántos pisos ha bajado el ascensor, representamos esta situa-
ción sobre la recta. El punto cero, representa el piso desde el cual empieza
a descender el ascensor.
24  23 5 7. Como los números son negativos, entonces el resultado es
(24)  (23) 5 27, lo que significa que el ascensor ha bajado siete pisos.
Adición de números enteros de diferente signo
Para adicionar dos números enteros de diferente signo, se sustraen sus
valores absolutos (el mayor menos el menor) y al resultado se le coloca el
signo del número que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplo 18 En cierta ciudad, la temperatura a las 9:00 a.m. era de
–2 ºC y tres horas después subió 7 ºC. ¿Qué temperatura había en la ciudad
a las 12:00 del medio día?
En la recta numérica de la figura 1.28, se representa la situación.
22  7 5 5. Como el número con mayor valor absoluto es 7, entonces
el resultado tiene signo positivo. Es decir, la temperatura al medio día era
de 5 ºC.
Adición de varios números enteros
Hay dos formas de calcular la suma de varios números enteros:
• Adicionar los números de dos en dos, sucesivamente.
9  (26)  (27)  1 5 3  (26) 5 23
• Adicionar los números positivos por un lado, los negativos por otro, y
operar los resultados.
9  (26)  (27)  1 5 9  1  [(26)  (27)] 5 10  (213) 5 23

21
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Tabla 1.3
Al igual que en la adición de números naturales, en la adición de números
enteros también se cumplen ciertas propiedades.
ProPiedad nombre eJemPlo
La suma de números enteros es un
número entero.
Clausurativa 7  (29) 5 (22)
En una adición de números enteros
se puede intercambiar el orden de los
sumandos, sin alterar su resultado.
Conmutativa
(211)  (23) 5 214
(23)  (211) 5 214
En la adición de números enteros se
pueden agrupar tres o más sumandos
de distintas formas sin que se altere el
resultado.
Asociativa
[13  (28)]  (21) 5 5  (21) 5 4
13  [(28)  (21)] 5 13  (29) 5 4
La adición entre un número entero y
su opuesto es igual a cero.
Invertiva 15  (215) 5 0
La adición de un número con cero da
como resultado el mismo número.
Modulativa (28)  0 5 28
17. Tres turistas colectan dinero para realizar una salida ecoturística. El
primero aporta $ 25000, el segundo $ 18000 y el tercero $ 39000. Si
el transporte cuesta $ 26000, ¿cuánto dinero tienen para la salida?
Solución:
Para resolver el problema se puede tomar la cantidad de dinero que se
pagó por el transporte como una cantidad negativa (–26000), y el dinero
colectado como cantidades positivas (25000, 18000, 39000).
Para resolver la operación se aplican las propiedades de la adición:
(226000)  25000  18000  39000 5 (21000)  57000 5 56000
Los turistas tienen $ 56000 para continuar la salida ecoturística.
ejercitAción
18. Efectúa las operaciones.
a) 9  3
b) (210)  (25)
c) (28)  (22)
d) (21)  (24)
e) 8  (23)
f) (26)  1
g) (27)  4
h) (2)  (25)
• Más actividades en la página 39, numerales 96 y 99.
ejercitAción
19. Realiza las siguientes operaciones de dos
formas distintas.
a) 5  (27)  8  (26)
b) 10  (22)  (22)  3
c) 5  (25)  (210)  10
d) 3  (26)  12  (213)
rAzonAmiento
20. Comprueba si se cumplen las siguientes
igualdades.
a) 2(4  3) 5 (24)  (23)
b) 2[(25)  (28)] 5 2(25)  [2(28)]
c) 2[(27)  8] 5 2(27)  [28]
d) 2[11  (210)] 5 2(11)  [2(210)]
La propiedad inverti-
va no se cumple en el
conjunto de los núme-
ros naturales. ¿Sabes
por qué?

22
Ten en cuenta
En la red
reLaciona eXpresiones eQuiVa-
Lentes entre aDiciones Y sus-
tracciones De nÚmeros enteros
en La pÁGina:
www.e-sm.net/7mt04
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510Ϫ1
Ϫ9
ϩ12
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1510Ϫ1
ϩ5ϩ6
Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 4 5Ϫ7Ϫ8Ϫ9Ϫ10Ϫ11
Ϫ6 Ϫ4
2 3 4 5 6 710Ϫ1Ϫ2Ϫ3Ϫ4Ϫ5Ϫ6Ϫ7Ϫ8Ϫ9
Ϫ8
ϩ5
Figura 1.29
Figura 1.30
Figura 1.31
Figura 1.32
Sustracción de números enteros
La sustracción de números enteros es igual a la adición del primer número
(minuendo) con el opuesto del segundo (sustraendo).
Ejemplo 19 La sustracción 17 2 23, se puede escribir como:
17  (223) 5 26
Opuesto del sustraendo
En la sustracción de enteros se presentan cuatro casos.
• La sustracción de dos números enteros positivos es equivalente a la adición
de un entero positivo con un entero negativo.
Ejemplo 20 12 2 9 5 12  (29) 5 3
• La sustracción de un número entero positivo y un entero negativo se ex-
presa como la adición de dos enteros positivos.
Ejemplo 21 6 2 (25) 5 6  5 5 11
• La sustracción de un entero negativo y uno positivo se convierte en la
adición de dos enteros negativos.
Ejemplo 22 (24) 2 (6) 5 (24)  (26) = 210
• La sustracción de dos enteros negativos se expresa como la adición de un
entero positivo con un entero negativo.
Ejemplo 23 (28) 2 (25) 5 (28)  5 5 23
comunicAción
21. Escribe cada sustracción como adición de
dos números enteros y resuélvela.
a) 5 2 (22) b) 27 2 (22) c) 7 2 2
d) 29 2 1 e) 2 3 2 (2 8) f) 8 2 9
comunicAción
22. Calcula de dos formas distintas.
a) 7  (25)  (23)  8 b) 29 (22) 1  (24)
rAzonAmiento
23. La diferencia de dos números es 23. El sus-
traendo de ellos es 21. Halla el minuendo.
24. En el 10 000 a. C. se extinguieron los ma-
muts de pelo. Sus descendientes, el elefante
africano, y el elefante asiático viven aún en
la Tierra. ¿Cuántos siglos han pasado desde
que desaparecieron sus antecesores?
7
El signo 2, tiene dos sig-
niﬁcados. Para indicar
una operación y para in-
dicar el signo negativo de
un número.
Operación
12 2 (25)
Número
negativo
• Más actividades en las páginas 38 y 39, numerales 92 al 95, 97 y 98.

23
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Ecuaciones de estructura aditiva
Una ecuación es una igualdad en la que se desconoce uno o más térmi-
nos.
Ejemplo 24 Son ecuaciones expresiones como:
a) 3  a 5 66 b) x  11500 5 32000 c)
3
—
4
x 
1
—
7
5 2
1
—
2
Si en las ecuaciones aparece una adición o una sustracción, estas se cono-
cen como ecuaciones aditivas. Para resolverlas se aplican las propiedades
de la adición de números enteros.
Ejemplo 25 En la ecuación 8  x 5 3, el valor desconocido x, es la in-
cógnita. Para solucionar la ecuación, es decir para hallar el valor de x que
hace verdadera la igualdad, se despeja la incógnita adicionando en ambos
lados de la igualdad el opuesto del valor que acompaña la incógnita, y se
aplica la propiedad invertiva.
8  x 5 3 Se identifica el valor que acompaña a la incógnita.
8  (28)  x 5 3  (28) Se adiciona el opuesto de 8 en ambos lados de la ecuación.
0  x 5 3 + (28) Se aplica la propiedad invertiva.
x 5 3  (28) Se aplica la propiedad modulativa.
x 5 25 Se aplica la propiedad clausurativa.
El valor de x es 25, ya que 8  (25) = 3.
25. En cierto momento del día la temperatura de una ciudad es de 212 ºC. Un tiempo más tarde el
termómetro registra 25 ºC. ¿Cuántos grados subió la temperatura?
Solución:
La ecuación que modela la situación es 212  x 5 25
La letra x representa el cambio de temperatura.
Al resolver la ecuación, se obtiene: 212  x 5 25
212  12  x 5 25  12
(212  12)  x 5 25  12
0  x 5 25  12
x 5 7 La temperatura subió 7 ºC.
ejercitAción
26. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 6  x 5 0 b) x  125 5 150
c) x  45 5 85 d) 15  x 5 218
ejercitAción
27. Multiplica ambos lados de la igualdad por
(21).
a) 2x 5 24 b) 2x 5 2123
c) 36 5 2x d) 289 5 2x
rAzonAmiento
28. Resuelve las ecuaciones.
a) 30 2 x 5 6 b) (214) 2 x 5 20
modelAción
29. En cada caso plantea una ecuación.
a) ¿A qué número hay que sustraerle 14 para
obtener 9?
b) ¿Qué número debe sustraerse de 295 para
obtener 282?
8
Todo número entero adi-
cionado con su opuesto
da como resultado cero
a  (2a) 5 0. En lengua-
je matemático
a  (2a) 5 0
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reFuerZa eL tema en nuestro
sitio WeB.

24
Ten en cuenta
En la red
consuLta La pÁGina WeB Y prac-
tica La muLtipLicaciÓn De nÙme-
ros enteros.
www.e-sm.net/7mt05
(ϩ3) и (ϩ5)
ϩ5
5 10 15 20 250
ϩ5 ϩ5
(Ϫ6) и (Ϫ4)
Ϫ4
4 8 12 16 20 24 28 320
Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4 Ϫ4
Figura 1.33
Figura 1.34
(Ϫ6) и (ϩ3)
Ϫ21 Ϫ18 Ϫ15 Ϫ12 Ϫ9 Ϫ6 Ϫ3 0 3
ϩ3 ϩ3 ϩ3 ϩ3 ϩ3 ϩ3
Figura 1.35
(ϩ3) и (Ϫ4)
Ϫ20 Ϫ16 Ϫ12 Ϫ8 Ϫ4 0 4 8 12
ϩ4 ϩ4 ϩ4 ϩ4
Figura 1.36
9Multiplicación de números enteros. Propiedades
Para multiplicar dos números enteros:
1º. Se multiplican sus valores absolutos.
2º. El resultado es positivo si ambos números tienen el mismo signo o es
negativo si los números tienen diferente signo.
Geométricamente, la multiplicación de enteros se representa así:
El producto de dos enteros de igual signo es positivo:
(3) ? (5) 5 |3| ? |5| 5 15
(26) ? (24) 5 |26| ? |24| 5 24
Se adiciona seis veces el opuesto de 24
El producto de dos enteros de diferente signo es negativo:
(26) ? (3) 5 2|26| ? |3| 5 218
(3) ? (24) 5 2|3| ? |24| 5 212
Generalmente, para obtener el signo del producto de dos números enteros
se aplica la regla de los signos:
 ?  5  2 ?  5 2  ? 2 5 2 2 ? 2 5 
Ejemplo 26 Efectúa las siguientes multiplicaciones.
a) (12) ? (5) 5 60 b) (8) ? (240) 5 2320
c) (26) ? (81) 5 2486 d) (273) ? (25) 5 365
Ejemplo 27 Leo tiene unos ahorros y decide suscribirse a una revista men-
sual que cuesta $ 17000. ¿Cuánto dinero menos tiene después de tres me-
ses? Si dejara la suscripción durante cuatro meses, ¿cuánto ahorraría?
(217) ? 3 5 251 Después de tres meses tiene $ 51000 menos.
(17) ? 4 5 68 Si no pagara en cuatro meses ahorraría $ 68000.
Cuando los números son
positivos se puede omitir
el signo .

25
Ten en cuenta
El uso de corchetes es
igual al de los parénte-
sis. Se utilizan para in-
dicar la operación que
hay que hacer primero
o para agrupar facto-
res en los que apare-
cen paréntesis.
ejercitAción
30. Calcula el resultado de estas multiplicaciones.
a) (8) ? (3) b) (29) ? (22)
c) (5) ? (24) d) (26) ? (7)
e) (220) ? 5 f) 15 ? (220)
ejercitAción
31. Realiza las siguientes operaciones.
a) 10 ? (28) ? (23) b) 12 ? (28) ? (24)
c) 10 ? 9 ? (24) d) (210) ? (210) ? 8
e) 2175 ? (225) ? 4 f) 25 ? (29) ? (220)
rAzonAmiento
32. Averigua los números que faltan.
a) (24) ? 5 224 b) (210) ? 5 90
c) ? (5) 5 30 d) ? (27) 5 235
e) (2) 5 6 f) 9 ? 5 263
33. Un barco hundido a unos 200 metros de pro-
fundidad asciende a una velocidad de dos
metros por minuto.
¿A qué profundidad estará al cabo de una hora?
ejercitAción
34. Aplica la propiedad asociativa y resuelve.
a) (27) ? 5 ? (24) b) (29) ? (211) ? 3
c) (25) ? (27) ? (23) d) 11 ? (23) ? 9
ejercitAción
35. Primero saca factor común y después opera.
a) 7 ? (26)  7 b) (224)  15
c) 4 ? (22)  4 d) 18  (227)
e) (23) ? 4  (23) f) (29)  (29) ? 2
g) (26)  5 ? (21) h) 7 ? (24)  (24)
Propiedades de la multiplicación
1. Asociativa: El producto de tres o más factores se puede agrupar de distinta
forma y el producto no se altera.
(24) ? 2 ? (23) 5 (28) ? (23) 5 24
(24) ? 2 ? (23) 5 (24) ? (26) 5 24
(24) ? 2 ? (23) 5 (24) ? 2 ? (23)
En general: (a ? b) ? c 5 a ? (b ? c)
2. Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
(25) ? (9) 5 2(5 ? 9) 5 2(9 ? 5) 5 (9) ? (25)
En general: a ? b 5 b ? a
3. Elemento neutro: El elemento neutro de la multiplicación es 1.
5 ? 1 5 1 ? 5 5 5
En general: a ? 1 5 1 ? a 5 a
4. Distributiva de la multiplicación respecto a la adición:
(26) ? [8  (23)] 5 (26) ? 5 5 230
(26) ? 8  (26) ? (23) 5 248  18 5 230
(26) ? [8(23)] 5
(26) ? 8  (26) ? (23)
En general: a ? (b  c) 5 a ? b  a ? c , que transforma una multiplica-
ción en una adición.
Se puede aplicar la propiedad distributiva en sentido contrario transfor-
mando una adición en una multiplicación; esta operación se llama sacar
factor común.
a ? b  a ? c 5 a ? (b  c)
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26
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Ten en cuenta
En la red
reFuerZa La DiVisiÓn De enteros
VisitanDo La pÁGina:
www.e-sm.net/7mt06
División exacta de números enteros
Para calcular el cociente exacto de dos números enteros:
1º. Se halla el cociente de sus valores absolutos.
2º. Al resultado se le coloca el signo según la regla de los signos.
Ejemplo 28 Encuentra un número que multiplicado por 8 dé 48.
El número es 6, ya que 6 ? 8 5 48.
Hay dos divisiones asociadas a cada multiplicación:
48 4 8 5 6 y 48 4 6 5 8
Ejemplo 29 Encuentra un número que multiplicado por 27 dé 235.
El número es 5, porque 5 ? (27) 5 235.
Las divisiones asociadas son:
(235) 4 (27) 5 5 y (235) 4 5 5 27
Ejemplo 30 Encuentra un número que dé 54 al multiplicarlo por 26.
Se trata de 29, porque (29) ? (26) 5 54.
Las divisiones asociadas son:
54 4 (26) 5 29 y 54 4 (29) 5 26
En todos los casos anteriores el residuo de la división es cero. Es decir,
las divisiones son exactas.
rAzonAmiento
36. El producto de dos números es 132, y uno de los números es 211.
¿Cuál es el otro número?
Solución:
Se llama a al número que se quiere hallar.
211 ? a 5 132
Luego a 5 132 4 (211) 5 2(132 4 11) 5 212
rAzonAmiento
37. El producto de dos números enteros es igual
a 2270 y uno de los enteros es el opuesto
de 15. ¿Cuál es el otro número?
ejercitAción
38. Calcula.
a) 9 4 (23) b) (275) 4 5 c) (248) 4 (216)
d) 49 4 (27) e) (260) 4 2 f) (240) 4 (28)
comunicAción
39. Indica la propiedad que se aplica en cada
caso.
a) (25) ? [(23) ? 7] 5 [(25) ? (23)] ? 7
b) (210) ? (29) 5 (29) ? (210)
rAzonAmiento
40. ¿Por cuál número hay que dividir 2105 para
obtener 27?
ejercitAción
41. Aplica la propiedad distributiva para resolver
la operación.
a) (22) ? [5  (23)]
b) (27) ? [(24)  (26)]
ejercitAción
42. Primero saca factor común y luego calcula.
a) (25) ? 8  (25) ? 4
b) 14 2 2 ? 3
En la división también se
utiliza la regla de los sig-
nos.
 4  5 
2 4 2 5 
 4 2 5 2
2 4  5 2
Para dividir más de dos
números consecutivos,
se comienza de izquierda
a derecha en el orden en
que aparecen.
10

27
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Ten en cuenta
pensamiento VariacionaL
Ecuaciones de estructura multiplicativa
Una ecuación en la cual la operación que aparece es una multiplicación o
una división, es una ecuación de estructura multiplicativa.
Ejemplo 31 Son ecuaciones de estructura multiplicativa las siguientes:
a) 3 ? x 5 45 b) y ? (–5) = –60 c) x 4 4 5 25
Para resolver una ecuación multiplicativa es necesario tener en cuenta que
la multiplicación y la división de números enteros son operaciones inversas,
por lo tanto, todo producto se puede expresar como un cociente de números
enteros, siempre y cuando el denominador sea diferente de cero.
Ejemplo 32 Halla el valor de x que hace verdadera la igualdad:
5 ? x 5 260
Al expresar la multiplicación como cociente, se tiene x 5 260 4 5. Así, se
sabe que:
x 5 212
Ejemplo 33 El producto de dos números enteros es 72, uno de los factores
es –8, ¿cuál es el otro factor?
Se modela el problema mediante la ecuación:
28 ? x 5 72
Al expresar el producto como un cociente se obtiene:
x 5 72 4 (28)
x 5 29
El otro factor es 29.
modelAción
43. Una secretaria trabaja 8 horas al día durante cinco días. En total trabaja 40 horas a la semana.
Si dejó de asistir al trabajo x horas sin justificar sus ausencias y su jefe le descuenta 24 horas,
¿cuántos días faltó a su trabajo?
Solución:
La ecuación que se plantea es:
x ? 8 5 224
x 5 224 4 8
x 5 23
El número 23 indica que la secretaria faltó tres días al trabajo.
rAzonAmiento
44. Halla el valor de x en las siguientes ecua-
ciones.
a) 5 ? x 5 245
b) 64 5 x ? (216)
c) (12 2 15) ? x 5 9
d) 21 ? x 5 252
modelAción
45. Expresa como ecuación y resuelve:
a) Un reloj se atrasa tres minutos cada hora,
¿cuánto tiempo se atrasa al mediodía?
b) El cociente de dos enteros es 21176. Si el
divisor es 256 y el residuo es cero, ¿cuál es
el dividendo?
Una multiplicación se
puede expresar me-
diante el signo por (3)
o con el punto (?).
3 3 (25) 5 3 ? (–5)
Toda multiplicación se
puede escribir como un
cociente.
El producto 5 ? 4 5 20,
se puede expresar
como 20 4 5 5 4 o
como 20 4 4 5 5.
11

28
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Ten en cuenta
En la red
practica Las operaciones
resoLVienDo eJercicios en
La pÁGina:
www.e-sm.net/7mt07
Operaciones combinadas con números enteros
Operaciones sin paréntesis
Para realizar operaciones con números enteros en las que no hay paréntesis
agrupando operaciones, se sigue este orden:
1º. Se resuelven las multiplicaciones y las divisiones
2º. Se realizan las adiciones y las sustracciones.
Cuando solo hay adiciones y sustraciones, se puede operar en el orden que
se prefiera.
Ejemplo 34 Calcula 6 ? (25)  (24) ? (29)
Primero se realizan las multiplicaciones y luego la adición.
6 ? (25)  (24) ? (29) 5 230  36 5 6
Ejemplo 35 Calcula (27) ? (23) 2 (218) 4 6
Primero se efectúan la multiplicación y la división; y, después se realiza la
sustracción.
(27) ? (23) 2 (218) 4 6 5 21 2 (23) 5 24
Ejemplo 36 Calcula de dos formas la operación 215  8 2 (22)
215  8 2 (22) 5 27  2 525 215  8 2 (22) 5 215  10 5 25
Cuando aparecen multiplicaciones y divisiones combinadas no se obtiene el
mismo resultado si se cambia el sentido de la operación.
Ejemplo 37 Calcula de dos formas la operación 60 4 (210) ? 3.
Primero se divide y después se multiplica, 60 4 (210) ? 3 5 26 ? 3 5 218
Primero se multiplica y luego se divide, 60 4 (210) ? 3 5 60 4 (230) 5 22
Lo correcto es empezar a operar por la izquierda:
60 4 (210) ? 3 5 26 ? 3 5 218
Si aparecen varias operaciones del mismo orden, se hacen de izquierda a
derecha.
ejercitAción
46. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.
a) 10 2 (28) 4 (24)  (26) b) (215) ? 2 2 (216) 4 (28)
c) 7 ? (23)  (24) ? (25)  (227) 4 (29) d) (246) 4 (22) ? (23) 26 ? (24)
Solución:
a) 10 2 (28) 4 (24)  (26) 5 10 2 2  (26) 5 8 2 6 5 2
b) (215) ? 2 2 (216) 4 (28) 5 230 2 2 5 232
c) 7 ? (23)  (24) ? (25)  (227) 4 (29) 5 221  20  3 5 221  23 5 2
d) (246) 4 (2 2) ? (23)  (26) ? (2 4) 5 23 ? (23)  24 5 269  24 5 245
12
Un polinomio aritmético
es una expresión en la
que intervienen varias
multiplicaciones y/o di-
visiones ligadas por los
signos  y 2.
El signo menos antes de
un paréntesis cambia el
signo de los números
que hay dentro del pa-
réntesis.

29
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
Operaciones con paréntesis
Para realizar operaciones con números enteros en las que haya paréntesis,
se sigue este orden:
1º. Se resuelven las operaciones que estén dentro de los paréntesis. Si hay
varios, unos dentro de otros, se empieza por los internos.
2º. Se calculan las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha.
3º. Se calculan las adiciones y las sustracciones.
Ejemplo 38 Calcula las siguientes operaciones.
a) (28) ? (1 2 6) 5 (28) ? (25) 5 40
b) (28) ? 1 2 6 5 28 2 6 5 214
Aunque las dos operaciones tienen los mismos números y los mismos sig-
nos, los paréntesis del primer caso hacen que se cambie el orden de las
operaciones.
Ejemplo 39 Calcula (228) 4 [(24) ? (6 2 9)  (216) 4 2].
(228) 4 [(24) ? (6 2 9)  (216) 4 2] 5 (228) 4 [(24) ? (23)  (28)]
5 (228) 4 [12 2 8] 5 (228) 4 4 5 27
Cuando delante de un paréntesis hay un signo 2, se puede:
• Realizar primero las operaciones del paréntesis y luego cambiar el signo.
• Quitar los paréntesis, cambiando el signo de los números que tiene dentro,
y luego operar.
Ejemplo 40 Realiza la operación 2(28  6).
2(28  6) 5 2(22) 5 2
2(28  6) 5 (21) ? (28  6) 5 (21) ? (28)  (21) ? 6 5 (8)  (26) 5 2
ejercitAción
47. Realiza de dos formas la siguiente operación con paréntesis 29  4 2 (21  3).
Solución:
1. Resolviendo la operación entre paréntesis:
29  4 2 (21  3) 5 29  4 2 2 5 211  4 5 27
2. Eliminando paréntesis:
29  4 2 (21  3) 5 29  4  1 2 3 5 212  5 5 27
comunicAción
48. Explica si son ciertas las siguientes igualda-
des.
a) 7  15 ? (29) 2 1 5 (7  15) ? (29) 2 1
b) 3 2 (10 2 5) 5 3 2 10  5
c) (24) ? (6 23)  2 5 224  12  2
ejercitAción
a) 45 4 (2 2 11)  3 ? 4
b) 236 4 (217  2 ? 4)
c) 8 2 4 ? (210  3) 27
d) 2 2 [6 2 (23  1)]  8 4 2
Los signos de agrupa-
ción usados en las ope-
raciones matemáticas
son:
•   Paréntesis
•   Corchetes
•   Llaves
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30
ActividAd resueltA
Sabías que...
13 Potencias de base entera y exponente natural
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de fac-
tores iguales.
• La base de la potencia es el factor que se repite.
• El exponente es el número de veces que se repite.
Ejemplo 41 Un microorganismo se duplica cada 5 horas. ¿Cuántos mi-
croorganismos se habrán formado a partir de él al cabo de 25 horas?
Pasadas las primeras 5 horas hay dos microorganismos; después de 10
horas, 2 ? 2; ...; y después de 25 horas, 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2.
El producto 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 se suele escribir como 25
, que es una potencia
de base 2 y exponente 5.
Potencias de base un número entero negativo
Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.
Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.
Ejemplo 42 Escribe como producto y calcula las siguientes potencias.
a) (26)3
b) (23)5
c) (22)6
d) (25)4
a) (26)3
5 (26) ? (26) ? (26) 5 2216
b) (23)5
5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 2243
c) (22)6
5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 64
d) (25)4
5 (25) ? (25) ? (25) ? (25) 5 625
Los microorganismos son
organismos unicelulares
microscópicos que, en al-
gunos casos se multipli-
can por división simple o
por esporas.
ejercitAción
51. Escribe cada potencia como producto
y calcula su valor.
a) (27)3
b) (28)3
c) 45
d) (23)4
e) (23)7
f) 54
g) (23)8
h) (24)3
comunicAción
52. Expresa como potencias de base negativa.
a) 49 b) 28
c) 16 d) 227
e) 81 f) 144
comunicAción
53. Halla las potencias sucesivas de (21) y ex-
plica qué observas.
rAzonAmiento
50. Señala cuál de los siguientes números puede escribirse como potencia de base negativa.
a) 9 b) 216 c) 232
Solución:
a) 9 5 (23)2
b) No se puede escribir como potencia de base negativa.
c) 232 5 (22)5
• Más actividades en la página 40 numerales 116 al 120.

31
Sabías que...
ActividAd resueltA
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Operaciones con potencias de la misma base
comunicAción
54. Expresa [(27)3
]5
4 [(27)4
? (27)5
] como una única potencia.
Solución:
[(27)3
]5
4 [(27)4
? (275
)] 5 (27)3 ? 5
4 [(27)4
? (27)5
] 5 (27)15
4 (27)9
5 (27)6
comunicAción
55. Escribe como una sola potencia.
a) 24
? 26
b) (25)8
4 (25)3
c) [(29)2
]3
d) (24)3
? (24)3
4 (24)
• Más actividades en la página 40, numerales 123.
rAzonAmiento
56. Sustituye a por el número que corresponda.
a) (24)5
? (24)a
5 (24)7
b) (26)12
4 [(26)4
]a
5 (26)4
14El producto de varias potencias de la misma base es otra potencia con la
misma base y con el exponente igual a la suma de los exponentes.
am
? an
5 am  n
Ejemplo 43 En una biblioteca hay 32 muebles de ocho estantes que tienen
16 libros cada uno. Escribe en forma de potencia el número de libros que
hay en la biblioteca.
Se expresa cada número como potencia de base 2 y se multiplica.
32 ? 8 ? 16 5 25
? 23
? 24
5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 212
Por lo tanto: 25
? 23
? 24
5 212
5 25  3  4
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con la
misma base y con el exponente igual a la diferencia entre los exponentes
del dividendo y del divisor.
am
4 an
5 am 2 n
Ejemplo 44 Calcula el cociente (22)6
4 (22)4
y escribe el resultado en
forma de potencia.
(22)6
4 (22)4
5 64 4 16 5 4 5 22
5 (22)2
5 (22)6 24
La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y con el
exponente igual al producto de los exponentes.
(am
)n
5 am ? n
Ejemplo 45 Escribe [(25)3
]2
en forma de potencia.
[(25)3
]2
5 (25)3
? (25)3
5 (25)3  3
5 (25)6
5 (25)2 ? 3
Ejemplo 46 Halla el resultado de
35
? 38
——-
310
35
? 38
——-
310
5
35  8
——-
310
5
313
—-
310
5 313 2 10
5 33
En las bibliotecas se
conservan colecciones
organizadas de libros
y otros materiales que
pueden ser consultados
por los usuarios.

32
ActividAd resueltA
Ten en cuenta
15 Operaciones con potencias del mismo exponente
Producto de potencias del mismo exponente
El producto de varias bases con el mismo exponente es una potencia con
la base igual al producto de las bases y con el mismo exponente.
am
? bm
5 (a ? b)m
Ejemplo 47 ¿Es posible expresar el producto (25)4
? 24
como una única
potencia?
Se expresa cada potencia como producto:
(25)4
? 24
5 (25) ? (25) ? (25) ? (25) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2
Y se aplican las propiedades asociativa y conmutativa:
(25)4
? 24
5 [(25) ? 2] ? [(25) ? 2] ? [(25) ? 2] ? [(25) ? 2] 5 [(25) ? 2]4
cociente de dos potencias del mismo exponente
El cociente de dos potencias del mismo exponente es otra potencia con base
igual al cociente de las bases y con el mismo exponente.
am
4 bm
5 (a 4 b)m
Ejemplo 48 ¿Es posible escribir (28)3
4 43
como una única potencia?
(28)3
4 43
5 ((28) ? (28) ? (28)) 4 (4 ? 4 ? 4)
Y se aplican las propiedades asociativa y conmutativa:
(28)3
4 43
5 (28 4 4) ? (28 4 4) ? (28 4 4) 5 [(28) 4 4]3
comunicAción
57. Expresa, en cada caso, como productos o cocientes del mismo exponente, y luego calcula el resultado.
a) 2125 ? 64 ? (227) b) 21000 4 28
Solución:
a) 2125 ? 64 ? (227) 5 (25)3
? 43
? (23)3
5 [25 ? 4 ? (23)]3
5 603
5 216000
b) 21000 4 (28) 5 (210)3
4 (22)3
5 [210 4 (22)]3
5 53
5 125
comunicAción
58. Escribe como una sola potencia.
a) 35
? (27)5
b) (215)4
4 54
c) (28)2
? (24)2
? 32
rAzonAmiento
59. Copia y completa.
a) (22)4
? (23)4
5 ( )4
b) (218)6
4 (29)6
5 2
c) ( )3
4 53
5 (225)3
d) 72
? ( )2
? 22
5 (242)2
rAzonAmiento
60. Sustituye las letras por los números que ha-
gan que las igualdades sean ciertas.
a) (26)9
? (23)9
? (22)a
5 (236)9
b) 25
? (28)5
5 (216)a
c) (29)a
4 34
5 (23)4
d) (230)a
4 (25)a
5 b2
comunicAción
61. Escribe 2216 4 8 ? (25)3
en forma de po-
tencia y calcula el resultado.
La suma de bases con el
mismo exponente no es
la potencia de la adición
de las bases.
am
 bm
϶ (a  b)m
Lo mismo pasa con la
sustracción.
am
2 bm
϶ (a 2 b)m
• Más actividades en la página 40 numerales 121 y 122.

33
Ten en cuenta
CondiCiones del residuo
Residuo , 2 ? raíz  1
Figura 1.38
Figura 1.37
En la red
eJercita eL tema VisitanDo
La pÁGina:
www.e-sm.net/6mt08
Cuadrados perfectos y raíces cuadradas
La raíz cuadrada exacta de un número es otro número cuyo cuadrado es
igual al primero.
a 5 b b2
5 a
Ejemplo 49
La raíz cuadrada positiva de 81 es 9 y se escribe 81 5 9.
La raíz cuadrada negativa de 81 es 29 y se escribe 81 5 29.
Ejemplo 50 ¿Qué número elevado al cuadrado da 81?
Hay dos números, 9 y 29, porque 92
5 (29)2
5 81. Entonces 81 tiene dos
raíces cuadradas.
Ejemplo 51 ¿Qué tienen en común los números 1, 9, 49?
1 5 12
5 (21)2
9 5 32
5 (23)2
49 5 72
5 (27)2
Son los cuadrados de otros números.
Ejemplo 52 Un juego consta de 28 fichas.
a) ¿Es posible colocarlas formando un cuadrado?
b) ¿Cuántas fichas tiene el máximo cuadrado que se puede formar?
c) ¿Cuántas fichas quedan sin colocar?
d) ¿Cuántas fichas se necesitan para completar un cuadrado con una fila
y una columna más?
a) No, porque hay que formar filas y columnas con el mismo número de
fichas. Para ello 28 debería ser un cuadrado perfecto y no lo es.
b) Se observa que 52
5 25 y 62
5 36 y que 25 , 28 , 36.
• No hay fichas suficientes para hacer un cuadrado de seis filas. Se forma
entonces un cuadrado de cinco filas.
• El mayor entero cuyo cuadrado es menor que 28 es 5 y se escribe:
28 5 5, que es la raíz cuadrada entera de 28.
c) Se quedan sin colocar 28 2 52
5 28 2 25 5 3 fichas. El residuo de la
raíz cuadrada entera de 28 es 3.
d) Para completar un cuadrado de seis filas y seis columnas se necesitan
una fila y una columna de 5 fichas más otra ficha para la esquina:
2 ? 5  1 5 11
La raíz cuadrada entera de un número es el mayor entero cuyo cuadrado
es menor que ese número.
El residuo de la raíz cuadrada entera de un número es igual a la diferencia
entre el número y el cuadrado de su raíz entera.
El residuo es menor que el doble de la raíz más 1.
Los cuadrados perfec-
tos son los números que
se obtienen elevando al
cuadrado otros núme-
ros, siendo los únicos
números que tienen raíz
cuadrada exacta.
comunicAción
62. Determina si los números dados son cua-
drados perfectos.
a) 64 b) 70 c) 100
d) 225 e) 111 f) 144
ejercitAción
63. Calcula la raíz cuadrada entera y el residuo
de los siguientes números.
a) 7 b) 39 c) 13 d) 55 e) 110
16

34
Ten en cuenta
Operaciones con raíces cuadradas
Producto de raíces cuadradas
El producto de dos o más raíces cuadradas es otra raíz cuadrada con el
radicando igual al producto de los radicandos.
a ? b 5 a b⋅
Ejemplo 53 Escribe 36
5
( ) como producto de factores iguales.
36
5
( ) 5 36 ? 36 ? 36 ? 36 ? 36
Como a ? b 5 a b⋅ , se puede multiplicar.
36
5
( ) 5 36 ? 36 ? 36 ? 36 ? 36
5 36 36 36 36 36⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 365
cociente de dos raíces cuadradas exactas
El cociente de dos raíces cuadradas es otra raíz cuadrada con el radicando
igual al cociente de los radicandos.
a 4 b 5 a bϬ
Ejemplo 54 Calcula 36 4 9 y 36 9Ϭ . ¿Qué observas?
36 4 9 5 62
4 32
5 6 4 3 5 2
36 9Ϭ 5 6 32 2
Ϭ 5 6 3
2
Ϭ( ) 5 22
5 2
Los resultados son iguales, luego 36 4 9 5 36 9Ϭ
Potencia de una raíz cuadrada
La potencia de base una raíz cuadrada es otra raíz cuadrada que tiene por
radicando el primero elevado al exponente de la potencia.
a
m
( ) 5 am
Ejemplo 55 Calcula 49 ? 16 y 49 16⋅ ¿Qué observas?
49 ? 16 5 72
? 42
5 7 ? 4 5 28
49 16⋅ 5 7 42 2
⋅ 5 7 42 2
⋅( ) 5 282
5 28
Los resultados son iguales, por lo tanto 49 ? 16 5 49 16⋅
17
rAzonAmiento
64. Sustituye la letra a para que sean ciertas las
igualdades.
a) 25 ? 4 5 a b) 4 ? a 5 36
c) a 5 64 4 16 d) 8 4 a( )
3
5 1
comunicAción
65. Expresa en forma de potencia.
a) 363
b) 35
?
625
3
c) 647
d) 323
4 23
Las operaciones con raí-
ces cuadradas también
se pueden generalizar
así:
a b⋅ 5 a ? b
a b÷ 5 a 4 b
am
5 a
m
( )
• Más actividades en la página 41 numerales 129 al 133.
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35
Ten en cuenta
En la red
reFuerZa eL tema De JerarQuÍa
De Las operaciones entranDo a:
www.e-sm.net/6mt09
Jerarquía de las operaciones
En las operaciones combinadas, las potencias y las raíces tienen prioridad.
Si las operaciones son combinadas con potencias y raíces, el orden que se
sigue es:
1º. Paréntesis y corchetes.
2º. Potencias y raíces.
3º. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4º. Adiciones y sustracciones.
Ejemplo 56 Realiza la siguiente operación.
(23)  [5 2 (21)]2
? 2 2 25
1º. Se resuelve el corchete: 5 (23)  (5  1)2
? 2 2 25
5 (23)  62
? 2 2 25
2º. Se calcula la potencia y la raíz: 5 (23)  36 ? 2 2 5
3º. Se hace la multiplicación: 5 (23)  72 2 5
4º. Se calculan las sumas 5 69 2 5
y las diferencias: 5 64
Ejemplo 57 Realiza la siguiente operación.
10  54 4 (23)2
? 18 2+ −( )
1º. Se resuelve la potencia 5 10  54 4 9 ? 16
y la raíz: 5 10  54 4 9 ? 4
2º. Se calcula la división y la
multiplicación de izquierda
a derecha: 5 10  6 ? 4
3º. Se calcula la suma: 5 10  24
5 34
La jerarquía de las
operaciones es el or-
den que se debe tener
en cuenta para realizar
correctamente opera-
ciones combinadas.
ejercitAción
a) 3  7 ? 4 2 (22)3
 (26)
b) (210)  27 4 32
? 5 2 2
c) 4  (7 2 5)2
2 (242
2 18 4 3) 4 2
d) 6  9 4 3  81
e) (28) 4 2 ? 10  4 2 3
f) 4 2 3 ? 2  (27)  3 ? 6
g) (25)2
4 5  12 4 6 ? 2
ejercitAción
67. Calcula.
a) 32 2 [1 2 (12 2 32
)]2
? 6 4 3
b) 2  3 ? 18 32
− 2 12
c) (225)  3 21 49
2
и Ϫ Ϭ( )







d) 4 10 82 2 2
3
− −( ) 4 [5 ? (22)]
2
? 1 24− −( )
e) (13  (21)2
)2
4 2  (28)3
? 6
f) 1  3 ? 9 1
2
−








 4 4 2
g) 8 2 3 ? 2  [5 2 (3 2 2)]
2
? 3
18

36 pensamiento numérico
3 m 8 m5 m 6 m
Figura 1.39
Figura 1.40
Figura 1.41
Figura 1.42
Figura 1.43
Ϫ6
Ϫ6
ϩ6
Ϫ7
Ϫ20
Ϫ40
Ϫ10
Ϫ30
ϩ10
ϩ200 ϩ300 ϩ100
Ϫ200 Ϫ100
ϩ10
Ϫ10ϩ15
ϩ12
ϩ40
ϩ4
ϩ5
ϩ7
0
0
Patricia
A c t i v i d a d e s
Números relativos
Cal cul a
Razonamiento
68. Representa la distribución de las balotas
con respecto a la roja, si:
a) La balota azul se ubica dos puestos antes
de la roja.
b) La balota amarilla se ubica un puesto des-
pués de la roja.
c) La balota verde se ubica dos puestos des-
pués de la roja.
d) La balota morada se ubica un puesto antes
de la roja.
Razonamiento
69. Identifica a cada una de las chicas de la
foto, de acuerdo con su ubicación respecto
a Patricia.
a) María está dos lugares a la derecha de
Patricia.
b) Juliana está tres lugares a la izquierda.
c) Lola está un lugar a la derecha.
d) Cristina está un lugar a la izquierda.
e) Francy está dos lugares a la izquierda.
Ejercitación
70. Representa con números enteros las can-
tidades indicadas, tomando como punto de
referencia el cero.
a) Cuatro unidades a la derecha
b) Cinco unidades a la izquierda
c) Ocho unidades a la derecha
d) Siete unidades a la izquierda
e) Doce unidades a la derecha
f) Diez unidades a la izquierda
Comunicación
71. Determina la posición de cada uno de los
árboles con respecto al pino.
a) b) c) d)
Comunicación
72. De acuerdo con el nivel de líquido que in-
dica la marca roja, expresa la cantidad de
unidades que hay en cada frasco, por en-
cima o por debajo.
a) b) c) d) e)
Entrena
Comunicación
73. La Segunda Guerra Mundial terminó en
1945. Determina cuántos años antes o des-
pués del fin de esa guerra transcurrió cada
acontecimiento.
a) Fundación del estado de Israel 1948
b) Primer hombre en la Luna 1969
c) Revolución de octubre en Rusia 1917
d) Separación de Panamá 1903
e) Guerra civil española 1934
Modelación
74. Representa por medio de números relativos.
a) Once pasos adelante
b) Quince pasos atrás
c) Doce pasos atrás
d) Diecisiete pasos adelante
e) Veinte pasos atrás
f) Veintisiete pasos adelante
Números enteros
Calcula
Ejercitación
75. Para cada conjunto de números enteros,
señala en una recta numérica los puntos
correspondientes.
a) b)
c) d)

37pensamiento numérico
Figura 1.44
Figura 1.45
Figura 1.46
Ϫ1 0 ϩ1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ5 ϩ6 ϩ7 ϩ8
Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 ϩ1 ϩ2 ϩ3
Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 0 ϩ1 ϩ2 ϩ3
Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 ϩ1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ50
Ϫ10 Ϫ8 Ϫ6 Ϫ4 Ϫ2 ϩ2 ϩ4 ϩ6 ϩ8 ϩ100
Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 ϩ1 ϩ2 ϩ3 ϩ4 ϩ50
Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 1 2 3 4 5 60 7
Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 1 2 3 4 5 60 7
Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 1 2 3 4 5 60 7
Ϫ35Ϫ30Ϫ25Ϫ20Ϫ15Ϫ10 Ϫ5 5 10 15 20 25 300 35
Ϫ70Ϫ60Ϫ50Ϫ40Ϫ30 Ϫ20Ϫ10 0 20 30 40 50 60 7010
Figura 1.47
Figura 1.48
Figura 1.49
Figura 1.50
Figura 1.51
Figura 1.52
Figura 1.53
Figura 1.54
Figura 1.55
En tre na
Razonamiento
76. Encuentra la posición final de cada par de
desplazamientos, si se parte de cero en la
recta numérica.
a) Avanza 4 y retrocede 2
b) Avanza 3 y retrocede 4
c) Avanza 6 y retrocede 4
d) Avanza 2 y retrocede 5
e) Avanza 3 y retrocede 8
Razonamiento
77. Encuentra la posición final para cada par de
desplazamientos, si se parte de 3 en cada
recta numérica.
a) Avanza 5 y retrocede 2.
b) Retrocede 3 y avanza 1.
c) Retrocede 3 y retrocede 5.
Razonamiento
78. En cada caso, encuentra el segundo des-
plazamiento del móvil para que haya llegado
a la posición indicada.
a)
b)
c)
Comunicación
79. Para cada recta numérica, describe los
avances y retrocesos de un carro, si se
parte de cero.
a)
b)
c)
d)
e)
Resuelve problemas
80. En uno de los juegos de “La Escalera”, Pilar
queda, después del primer turno, tres es-
calones arriba de la salida. En el segundo
turno queda un escalón arriba de la salida,
y después del tercer turno queda cuatro
escalones por debajo. ¿Cuáles fueron los
desplazamientos que realizó Pilar en cada
turno? Indícalos con números enteros.
Números enteros. Valor absoluto
Entrena
Ejercitación
81. Da el resultado de las siguientes operacio-
nes.
a) |23 ? 8| b) 29 1 |213|
c) |225 4 5| d) |230| 4 (210)
Razonamiento
82. Sustituye la letra a por números en cada
caso.
a) |26| 1 a 5 0 b) 22 1 |a| 5 5
c) |2(28)| 5 3 2 a d) 29 1 (2a) 5 |24|

Re f ue rz a
Ejercitación
83. Calcula.
a) |28| ? (24) b) |3 2 5|1 |210 1 4|
c) 2 ? |29| d) |224 4 6|
Comunicación
84. Escribe los números que hacen que el re-
sultado de las siguientes operaciones sea 0.
a) |5 1 | b) |24| 2
c) |23 2 | d) |26| 1
Comunicación
85. ¿Cuál es el valor absoluto de la suma de
dos números opuestos?
Res ue l ve prob lemas
Razonamiento
86. Euclides fue un matemático que vivió 60 años
y murió en el 265 a. C. ¿En qué año nació?
Razonamiento
87. La primera mujer matemática conoci-
da, Hypatía de Alejandría, nació en el 370
d. C. ¿Cuánto tiempo pasó desde que murió
Euclides hasta que nació Hypatía?
88. El pico más alto de España, con 3 478 m
de altura, es el Mulhacén. El Sistema de
Trave, a 21 441 m de profundidad, es la
cuarta cima más profunda del mundo. Halla
la diferencia de altitud.
Relación de orden en el conjunto de los números
enteros
En tre na
Comunicación
89. Escribe el número anterior y el siguiente de
cada número entero.
a) 2210 b) 1245 c) 262 d) 1299
Comunicación
90. Interpreta cada uno de los enunciados y
completa la frase con la relación entre el
primer y el último número.
a) Como 3 es menor que 0 y 0 es menor que
1, entonces 3 es que 1.
b) Como 5 es menor que 2 y 2 es menor
que 1, entonces 5 es que 1.
c) Puesto que 3 es mayor que 8 y 8 es
mayor que 10, entonces 3 es
que 10.
d) Como 8 es menor que 5 y 5 es menor
que 2, entonces 8 es que 2.
Resuelve problemas
91. Al comparar la masa corporal de los inte-
grantes del equipo de baloncesto, con res-
pecto a la de Oswaldo, se tiene que: Alberto
es 1 kg menos pesado, Ramiro es 5 kg me-
nos pesado, Camilo es 3 kg más pesado y
Donaldo es 3 kg menos pesado. ¿Cuál es el
orden de los jugadores, del más al menos
pesado?
Adición y sustracción de números enteros
Entrena
Razonamiento
92. En cada caso, encuentra dos números nega-
tivos que cumplan la siguiente condición.
a) Su suma sea 218.
b) Su diferencia sea 23.
Ejercitación
93. Calcula.
a) 29 2 (6 2 8) b) 12 2 3 1 (26)
c) 21 2 (29) 1 (28) d) 21 2 (7 2 10) 1 5
Razonamiento
94. Halla el número que hay que adicionar a 8
para que la mitad de la suma sea 21.
Comunicación
95. Escribe los siguientes números como suma
y como diferencia de otros dos.
a) 212 b) 8 c) 25 d) 217 e) 0
Amplía
Razonamiento
96. ¿A qué es igual la suma de los valores abso-
lutos de dos números enteros opuestos?
Razonamiento
97. Pon paréntesis en las siguientes operacio-
nes para que las igualdades sean ciertas:
a) 29 ? 3 2 5 2 8 5 10
b) 29 ? 3 2 5 2 8 5 224
c) 29 ? 3 2 5 2 8 5 240
¿En algún caso se puede omitir el paréntesis?
Razonamiento
98. La diferencia de dos números negativos es
igual a la mitad del menor. ¿Qué números
son?

39pensamiento numérico
99. Dos turistas almuerzan frente al Museo
Nacional de Colombia. Los platos que con-
sumen valen $ 20 000 y $ 18 000. Si cuentan
con un efectivo de $ 45 000 y $ 38 000, res-
pectivamente:
a) ¿Cuánto dinero les queda en total?
b) ¿Qué propiedades de la adición de números
enteros se pueden utilizar?
c) Utiliza otros procedimientos.
Multiplicación y división de números enteros
En tre na
Razonamiento
100. Sustituye a por el número entero que haga
que la igualdad sea cierta.
a) 5 ? a 5 220 b) 40 4 a 5 210
c) a 4 (28) 5 2 d) a ? (29) 5 27
Ejercitación
101. Calcula de dos formas distintas.
a) 2 ? (24 1 7) b) 25 ? (3 2 6)
c) 6 ? (22 2 1) d) 29 ? (28 1 5)
Ejercitación
102. Calcula.
a) (24) ? (25) ? (23) b) (260) 4 (210)
c) 96 4 (28) d) (28) ? 3 ? (22)
Ejercitación
103. Indica las propiedades de la multiplicación
utilizadas en las siguientes igualdades.
a) 7 ? [(24) ? (210)] 5 [7 ? (24)] ? (210)
b) (28) ? (29) ? 1 5 (29) ? (28)
Ejercitación
104. Aplica la propiedad distributiva para calcular.
a) 2 ? (25 1 7) b) 24 ? (210 2 1)
c) 6 ? (23 2 8) d) 26 ? (5 2 9)
Razonamiento
105. Halla el número que dividido entre 26 da 5.
Ejercitación
106. Saca factor común y luego calcula.
a) 28 ? 3 1 5 ? 3 b) 7 ? 4 2 3 ? (24)
c) 9 2 9 ? 2 d) 20 2 25
Comunicación
107. Expresa cada número como producto y
como cociente de dos números enteros.
a) 212 b) 35 c) 240 d) 28
Razonamiento
108. Halla el número que multiplicado por 28
da 96.
Razonamiento
109. El dividendo de una división exacta es 108,
y el cociente, 218. ¿Cuál es el divisor?
Ejercitación
110. Transforma en adiciones y luego opera.
a) 25 ? (8 1 9) b) 2 ? (27 2 10)
c) 28 ? (12 2 4) d) 6 ? (29 1 5)
Ejercitación
111. Saca factor común y luego calcula.
a) 3 ? 2 1 3 ? (26) b) 4 ? (29) 2 4 ? (23)
c) 27 1 (27) ? 5 d) 8 2 6
Operaciones combinadas
Calcula
Ejercitación
112. Halla el resultado de las siguientes opera-
ciones con paréntesis.
a) 54 4 (23 2 6) 1 (5 2 12) ? (22)
b) (9 2 4) ? (23 2 1) 2 80 4 (220)
c) 2 ? (27) 2 [25 ? (8 2 4) 1 9]
d) 210 4 (2 2 2 3) 2 [4 2 (1 2 7)]
Ejercitación
113. Realiza en el orden adecuado.
a) 215 ? 2 2 (216) 4 (28)
b) 212 1 (29) ? 6 4 (22)
c) 7 2 3 ? (24) 2 27 4 (29)
d) 245 2 (249) 4 7 ? (26)
e) 220 1 6 ? (25) 4 (22)
f) 54 4 (23) ? 2 2 9 ? (24)
Ejercitación
114. Calcula las siguientes operaciones.
a) 15 2 (7 2 9) ? 6 1 8 ? (22)
b) 6 ? (24) 2 [5 2 (12 2 9)]
c) 45 4 (28 1 3) ? 2 2 10
d) 20 ? (22) 4 5 2 16 4 8 ? (23)
Razonamiento
115. Sustituye a por el número que sea necesa-
rio para que la igualdad sea cierta.
a) 25 ? (23 1 2) 5 25 ? a
b) 12 4 6 ? (24) 1 (22) ? 7 5 a 2 14
c) 7 2 (8 2 12) 4 (24) 5 7 2 a
d) 6 2 4 ? 9 1 30 5 36 2 a

Potenciación de números enteros
Cal cul a
Comunicación
116. Escribe en forma de producto y luego
calcula las potencias.
a) (24)5
b) (23)6

c) 53
d) (22)9
Comunicación
117. Expresa en forma de potencia el resultado
de las siguientes operaciones.
a) (23)4
? (23)6
? 3 b) (28)7
4 82
c) (22)5
? 35
d) [(25)3
]7
e) 64 4 (24)3
f) (210)3
? (22)3
? 53
Comunicación
118. Escribe en forma de potencia.
a) [(24)6
]5
? (24)6
b) [(240)3
]4
4 [(220)6
]2
Entre na
Comunicación
119. Escribe como una única potencia.
a) (27)3
? (27) ? (27)6
b) (24)8
4 (24)7
c) [(22)5
]2
? (22)3
d) 69
4 (23)9

e) (25)6
? (210)6
? 46
f) (215)8
4 (32
)4
Razonamiento
120. ¿Es cierto que [(29)4
]3
5 [293
]4
? Justifica tu
respuesta.
Razonamiento
121. Sustituye las letras por los números que
correspondan.
a) 49
? a9
5 [(216)]9
b) 232 4 ab
5 (22)2
c) (25)2
? (25)a
5 b6
d) [(22)a
]3
4 (22)11
5 22
Ejercitación
122. Calcula utilizando operaciones con poten-
cias.
a) (24)3
4 (24) ? 42
b) 2213
4 [(22) ? (22)5
? 27
]
Resolución de Problemas
123. Los estudiantes de séptimo de un colegio
van a sembrar azucenas y tulipanes en el
patio. Quieren colocarlos formando cua-
drados y tienen ocho bulbos de azucenas
y 20 de tulipanes.
a) ¿Cuál es el máximo cuadrado que pueden
formar con cada tipo de planta? ¿Cuántas
les sobran?
b) ¿Cuál es el mínimo número de bulbos que
deben plantar para conseguir los cuadra-
dos sin que sobre ninguno?
Potenciación y radicación de números enteros
Calcula
Comunicación
124. Indica si son cuadrados perfectos los si-
guientes números.
a) 72 b) 225
c) 289 d) 120
Comunicación
125. La raíz cuadrada exacta de un número es
21. ¿Cuál es el número?
Comunicación
126. Halla la raíz cuadrada entera y el residuo
de los siguientes números.
a) 56 b) 67
c) 109 d) 124
Regla de cálculo de la raíz cuadrada
Entrena
Comunicación
127. Sin resolver, indica cuántas cifras tiene la
raíz cuadrada de los siguientes números.
a) 957 b) 5 843
c) 18 302 d) 508 270
Ejercitación
128. Calcula estas raíces.
a) 32 b) 184
c) 3028 d) 15340
e) 4275 f) 36045
Operaciones con raíces cuadradas
Entrena
Ejercitación
129. Copia y añade en cada casilla el número
que falta.
a) 36 ? 4 5
b) 4 5 400 100Ϭ

41
Autoevaluación
Tabla 1.4
Ejercitación
130. Escribe como producto de raíces y calcula.
a) 100 49и b) 9 16 144⋅ ⋅
Ejercitación
131. Transforma en cociente de raíces y calcula.
a) 256 64Ϭ b) 400 25Ϭ
Ejercitación
132.Expresa como potencia de una raíz y calcula.
a) 42
b) 24
2
( ) c) 32
3
( )
Ejercitación
133. Escribe en una sola raíz cuadrada.
a) 16 ? 4 b) 24
2
( ) 4 32
Jerarquía de las operaciones
En tre na
Ejercitación
134. Calcula.
a) 12
1 52
b) (1 1 5)2
c) 23
1 81 4 3 d) 102
1 (24) ? 52
2 53
Ejercitación
a) (25)7
? 47
4 (210)7
b) (29)3
? 92
4 [(29)2
]2
c) 3 ? (52
2 4) 4 49 d) [32 4 (2 2)3
]2
1 4
Resuelve problemas
136. En una clase de Educación Vial, un grupo
de estudiantes construyó las señales in-
formativas que tienen forma cuadrada. Las
construyeron de forma tal que su área es
de 355 216 mm2
.
¿Cuántos centímetros debe medir el lado?
137. ¿Cuál es el menor número de años que
deben transcurrir desde 2009 para que el
año sea un cuadrado perfecto?
¿Cuántos años del tercer milenio son cua-
drados perfectos?
138. Halla el número de CD que tiene Pablo
sabiendo que es la menor cantidad que
hay que sustraer a 8 561 para obtener un
cuadrado perfecto.
139. Se quiere cercar un terrario de forma cua-
drada de 1 225 m2
de superficie.
¿Cuántos metros de tela metálica hay que
comprar?
1. Expresa las siguientes sustracciones como
la adición del minuendo con el opuesto del
sustraendo y calcula el resultado:
a) 218 (225)
b) 218 2 25
c) 30 2 (250)
d) 30 2 50
2. Halla el valor de x en las ecuaciones:
a) 225 1 x 5 10
b) x 2 10 5 211
c) 8 22x 5 16
d) 3x 1 1 5 23
1 25
3. Completa la tabla 1.4.
a 22 ? a 24 ? a |2 ? a| |24 ? a|
25
3
21
0
4. El valor absoluto de la suma de dos núme-
ros negativos consecutivos es 13. ¿Qué nú-
meros son? ¿Hay más de una solución?
5. Se quiere construir un cuadrado con cua-
draditos de 1 cm de lado. ¿Cuántos cen-
tímetros mide el lado del cuadrado si se
hace con 121 cuadraditos?
6. El número de páginas de un libro es un
cuadrado perfecto más trece, y si se le
adiciona 20, se obtiene el cuadrado per-
fecto siguiente. ¿Cuántas páginas tiene el
libro?
7. Escribe V si es verdadera o F si es falsa
frente a cada una de las siguientes afir-
maciones de la potenciación de enteros.
a) Si la base es negativa y el exponente es
impar, la potencia es positiva.
b) Si la base es negativa y el exponente es
par, la potencia es positiva.
c) Si la base es negativa y el exponente es
impar, la potencia es negativa.

R E S O L U C I Ó ND E P R O B L E M A S
1
Comprende la estrategia
ejercicio resuelto
Tabla 1.5
Organizar la información en una tabla
Organizar los datos en una tabla es una de las mejores formas de manejar
la información cuando se intenta resolver un problema.
Problema
En una competencia de matemáticas los
estudiantes de séptimo tienen que resolver
este problema:
Escribe todos los números comprendidos
entre uno y 100 que son el resultado de
adicionar los cuadrados de dos números
enteros mayores que cero.
Resuelve el problema construyendo una ta-
bla.
Resolución
Algunos números se pueden expresar como
la adición de los cuadrados de dos núme-
ros, pero a otros no les ocurre lo mismo.
Se construye una tabla a partir del enuncia-
do del problema.
Se completa la tabla con las sumas de los
cuadrados hasta 92
y 92
y se comprueba que
se tiene la solución del problema.
1 12
22
32
42
52
62
72
82
92
12
2 5 10 17 26 37 50 65 82
22
5 8 13 20 29 40 53 68 85
32
10 13 18 25 34 45 58 73 90
42
17 20 25 32 41 52 65 80 97
52
26 29 34 41 50 61 74 89 106
62
37 40 45 52 61 72 85 100 117
72
50 53 58 65 74 85 98 113 130
82
65 68 73 80 89 100 113 128 145
92
82 85 90 97 106 117 130 145 162
R/ Los números pedidos son: 2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52,
53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97 y 98.
También es una manerasimple y directa de escribirun enunciado y, a veces,
incluso de encontrar la
solución.

2 Ejercicio resuelto
Aplica la estrategia
Tabla 1.6
43proyecto sé © ediciones sm
Problema
Una prestigiosa tienda de ropa nacional realiza exportaciones de mercancía a diferentes
países como Estados Unidos, España y Japón; cada uno de estos maneja una moneda dife-
rente, en Estados Unidos se maneja el dólar, en España el euro y en Japón el yen. El cam-
bio a pesos de cada una de esas monedas corresponde a 1 dólar = 1 879,15 pesos,
1 euro = 2 570,75 pesos, 1 yen= 22,45 pesos.
En diciembre la tienda vendió a cada país 200 pantalones para dama con un valor unitario
de $ 65 000; 150 pantalones para caballero con un valor unitario de $ 70 000, 130 camisas
para caballero con un valor unitario de $ 40 000 y 120 blusas para dama con un valor uni-
tario de $ 55 000. ¿Cuánto dinero debió cancelar cada país, en su moneda, a la tienda de
ropa? ¿Cuánto dinero, en pesos, recaudó la tienda por esas ventas?
Resolución
Se organiza la información en una tabla.
Cantidad Pesos Dólares Euros Yenes
200 pantalones
para dama
65 000 ? 200 5
13 000 000
13 000 000 4 1 879,15
5 6 918,02
13 000 000 4 2 570,75
5 5 056,89
13 000 000 4 22,45
5 579 064,58
150 pantalones
para caballero
70 000 ? 150 5
10 500 000
10 500 000 4 1 879,15
5 5 587,63
10 500 000 4 2 570,75
5 4 084,41
10 500 000 4 22,45
5 467 706,01
130 camisas
para caballero
40 000 ? 130 5
5 200 000
5 200 000 4 1 879,15 5
2 767,21
5 200 000 4 2 570,75
5 2 022,75
5 200 000 4 22,45
5 231 625,84
120 blusas para
dama
55 000 ? 120 5
6 600 000
6 600 000 4 1 879,15 5
3 512,23
6 600 000 4 2 570,75
5 2 567,34
6 600 000 4 22,45
5 293 986,64
TOTAL 35 300 000 18 785,1 13 731,4 999 109,14
R/ Estados Unidos pagó 18 785,1 dólares, España 13 731,4 euros y Japón 999 109,14 yenes.
Por todas las ventas realizadas en ese mes la tienda de ropa recibió $ 35 300 000.
1. Escribe todos los números comprendidos
entre uno y diez que se pueden escribir
como el resultado de adicionar las raíces
cuadradas exactas de dos números enteros
mayores que cero.
2. Si una hoja se dobla por la mitad, se ob-
tienen partes iguales. Si se vuelve a doblar
se obtienen cuatro partes iguales, y así su-
cesivamente. ¿Cuantás partes se obtienen
si se dobla cuatro veces?, ¿y si se dobla 10
veces? ¿En cuántas partes se divide si se
divide un número n de veces?
3. En un proyecto de vivienda se espera ven-
der 50 casas por mes, durante el primer
semestre del año. Al finalizar ese periodo,
el balance de ventas muestra que en enero
se vendieron doce casas más de lo que es-
peraban, mientras que en febrero y marzo
se vendieron nueve casas menos; en abril
fueron seis casas menos, en mayo tres ca-
sas más y en junio quince casas más de lo
planeado. ¿Cuál fue el número total de ven-
tas en ese periodo? Si cada casa se vendió
por 73 millones de pesos, ¿cuánto dinero se
recaudó por mes? ¿Cuánto dinero en total
se recaudó en el proyecto?.

M A T E M Á T I C A S
E N C O N T E X T O
El universo
Euler
en cinco cifras
Siendo ya mayor, el matemá-
tico Edward Kasner le pre-
guntó a su nieto de nueve
años qué nombre le pon-
dría a un número tan
grande que era imposi-
ble de imaginar.
El niño respon-
dió con la palabra
“googol”, y Kasner de-
cidió que así se llamaría
el número formado por
un 1 seguido de 100 ceros,
o lo que es lo mismo 10100
,
todo un reto para la mente. Y
es que el número completo de par-
tículas elementales (protones, neutro-
nes, electrones) que existe en el universo es in-
ferior a él, alrededor de 1085
. La magia de los exponen-
tes hacen que se puedan mostrar números tan gigantescos como éstos con apenas cuatro o cinco
dígitos. Por cierto, Kasner inventó también un nombre para un número muchísimo más grande, el
“googolplex”, y corresponde a 10 elevado a un googol. Es simplemente inimaginable.
• Escribe un googol como un producto de potencias.
inventó el sudoku
Apareció hace pocos años en Japón y creó tal adicción que actual-
mente se publican allí más de 5 000 revistas con estos rompecabezas
numéricos conocidos como Sudoku. Luego, la moda se extendió rápi-
damente por todo el mundo. Ya que para resolverlos tan solo hay que
aplicar la lógica.
Se trata de rellenar una cuadrícula de 9 por 9 casillas con números
del 1 al 9 de forma que en ninguna fila, columna o región (recuadros
de 3 3 3 casillas) se repita ninguna cifra.
Pero aunque el nombre procede de Japón y la epidemia se inició allí,
el Sudoku nació en Nueva York hace tres décadas, en las páginas de
la revista Math Puzzles and Logic Problems. Y rastreando aún más, su
origen se remonta al famoso matemático suizo del siglo XVIII Leon-
hard Euler, que creó algo parecido que llamó “cuadrados mágicos”.
• ¿Sabes qué es un cuadrado mágico? Consulta sobre ellos.

RAZONAMIENTOLÓGICO
SOCIEDAD
ED U C A D O R A
SOCIEDAD
ED U C A D O R A
–8, –7, –6, –5,
–4, –3, –2, –1, 0
GerarDo torres H.
orFeBre
BARRIO GALÁN -BOGOTÁ, D.C.
“Mi trabajo consiste
en diseñar y elaborar
piezas en oro u otros
metales.”
Este trabajo me exige conocer acerca de las pro-
piedades de algunos metales para no tener inconve-
nientes en su manipulación. Por ejemplo, del oro
conozco que es dúctil y maleable, es decir, con él
puedo formar hilos muy finos y láminas extraordi-
nariamente delgadas, que han sido utilizadas a lo
largo de la historia para hacer joyas. Sin embargo,
para darle mayor consistencia a la hora de trabajar
el oro, éste debe mezclarse con otros metales, con
el fin de crear una aleación.
Para lograr esto, es necesario fundir el oro, hasta
que éste sea líquido, es decir lograr su punto de fu-
sión que se obtiene en los 1063 °C.
La escala de medición de estos puntos de fusión,
emplea un termómetro de resistencia de platino (ca-
ble de platino) para temperaturas entre 2190 °C y
660 °C. Desde los 660 °C hasta el punto de fusión
del oro (1063 °C) se emplea un termopar patrón:
los termopares son dispositivos que miden la tem-
peratura a partir de la tensión producida entre dos
alambres de metales diferentes.
Cuadrado mágico
Es un arreglo cuadrado de números, de tal
forma que la suma de los números en cada fila,
cada columna y cada diagonal, sea la misma.
Construye un cuadrado mágico con los núme-
ros enteros que aparecen a continuación:
El calendario cristiano
Hasta finales del siglo XVII los
matemáticos europeos no aceptaron
los números negativos, a pesar de
que ya se utilizaban desde la Edad
Media en muchas aplicaciones prác-
ticas, como la contabilidad o el ca-
lendario.
En el siglo VI, Dionisio el Exiguo, un monje
con aficiones astronómicas, creó el calendario
cristiano, fijando como punto de partida el año
de nacimiento de Jesucristo. Hasta entonces,
los calendarios se regían por el orden romano,
que tomaba como primer año de su historia el
de la fundación de Roma, 750 años antes. Con
Dionisio, los años anteriores al nacimiento de
Cristo pasaron a denominarse “antes de Cristo”
(a. C.), que en realidad era como poner núme-
ros negativos al calendario.
• Representa con un número relativo la fun-
dación de Roma, tomando como punto de
referencia el año 300 a. C.

Aritmética en la calculadora
CALCULADORA CIENTÍFICA
Es un aparato que permite realizar rápidamente
un sin fín de operaciones matemáticas, debido a
que cuenta con algunas teclas adicionales con re-
lación a la calculadora aritmética.
Es decir, que además de las operaciones bási-
cas, incluye el trabajo con potencias y raíces, entre
otras funciones.
En la calculadora
No existe un sólo criterio de funciona-
miento de las calculadoras. Dependiendo
la marca y modelo, se presentan diferen-
cias entre unas y otras. Por ello, se debe
consultar el manual de la calculadora.
La calculadora trabaja con una doble fun-
ción que aparece encima de cada tecla;
ésta se activa en el momento de oprimir
la tecla Shift .
Por ejemplo, para calcular una potencia
de un número entero, se oprime la tecla
, y para calcular potencias de base
entera y exponente racional se utiliza la
doble función, oprimiendo consecutiva-
mente las teclas Shift y .
Para realizar diferentes operaciones se
debe tener en cuenta la utilización de los
paréntesis. Éstos se activan una vez se
oprima la tecla )) y se complementa al
cerrar con la tecla ) .
Para borrar uno a uno los últimos dígitos
o función que se haya digitado, se oprime
la tecla .

ACTIVIDADES
-3x(-48)-10
134
(25-58)-((48X16)/(-36+4))
-9
)) )
)) ) )) ))
) )) ) )
Tabla 1.7
Figura 1.56
Figura 1.57
47PROYECTO SÉ © EDICIONES SM
Operaciones con enteros
En la calculadora científica, las operaciones se
ingresan de la misma manera como se escriben
en una hoja, pero teniendo en cuenta que los sig-
nos de agrupación se deben emplear donde sea
necesario. Observa los ejemplos.
Hallar el resultado de Ϫ3 ϫ (Ϫ48) Ϫ10.
Se digitan los números acompañados de los
signos correspondientes.
Si los números son positivos, no se les es-
cribe el signo; pero si son negativos se le
antepone el signo menos .
Realizar la operación:
(25 Ϫ 58) Ϫ [(48 ϫ 16) Ϭ (Ϫ36 ϩ 4)]
Se oprime la tecla )) seguida de la sus-
tracción inicial, y se cierra con la tecla ) .
Luego se oprimen consecutivamente las te-
clas y dos veces la tecla )) .
Se digita la multiplicación correspondiente y
el paréntesis de cierre.
Después de oprimir la tecla se abre un
nuevo paréntesis y se digita la adición. Para
digitar el signo negativo del número se puede
oprimir la tecla o la tecla .
Se finaliza oprimiendo dos veces la tecla del
paréntesis de cierre y la tecla .
1. La tabla muestra los valores de la deuda
y los abonos de algunos clientes del con-
cesionario “El Cacharrito”.
a) Para saber cuánto dinero debe en total
cada cliente, si no se ha realizado el des-
cuento de los abonos, ¿qué operaciones
se deben realizar y cuáles son los resul-
tados?
b) ¿Cuánto le deben en total esos clientes
al dueño del concesionario después de
descontar los abonos?
CLIENTE ABONO ($)
DEUDA DESPUÉS DE
DESCONTAR EL ABONO
($)
Gómez 6000000 23500000
Arango 5500000 18000000
Pérez 6500000 14000000
Arévalo 4200000 12500000
Amaya 3700000 16300000
Se digita:
En pantalla se muestra:
Se digita:
En pantalla se muestra:

P O N A P R U E B A T U S
C O M P E T E N C I A S
Figura 1.58
Gas Natural
Torre de extracción
de gas natural
Torre de extracción
de petróleo
Petróleo
Roca permeable
El petróleo
Es un recurso natural no renovable que se encuentra
únicamente en las rocas de origen sedimentario. Para
llegar a él, es necesario cavar profundos pozos con
maquinaria especializada en esa labor.
Esta sustancia puede encontrarse en estado líquido,
conocido como aceite “crudo”, o en estado gaseoso,
el gas natural. Frecuentemente se encuentran ambos
estados en los yacimientos.
En la figura 1.58, se muestran las capas del suelo que
se deben perforar para llegar hasta el gas natural.
Toma como punto de referencia el punto que corres-
ponde a la superficie terrestre; a partir de ese punto,
es posible medir la altura de las torres y la profundidad
de la excavación.
1. Si se considera que la altura de las torres
es de 2 955 m y que la profundidad que
debe tener el pozo para llegar al petróleo
es de 3 200 m, responde:
a) ¿Cuántos metros de profundidad faltan para
llegar al petróleo, si la perforación se en-
cuentra a 1 850 m de la superficie?
b) Expresa la respuesta anterior con un nú-
mero relativo.
c) Si el gas natural se encuentra a 2 955 m
de profundidad, ¿cuántos metros se debe
perforar para llegar al petróleo?
d) El primer día de excavación lograron una
profundidad de 120 m, el segundo día de
135 m y el tercero de 115 m. ¿A qué pro-
fundidad llegaron al tercer día? Expresa tu
respuesta con un número relativo.
2. Escribe falso o verdadero según correspon-
da. Justifica tu respuesta
a) La profundidad de la excavación para llegar
a la zona donde se encuentra el petróleo es
mayor que la zona donde se encuentra el
gas natural (____)
b) La excavación de 3 200 m de profundidad es
mayor que la zona donde se encuentra la
roca permeable (___)
c) La profundidad de la excavación para llegar
a la zona donde se encuentra el petróleo es
menor que la zona donde se encuentra el
gas natural (____)
3. Si la perforación de 3 m de profundidad
se tarda una hora:
a) ¿Cuánto tiempo emplean para llegar a la
zona que contiene el gas natural?
b) ¿Cuánto tiempo emplean para llegar a la
zona que contiene el petróleo?
4. Si las torres de la figura 1.58, se encon-
traran ubicadas a 2 600 m sobre el nivel
del mar, y la zona donde se encuentra el
petróleo está a 3 200 m bajo del mar:
a) Realiza una gráfica que describa el problema.
b) ¿Cuál es la profundidad de la excavación
para llegar a la zona que contiene el pe-
tróleo?
c) Expresa tu respuesta utilizando números
relativos.
5. En seis horas deben perforar 340 m.
a) ¿Cuántos metros deben perforar en una
hora para llegar a la meta?
b) ¿Cuántos metros perforarán en ocho horas?
c) ¿Cuánto tiempo necesitan para perforar
1 020 metros?
6. La excavación está a 500 m de profundi-
dad. Si se quiere descender 100 m en diez
minutos:
a) ¿Cuántos metros por minuto deben des-
cender?
b) ¿Cuántos minutos necesitan para llegar a
la zona donde se encuentra el petróleo?

Tabla 1.8
La temperatura
La temperatura es una medida relativa. Sus es-
calas se basan en puntos de referencia que son
usadas para realizar mediciones con precisión. Las
escalas conocidas para medir la temperatura son:
la escala Fahrenheit (°F), la escala Celsius (°C),
y la escala Kelvin (K). En algunos países como
Canadá o Estados Unidos, se utiliza la escala
Fahrenheit para medir la temperatura ambien-
te, en otros como el nuestro, se utiliza la escala
Celsius.
7. En cierta ocasión, la temperatura de una
ciudad a las 2:00 p.m. fue de 210 ºC; sin
embargo, a la 1:00 a.m. de ese mismo día,
se había registrado una temperatura de
5 ºC.
a) ¿Entre la 1:00 a.m. y las 2:00 p.m. la tem-
peratura subió o bajó?
b) ¿Cuántos grados centígrados varió la tem-
peratura en ese lapso?
c) Si a las 11 p.m. la temperatura era de
216 ºC, ¿cuántos grados bajó la tempera-
tura?
8. La temperatura de un congelador baja dos
grados centígrados cada minuto.
a) Asigna un número entero para la tempera-
tura del congelador.
b) ¿Cuánto habrá bajado la temperatura en 12
minutos?
c) ¿Cuántos minutos tarda el congelador en
llegar a una temperatura de 232 ºC?
9. En tres lugares del mundo se han registra-
do las siguientes temperaturas 289 ºC en
la Antártida, 257 ºC en el norte de África
y –60 ºC en Alaska. Con esa información es
posible establecer que:
a) La mayor temperatura fue 289 ºC.
b) La temperatura más baja se ha tenido en
la Antártida.
c) La temperatura registrada en el norte de
África fue mayor que la temperatura regis-
trada en Alaska.
d) Las temperaturas ordenadas de mayor a
menor son 257 ºC, 260 ºC y 289 ºC.
10. La temperatura en cierta ciudad es varia-
ble. El sábado tuvo el siguiente compor-
tamiento: en la mañana fue de 27 ºC, al
mediodía bajó 3 ºC, en la tarde subió 6 ºC
y en la noche bajó 4 ºC.
a) ¿Al terminar el día cuál fue la temperatura
en esa ciudad?
b) Si la temperatura al mediodía subiera
10 ºC y en la noche bajara 14 ºC, ¿a qué
temperatura se encontrarían?
c) Representa cada una de las temperaturas
en la recta numérica.
11. Al realizar un experimento en un laborato-
rio, la temperatura de un microorganismo
baja 3 ºC, cada hora.
a) ¿En cuánto tiempo la temperatura llega-
rá a ser de 12 ºC, si inicialmente estaba a
36 ºC?
b) ¿Qué número entero representa el descenso
de la temperatura en 3 ºC? ¿Y en 12 ºC?
c) ¿Qué operación debes realizar para dar so-
lución al problema?
12. En el laboratorio, han determinado que
una bacteria se reproduce cada vez que
la temperatura sube 2 ºC. Uno de los in-
vestigadores realizó el siguiente registro:
el lunes, al aumentar la temperatura del
recipiente en el que se encuentra, a partir
de una bacteria se originaron dos; el mar-
tes, nuevamente se aumentan dos grados
centígrados y se observa que cada una de
las bacterias que había, se divide en dos.
a) ¿Cuántas bacterias hay el día martes?
b) ¿Cuántas bacterias habrá el día miércoles?
c) Completa la siguiente tabla:
Día Temperatura Producto Potencia Bacterias
1 25 ºC 2 2
2 2 3 2 4
3 23
4
5
6 5 ºC 64

P R U E B A S A B E R
Ϫ500
0
Temperatura ascendente (°C)
ProfundidadenAumento(m)
0° 8°4° 12° 16° 20° 24°
Ϫ1000
Ϫ1500
Ϫ2000
Ϫ2500
Ϫ3000
Ϫ3500
Ϫ4000
Ϫ4500
Figura 1.59
Contesta las preguntas 1 a 4 de acuerdo con la
siguiente información.
La figura 1.59 muestra la relación entre la tem-
peratura y la profundidad de los océanos. Los
océanos se dividen en tres partes: la capa su-
perficial, la capa limítrofe y las profundidades.
1. De la relación entre la temperatura y la
profundidad se puede concluir que:
A. La temperatura disminuye a medida que
aumenta la profundidad.
B. La temperatura es la misma a medida que
aumenta la profundidad.
C. La temperatura aumenta a medida que au-
menta la profundidad.
D. La temperatura disminuye a medida que
disminuye la profundidad.
2. La capa superficial de los océanos es la
parte menor o igual a 500 metros de pro-
fundidad, el Sol choca contra la capa de la
superficie y calienta el agua. La tempera-
tura de esta capa está entre:
A. 12 °C y 20 °C
B. 0 °C y 12 °C
C. 12 °C y 24 °C
D. 8 °C y 12 °C
3. Los metros de profundidad de los océanos
equivalen a una tercera parte de ellos.
Muchas de las aguas de las profundidades
de los océanos tienen una temperatura en-
tre los 0 °C y –3 °C. La profundidad debe
ser:
A. Mayor que 23500 m
B. Mayor que 2500 m
C. Entre 23 500 m y 2500 m
D. Menor que 23 500 m
4. La temperatura de la capa superficial del
agua varía según la latitud. Los mares po-
lares (de latitud elevada), donde se puede
formar hielo, pueden ser tan fríos que al-
canzan temperaturas promedio de –2 °C.
La temperatura en la capa limítrofe de es-
tos mares, debe ser:
A. Menor que –2 °C
B. Igual a –2 °C
C. Mayor que –2 °C
D. Entre –2 °C y 0 °C
Colombia tiene el páramo más grande del mun-
do; el páramo de Sumapaz ubicado en los de-
partamentos de Cundinamarca, Huila y Meta. En
el mes de enero del año 2010, se registró una
temperatura promedio de 10 °C; en los meses
de febrero y marzo la temperatura descendió a
la mitad que en el mes anterior; en el mes de
abril disminuyó 2 °C más que la temperatura
del mes de marzo y en mayo aumentó 7 °C más
que la temperatura del mes de febrero.
5. Las temperaturas promedio correspondien-
tes a los meses de febrero, marzo, abril y
mayo son:
A. 5 °C, 0 °C, –2 °C y 7 °C
B. 5 °C, 0 °C, –2 °C y 12 °C
C. 5 °C, 5 °C, 3 °C y 12 °C
D. 5 °C, 0 °C, 2 °C y 12 °C

Tabla 1.9
Tabla 1.10
Tabla 1.12
Tabla 1.11
Tabla 1.13
6. El orden de los meses que registran de
mayor a menor temperatura promedio es:
A. Mayo, enero, febrero, abril y marzo
B. Enero, mayo, febrero, marzo y abril
C. Mayo, enero, febrero, marzo y abril
D. Mayo, enero, febrero, abril y marzo
7. La diferencia entre la temperatura de fe-
brero y mayo es de:
A. 7 °C
B. 5 °C
C. 3 °C
D. 2 °C
8. La temperatura del mes de noviembre co-
rresponde al promedio de las temperaturas
de los meses de enero a mayo, esta tem-
peratura corresponde a:
A. 12 °C
B. 13 °C
C. 7 °C
D. 10 °C
Un grupo de cinco personas ha tomado un plan
colectivo de telefonía celular, a través del cual
cada uno dispone de 120 minutos de tiempo al
aire al mes, por los cuales pagan entre todos
$ 150000.
La factura muestra el consumo de los cinco,
en cierto mes.
teleFonía Celular C.m.s.
usuario
Consumo en el mes
(en minutos)
Eduardo G. 100
Fabio M. 150
Gladis R. 115
Hernando M. 145
Isabel L. 104
9. La expresión que permite calcular el valor
de un minuto en el plan es:
A. 150000 4 (5 3 120)
B. (150000 4 5) 3 120
C. (150000 4 5) 4 (600 4 120)
D. 150000 4 5 3 120
10. Si se sabe que el valor del minuto adicio-
nal es de $ 300, Hernando puede hacer el
cálculo de lo que debe así:
A. 250 3 145
B. 120 3 250  145 3 300
C. 300 3 145
D. 30000  25 3 300
11. Si se expresa con signo positivo la cantidad
de minutos en que se excede el usuario,
con respecto al límite establecido por el
plan, y se expresa con signo negativo la
cantidad de minutos de telefonía celular
no consumidos, ¿cuál de las siguientes
tablas expresa adecuadamente el consumo
de cada usuario al final del mes?
A. B .
Consumo mensual de
teleFonía Celular
usuario Consumo
E 20
F 230
G 5
H 225
I 16
Consumo mensual de
teleFonía Celular
usuario Consumo
E 20
F 30
G 5
H 225
I 216
C.
Consumo mensual de
teleFonía Celular
usuario Consumo
E 220
F 30
G 25
H 25
I 216
D.
Consumo mensual de
teleFonía Celular
usuario Consumo
E 220
F 50
G 15
H 45
I 4

010 051 se matematicas 7

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