Números Reales

1. Instituto Tecnológico
Superior de
Hopelchén
Cálculo Diferencial

2. Contenido Temático
• 1. Números reales
• 1.1 La recta numérica
• 1.2 Los números reales
• 1.3 Propiedades de los números reales
• 1.3.1 Tricotomía
• 1.3.2 Transitividad

3. Número Reales
• El conjunto de los números reales está formado por el de los
números racionales (enteros positivos y negativos, cero y los
fraccionarios de la forma a/b siendo a y b números enteros y b
diferente de 0) y el de los números irracionales (de infinitas
cifras decimales, como por ejemplo π = 3.14159… que no se
pueden expresar como una relación entre enteros).

4. Números Reales
• Una manera simple de entender los números reales es:
cualquier punto de la línea de números (no sólo los enteros).

5. Números Reales
• Los números reales son el conjunto de números naturales,
cardinales, enteros, racionales e irracionales.
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6. Números Naturales
• Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de
enumerar.
1, 2, 3,…
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7. Números Cardinales
• Los números cardinales son el conjunto de números naturales
y el cero.
0, 1, 2, 3, 4, 5…
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8. Números Enteros
• Los números enteros consisten de los números naturales, sus
opuestos y el cero.
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
• Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero.
1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445...
• Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.
-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,
• El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es
positivo ni negativo.
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9. Números Racionales
• Los números racionales representan partes de un todo, un
cociente que ha sido dividido en partes iguales.
• Los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde
m y n son enteros y n ≠ 0.
⅛, 7.4, -2.35, 8, -25
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10. Números Irracionales
• Los números irracionales son números que no pueden ser
expresados como cociente de dos números enteros.
0.789, 3.1456, π
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13. La recta numérica
• Considérese al conjunto de todos los números (racionales e
irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus
inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman números
reales.
• Los números reales pueden ser vistos como rótulos de puntos
que están a lo largo de una recta horizontal. Miden la distancia
a la derecha o a la izquierda (la distancia dirigida) desde un
punto fijo llamado origen y marcado con 0.

14. La recta numérica
• Ese número se llama coordenada del punto. La línea
coordenada que se obtiene se llama recta real.
• Existen símbolos estándar para identificar los números
estudiados hasta ahora, N designará al conjuntos de los
números naturales (enteros positivos), Z (del alemán Zahlen)
designará al conjunto de los enteros, Q (cociente de enteros)
al de los números racionales y R al de los reales.

15. Orden
• Orden. Los números reales distintos de cero se separan en
forma adecuada en dos conjuntos ajenos : los números reales
positivos y los números reales negativos. Esto permite
introducir la relación de orden < (“es menor que”) mediante:
• x < y  y – x es positivo, donde  se lee “es equivalente a” o
“si y solo si”. Aceptaremos que x<y y y>x significan lo mismo.

16. Orden
• Orden en la Recta Real
• Decir que x < y significa que x está a la izquierda de y en la
recta real.
x y

17. Propiedades de Orden
1. Tricotomía. Si x y y son números, se cumple una y sólo una
de las siguientes propiedades:
x < y; x = y ; x > y
2. Transitividad. x < y y y < z  x < z
3. Aditiva. x < y  x + z < y + z
4. Multiplicativa.
Cuando z es positivo, x < y  xz < yz.
Si z es negativo, x < y  xz > yz

18. Bibliografía
• Purcell Edwin J./ Varberg Dale. Cálculo Diferencial e Integral.
6° Edición. Editorial Prentice Hall. Pág 1 – 5.