El documento describe las propiedades y usos de las parábolas. Explica que las parábolas describen el movimiento de objetos lanzados bajo la gravedad y que se pueden encontrar en fuentes de agua y haces de luz. También se usan parábolas en antenas parabólicas, faros de autos y puentes para concentrar luz u otras cosas en un punto focal.

2. La parábola es una curva que tienen una gran
importancia en Física y que se ajusta a la
descripción o a la representación matemática
de muchos fenómenos.
Pero la parábola también tiene importancia
en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas
veces no nos fijemos o no seamos
conscientes de ello, tenemos muchas
parábolas a nuestro alrededor.
En esta presentación vamos a observar
algunos ejemplos importantes.

3. Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma
oblicua u horizontal describe un movimiento
parabólico bajo la acción de la gravedad. Por
ejemplo es el caso de una pelota que se
desplaza botando.

4. También, es el caso de los chorros y las
gotas de agua que salen de los caños de las
numerosas fuentes que podemos encontrar
en las ciudades. El desplazamiento bajo la
acción de la atracción gravitatoria de la
Tierra permite obtener bonitos arcos
parabólicos.

5. Arcos parabólicos en dos de las fuentes
que pueden encontrarse en el Paseo del
Prado de Madrid.

6. También obtenemos formas parabólicas
cuando un haz luminoso de forma cónica se
proyecta sobre una pared. Las líneas
parabólicas de la imagen se han obtenido
proyectando un haz de luz sobre una pared
blanca.

7. Una de las propiedades más importantes de las formas
parabólicas es que cualquier rayo que incida de forma
paralela al eje de la parábola rebota en su superficie
pasando por el foco. La parábola sirve para concentrar
los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la
cocina solar, o las radiaciones electromagnéticas, en
general, en las antenas parabólicas.
Pero también sirve, como en el
caso del faro de un coche, para
conseguir que la luz que sale del
foco se concentre en un haz más
o menos cerrado.

8. Faro de un coche
Antena Parabólica de Televisión

9. La parábola es la curva que adopta un
cable que tenga que soportar una
carga, un peso, uniformemente
distribuido, ejemplo: Puente de San
Francisco: El Golden Gate.

10. circunferencia
parábola

11. hipérbola
elipse

12. .
Secciones cónicas degeneradas

13. La parábola es el conjunto de
puntos en el plano que estan a una
misma distancia de un punto fijo
llamafo Foco y una recta fija
llamada directriz.
LA PARÁBOLA

14. Parábola
.
foco
directríz
.
.
.
.
.
.
.
...
.
eje
vértice
.

15. PF = PD
La Parábola tiene un eje de
simetría, que intersecta a la
parábola en un punto
llamado vértice.
| p |
La distancia
desde el vértice
al foco es | p |.
| p |
La distancia
desde la directriz
al vértice es | p |.

16. Lado recto
El lado recto (4p) es la cuerda paralela a
la directriz que pasa por el foco.

17. Ecuación de la
parábola con foco
en el eje X y
vértice en (0, 0) es
y2 = 4px.
Las coordenadas del Foco es (p, 0).
La ecuación de la directriz es x = -p.
Si p > 0, la parábola abre hacia la derecha.
Si p < 0, la parábola abre hacia la izquierda.
Ecuación Principal de la Parábola con vértice (0, 0)

18. Ecuación de la parábola
con foco en el eje X y
vértice en (0, 0) es:
y2 = 4px.
• Las coordenadas del
Foco es (0, p).
• La ecuación de la
directriz es y = -p.
Si p > 0, la parábola abre hacia la arriba.
Si p < 0, la parábola abre hacia la abajo.
Ecuación Principal de la Parábola con vértice (0, 0)

19. Dada una parábola de ecuación y2 = -8x.
Determmine coordenadasd del foco y ecuación de la
directriz.
El vértice de la parábola es (0, 0).
El foco se encuentra en el eje X.
Luego, la ecuación principal es y2 = 4px.
Luego , 4p = -8, entonces
p = -2.
Las coordenadas del foco
son (-2, 0).
La ecuación de la directriz
es x = -p, por lo tanto, x = 2.
F(-2, 0)
x = 2
Ejemplo

20. La Parábola con eje de simetría paralelo al eje Y y
vértice (h, k), tiene por ecuación
• Ecuación del eje de simetría x = h.
• Coordenadas del Foco es (h, k + p).
• Ecuación de la Directriz es y = k - p.
• Cuando p es positivo, la parábola
abre hacia arriba.
(x - h)2 = 4p(y - k)
Ecuación Principal de la Parábola con vértice (h, k)
• Cuando p es negativo, la parábola
abre hacia abajo.

21. La Parábola con eje de simetría paralelo al eje X y
vértice (h, k), tiene por ecuación
• Ecuación del eje de simetría y = k.
• Coordenadas del Foco es (h+p, k).
• Ecuación de la Directriz es x = h - p.
• Cuando p es positivo, la parábola
abre hacia la derecha.
(y - k)2 = 4p(x - h)
Ecuación Principal de la Parábola con vértice (h, k)
• Cuando p es negativo, la parábola
abre hacia la izquierda.

22. La forma principal de la parábola paralela al eje X es:
(x - h)2 = 4p(y - k)
   
2
2 2
2 2
x h 4 p y k
x 2hx h 4 py 4 pk
x 4 py 2hx h 4 pk 0
  
   
   
Desarrollando cuadrado de binomio y ordenando
Haciendo
2
D 2h; E 2k; F 4h pk
    

23. Luego la ecuación general de la parábola paralela
al eje X es:
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
Análogamente la ecuación general de la parábola
paralela al eje Y es:
Ay2 + Dx + Ey + F = 0
Luego la forma general de la parábola es:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde A = 0 o C = 0.

24. Escribe la ecuación de la parábola con foco (3, 5)
y directriz x = 9, en su forma principal y
general.
La distancia desde el foco a la directriz es de 6
unidades, Luego, 2p = -6, p = -3. Así, el vértice
es (6, 5).
(y - k)2 = 4p(x - h)
h = 6 and k = 5
Ecuación Principal
y2 - 10y + 25 = -12x + 72
y2 + 12x - 10y - 47 = 0
Ecuación General
(y - 5)2 = 4(-3)(x - 6)
(y - 5)2 = -12(x - 6)
Ejemplo

25. Encuentre la ecuación de la parábola que tiene por
vértice (-2, 6) y pasa por el punto (2, 8), paralela al
eje Y.
Sustituyendo en la ecuación
principal los valores de h = -2;
k = 6; x = 2 e y = 8
podemos encontrar el valor
de p
(2 - (-2))2 = 4p(8 - 6)
16 = 8p
2 = p
(x - h)2 = 4p(y - k)
(x - (-2))2 = 4(2)(y - 6)
(x + 2)2 = 8(y - 6)
Ecuación Principal
x2 + 4x + 4 = 8y - 48
x2 + 4x + 8y + 52 = 0
Ecuación General
Ejemplo

26. Encuentra las coordenadas del vertice y foco,
además la ecuación de la directriz, del eje de
simetría dela parábola cuya ecuación es
y2 - 8x - 2y - 15 = 0.
y2 - 8x - 2y - 15 = 0
y2 - 2y + ___ = 8x + 15 + ___
1
1
(y - 1)2 = 8x + 16
(y - 1)2 = 8(x + 2)
Vértice(-2, 1).
Foco (0, 1).
Ecuación de la directriz x + 4 = 0.
Ecuación eje de simetría y - 1 = 0.
4p = 8
p = 2
Ejemplo

27. 2x2 + 4x - 2y + 6 = 0
2(x2 + 2x + ___) = 2y - 6 + ___
1 2(1)
2(x + 1)2 = 2(y - 2)
(x + 1)2 = (y - 2)
Vértice (-1, 2).
Foco ( -1, 2 ¼ ).
Ecuación de la diretriz: y = 1¾ .
Ecuación eje de simetría: x = -1 .
4p = 1
p = ¼
Encuentra las coordenadas del vertice y foco,
además la ecuación de la directriz, del eje de
simetría dela parábola cuya ecuación es
2x2 + 4x - 2y + 6 = 0.
Ejemplo

28. 4 4
y2 + 4y + ___ = 10x + 16 + _____
(y + 2)2 = 10x + 20
(y + 2)2 = 10(x + 2)
Vértice: (-2, -2)
Ecuación eje de simetría: y = -2
p = 2.5
Foco: ( 0.5, -3)
Ecuación de directriz: x= - 4.5
Ejemplo
Encuentra las coordenadas del vertice y foco,
además la ecuación de la directriz, del eje de
simetría dela parábola cuya ecuación es
y2 - 10x + 4y - 16 = 0

29. Propiedad óptica de la parábola
.fuente
luminosa

30. Propiedad óptica de la parábola
.ocular