Este documento resume una tesis de doctorado sobre el pensamiento matemático de estudiantes universitarios de cálculo que trabajan en un ambiente computacional. La tesis se centra en el concepto de derivada y cómo los estudiantes desarrollan su comprensión de este concepto a través del uso de computadoras. La tesis contiene seis capítulos que describen el proyecto de investigación, revisan literatura sobre cálculo y computadoras, y analizan las concepciones de los estudiantes sobre derivadas en un ambiente computacional.
El documento describe la organización de los módulos de matemática. Cada módulo contiene lecciones organizadas por temas principales. Cada lección incluye secciones como problemas, soluciones propias, soluciones propuestas, actividades y claves de corrección. Al final del módulo hay un trabajo práctico integrador y bibliografía.
Este documento presenta un tema sobre fracciones para el 6o grado de primaria. Incluye ejercicios de escritura, lectura, representación y comparación de fracciones, así como sumas y restas con fracciones. El documento proporciona ejercicios paso a paso con soluciones para que los estudiantes practiquen y comprendan mejor los conceptos básicos sobre fracciones.
Este documento presenta un proyecto de tesis para investigar el uso de la calculadora como herramienta para generar el concepto de función de una variable real en estudiantes universitarios. La investigación utilizará una ingeniería didáctica con actividades diseñadas para promover la construcción del concepto de función a través del uso de la calculadora. Participarán aproximadamente 55 estudiantes quienes serán evaluados antes y después de la experimentación para validar si la secuencia didáctica propuesta logra que los estudiantes adquieran el concepto de función.
Dialnet imagenes delconceptodeintegraldefinida-2591546Jorge Luis Vargas
Este documento resume las etapas de investigación que condujeron a una tesis doctoral sobre la enseñanza del concepto de integral definida. El objetivo inicial era desarrollar un modelo teórico que permitiera crear una propuesta didáctica para presentar este concepto a estudiantes de cálculo. La propuesta fue evaluada y se identificaron las imágenes del concepto de integral creadas en los estudiantes. La investigación se basó en trabajos previos sobre las dificultades de los estudiantes para comprender conceptos de cálculo y la necesidad de un
Este documento explora el papel de la modelización matemática en la enseñanza de las ciencias experimentales en la universidad. Propone utilizar los "Recorridos de Estudio e Investigación" como un nuevo enfoque didáctico que integre la modelización matemática en el currículo. Estos recorridos parten de preguntas generadoras que requieren la reconstrucción de herramientas matemáticas a través de un proceso de modelización. El objetivo es hacer que las matemáticas aparezcan como una herramienta funcional
Este documento presenta una revisión bibliográfica sobre investigaciones relacionadas con el desarrollo de la noción de función desde una perspectiva de modelación-visualización e incorporando el uso de tecnología. Se resumen estudios sobre estos temas, así como sobre el proceso de institucionalización del conocimiento. El objetivo es apoyar una investigación sobre este tema en nivel superior usando estrategias que incorporen la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas.
Este documento presenta una propuesta didáctica para enseñar el concepto de media aritmética a estudiantes de educación secundaria. Revisa investigaciones previas que muestran que los estudiantes tienen dificultades para comprender la media aritmética más allá del algoritmo de cálculo. Propone el uso de tecnología y una enfoque basado en proyectos para mejorar la comprensión conceptual. El documento también analiza cómo se enseña estadística en Perú y otras propuestas didácticas para esta área.
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Este documento presenta una tesis para obtener el grado de maestra en docencia para la educación media superior en el campo de las matemáticas. La tesis propone una propuesta didáctica para la enseñanza de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado con una incógnita para alumnos de bachillerato. El documento incluye la justificación y objetivos del estudio, el marco teórico, la metodología utilizada y un análisis de los resultados obtenidos al aplicar la propuesta didáctica.
Este documento presenta una propuesta didáctica para mejorar la enseñanza de los temas de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado en el Colegio de Ciencias y Humanidades. Justifica la necesidad de esta propuesta debido a que existe un alto índice de reprobación y deserción en esta materia. Describe brevemente el sistema de bachillerato de esta institución y los objetivos de la asignatura de Matemáticas I.
Este documento presenta la justificación, objetivos, contenidos, metodología y forma de evaluación de un curso sobre Análisis de Sistemas de Información Educativos. El curso busca que los estudiantes analicen casos simulados de sistemas de información educativa como LMS, SIG y portales web para comprender los elementos fundamentales de estos sistemas y apoyar instituciones educativas. La evaluación se basa en participación, trabajos cortos y un proyecto final aplicando una metodología de análisis a un sistema de información.
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La computadora se ha utilizado de diversas maneras como recurso didáctico, incluyendo modalidades tutoriales, de ejercitación y simulación. Los primeros enfoques de Skinner y Crowder usaban sistemas lineales y ramificados para presentar información, hacer preguntas y dar retroalimentación, mientras que modalidades más recientes incluyen juegos educativos y simulaciones. La computadora también puede aliviar tareas administrativas en las escuelas como la creación de planes de estudio, bases de datos de evaluaciones y estadísticas.
Este documento presenta una propuesta de didáctica crítica para la enseñanza de la trigonometría. Explica que la didáctica crítica busca analizar críticamente la práctica docente y la dinámica institucional. Luego describe las tres fases de una secuencia didáctica crítica: inicio, desarrollo y cierre. Finalmente, aplica esta metodología a una lección sobre la ley de senos y cosenos, explicando las actividades en cada fase para desarrollar las competencias matemá
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Investigación didáctica en las Matemáticas.karenpego
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Este documento presenta una breve introducción a varias teorías y enfoques en educación matemática. Resume las ideas principales de Piaget sobre el aprendizaje, el constructivismo radical, el constructivismo social, la teoría crítica y la etnomatemática. También describe brevemente la obra de Brousseau y la escuela holandesa de educación matemática.
Proyecto Aleatorio Y Sistemas De Datosjaimarbustos
La evaluación escrita o gráfi ca, es un medio para evaluar o aprender. En la educación básica, los estudiantes bogotanos han incursionado en sus cursos de matemáticas, bajo el patrón de pensamientos, y es allí donde el pensamiento aleatorio [estadística o probabilidad] incursiona con elementos geométricos, métricos o numéricos, para adelantar actidudes o procesos, para conocer. Adjunto presentamos tres (3) talleres, con una complejidad adecuada a los grados quinto, sexto o séptimo.Acorde al diseño curricular, analizado en
* Ejes temáticos
* Contenidos
* Acciones observables
* Indicador de desempeño
PFPD UN Bogotá 2010 Colombia
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Documento la demanda cognitiva como oportunidad de aprendizaje en el área de ...Carlos Aguayo
El documento presenta un modelo de clasificación de la demanda cognitiva en tareas matemáticas. Propone que las tareas pueden requerir baja o alta demanda cognitiva. Las tareas de baja demanda implican memorización o procedimientos sin conexiones conceptuales, mientras que las de alta demanda usan procedimientos con conexiones o involucran pensamiento complejo para resolver problemas matemáticos. El documento sugiere que las tareas de alta demanda cognitiva ofrecen mayores oportunidades de aprendizaje al desarrollar
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Este documento describe la importancia de las matemáticas en la ciencia de la informática. Explica que las matemáticas son una herramienta fundamental en el área de la informática donde ayudan a calcular diferentes procesos. También señala que las matemáticas desempeñan un papel importante en el desarrollo de la tecnología moderna y en mejorar la lógica y el razonamiento en el estudio. Finalmente, resalta que las matemáticas son necesarias para representar y resolver problemas en cualquier área científica.
Propósitos, didáctica y contenido de cálculo aplicado IIIPROMEIPN
Ricardo Pulido- Profesor del ITESM, Campus Monterrey - Colombia.
Sesión No. 3 - Año 4.
Seminario de Investigación PROME "en línea"
Posgrado en Matemática Educativa del CICATA Legaria, Instituto Politécnico Nacional.
24 de marzo de 2014
http://sem-inv-prome.blogspot.mx/
Este documento presenta dos investigaciones previas sobre la enseñanza de la media aritmética. La primera analiza cómo se presenta el concepto de media en libros de texto de secundaria, encontrando homogeneidad en las definiciones pero poca atención a las propiedades. La segunda identifica errores comunes de estudiantes como confundir media y mediana o combinar magnitudes diferentes. Este resumen provee información sobre los antecedentes investigativos que serán útiles para el trabajo actual.
Este documento presenta una propuesta de investigación sobre la enseñanza de tablas simples en estudiantes de primer grado de primaria. Revisa investigaciones previas sobre la comprensión y construcción de gráficos estadísticos, que identificaron dificultades en estudiantes y profesores. El objetivo es analizar estas dificultades y desarrollar una propuesta didáctica para mejorar la enseñanza de tablas simples en los primeros grados, tomando como referencia marcos teóricos como el enfoque ontosemiótico.
Este documento analiza el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en la educación superior en Cuba. Señala algunas deficiencias comunes como la falta de dominio de conceptos básicos y habilidades para resolver problemas. Luego resume varias tendencias y trabajos sobre cómo mejorar la enseñanza de la matemática, incluyendo el uso de computadoras. Finalmente, analiza brevemente el plan de estudios actual y hace algunas recomendaciones, como ser más explícito en el uso efectivo de recursos computacionales.
Este documento resume una investigación sobre las concepciones y creencias de profesores universitarios de matemáticas sobre la enseñanza de ecuaciones diferenciales. La investigación busca caracterizar las concepciones de cada profesor y determinar su coherencia, así como explicar la persistencia de métodos tradicionales de enseñanza. Los resultados permitieron clasificar a los profesores en tres grupos (I, II y III) según sus concepciones y nivel de coherencia.
Este documento introduce conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Explica que las matrices son una forma de organizar datos y se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como economía y física. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y producto de matrices.
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1) El documento describe las propiedades geométricas y algebraicas de las circunferencias. Define una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos equidistantes a un punto fijo llamado centro.
2) Presenta la ecuación canónica de una circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 = r2, donde (a, b) son las coordenadas del centro y r el radio.
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1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
Este documento presenta información sobre cónicas. Introduce las cuatro cónicas principales (circunferencia, parábola, elipse y hipérbola), y proporciona detalles sobre la circunferencia y la parábola. Explica cómo encontrar la ecuación canónica de una circunferencia o parábola a partir de sus elementos geométricos. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas cónicas.
Este documento presenta el diseño curricular para la asignatura de Matemática en el 4o año de la educación secundaria en la provincia de Buenos Aires. Incluye la introducción, los objetivos de enseñanza y aprendizaje, y los contenidos agrupados en cuatro ejes: Geometría y Álgebra, Números y Operaciones, Álgebra y Funciones, y Probabilidad y Estadística. El documento propone abordar la matemática de manera formal y descontextualizada para facilitar la generalización de conceptos.
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Este documento discute los resultados de la investigación educativa en el nivel universitario. Resume que los primeros resultados fueron negativos y mostraron las limitaciones de las prácticas educativas tradicionales. Sin embargo, la investigación ha desarrollado modelos cognitivos y ha identificado las dificultades comunes de los estudiantes. También ha llevado a diseños de enseñanza innovadores que han demostrado ser efectivos. El documento se enfoca en dos dimensiones principales del aprendizaje: los cambios cualitativos y rupturas cognitivas,
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La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
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http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Dosificación de los aprendizajes U4_Me gustan los animales_Parvulos 1_2_3.pdf
pensamiento matematico de estudiantes universitarios de calculo y tecnologias informaticas
1. El pensamiento matemático de estudiantes
universitarios de cálculo y tecnologías informáticas
Mónica Ester Villarreal
Resumen de la tesis de doctorado en Educación Matemática de la autora.
Título Original: O PEN~AMENTO ~TEMÁTICO DE ESTUDANTES UNI-
VERSITARIOS DE CALCULO E TECNOLOGÍAS INFORMÁTI-
CAS.
Institución: Programa de Pós-Graduas:ao em Educa<¡:ao Matemática de la Universi-
dade Estadual Paulista- UNESP- Rio Claro- Sao Paulo- Brasil.
Fecha de defensa: marzo de 1999.
Director: Dr. Marcelo de Carvalho Borba.
El estudio realizado en esta tesis muestra las comprensiones elaboradas al
investigar las características de los procesos de pensamiento matemático de
estudiantes universitarios de Cálculo1
que trabajan en un ambiente computacional.
Son tratadas cuestiones relacionadas principalmente con el concepto de derivada
aunque diversos tópicos son abordados en función de los intereses y dificultades de
los estudiantes que participaron del estudio. La tesis está estructurada en seis
capítulos de los cuales se presenta, a continuación, una breve descripción.
En el Capítulo 1 se describe la génesis del proyecto de investigación que
dio origen a esta tesis y se plantea la pregunta directriz del trabajo. Las experiencias
como estudiante y docente de Matemática y la participación en proyectos de
investigación fueron fuentes que engendraron preguntas relacionadas con la
1
Al h~bla~ de Cálcul~ me refiero a cursos de Análisis Matemático básico cuyo
contemdo ~ncluye funciones (f: Ar;;; R ~ R),derivadas e integrales y en el cual las
demostraciones no ocupan un lugar central.
26
problemática de la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo, en general, y la
influencia de la computadora en la formación de conceptos matemáticos de Cálculo
diferencial, en particular.
La necesidad de acotar el campo de estudio condujo a la selección de un
concepto matemático específico: la derivada. Tal concepto fue escogido debido a
que es central en Cálculo y los estudiantes manifiestan dificultades de diversa índole
con relación al mismo.
Finalmente, el estudio de la literatura vinculada al tema de interés permitió
generar un primer marco teórico para llegar al planteo de la problemática a ser
abordada en la tesis. A partir de este estudio surgieron elementos, referidos al
empleo de la computadora, que serían fundamentales para el desarrollo del trabajo.
Muchos autores destacan el hecho de que el uso de tecnología computacional en la
Educación Matemática favorece la visualización y la posibilidad de
experimentación, procesos esenciales en la enseñanza y aprendizaje del Cálculo. Por
otro lado, el papel de la computadora y su relación con la actividad humana desde
una perspectiva psicológica es abordado por Tikhomirov (1981), quien señala que es
esencial comprender su papel de mediadora en la actividad humana como
generadora de un estadio del pensamiento cualitativamente diferente. El autor
presenta tres visiones que caracterizan la relación "ser humano-computadora" de
modos diferentes: la teoría de substitución, la teoría de sup!ementación y la teoría de
reorganización.
Según la teoría de substitución, la computadora sustituye al ser humano en
todas las esferas del trabajo intelectual. Esta visión está basada principalmente en la
suposición de que la computadora también puede resolver problemas que el ser
humano resuelve.
27
2. El pensamiento matemático de estudiantes
universitarios de cálculo y tecnologías informáticas
Mónica Ester Villarreal
Resumen de la tesis de doctorado en Educación Matemática de la autora.
Título Original: O PEN~AMENTO ~TEMÁTICO DE ESTUDANTES UNI-
VERSITARIOS DE CALCULO E TECNOLOGÍAS INFORMÁTI-
CAS.
Institución: Programa de Pós-Graduas:ao em Educa<¡:ao Matemática de la Universi-
dade Estadual Paulista- UNESP- Rio Claro- Sao Paulo- Brasil.
Fecha de defensa: marzo de 1999.
Director: Dr. Marcelo de Carvalho Borba.
El estudio realizado en esta tesis muestra las comprensiones elaboradas al
investigar las características de los procesos de pensamiento matemático de
estudiantes universitarios de Cálculo1
que trabajan en un ambiente computacional.
Son tratadas cuestiones relacionadas principalmente con el concepto de derivada
aunque diversos tópicos son abordados en función de los intereses y dificultades de
los estudiantes que participaron del estudio. La tesis está estructurada en seis
capítulos de los cuales se presenta, a continuación, una breve descripción.
En el Capítulo 1 se describe la génesis del proyecto de investigación que
dio origen a esta tesis y se plantea la pregunta directriz del trabajo. Las experiencias
como estudiante y docente de Matemática y la participación en proyectos de
investigación fueron fuentes que engendraron preguntas relacionadas con la
1
Al h~bla~ de Cálcul~ me refiero a cursos de Análisis Matemático básico cuyo
contemdo ~ncluye funciones (f: Ar;;; R ~ R),derivadas e integrales y en el cual las
demostraciones no ocupan un lugar central.
26
problemática de la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo, en general, y la
influencia de la computadora en la formación de conceptos matemáticos de Cálculo
diferencial, en particular.
La necesidad de acotar el campo de estudio condujo a la selección de un
concepto matemático específico: la derivada. Tal concepto fue escogido debido a
que es central en Cálculo y los estudiantes manifiestan dificultades de diversa índole
con relación al mismo.
Finalmente, el estudio de la literatura vinculada al tema de interés permitió
generar un primer marco teórico para llegar al planteo de la problemática a ser
abordada en la tesis. A partir de este estudio surgieron elementos, referidos al
empleo de la computadora, que serían fundamentales para el desarrollo del trabajo.
Muchos autores destacan el hecho de que el uso de tecnología computacional en la
Educación Matemática favorece la visualización y la posibilidad de
experimentación, procesos esenciales en la enseñanza y aprendizaje del Cálculo. Por
otro lado, el papel de la computadora y su relación con la actividad humana desde
una perspectiva psicológica es abordado por Tikhomirov (1981), quien señala que es
esencial comprender su papel de mediadora en la actividad humana como
generadora de un estadio del pensamiento cualitativamente diferente. El autor
presenta tres visiones que caracterizan la relación "ser humano-computadora" de
modos diferentes: la teoría de substitución, la teoría de sup!ementación y la teoría de
reorganización.
Según la teoría de substitución, la computadora sustituye al ser humano en
todas las esferas del trabajo intelectual. Esta visión está basada principalmente en la
suposición de que la computadora también puede resolver problemas que el ser
humano resuelve.
27
3. En la teoría de suplementación, la computadora es vista como un
suplemento del pensamiento humano, que incrementa el volumen y la velocidad del
procesamiento humano de información. En este sentido, la computadora no estaría
mediando la actividad humana, sino simplemente sería una extensión cuantitativa de
la misma.
Una tercera teoría, que muestra la posición del proprio autor, es la de la
reorganización. Según ella, la estructura de la actividad intelectual humana es
modificada por el uso de la computadora, su mediación reorganiza los procesos de
creación, búsqueda y almacenamiento de información y el establecimiento de
relaciones humanas.
La constitución de sistemas "ser humano-computadora" es lo que resulta en
una verdadera reorganización de la actividad humana, transformando a la
computadora en mucho más que en herramienta de auxilio en la actividad, sino en
herramienta que transforma esa actividad, una herramienta para "pensar con".
En el marco antes descripto, se planteó entonces la siguiente pregunta
directriz del estudio:
¿Cómo caracterizar los procesos de pensamiento matemático de
estudiantes universitarios de Cálculo al trabajar cuestiones ma-
temáticas relacionadas con el concepto de derivada en un am-
biente computacional?
28
Esta pregunta condujo a un estudio detenido de la literatura que relaciona
Cálculo y computadoras, estudio que se presenta en el Capítulo 2. Tal estudio
bibliográfico está estructurado en cuatro secciones.
La primera sección ofrece una revisión de diferentes artículos que tratan la
problemática de la enseñanza del Cálculo, las dificultades y concepciones de los
estudiantes en el aprendizaje del mismo. Tales concepciones son consideradas, por la
mayoría de los autores, como deficientes o erróneas y alejadas de la Matemática
académica. Contrastando esa posición, existen estudios donde las concepciones de
los estudiantes son exploradas y analizadas en sí mismas, atribuyéndoles valor
epistemológico propio y sin ser comparadas con algún modelo externo. En esos
estudios se procura escuchar la voz del estudiante (Confrey, 1993), sin establecer
comparaciones. El foco es el estudiante y sus propias ideas consideradas como
concepciones alternativas necesarias para la construcción del conocimiento.
La segunda sección presenta algunas reflexiones generales que vinculan la
tecnología computacional y la Educación Matemática. Esta conjunción puede ser
.sta como propuesta didáctica o como área de investigación.
Los trabajos específicos que se refieren a Cálculo y computadoras son
analizados en la tercera sección. Allí, se ofrece una revisión de artículos que
presentan resultados de cursos de Cálculo desarrollados con el auxilio de la
computadora. Son escasos los estudios de tipo cualitativo referidos al uso de la
computadora en clases de Matemática. La mayoría de ellos son estudios
comparativos que buscan mostrar las ventajas de trabajar en ambientes
computacionales, cuando confrontados con cursos tradicionales de Cálculo.
29
4. En la teoría de suplementación, la computadora es vista como un
suplemento del pensamiento humano, que incrementa el volumen y la velocidad del
procesamiento humano de información. En este sentido, la computadora no estaría
mediando la actividad humana, sino simplemente sería una extensión cuantitativa de
la misma.
Una tercera teoría, que muestra la posición del proprio autor, es la de la
reorganización. Según ella, la estructura de la actividad intelectual humana es
modificada por el uso de la computadora, su mediación reorganiza los procesos de
creación, búsqueda y almacenamiento de información y el establecimiento de
relaciones humanas.
La constitución de sistemas "ser humano-computadora" es lo que resulta en
una verdadera reorganización de la actividad humana, transformando a la
computadora en mucho más que en herramienta de auxilio en la actividad, sino en
herramienta que transforma esa actividad, una herramienta para "pensar con".
En el marco antes descripto, se planteó entonces la siguiente pregunta
directriz del estudio:
¿Cómo caracterizar los procesos de pensamiento matemático de
estudiantes universitarios de Cálculo al trabajar cuestiones ma-
temáticas relacionadas con el concepto de derivada en un am-
biente computacional?
28
Esta pregunta condujo a un estudio detenido de la literatura que relaciona
Cálculo y computadoras, estudio que se presenta en el Capítulo 2. Tal estudio
bibliográfico está estructurado en cuatro secciones.
La primera sección ofrece una revisión de diferentes artículos que tratan la
problemática de la enseñanza del Cálculo, las dificultades y concepciones de los
estudiantes en el aprendizaje del mismo. Tales concepciones son consideradas, por la
mayoría de los autores, como deficientes o erróneas y alejadas de la Matemática
académica. Contrastando esa posición, existen estudios donde las concepciones de
los estudiantes son exploradas y analizadas en sí mismas, atribuyéndoles valor
epistemológico propio y sin ser comparadas con algún modelo externo. En esos
estudios se procura escuchar la voz del estudiante (Confrey, 1993), sin establecer
comparaciones. El foco es el estudiante y sus propias ideas consideradas como
concepciones alternativas necesarias para la construcción del conocimiento.
La segunda sección presenta algunas reflexiones generales que vinculan la
tecnología computacional y la Educación Matemática. Esta conjunción puede ser
.sta como propuesta didáctica o como área de investigación.
Los trabajos específicos que se refieren a Cálculo y computadoras son
analizados en la tercera sección. Allí, se ofrece una revisión de artículos que
presentan resultados de cursos de Cálculo desarrollados con el auxilio de la
computadora. Son escasos los estudios de tipo cualitativo referidos al uso de la
computadora en clases de Matemática. La mayoría de ellos son estudios
comparativos que buscan mostrar las ventajas de trabajar en ambientes
computacionales, cuando confrontados con cursos tradicionales de Cálculo.
29
5. Entre Jos autores revisados, se pueden distinguir dos posiciones en relación
con el uso de la computadora. Para la mayoría de ellos, es un instrumento para
hacer más rápido, para auxiliar en, posición que podría enmarcarse en la teoría de
suplementación antes descripta, mientras que para pocos, la computadora es una
herramienta para pensar con, que transforma la actividad, en concordancia con la
teoría de reorganización.
Algunos aspectos enfatizados en la literatura son los cambios en la dinámica
de la clase, la posibilidad de experimentación y las facilidades en la visualización. El
proceso de visualización, destacado por la mayoría de los autores, es abordado en
detalle, estudiando su definición y status en el ámbito de la Educación Matemática.
Cierran la tercera sección un análisis referido a la conjunción: visualización, Cálculo
y computadoras, donde se abordan artículos que vinculan esos tres elementos.
El éi!lálisis bibliográfico que se presenta en este capítulo, describe un
escenario de investigación que permite localizar el estudio llevado a cabo en esta
tesis, estableciendo semejanzas y diferencias de acuerdo a la pregunta directriz ya
planteada. Esta discusión es presentada en la cuarta sección del Capítulo 2.
La posibilidad de responder la pregunta de investigación planteada está
estrechamente vinculada a la metodología de investigación empleada. El Capítulo 3
se dedica a describir la opción metodológica, la selección de los estudiantes que
participaron del estudio, las características del curso de Matemática del cual eran
alumnos los estudiantes en el momento del estudio, el software empleado, el proceso
de análisis de datos.
Para conseguir describir y comprender los procesos de pensamiento
matemático desarrollados por estudiantes en un ambiente computacional se optó por
30
una metodología cualitativa, ya que era necesario observar y registrar en detalle el
trabajo de estudiantes en dichos ambientes, su relación con la computadora frente a
cuestiones matemáticas y los procedimientos por ellos desarrollados.
El trabajo fue realizado con la participación voluntaria de tres pares de
estudiantes (mujeres) que cursaban la disciplina Matemática Aplicada,
correspondiente a primer año de Biología de la Universidad Estadual Paulista
(UNESP - Río Claro - Brasil). A partir de una invitación que el profesor del curso
hizo para todos los estudiantes de la clase, ellas aceptaron participar de la
experiencia, que se realizó en horarios extra-clase. Ninguna estudiante conocía el
software utilizado en este trabajo, Derive, en su versión 3.14 para DOS.
Con cada par de estudiantes fue realizado, en ambiente computacional, un
experimento de enseñanza constructivista (Cobb & Steffe, 1983), que consiste
básicamente en una serie de encuentros con los estudiantes por un cierto período de
tiempo e implica procesos de enseñanza y aprendizaje, ya que la construcción del
conocimiento por parte de los estudiantes es influenciada, también, por la
interacción con el investigador. Cuatro encuentros de aproximadamente 70 minutos
fueron realizados con cada par de estudiantes. Tales encuentros fueron
videograbados.
Después de transcribir íntegramente los videos producidos, fueron
seleccionados doce episodios que ofrecían elementos para caracterizar los procesos
de pensamiento de Jos estudiantes. El análisis de estos episodios fue de tipo
inductivo/constructivo (Lincoln & Guba, 1985), se desarrolló simultáneamente con la
recolección de datos y se intensificó después de haberla acabado. En este tipo de
análisis no se parte de hipótesis previamente establecidas sino que, a partir de los
datos recogidos, son generadas proposiciones, conjeturas y relaciones entre ellas
31
6. Entre Jos autores revisados, se pueden distinguir dos posiciones en relación
con el uso de la computadora. Para la mayoría de ellos, es un instrumento para
hacer más rápido, para auxiliar en, posición que podría enmarcarse en la teoría de
suplementación antes descripta, mientras que para pocos, la computadora es una
herramienta para pensar con, que transforma la actividad, en concordancia con la
teoría de reorganización.
Algunos aspectos enfatizados en la literatura son los cambios en la dinámica
de la clase, la posibilidad de experimentación y las facilidades en la visualización. El
proceso de visualización, destacado por la mayoría de los autores, es abordado en
detalle, estudiando su definición y status en el ámbito de la Educación Matemática.
Cierran la tercera sección un análisis referido a la conjunción: visualización, Cálculo
y computadoras, donde se abordan artículos que vinculan esos tres elementos.
El éi!lálisis bibliográfico que se presenta en este capítulo, describe un
escenario de investigación que permite localizar el estudio llevado a cabo en esta
tesis, estableciendo semejanzas y diferencias de acuerdo a la pregunta directriz ya
planteada. Esta discusión es presentada en la cuarta sección del Capítulo 2.
La posibilidad de responder la pregunta de investigación planteada está
estrechamente vinculada a la metodología de investigación empleada. El Capítulo 3
se dedica a describir la opción metodológica, la selección de los estudiantes que
participaron del estudio, las características del curso de Matemática del cual eran
alumnos los estudiantes en el momento del estudio, el software empleado, el proceso
de análisis de datos.
Para conseguir describir y comprender los procesos de pensamiento
matemático desarrollados por estudiantes en un ambiente computacional se optó por
30
una metodología cualitativa, ya que era necesario observar y registrar en detalle el
trabajo de estudiantes en dichos ambientes, su relación con la computadora frente a
cuestiones matemáticas y los procedimientos por ellos desarrollados.
El trabajo fue realizado con la participación voluntaria de tres pares de
estudiantes (mujeres) que cursaban la disciplina Matemática Aplicada,
correspondiente a primer año de Biología de la Universidad Estadual Paulista
(UNESP - Río Claro - Brasil). A partir de una invitación que el profesor del curso
hizo para todos los estudiantes de la clase, ellas aceptaron participar de la
experiencia, que se realizó en horarios extra-clase. Ninguna estudiante conocía el
software utilizado en este trabajo, Derive, en su versión 3.14 para DOS.
Con cada par de estudiantes fue realizado, en ambiente computacional, un
experimento de enseñanza constructivista (Cobb & Steffe, 1983), que consiste
básicamente en una serie de encuentros con los estudiantes por un cierto período de
tiempo e implica procesos de enseñanza y aprendizaje, ya que la construcción del
conocimiento por parte de los estudiantes es influenciada, también, por la
interacción con el investigador. Cuatro encuentros de aproximadamente 70 minutos
fueron realizados con cada par de estudiantes. Tales encuentros fueron
videograbados.
Después de transcribir íntegramente los videos producidos, fueron
seleccionados doce episodios que ofrecían elementos para caracterizar los procesos
de pensamiento de Jos estudiantes. El análisis de estos episodios fue de tipo
inductivo/constructivo (Lincoln & Guba, 1985), se desarrolló simultáneamente con la
recolección de datos y se intensificó después de haberla acabado. En este tipo de
análisis no se parte de hipótesis previamente establecidas sino que, a partir de los
datos recogidos, son generadas proposiciones, conjeturas y relaciones entre ellas
31
7. cuya validez es testada y analizada, tanto el transcurso de los experimentos de
enseñanza como en el proceso de análisis final.
El Capítulo 4 muestra los resultados del estudio. Se dedica una sección al
trabajo desarrollado por cada uno de los grupos, presentando una descripción de sus
integrantes y un relato de las actividades realizadas en los experimentos de
enseñanza, destacando episodios que permitan extraer elementos para caracterizar los
procesos de pensamiento de las estudiantes. Tales episodios son descriptos
exhaustivamente y es esbozado un análisis inicial que destaca elementos importantes
a ser retomados en el análisis final, cuando es realizada una confrontación con la
literatura estudiada y nuevos autores brindan un marco que amplía el inicialmente
planteado.
Dicha confrontación es realizada en el Capítulo 5. En él son presentados
aspectos emergentes de los episodios descriptos, e incipientemente analizados en el
capítulo anterior, que caracterizan el pensamiento matemático de las estudiantes en
el ambiente computacional. Tales aspectos pueden ser así resumidos:
• El pensamiento matemático es penetrado y reorganizado por las rnidiai
utilizadas para abordar las tareas propuestas y constituyen, junto con las
estudiantes y la investigadora, una ecología cognitiva (Levy, 1993) que genera
un colectivo pensante particular; en ese colectivo pensante la necesidad de una
coordinación inter-midias aparece como fundamental.
• Las estudiantes desarrollan tanto abordajes visuales, como abordajes algebraicos
en el ambiente computacional sugiriendo la necesidad de coordinar
2
Con este término se designan los diferentes recursos y dispositivos que están
mediando procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática: computadora,
lápiz y papel, calculadora, oralidad, etc.
32
representaciones múltiples para superar la dicotomía existente entre lo visual y
lo algebraico.
• Juegos de conjeturas y refutaciones caracterizan los procesos de pensamiento
matemático de las estudiantes que no siguen caminos lineales sino en forma de
red, mostrando, al mismo tiempo, la constitución del conocimiento matemático
como una red de significados (Machado, 1995).
El Capítulo 6 está dedicado a la presentación de algunas reflexiones sobre
los límites, alcance, perspectivas y contribuciones de este estudio en el área de la
Educación Matemática. Se destaca la nueva perspectiva que se genera al considerar
la computadora como integrante de una ecología cognitiva particular. Esto trae
aparejado nuevas formas de pensar matemáticamente, nuevos roles para profesores y
estudiantes y toma obsoletos o innecesarios ciertos contenidos, lo que implica un
replanteamiento de la enseñanza del Cálculo y sugiere una necesaria reestructuración
curricular a partir de una visión del conocimiento como red de significados, en
contraposición con el paradigma cartesiano vigente en la enseñanza de la Matemática
en general y del Cálculo en particular.
Bibliografia
COBB, P. & STEFFE, L. (1983) The constructivist researcher as teacher and model
builder. Journalfor Research in Mathematics Education, Restan, VA: NCTM,
v.l4, n.2, p.83-94.
CONFREY, J. (1993) Voice and perspective: hearing epistemological innovation in
students' words. Bednarz, N., Larochelle, M. , Desautels, J. (Eds). Revue des
sciences de l'education.
LEVY, P. (1993) As tecnologías da inteligéncia. O futuro do pensamento na era da
infom1ática. Trad. C. I. da Costa. Sao Pauto: Editora 34. 203 p. Traducción de:
Les technologies de l'intelligence.
33
8. cuya validez es testada y analizada, tanto el transcurso de los experimentos de
enseñanza como en el proceso de análisis final.
El Capítulo 4 muestra los resultados del estudio. Se dedica una sección al
trabajo desarrollado por cada uno de los grupos, presentando una descripción de sus
integrantes y un relato de las actividades realizadas en los experimentos de
enseñanza, destacando episodios que permitan extraer elementos para caracterizar los
procesos de pensamiento de las estudiantes. Tales episodios son descriptos
exhaustivamente y es esbozado un análisis inicial que destaca elementos importantes
a ser retomados en el análisis final, cuando es realizada una confrontación con la
literatura estudiada y nuevos autores brindan un marco que amplía el inicialmente
planteado.
Dicha confrontación es realizada en el Capítulo 5. En él son presentados
aspectos emergentes de los episodios descriptos, e incipientemente analizados en el
capítulo anterior, que caracterizan el pensamiento matemático de las estudiantes en
el ambiente computacional. Tales aspectos pueden ser así resumidos:
• El pensamiento matemático es penetrado y reorganizado por las rnidiai
utilizadas para abordar las tareas propuestas y constituyen, junto con las
estudiantes y la investigadora, una ecología cognitiva (Levy, 1993) que genera
un colectivo pensante particular; en ese colectivo pensante la necesidad de una
coordinación inter-midias aparece como fundamental.
• Las estudiantes desarrollan tanto abordajes visuales, como abordajes algebraicos
en el ambiente computacional sugiriendo la necesidad de coordinar
2
Con este término se designan los diferentes recursos y dispositivos que están
mediando procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática: computadora,
lápiz y papel, calculadora, oralidad, etc.
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representaciones múltiples para superar la dicotomía existente entre lo visual y
lo algebraico.
• Juegos de conjeturas y refutaciones caracterizan los procesos de pensamiento
matemático de las estudiantes que no siguen caminos lineales sino en forma de
red, mostrando, al mismo tiempo, la constitución del conocimiento matemático
como una red de significados (Machado, 1995).
El Capítulo 6 está dedicado a la presentación de algunas reflexiones sobre
los límites, alcance, perspectivas y contribuciones de este estudio en el área de la
Educación Matemática. Se destaca la nueva perspectiva que se genera al considerar
la computadora como integrante de una ecología cognitiva particular. Esto trae
aparejado nuevas formas de pensar matemáticamente, nuevos roles para profesores y
estudiantes y toma obsoletos o innecesarios ciertos contenidos, lo que implica un
replanteamiento de la enseñanza del Cálculo y sugiere una necesaria reestructuración
curricular a partir de una visión del conocimiento como red de significados, en
contraposición con el paradigma cartesiano vigente en la enseñanza de la Matemática
en general y del Cálculo en particular.
Bibliografia
COBB, P. & STEFFE, L. (1983) The constructivist researcher as teacher and model
builder. Journalfor Research in Mathematics Education, Restan, VA: NCTM,
v.l4, n.2, p.83-94.
CONFREY, J. (1993) Voice and perspective: hearing epistemological innovation in
students' words. Bednarz, N., Larochelle, M. , Desautels, J. (Eds). Revue des
sciences de l'education.
LEVY, P. (1993) As tecnologías da inteligéncia. O futuro do pensamento na era da
infom1ática. Trad. C. I. da Costa. Sao Pauto: Editora 34. 203 p. Traducción de:
Les technologies de l'intelligence.
33
9. LINCOLN, Y. & GUBA, E. (1985) Naturalistic inquiry. California: SAGE
Publications. 416 p.
MACHADO, N. (1995) Epistemologia e didática: as conceps;oes de conhecimento e
inteligencia e a prática docente. Sao Paulo: Cortez Editora. 320 p.
TIKHOMIROV, O.K. (1981) The psychological consequences of computarization.
In: WERTSCH, J.V. The concept of activity in Soviet Psychology. New York:
M. E. Sharpe. lnc. p.256-278.
Facultad de Ciencias Agropecuarias
Universidad Nacional de Córdoba.
34
Matrices y determinantes
Traducido por Maria Isabel Viggiani Rocha
El comienzo del estudio de matrices y determinantes se remonta al segundo siglo
A.C., aunque algunos trazos pueden encontrarse en el cuarto siglo A.C.. Sin embargo
no es hasta cerca del fin del siglo XVII que estas ideas reaparecen y se desarrollan
realmente a partir de ese momento.
No es sorprendente que el comienzo del estudio de matrices y determinantes pudo
originarse en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales. Los babilonios estudiaron
problemas los cuales inducen a ecuaciones lineales simultáneas y algunos de ellos
son guardados en tablas de arcilla , las cuales existen. Por ejemplo una tabla fechada
alrededor de 300 años A.C. contiene el siguiente problema:
Hay dos campos cuya área total es de 1.800 yardas cuadradas. Uno
produce granos a razón de 2/3 de bushel por yarda cuadrada (1),
mientras que el otro produce granos a razón de 112 bushel por yarda
cuadrada. Sistema el total producido es 1.100 bushels, ¿cuál es la
medida de cada campo?
Los chinos, entre 200 A.C. y 100 A.C., estuvieron mas cerca del concepto de matriz
que los babilonios. Verdaderamente es claro decir que el texto Nueve capítulos del
arte matemático escrito durante la dinastía de los Han, ofrece el primer ejemplo
conocido de métodos sobre matrices. Un primer problema aparece siendo similar al
ejemplo babilonio antedicho:
Hay tres tipos de granos, de los cuales tres haces del primero, dos del
segundo y uno del tercero pesan 39 medidas. Dos del primero, tres
de/segundo y uno del tercero suman 34 medidas. Y uno del primero, dos
del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de
granos están contenidas en un haz de cada tipo?
Ahora el autor hace algo completamente interesante. El dará los coeficientes de un
sistema de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas como una tabla sobre un
"tablero contable".
35