Este documento presenta una propuesta didáctica para mejorar la enseñanza de los temas de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado en el Colegio de Ciencias y Humanidades. Justifica la necesidad de esta propuesta debido a que existe un alto índice de reprobación y deserción en esta materia. Describe brevemente el sistema de bachillerato de esta institución y los objetivos de la asignatura de Matemáticas I.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN
PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA,
UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL BACHILLERATO DEL
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN DOCENCIA PARA LA
EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR EN
EL CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS
P R E S E N T A
ACT. ESTHER LÓPEZ HERNÁNDEZ
ASESOR: MTRO. JUAN BAUTISTA RECIO ZUBIETA
ESTADO DE MÉXICO MAYO DE 2008

2. AGRADECIMIENTOS
Al Mtro. Juan Bautista Recio Zubieta, por su gran apoyo, por su paciencia y por
compartir sus conocimientos, para poder llevar a cabo la realización de este trabajo.
¡Muchas Gracias!
Al M. en C. Oscar Cuevas de la Rosa, al Mtro. Pedro Manuel Zerendieta Méndez,
por dedicarme parte de su tiempo, por sus orientaciones y comentarios para mejorar
este trabajo.
¡Gracias!
Al Mtro. Andrés Hernández López, por sus consideraciones y apoyo.
¡Gracias!
A mis maestros sinodales, por sus observaciones y sugerencias.
¡Gracias!

3. AGRADECIMIENTOS
A mis papás Cruz y Vicente, con cariño por su apoyo incondicional,
de toda la vida.
¡Muchas Gracias!
A mis hermanos que siempre han estado conmigo.
A la Mtra. Georgina Castañeda Ayala, por brindarme su amistad,
por su ayuda y sus consejos.
¡Gracias!

4. Í N D I C E
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 1
CAPITULO I. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO DE ESTUDIO
1.1 Justificación ……………………………………………………………………………… 3
1.2 Objetivo General ………………………………………………………………………... 5
1.3 Objetivos Particulares ………………………………………………………………….. 6
1.4 Hipótesis …………………………………………………………………………………. 6
CAPITULO II. MARCO TEÓRICO
2.1 Sistema Bachillerato de la UNAM ………………………………………………….... 7
2.1.1 Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades ………………………. 8
2.1.2 Propósitos del área de Matemáticas ………………………………………….. 9
2.1.3 Propósitos de la Materia ……………………………………………………….. 10
2.2 Enseñanza …………………………………………………………………………….. 10
2.2.1 Concepciones sobre el proceso de enseñanza ……………………………… 11
2.3 Aprendizaje ……………………………………………………………………………. 12
2.3.1 Concepciones sobre el proceso de aprendizaje ……………………………... 12
2.4 Concepciones sobre las Matemáticas ……………………………………………… 13
CAPITULO III. METODOLOGÍA DEL TRABAJO
3.1 Instrumentos desarrollados para realizar el trabajo ………………………………. 16
3.2 Descripción del instrumento diagnóstico …………………………………………... 16
3.3 Propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización
y ecuaciones de segundo grado ……………………………………………………. 18
3.4 Características de la población ……………………………………………………… 23
3.5 Desarrollo de la enseñanza ….……..……………………………………………….. 24
CAPITULO IV. ANÁLISIS Y RESULTADOS
4.1 Primera aplicación del instrumento ……………………………………………….. 32
4.2 Segunda aplicación de instrumento ……………………………………………….. 33
4.3 Comparación con los resultados obtenidos en el Pre Test Post Test …………. 37
4.4 Análisis Estadístico (Prueba de hipótesis sobre diferencias de medias) ………. 52
CONCLUSIONES …………………………………………………………………………….. 64

5. BIBLIOGRAFIA .……………………………………………............................................... 66
ANEXOS
Anexo 1. Instrumento Diagnóstico (Examen)
Sobre el Tema de Ecuaciones Cuadráticas …………………………………… 69
Anexo 2. Actividades de Enseñanza – Aprendizaje ……………………………………… 74
Anexo 3. Registro de las actividades y tareas realizadas ………………………………. 128
Anexo 4. Cuestionario aplicado a los profesores sobre el tema de Ecuaciones
Cuadráticas ……………………………………………………………………….. 131
Anexo 5. Información recabada por los profesores de Matemáticas I ………………… 133
Anexo 6. Opinión de los alumnos …………………………………………………….……. 139

6. 1
I N T R O D U C C I Ó N
La presente Tesis tiene como objetivos principales:
Diseñar una propuesta didáctica sobre la enseñanza de las matemáticas, con respecto a
los temas de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado con una
incógnita. Tomando como base el programa de estudios de Matemáticas I que se imparte
en el primer semestre del Colegio de Ciencias y Humanidades.
Encontrar la manera de reducir al máximo el índice de reprobación, que se da de manera
alarmante en el bachillerato.
Evitar la deserción de los alumnos, ya que en los últimos años lejos de disminuir se ha
incrementado.
En el Capítulo I tomando en cuenta lo anterior, abordamos dicha problemática que como
sabemos se deriva de varios factores, entre los cuales podemos mencionar los siguientes:
La forma de enseñar las matemáticas, mitos que consideran que solo las personas que
cuentan con una mente super dotada pueden entenderlas y manejarlas, el poco tiempo
que se tiene destinado para cada tema y problemas personales de los alumnos.
Ya entrados en materia en el Capítulo II se menciona el marco teórico, conformado por:
el Sistema de Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, cuyo modelo
educativo tiene como finalidad; la formación integral del estudiante, que éste aprenda a
aprender, aprenda a hacer y aprenda a ser, así; sin descuidar estos propósitos, se
elaboró la propuesta didáctica que fue llevada a la práctica en el Plantel Azcapotzalco.
Por otro lado se hace mención de los própositos del área de matemáticas,
específicamente de la materia de Matemáticas I en relación con el tema de ecuaciones
cuadráticas.
Se da una breve definición sobre los términos de enseñanza – aprendizaje. Cabe aclarar
que estos términos pueden ser definidos desde diferentes puntos de vista, es decir, de la
corriente educativa a la que se haga mención, así mismo; se presentan algunas
concepciones sobre el proceso de enseñanza – aprendizaje y su relación con las
matemáticas.
En el Capitulo III se menciona la forma en que se llevó a cabo la realización de este
trabajo, así como los materiales que se usaron, también plantéo cómo se diseño la
propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización y
ecuaciones de segundo grado, así como las características del exámen diagnóstico que
les fue aplicado a los alumnos.
Además también se hace mención a las características de la población a quienes se les
aplico el material didático.
En el Capítulo IV se muestran los resultados obtenidos de los alumnos una vez que se
aplicaron las actividades de enseñanza - aprendizaje (la propuesta didáctica), así como

7. 2
un análisis de estos resultados. Cabe mencionar que se utilizó el esquema de Pre Test
Post Test, por lo que también se llevó a cabo una comparación con los resultados.
Por último se presentan los anexos.
El anexo 1 contiene el instrumento diagnóstico (examen) que les fue aplicado a los
alumnos.
En el anexo 2 contiene las actividades de enseñanza y aprendizaje, para la realización de
estas actividades. Se buscó la manera de hacerlo de una forma flexible dejando atrás la
rigidez; esto con la finalidad de obtener un mejor aprovechamiento en el proceso de
enseñanza – aprendizaje.
En el anexo 3 se llevó a cabo un registro de las actividades y tareas realizadas, de tal
forma que los alumnos tuvieran un control sobre su propio desempeño durante el curso.
En el anexo 4 se encuentra el cuestionario que les fue aplicado a los profesores que
imparten la materia de Matemáticas I.
En el anexo 5 se tiene la información de las entrevistas realizadas a profesores de
Matemáticas I, con el fin de encontrar alternativas didácticas, que sirvieran para optimizar
la problemática que se tiene en la enseñanza de las matemáticas.
En el anexo 6 y último se recabó la opinión de los alumnos en cuanto al material sobre las
actividades de enseñanza – aprendizaje que se les aplicó, ya que considero que estas
opiniones nos ayudan a reflexionar sobre nuestra labor como docentes.

8. 3
CAPITULO I. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO DE ESTUDIO
1.1 Justificación
En la docencia actual, a pesar de los avances de la investigación educativa y de los
programas de formación de profesores de los últimos años, muchos de ellos muestran un
poco u nulo interés para tomar en cuenta dichos avances, por lo que además de no saber
como impartir la docencia se convierten en la mayoría de las veces sólo protagónicos del
saber, mientras que los alumnos con esto caen en una actividad de pasividad, lo que trae
como consecuencia el desinterés, la repetición y memorización del conocimiento sin que
exista lo más importante un sentido analítico y crítico.
En este sentido el investigador Morán Oviedo, afirma que el deber ser de la docencia se
centraba básicamente en exposiciones magistrales a través de las cuales se iban
dosificando cápsulas de saber que los estudiantes debían asimilar y aceptar sin
reflexionar ni protestar, ya que el profesor era la figura dominante, el centro de la clase.
En este concepto de docencia el grupo es sólo un conjunto de personas que no se
comunican ni interactúan durante el proceso de aprender.
Sin embargo “con los avances de la investigación educativa, de los últimos tiempos,
específicamente con sus aportaciones en el descubrimiento de nuevas concepciones
pedagógicas, de nuevas corrientes educativas y nuevos métodos de enseñanza y de
aprendizaje, nos encontramos en una perspectiva diferente de pensar y realizar la
docencia, ya que no se limita sólo a procurar la existencia de la comunicación e
interacción grupal sino que la promueve y la aprovecha intencionadamente como fuente y
medio de experiencias de aprendizaje” (Morán Oviedo, 2006, p5).
Por lo mencionado anteriormente, la docencia se caracteriza como un proceso de
interacción profesor – alumno, donde se presente como un diálogo constructivo entre
profesor y alumno, ya que se considera que el proceso de comunicación es un proceso
interactivo en el cual el alumno también emite mensajes hacia el profesor, intercambio de
experiencias, puntos de vista, etc. “La docencia es, asimismo, una actividad
profundamente matizada por los componentes ideológicos del docente, del alumno, de la
institución que la promueve y del propio campo disciplinario que se estudia”.
Por otra parte, “varios investigadores (Tirano y Serrano, 1989; Lapointe, Mead y Askew,
1992, entre otros) reportan una crisis tanto nacional como global en la enseñanza
matemática”. “En México la crisis es evidente, estadísticas señalan que en algunas
universidades se ha incrementado de un 10% a un 30% la demanda de cursos especiales
de matemáticas…”,”La actual generación de estudiantes seguramente tendrá que
enfrentarse a cambios tecnológicos que necesitarán estructuras de conocimiento cada
vez más complejas… Desde las habilidades simples para realizar y organizar
cargamentos de mercancías, hasta el conocimiento de alto nivel necesario para la ciencia
y los avances tecnológicos” (Carlson, 1992 en Lara, fuentes y Gómez, V Simposio
Internacional en Educación Matemática, 1995, p.86).
Por lo tanto la enseñanza de las matemáticas es sumamente importante “Vivimos tiempos
extraordinarios y acelerados cambios. Surgen y evolucionan continuamente nuevos
conocimientos, herramientas y formas de usar y comunicar las matemáticas” (Principios y
Estándares de Educación Matemática, NCTM, 2000). Por lo que se debe buscar
alternativas que ayuden a optimizar el problema en la enseñanza de la matemática.

9. 4
Con base en la información antes citada, el trabajo de investigación es que los alumnos
del Colegio de Ciencias y Humanidades del plantel Azcapotzalco tengan una mejor
comprensión en algunos temas que se mencionan en el programa de matemáticas I, así
como su importancia para materias posteriores.
La enseñanza de las matemáticas en el bachillerato del CCH presenta problemas en el
rendimiento de los alumnos, lo cual se refleja en sus calificaciones, por lo que no es muy
satisfactorio, el índice de reprobación es alto, así como la deserción en el salón de clases,
como lo muestra la tabla 1. “Dentro de la investigación educativa, es de utilidad conocer el
comportamiento de la población por medio de cálculo de tasas”. (Datos proporcionados
por la Secretaria de Apoyo al Aprendizaje, plantel Azcapotzalco).
Tabla 1. Aprovechamiento en la asignatura de Matemáticas I. Distribución de
calificaciones. Porcentaje de alumnos.
Con los datos de la tabla se puede observar que la calificación de NP en la generación
2000 fue la más alta con el 21.31%, la cual disminuyo notoriamente en la generación 2007
con el 8.02%. La generación 2001 fue la que tuvo mayor porcentaje de alumnos
reprobados con 5, con el 25.91%, mientras que la generación que menos alumnos tuvo
con esta calificación fue la 2006, con 17.51%.
La generación que más alumnos obtuvieron la calificación de 6 fue la 2005, con el 21.12%
y la generación que obtuvo menos alumnos con esa calificación fue la 2000, con 14.90%.
En cuanto a la calificación de 7, la generación que más alumnos tuvo fue la 2006, con el
20.08%, mientras que la generación 2001 fue la que menor porcentaje obtuvo, con solo el
12.61%.
El 13.36% de la generación 2000 obtuvo 8 y fue la más baja, frente a la generación 2003,
cuya tasa fue de 17.18%. En cuanto a la calificación de 9 la generación 2007 fue la más
alta con el 12.80%, mientras que la generación 2002 fue la más baja con el 6.44%. Y por
último la generación 2000 fue la que menor número de alumnos tuvo calificación de 10,
con el 4.99%, mientras que la generación 2007 tuvo el mayor número de alumnos con
esta calificación, con el 8.97%.
Esta situación se deriva de varios factores, entre los cuales se mencionan las siguientes:
La forma de enseñar las matemáticas, mitos o creencias que consideran que las
matemáticas son muy difíciles y sólo para personas dotadas o privilegiadas, problemas
personales de los alumnos ya que se encuentran en una edad “la adolescencia” en la cual
Calificaciones
Generación NP 5 6 7 8 9 10
2000 21.31 20.85 14.90 15.91 13.36 8.69 4.99
2001 16.29 25.91 15.61 12.61 14.66 8.93 5.99
2002 16.81 19.18 18.94 19.40 13.87 6.44 5.36
2003 11.75 19.04 17.79 14.86 17.18 10.63 8.75
2004 11.82 25.22 19.73 15.45 13.50 8.46 5.81
2005 9.72 24.47 21.12 17.33 13.60 7.50 6.26
2006 10.63 17.51 19.09 20.08 16.83 9.95 5.91
2007 8.02 18.07 17.60 18.82 15.71 12.80 8.97

10. 5
buscan su propia identidad y de encontrarse asimismo buscando apoyo en su grupo de
pares. “Para el adolescente resulta muy importante pertenecer a un grupo de jóvenes
como él y de seguir las reglas del grupo, por lo tanto si tiene que elegir entre las normas
impuestas por los padres y las de grupo, se decidirá por las de su grupo, lo cual le crea
conflictos no sólo con las figuras paternas, sino con la sociedad adulta en general”
(Tarragona Roing, 2004, p15-16), estos conflictos internos por los que atraviesan los
alumnos y la falta de entendimiento por parte del profesor, tomando así una actitud rígida
y autoritaria en el salón de clases, trae como consecuencia que los alumnos no tengan un
buen desempeño.
Otro factor es la falta de buenos hábitos de estudio, lo cual se refleja en sus calificaciones,
así como el cambio que tienen de la secundaria al bachillerato, lo cual les ocasiona un
desequilibrio, ya que es un proceso que presenta cambios para los cuales algunos
alumnos no están preparados.
Además si agregamos que la Matemática es una ciencia abstracta y lógica, “los alumnos
que todavía no han pasado de la fase operacional concreta, son incapaces de incorporar
significativamente a sus estructuras cognoscitivas relaciones entre dos o más
abstracciones “secundarias”, a menos que dispongan de apoyos empírico-concretos
actuales o recientes” (Inhelder y Piaget, 1958, en Ausubel, 1976).
Por otra parte, cabe mencionar que anteriormente en los cursos de matemáticas, los
grupos estaban formados por aproximadamente 50 alumnos, para el ciclo escolar 2007-1
se hizo un cambio, los grupos de matemáticas I se dividieron a la mitad, buscando así un
mejor rendimiento en los alumnos, teniendo algunas ventajas como son: una mayor
atención hacia los alumnos, mejor control sobre su desempeño durante las clases, saber
escucharlos, estimular su sentido de responsabilidad, etc.
1.2 Objetivo General:
• Mejorar el aprendizaje de los alumnos en un tema crucial como son los productos
notables y la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Para ayudar a mejorar el aprendizaje se desarrollaron materiales didácticos que
permitieran una mayor comprensión sobre los temas de productos notables, factorización
y ecuaciones de segundo grado con una incógnita, que corresponde a la 5ª unidad de
Matemáticas I, en el bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, en el plantel
Azcapotzalco.
Los productos notables, así como la factorización, desempeñan un papel muy importante
en los cálculos algebraicos. No solamente para el curso de matemáticas I, vemos su
aplicación en la resolución de ecuaciones de segundo grado; en el curso de matemáticas
III, en las secciones cónicas correspondientes a la unidad IV, en el tema de parábola de la
unidad V, entre otros temas.
En términos generales la factorización es parte fundamental de la Matemática. Por lo que
considero, que es importante tener cuidado en su desarrollo como consecuencia de que el
manejo de estas expresiones facilita la resolución de diversos problemas.

11. 6
1.3 Objetivos Particulares:
• Tomando como base el examen diagnóstico, identificar las deficiencias en los
aprendizajes, así como conocer los antecedentes de los alumnos en cuanto a la
materia.
• Desarrollar, con base a las deficiencias que se encuentre en los alumnos, un
material de apoyo para el curso de matemáticas I, el cual estará elaborado a partir
del modelo educativo del Colegio de Ciencias y Humanidades. El material
didáctico versará sobre el tema de los productos notables y la factorización, así
como la resolución de ecuaciones de segundo grado.
• Pilotear el material con tres o cuatro alumnos a fin de detectar posibles fallas en él
y corregirlas.
• Aplicar el material a un grupo y analizar los resultados.
1.4 Hipótesis:
• El uso de materiales que busquen presentar de diferentes maneras los temas de
productos notables y de factorización, así como la resolución de ecuaciones de
segundo grado ayudarán a los alumnos a una mejor comprensión de ellos.
Para probar la hipótesis se realizarán pruebas estadísticas, para demostrar que el
resultado de aplicar un instrumento diagnóstico (examen) a un grupo de estudiantes sin la
exposición de cierto material didáctico, es menor a los resultados que se obtienen al
aplicar el mismo examen, pero con el conocimiento del material didáctico al mismo grupo
de estudiantes.
La intención de los exámenes es para medir el nivel taxonómico de las preguntas como
son: a) el nivel de conocimiento, b) el nivel algorítmico, c) el nivel de comprensión y d) el
nivel de aplicación.
Se medirán cada nivel a través de una serie de reactivos clasificados en los
correspondientes niveles y en donde la ejecución de los alumnos en cada uno de ellos,
será registrado como 0 y 1, donde: el 0 corresponde a que la respuesta esta mal, si no lo
hizo o no lo termino; el 1 corresponde a que la respuesta esta correcta.
Para el desarrollo del trabajo, debemos estar conscientes que existen tres variables
primordiales, que debemos mencionar en forma explícita.
1. El tipo de material didáctico del que se haga uso (variable independiente).
2. La comprensión que tengan los alumnos de los temas, lo cual se reflejará en la
calificación que obtengan del examen (variable dependiente).
3. El profesor, lo cual considero que es la variable principal.

12. 7
CAPITULO II. MARCO TEÓRICO
2.1 Sistema de Bachillerato de la UNAM
La educación es medio fundamental para adquirir, transmitir y acrecentar la cultura. La
misión de toda institución educativa es preparar a las nuevas generaciones para el mundo
en que tendrán que vivir. Propiciar la adquisición de los conocimientos y las habilidades
que los alumnos requieren para desempeñarse con eficiencia en una sociedad que
cambia rápidamente.
La matemática tiene una larga trayectoria unida al progreso de la humanidad y ha
ocupado un lugar central en la educación a lo largo de la historia.
Con los procesos de revisión y modificación de los planes y programas de estudios de la
Escuela Nacional Preparatoria y del Colegio de Ciencias y Humanidades y su aprobación
en 1996, el bachillerato de la UNAM avanzó de manera significativa en sus esfuerzos por
mejorar la calidad de la educación que imparte.
El progreso se manifiesta sobre todo en la actualización de los contenidos programáticos,
en la propuesta de formas de enseñanza más dinámicas, en general en una estructura
curricular más coherente con el logro del perfil de egreso deseado.
Para dar atención a los avances del conocimiento, con frecuencia se incrementan los
contenidos curriculares sin que éstos incidan en aspectos fundamentales de la formación
de los alumnos; no hay la suficiente coherencia entre programas y finalidades educativas
y, en general, no se ha contribuido de manera más eficaz para que los egresados de este
ciclo se desempeñen con éxito en sus estudios de licenciatura y en la vida social y laboral.
Lo anterior ha impulsado desde la década pasada, en prácticamente todos los países, un
movimiento de reforma de este ciclo entre cuyos elementos destaca la identificación y
definición explícita de los aprendizajes concretos a los que debe orientarse la educación
en este nivel. Por ejemplo, la determinación de los Contenidos Básicos comunes de la
Educación Polimodal en Argentina, los Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación
Media en Chile, las Enseñanzas Mínimas del Bachillerato en España, los Estándares
Educativos Nacionales en los Estados Unidos y las reformas curriculares en Canadá y en
Perú.
En particular, en el bachillerato, la enseñanza de la matemática debe contribuir a
consolidar los conocimientos y las habilidades para aplicarla a diversas situaciones
problemáticas y a que el alumno la considere como algo propio y tenga confianza al
emplearla, y sirva para formar en el alumno una mentalidad organizada y analítica.
A partir de éstas en las que coinciden la Escuela Nacional Preparatoria y el Colegio de
Ciencias y Humanidades, cuyos programas de estudios constituyeron un referente
fundamental, es que se han formulado los desempeños correspondientes a matemática
para el Núcleo de Conocimientos y Formación Básicos que debe proporcionar el
Bachillerato de la UNAM (NCFB); es decir, lo que es esencial que aprendan los alumnos.

13. 8
En los desempeños propuestos se refleja la orientación que se propone para la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática en este nivel educativo:
• Favorecer la comprensión y la capacidad de aplicación de conceptos y
procedimientos matemáticos esenciales.
• Promover la valoración, el interés y el gusto por la matemática como una ciencia
en constante desarrollo.
El Colegio de Ciencias y Humanidades, junto con la Escuela Nacional Preparatoria, forma
parte del bachillerato universitario con mayor demanda de la población estudiantil de
México.
2.1.1 Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades
El Colegio de Ciencias y Humanidades fue originado como una alternativa que venía a
resolver diversos problemas, entre otros, la demanda educativa de nivel superior y medio
superior, efecto de la explosión demográfica y de la generalización de las oportunidades
de educación elemental y media, fruto del plan de 11 años.
El Colegio de Ciencias y Humanidades es el resultado de una constante preocupación
universitaria: impulsar por nuevos caminos la enseñanza y la investigación científica. Fue
concebido como un plantel de nuevo tipo, que rebasando las limitaciones de la
organización tradicional, abriera sus puertas al mayor número posible de estudiantes y
reuniera la experiencia de diversas instituciones de educación superior, a fin de orientar
adecuadamente al alumno en función del campo educacional.
El Colegio de Ciencias y Humanidades dispone de un modelo educativo con el cual
desarrolla un conjunto de experiencias de aprendizaje en su población estudiantil a través
de una serie de políticas, programas y proyectos. (Prontuario del profesor, enero, 2002)
Este modelo educativo se caracteriza por una serie de elementos estructurales que son:
• La noción de cultura básica.
• La organización académica por áreas.
• El alumno como actor de su formación.
• El profesor como orientador en el aprendizaje.
“La función principal del modelo educativo es la de establecer lineamientos institucionales
para organizar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje”. (Prontuario del
profesor, enero, 2002)
La noción de cultura básica. Éste es el contenido fundamental formativo que le ofrece el
Colegio a sus alumnos. La cultura básica se encuentra plasmada en todas las asignaturas
del plan de estudios, y se entiende como el conjunto de principios y elementos de saber y
de hacer a través de cuya utilización pueda adquirir mayores y mejores conocimientos y
prácticas. En consecuencia, la cultura básica se integra por las capacidades de:

14. 9
- Aprender a conocer. Acceso a la información y su organización: lectura de libros
y textos.
- Aprender a hacer. La puesta en práctica de conocimientos: la experimentación en
los laboratorios, la investigación y producción de textos en la clase-taller.
- Aprender a ser. La adquisición y ejercicio de los valores de la cultura
contemporánea: respeto, tolerancia, solidaridad, etc.
- Aprender a aprender. Capacidad del alumno de seguir aprendiendo y asumirse
como sujeto de cultura y educación.
La organización académica por áreas. El contenido de la cultura básica se organiza y
distribuye en las diferentes materias que articulan las 4 áreas que definen la estructura
curricular del CCH: el área de ciencias experimentales, de talleres, de histórico-sociales y
de matemáticas. En su conjunto las áreas son grandes campos de conocimiento que
fomentan una visión humanista de las ciencias y la naturaleza, así como una visión
científica de los problemas del hombre y la sociedad.
El alumno como actor de su formación. El bachillerato del Colegio se caracteriza por
colocar en el centro de todas sus actividades, al alumno, su aprendizaje y su formación.
Para ello se han diseñado políticas, programas y proyectos que tienen como eje
organizacional este principio. Por lo tanto, el enfoque de las materias, las formas de
trabajo en el salón de clases, los laboratorios, la formación de profesores y los
mecanismos de gestión académica y administrativa de la institución toman a esta
concepción del alumno como el referente para organizar sus actividades.
El profesor como orientador en el aprendizaje. La institución concibe un modelo de
docencia que, desarrollando y fortaleciendo las habilidades básicas de saber planear,
instrumentar y evaluar las clases, sea capaz de orientar la adquisición de conocimientos
de calidad, adapte materiales didácticos y realimente el aprendizaje de los estudiantes de
manera cotidiana.
2.1.2 Propósitos del área de Matemáticas
La enseñanza de la Matemática en el bachillerato debe orientarse de manera tal que
permita a los alumnos percibir a esta disciplina como una ciencia en constante desarrollo.
El sentido del Área está determinado por el hecho de que el aprendizaje de la Matemática
contribuye de diversas maneras al desarrollo de la personalidad del educando. (Prontuario
del profesor, enero, 2002)
Se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su aprendizaje,
adquiera un desempeño satisfactorio en la comprensión y manejo de los contenidos de
los cinco ejes temáticos (Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y
Funciones) y desarrolle:
• El empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo (sistemático, especulativo
y riguroso), particularmente de tipo analógico, inductivo y deductivo.
• La adquisición de aprendizajes de manera independiente.
• La comprensión del significado de los conceptos, símbolos y procedimientos
matemáticos correspondientes al nivel bachillerato.
• La capacidad para realizar análisis y establecer relaciones mediante la
identificación de semejanzas y el uso de analogías.

15. 10
• La capacidad para formular conjeturas, construir argumentos válidos y aceptar o
refutar los de otros.
• La capacidad de aprender tanto de los aciertos como de los errores.
• La habilidad en el manejo de estrategias de resolución de problemas.
• La incorporación a su lenguaje y modos de argumentación habituales, de diversas
formas de expresión matemática (numéricas, tabulares, gráficas, geométricas y
algebraicas)
• La aplicación de conocimientos en distintos ámbitos de su actividad, con actitudes
de seguridad en sí mismo y de autoestima.
• El interés por la lectura y comprensión de textos científicos, tanto escolares como
de divulgación.
• La valoración del conocimientos científico en todos los campos del saber.
2.1.3 Propósitos de la materia
Dentro de los propósitos generales de Matemáticas I en relación con el tema de
ecuaciones cuadráticas se tiene que:
• El alumno analizará las condiciones y relaciones que se establecen en el
enunciado verbal de un problema y expresará las relaciones entre lo conocido y lo
desconocido a través de una ecuación algebraica de segundo grado.
• Utilizará los métodos siguientes para resolver una ecuación cuadrática:
factorización, completar a un trinomio cuadrado perfecto y uso de la fórmula
general.
• Transformará una ecuación cuadrática a la forma adecuada para su resolución por
un método específico.
• Identificará cuáles son los parámetros a, b y c, aún en ecuaciones “desordenadas”
o incompletas y los sustituirá correctamente en la fórmula general.
• Efectuará las operaciones indicadas al aplicar la fórmula general, de modo que
llegue a obtener las dos soluciones correctas.
• Sabrá que cuando en el radical se obtiene un número negativo, no existe ningún
número real que satisfaga esta condición, por lo que se requiere entrar al terreno
de otro tipo de números llamados complejos.
• Calculará el valor del discriminante acb 42
− para conocer la naturaleza y el
número de soluciones.
• Dadas las dos raíces de una ecuación, construirá la ecuación de la que provienen.
En relación con actividades de generalización, el alumno comprenderá cómo se obtiene la
fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
2.2 Enseñanza
De manera general se define la enseñanza (Del latín. Vulg. Insignare, señalar) como:
sistema y método de dar instrucción. Conjunto de conocimientos, principios, ideas, etc.,
que se enseñan a alguien.
La palabra enseñanza puede ser definida desde diferentes puntos de vista, es decir, de la
corriente educativa a la que se haga referencia.

16. 11
Para Chadwick y Rivera, 1990 la enseñanza consiste en crear las condiciones adecuadas
para que se produzca el aprendizaje del alumno. Mientras que el aprendizaje es un
cambio relativamente permanente que se produce en un aprendiz, debido a ejercitación,
práctica, entrenamiento o experiencias y no a circunstancias tales como drogas,
accidentes, maduración. Y al entrar ambos procesos en interacción dinámica, se produce
lo que se llama “el proceso de enseñanza-aprendizaje”.
Siendo conceptos paralelos y complementarios, es importante distinguir los términos de
enseñanza y aprendizaje.
2.2.1 Concepciones sobre el proceso de enseñanza
Para Danilov el éxito de la enseñanza sólo puede lograrse si el contenido de la misma y
los métodos empleados corresponden a los fines de la educación y a las peculiaridades
de los alumnos, según su edad. La asimilación de conocimientos nuevos se inicia siempre
por la percepción de las materias estudiadas, de los fenómenos o de las explicaciones del
maestro. La percepción activa se verifica cuando en el alumno concurren determinados
motivos. Todo ello caracteriza el proceso asimilativo. La creación de condiciones para que
surjan dichos motivos constituye un importante elemento de la enseñanza.
“La asimilación de conocimientos por los alumnos rinde sus mayores frutos
cuando existe una acertada organización de la enseñanza por el maestro”
(Danilov, 1977, p.21)
El proceso de asimilación de conocimientos por los alumnos sigue dos caminos: a) el
directo, éste se refiere cuando aquéllos pasan de la observación de los objetos, de los
procesos y de los fenómenos estudiados, del análisis de las nociones concretas y de la
experiencia vital que poseen, a las nociones y a los conceptos científicos, y b) el indirecto,
éste se refiere a cuando los alumnos parten de los conceptos que poseen, de las palabras
del maestro y del libro de texto, para crear en su mente un objeto, un fenómeno, formando
un nuevo concepto de los objetos estudiados. Existe un estrecho nexo entre el camino
directo de asimilación de conocimientos y el camino indirecto.
La enseñanza constituye el camino y el medio fundamental de formación y de educación.
Es decir, un grado de formación no se adquiere súbitamente, en un momento, sino como
resultado de un período de enseñanza más o menos prolongado.
Por otra parte Ausubel menciona que al diseñar un curriculum nuevo o al planear un
segmento de un programa de enseñanza, es importante tener siempre en cuenta que “el
factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya conoce”. Es
decir, que la planeación de la enseñanza exige una estimación cuidadosa de los
conceptos y destrezas que los alumnos poseen y que son relevantes para las nuevas
tareas de aprendizaje.
Se distinguen tres etapas en la acción didáctica:
a) Planteamiento. En esta etapa se formulan los objetivos educativos y los planes de
trabajo adaptados a los objetivos previstos. La formulación de un plan implica la toma de
decisiones anticipada y la reflexión con anterioridad a la puesta en práctica.

17. 12
b) Ejecución. Posteriormente al planteamiento, el profesor pone en práctica los recursos y
métodos didácticos, desarrollándose así el proceso de enseñanza.
c) Evaluación. Es la etapa en la que se verifican los resultados obtenidos con la ejecución,
materializándose en el proceso de evaluación.
2.3 Aprendizaje
El aprendizaje (del latín. Apprenhendere) es el otro elemento fundamental del proceso y
de manera común se define como: la adquisición de conocimientos por medio del estudio
o de la experiencia.
2.3.1 Concepciones sobre el proceso de aprendizaje
Para Ausubel todo el aprendizaje en el salón de clases puede ser situado a lo largo de
dos dimensiones independientes: La dimensión repetición-aprendizaje significativo y la
dimensión recepción-descubrimiento.
En realidad, los dos tipos de aprendizaje pueden ser significativos: 1. Si el estudiante
emplea una actitud de aprendizaje significativo, es decir, una disposición para relacionar
de manera significativa el nuevo material de aprendizaje con su estructura existente de
conocimiento, y 2. Si la tarea de aprendizaje en sí es potencialmente significativa, es
decir, si consiste en un material razonable o sensible y si puede relacionarse de manera
sustancial y no arbitraria con la estructura cognoscitiva del estudiante particular.
En el aprendizaje por recepción, el contenido principal de la tarea de aprendizaje
simplemente se le presenta al alumno. En el aprendizaje por descubrimiento, el contenido
principal de lo que ha de aprenderse se debe descubrir de manera independiente antes
de que se pueda asimilar dentro de la estructura cognoscitiva.
En el aprendizaje por recepción (por repetición o significativo), el contenido total de lo que
se va a aprender se le presenta al alumno en su forma final, se le exige sólo que
internalice o incorpore el material (una lista de sílabas sin sentido, un poema, un teorema
de geometría, etc.) que se le presenta de tal modo que pueda recuperarlo o reproducirlo
en un momento posterior.
En el aprendizaje por recepción y repetición, la tarea de aprendizaje, no es ni
potencialmente significativa ni tampoco convertida en tal durante el proceso de
internalización, por otra parte el aprendizaje por recepción puede ser significativo si la
tarea o material potencialmente significativos son comprendidos en la estructura cognitiva
previa del alumno.
“Gran parte de la confusión en las discusiones sobre el aprendizaje escolar se
debe al no reconocer que los aprendizajes por repetición y significativo
no son completamente dicotómicos. Aunque son cualitativamente
discontinuos en términos de los procesos psicológicos que subyacen a
cada uno de ellos, y que por lo mismo no pueden ser colocados en
los polos opuestos del mismo continuo, existen tipos de aprendizaje de
transición que comparten algunas de las propiedades de los aprendizajes
antes mencionados (por ejemplo, el aprendizaje de representaciones o el

18. 13
aprendizaje de los nombres de los objetos, los eventos y los conceptos)”.
(Ausubel, 1976, p. 34)
En términos generales lo anterior se puede representar de manera simplificada en la
fig1.
Aprendizaje
Significativo Clarificación de las Enseñanza Investigación
relaciones entre audiotutelar científica (música o
los conceptos bien diseñada arquitectura nuevas)
Conferencias o “Investigación”
presentaciones de Trabajo escolar más rutinaria
la mayor parte de en el laboratorio o producción intelectual
los libros de texto
Aprendizaje Tablas de Aplicación de fórmulas Soluciones a
Por repetición Multiplicar para resolver problemas rompecabezas por
ensayo y error
Aprendizaje Aprendizaje por Aprendizaje por
por recepción descubrimiento guiado descubrimiento autónomo
Fig.1.1 Tomada de Ausubel 1976.
Los aprendizajes por recepción y por descubrimiento se hallan en un continuo separado
del aprendizaje por repetición y el aprendizaje significativo.
Se considera importante mencionar que “el aprendizaje por recepción, si bien
fenomenológicamente más sencillo que el aprendizaje por descubrimiento, surge
parodójicamente ya muy avanzado el desarrollo, y, especialmente en sus formas verbales
puras más logradas, implica un nivel mayor de madurez cognoscitiva” (Ausubel, 1976, p.
36).
2.4 Concepciones sobre las Matemáticas
La concepción que sobre las matemáticas se tenga, es muy importante ya que se
determina en gran medida para la manera en como el docente concibe su trabajo.
Cuando un profesor está frente a un grupo de alumnos, se manifiestan las siguientes
dimensiones: conocimientos, habilidades y actitudes. Ya sea de manera consciente o
inconsciente.
De acuerdo a Sánchez y Santos (1994), la enseñanza tradicional, se considera, en línea
de descendencia de una concepción objetal de la matemática, como si estuviese
conformada por objetos que pre-existen a la actividad del sujeto cognoscente. Y como
resultado de esta concepción, la enseñanza se ha confundido con una presentación de
objetos. Y por otro lado se menciona que en el constructivismo, el conocimiento producido
es siempre contextual, el sujeto le otorga una serie de significaciones que van

19. 14
determinando conceptualmente al objeto, es decir no hay una recepción pasiva del
conocimiento, sino una participación activa del alumno ya que esto constituye parte
integral de su proceso educativo.
Y para tratar de comprender el mundo de sus experiencias, se dice que las personas
hacen uso de representaciones. Las representaciones, se basan en una función muy
importante del sistema cognitivo que es la función simbólica. Por ejemplo, dado un
problema se puede representar de diferentes maneras.
Generalmente los profesores buscan de alguna manera que sus alumnos entiendan, sin
embargo esto no es un trabajo fácil. Ya que la mayoría de los alumnos consideran que las
matemáticas son difíciles de entender.
”Para entender las matemáticas los alumnos necesitan formar representaciones
internas, mentales, de los conceptos matemáticos y formar conexiones entre
ellas. Los alumnos también necesitan formar conexiones entre estas
representaciones internas y las representaciones externas, tales como materiales
concretos que incorporen los conceptos matemáticos abstractos. Así mismo,
necesitan formar conexiones entre las representaciones y los símbolos usados
para denotar conceptos” (Hiebert y Carpenter, 1992, en Flores Peñafiel, 1994.
p.79)
De acuerdo con Flores Peñafiel (1994), la manera para poder lograr que los alumnos
entiendan matemáticas, no basta solo con una actitud pasiva del alumno sino que
debe tener una actitud activa.
También hace mención que la comunicación es muy importante para saber si el
alumno ha logrado la comprensión de los conceptos y principios matemáticos. Es
decir, la comprensión de un alumno se desarrolla al comunicar ideas en formación,
así como tratar de entender las explicaciones de sus compañeros.
Otro aspecto importante que señala para aprender matemáticas, es la reflexión sobre
lo que hacen, es decir, el profesor no debe quedarse con la simple satisfacción si sus
alumnos muestran entusiasmo al momento de realizar las actividades asignadas, sino
que debe propiciar y lograr la reflexión por parte de los alumnos.
Así los tres elementos acción, comunicación y reflexión son esenciales para entender
las matemáticas y al mismo tiempo los tres contribuyen en la formación de un sistema
de creencias y actitudes positivas con respecto a las matemáticas y lo que significa
aprender matemáticas.
Se pueden utilizar materiales concretos para desarrollar conceptos geométricos que
puedan rotarse y moverse, esto permite a los alumnos evitar la formación de
conceptos erróneos. También las representaciones concretas pueden ayudar a los
alumnos de nivel medio a tener una mejor comprensión, por ejemplo, la
representación de una expresión algebraica por medio de cuadrados y rectángulos.
Así los objetos concretos ayudan al maestro a crear un ambiente propicio de
aprendizaje, mientras que la manipulación de objetos para establecer relaciones
entre conceptos matemáticos es más fácil y menos amenazador para la mayoría de
los alumnos que el uso exclusivo de símbolos. Estas actividades permiten al alumno

20. 15
ver que las matemáticas no son sólo una serie de conocimientos generados por
expertos y transmitidos por el profesor para ser recibidos por los alumnos. Al
contrario, los alumnos pueden formarse la idea de que la matemática es un campo
dinámico en constante expresión.
Además “La participación de los niños en situaciones conflictivas tales como las
discusiones, propicia el desarrollo de habilidades de toma de perspectiva, generando
el crecimiento cognitivo” (Piaget 1932, en Flores Peñafiel, 1994, p.84).
Materiales Didácticos
El profesor desempeña un papel muy importante en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, los Principios y Estandares de Educación Matemática, NCTM, 2000
señala que, para que la enseñanza sea eficaz se requiere que los profesores
favorezcan y fomenten un ambiente propicio para aprender a través de las decisiones
que toman, las conversaciones que fomentan y el marco físico que crean. Las
acciones del profesor animan al alumno a pensar, preguntar, resolver problemas y
discutir sus ideas, estrategias y soluciones.
Se considera que una de las medidas para el mejoramiento del aprendizaje consiste
en los materiales didácticos, al respecto Ausubel, 1976 afirma que “Los factores más
importantes que influyen en el valor de aprendizaje de los materiales didácticos
radican en el grado en que estos materiales facilitan el aprendizaje significativo”.
Además las estrategias de aprendizaje que se llevan a cabo en el salón de clases
junto con el uso de materiales didácticos, apoyan la promoción de cambios
conceptuales para que el aprendizaje sea significativo.
Por lo tanto “Los objetivos de aprendizaje deben especificarse de tal manera que
para el estudiante resulten evidentes los conceptos o principios que deben
aprenderse, formulados en un lenguaje que facilite, por medio de ellos, el
reconocimiento de los vínculos que existen entre lo que los alumnos ya saben y los
conceptos o principios nuevos que deben aprender” (Ausubel, 1976, p.308).
Con base a la información antes mencionada, los materiales didácticos deben ser
elaborados de tal manera que los conceptos sean claros, las actividades sean
interesantes y de una manera flexible, esto con la intención de que el aprendizaje sea
agradable y significativo, ya que el uso de estos materiales ayuda a los alumnos a
construir y reafirmar los conceptos que se desea que aprendan.

21. 16
CAPITULO III. METODOLOGÍA DEL TRABAJO
El presente trabajo muestra un análisis realizado a un grupo de 25 alumnos de primer
semestre, en donde se recolectaron datos. Este trabajo se basa en una prueba sobre los
contenidos del tema de ecuaciones de segundo grado correspondiente a matemáticas I, y
se aplicó en la modalidad de pre test post test. El estudio se llevo a cabo en el Colegio de
Ciencias y Humanidades plantel Azcapotzalco.
Este trabajo fue realizado en dos fases: La primera fase consistió en la aplicación del
instrumento diagnóstico (un examen que considerara los contenidos de la unidad) al inicio
de la unidad, es decir, antes de aplicar el material didáctico. La segunda fase consistió en
la aplicación del instrumento diagnóstico una vez que los alumnos ya habían trabajado
con el material didáctico, es decir, al final de la unidad.
El instrumento diagnóstico tuvo como finalidad evaluar el desempeño de los alumnos a lo
largo de la unidad, así como conocer cuales son los conceptos que han sido significativos
en el aprendizaje de los alumnos.
3.1 Instrumentos desarrollados para realizar el trabajo
• Se elaboró un examen diagnóstico con un total de 15 reactivos (Anexo 1), con el
cual se pretende identificar las deficiencias en los aprendizajes, así como conocer
los antecedentes de los alumnos en cuanto al tema de ecuaciones de segundo
grado.
• Se elaboró un cuestionario para los profesores, en el cual se informa la manera en
como trabajan con los alumnos, el tema de ecuaciones de segundo grado (Anexo
4).
• Se elaboró un material didáctico sobre el tema de productos notables,
factorización y ecuaciones de segundo grado, con actividades de enseñanza
aprendizaje, con la finalidad de mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje.
• Se elaboró una descripción sobre el desarrollo de la enseñanza de los productos
notables, factorización y ecuaciones de segundo grado (material didáctico).
3.2 Descripción del instrumento diagnóstico
El instrumento diagnóstico (examen) (Anexo1), se elaboró a partir de revisar el programa
de estudios actualizado (PER) de la asignatura de Matemáticas I. De acuerdo a los temas
de la unidad 5 se desarrollaron las preguntas, así mismo se tomaron algunos temas de la
unidades anteriores, como ecuaciones lineales, funciones lineales, algunas operaciones
con polinomios. También se desarrollaron preguntas sobre el cálculo de áreas de
cuadrados y rectángulos (conocimientos previos), ya que se considera que son elementos
básicos para poder conducirlos a la obtención de las reglas de los productos notables.
También se elaboró una tabla de especificaciones (ver Tabla 1) donde se mencionan los
contenidos de aprendizajes, así como el nivel taxonómico de la pregunta, esto nos ayuda
a balancear los contenidos del examen. Tomado de la Taxonomía LMNSA (Matemáticas).

22. 17
Tabla 1. Tabla de Especificaciones
Contenidos de Aprendizajes Nivel Taxonómico Pregunta
Inciso de la
Pregunta
Cálculo de áreas
Representación algebraica de
áreas conocidas
Nivel de conocimiento
1
1 a)
1 b)
1 c)
1 d)
Desarrollo de Productos
Notables:
Factorización
Binomio al cuadrado
Binomios conjugados
Nivel algorítmico 2
2 a)
2 b)
2 c)
Número de soluciones de una
ecuación de segundo grado
Nivel de conocimiento 3 3
Resolución de ecuaciones
lineales y cuadráticas con una
incógnita, por métodos
algebraicos
Nivel algorítmico 4
4 a)
4 b)
4 c)
4 d)
4 e)
Operaciones con polinomios Nivel algorítmico
5
6
5
6
Concepto de factorización Nivel de comprensión 7 7
Métodos de solución de
ecuaciones cuadráticas:
Factorización de una ecuación
cuadrática de la forma:
02
=++ cbxx
Nivel algorítmico 8 8
Resolución de una ecuación
cuadrática de la forma:
02
=++ cbxax
Nivel algorítmico
9
10
9
10
Representación gráfica de una
función lineal.
Expresión de la forma:
bmxy +=
Nivel de comprensión 11 11
Representación de una función
cuadrática.
Expresión de la forma:
cbxaxy ++= 2
Nivel de comprensión 12 12

23. 18
Resolución de problemas que
dan lugar a ecuaciones
cuadráticas
Nivel de aplicación
13
14
15
13
14
15
Como se menciona anteriormente este instrumento diagnóstico se aplicó bajo la
modalidad pre test post test, es decir, el mismo instrumento diagnóstico fue aplicado a los
alumnos al inicio de la unidad, esto nos da una información muy valiosa ya que se puede
explorar los conocimientos que traen los alumnos, una vez sabiendo esto, el profesor
puede organizarse de una mejor manera para diseñar el ambiente de aprendizaje sobre
todo en los temas que se tienen deficiencia.
Al terminar el uso del material didáctico (Anexo 2), se les aplicó el mismo instrumento
diagnóstico, esto con la finalidad de saber cuales son los conceptos que han sido
significativos en el aprendizaje de los alumnos, y cuales tienen mayor dificultad. Se podrá
hacer una comparación con el antes y después de haber aplicado el instrumento
diagnóstico.
Los resultados del instrumento diagnóstico se analizarán como respuestas correctas y
respuestas incorrectas de manera individual. Así mismo se hará una comparación con el
antes y despues de haber aplicado los examenes, y por último un análisis estadístico
(prueba de hipótesis sobre diferencias de medias).
3.3 Propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización
y ecuaciones de segundo grado.
De acuerdo al programa de Matemáticas I, del Colegio de Ciencias y Humanidades
referente a la unidad 5, se presenta de la siguiente manera:
Matemáticas I. Unidad 5 Ecuaciones Cuadráticas.
Propósitos: Profundizar, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones
cuadráticas, en: el concepto mismo de ecuación, lo que significa que un número sea su
solución, en la relación que existe entre grado de la ecuación y el número de soluciones.
Mostrar el poder del Álgebra para encontrar tanto métodos alternos como generales de
resolución.
Temática Aprendizajes Estrategias
- Problemas introductorios
que dan lugar a ecuaciones
cuadráticas con una
incógnita.
En relación con la actividad de
resolución de problemas, el
alumno:
- Analizará las condiciones y
relaciones que se establecen en el
enunciado verbal de un problema y
expresará las relaciones entre lo
conocido y desconocido a través de
Con el propósito de que el
alumno parta de lo que conoce,
analice limitaciones de ello y
explore nuevos caminos que lo
lleven a que al final obtenga la
formula general y aprecie sus
ventajas, se recomienda la
siguiente secuencia:

24. 19
- Resolución de ecuaciones
cuadráticas de las formas:
02
=+ cax
dcax =+2
02
=+ bxax
( ) nmxa =+
2
( )( ) 0=++ dcxbax
- Resolución de la ecuación
cuadrática completa
02
=++ cbxax
a) Factorización
b) Método de Completar
Cuadrados
c) Fórmula General
- Análisis del discriminante
acb 42
−
a) El número i
b) Raíces dobles
c) Número y naturaleza de
las ecuaciones de la
ecuación
02
=++ cbxax
una ecuación algebraica de segundo
grado
- Reafirmara la estrategia general en
la resolución de problemas de reducir
un problema nuevo a otro que ya se
sabe como resolver.
- A partir del análisis del modelo
algebraico de un problema, valorará
el método algebraico de resolución
que resulta más conveniente.
Con relación a los conocimientos y
destrezas propios del Tema, el
alumno:
- Utilizará los métodos siguientes
para resolver una ecuación
cuadrática: factorización, completar
un trinomio cuadrado perfecto y uso
de la fórmula general.
- Transformará una ecuación
cuadrática a la forma adecuada para
su resolución por un método
específico.
- Identificará cuáles son los
parámetros a , b y c , aún en
ecuaciones “desordenadas” o
incompletas y los sustituirá
correctamente en la fórmula general.
- Efectuará las operaciones indicadas
al aplicar la fórmula general, de modo
que llegue a obtener las dos
soluciones correctas.
- Sabrá que cuando en el radical se
obtiene un número negativo, no
existe ningún número real que
satisfaga esta condición, por lo que
se requiere entrar al terreno de otro
tipo de números llamados complejos.
- Calculará en valor del discriminante
acb 42
− para conocer la naturaleza
y el número de soluciones distintas.
- Dadas las dos raíces de una
ecuación, construirá la ecuación de la
que provienen.
- Enfrentar al estudiante a la
solución de problemas que por su
contexto o redacción lo lleven,
con una alta probabilidad, a
plantear ecuaciones de las
siguientes formas:
dcax =+2
, ( ) nmx =±
2
y
( ) nmxa =±
2
de modo que con
la orientación del profesor
puedan resolverlas por inversión
de operaciones.
- En alguno de los ejercicios con
ecuaciones de la forma
( ) nmxa =±
2
efectuar el
binomio al cuadrado y solicitar al
estudiante que resuelva ahora la
ecuación así escrita.
- Plantear la revisión del método
corto para elevar un binomio al
cuadrado, así como la
factorización del factor común y
de un trinomio cuadrado perfecto.
- Una vez trabajado con este
método, apoyar al estudiante
para que con actividades de
generalización, llegue a la
fórmula general de solución de
una ecuación cuadrática.
- En cuanto a la solución de
ecuaciones cuadráticas por el
método de factorización, pueden
ponerse los ejercicios en los que
se tenga un producto de dos
binomios igualado a cero y
analizar cuándo esto es posible,
haciendo notar que en cada caso
la dificultad se reduce a resolver
una ecuación lineal sencilla.

25. 20
En relación con actividades de
generalización, el alumno:
- Comprenderá cómo se obtiene la
fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas.
Con base a la información antes mencionada, de acuerdo a mi criterio, considero agregar
los temas de productos notables así como la factorización, esto con la finalidad de tener
una mejor comprensión en la resolución de ecuaciones de segundo grado.
Por lo que la propuesta didáctica consiste en una forma diferente de enseñar los
productos notables bajo un enfoque geométrico, así como la factorización y la resolución
de ecuaciones de segundo grado. Además se pretende que el alumno logre desarrollar
habilidad en las estrategias que debe seguir para resolver problemas específicos.
Temática Aprendizajes Estrategias
- Productos notables
Caso I. ( )2
ba +
Caso II. ( )2
ba −
Caso III. ( )( )baba +−
- Factorización
Factorización de factores
comunes.
Factorización de
trinomios:
Trinomios de la forma
cbxx ++2
donde 0≠b ,
0≠c
Trinomios de la forma
cbxax ++2
donde 1≠a ,
0≠b y 0≠c
- Se pretende que el alumno tenga
una mejor comprensión de los
productos notables.
- Repasar algunas técnicas de
factorización, las cuales serán
empleadas en la resolución de
ecuaciones de segundo grado.
Estas expresiones facilitan la
resolución de diversos problemas:
- Por medio de un enfoque
geométrico ya que desempeñan un
papel muy importante en los
cálculos algebraicos.
- Cálculo de áreas de cuadrados y
rectángulos. Estas actividades
conducirán a los alumnos, a la
obtención de las reglas de los
productos notables.
- En cuanto al tema de
factorización, darles significado a
los algoritmos de las operaciones,
reforzando los métodos de
factorización,
- Se requiere suficientes
actividades, para que el alumno ya
no presente dificultades en el
proceso de resolución de
ecuaciones cuadráticas.
Por lo tanto de acuerdo a lo señalado arriba y tomando en cuenta las sugerencias del
programa de Matemáticas I, se elaboró el material didáctico (ver anexo 2). Más adelante
se describe el desarrollo de las actividades de enseñanza-aprendizaje.

26. 21
Evaluación
La evaluación es una parte fundamental del proceso enseñanza-aprendizaje. Se
considera como un proceso muy complejo, que abarca todo el acontecer del trabajo de un
grupo escolar.
La evaluación educativa “es una reflexión crítica sobre todo los factores que intervienen
en el proceso didáctico, a fin de determinar cuáles pueden ser, están siendo o han sido
los resultados del aprendizaje” (Carlos Rosales en Amengual, 1984, p.150).
La evaluación se debe hacer con base a los objetivos que se han establecido, es decir,
qué es lo que esperamos que los alumnos hayan aprendido y si alcanzaron estos
objetivos, para esto desde el inicio del curso se observa a los alumnos como trabajan
durante la clase, formular preguntas de los temas que se han visto, que los alumnos
planteen sus dudas, hacer ejercicios en clase, tareas, exámenes orales, exámenes
escritos, realicen mapas conceptuales, exposiciones, etc.
Por lo que la evaluación se hace durante todo el curso, es decir es un proceso continuo y
además reflexiva.
De acuerdo a Lafourcade, la evaluación constituye una actividad que permitirá al docente:
a) Saber cuáles objetivos fueron cumplidos a través del ciclo didáctico proyectado.
b) Intentar un análisis de las causas que pudieron haber motivado deficiencias en el
logro de las metas propuestas.
c) Adoptar una decisión en relación a la causal que concurrió al logro parcial de los
objetivos previstos.
d) Aprender de la experiencia y no incurrir, en el futuro, en los mismos errores.
Con base a la información antes mencionada se considera que la comprobación de los
resultados de los aprendizajes lleva implícita una evaluación de todos los factores que
contribuyeron a su realización.
Para la propuesta didáctica se sugieren tres tipos de evaluación, las cuales se mencionan
a continuación:
Evaluación Diagnóstica
Este tipo de evaluación se realiza previamente al desarrollo del proceso educativo,
cualquiera que éste sea.
Como resultado de la aplicación de instrumentos para la realización de esta interpretación
de la evaluación diagnóstica, pueden obtenerse dos tipos de resultados:
1. Los que manifiestan que los alumnos son cognitivamente competentes y pueden, en
consecuencia, ingresar sin ningún problema al curso correspondiente.
2. Aquellos otros en donde los alumnos demuestren no poseer las aptitudes cognitivas
mínimas necesarias para abordar con éxito el curso, para lo cual se suelen a su vez tomar
dos tipos de medidas:

27. 22
a) Modificar la programación impuesta en la medida que sea posible para que haya
una mejor adecuación entre capacidad cognitiva y el programa escolar.
b) Que los alumnos participen en algún curso preliminar de carácter propedéutico o
remedial, o que se les excluya del ingreso al ciclo educativo.
La segunda interpretación de la evaluación diagnóstica inicial, tiene importantes
implicaciones pedagógicas. Dicha interpretación parte de la idea clásica de Ausubel
(Ausubel, Novak y Hanesian, 1983) referida a la importancia de valorar los esquemas
cognitivos de los alumnos a favor del logro de aprendizajes significativos.
Hay que tomar en cuenta que los conocimientos previos que registren los alumnos al
inicio de un ciclo, pueden asumir las siguientes tres formas distintas:
1. Conocimientos previos alternativos (“mi-concepción”, Carretero, 1993).
2. Conocimientos previos desorganizados y/o parcialmente relacionados con los nuevos
que habrá de aprenderse.
3. Conocimientos previos pertinentes.
Los tres tipos de conocimiento previo exigen estrategias didácticas distintas, y de
cualquier manera es necesario que el profesor los identifique de alguna manera, para
ayudarle al alumno a construir sobre ellos o con ellos los contenidos escolares. Por lo
tanto diversas técnicas o procedimientos simples y complejos pueden utilizarse para
efectuar la evaluación diagnóstica.
Evaluación Formativa
Esta forma de evaluación se realiza conjuntamente con el proceso de enseñanza-
aprendizaje, por lo que debe considerarse, más que las otras, como un proceso regulador,
del proceso educativo.
De acuerdo a Morán Oviedo, 2008, la evaluación del aprendizaje se conceptualiza como
un proceso sistemático de valoración e interpretación de avances, logros y dificultades
que se producen en el aprendizaje de los alumnos. Teniendo como finalidad orientar y
mejorar su rendimiento, la labor del profesor en el proceso de enseñanza-aprendizaje, el
currículum y el contexto, para brindar ayuda y asegurar la formación integral de los
alumnos.
Características de la evaluación formativa:
• Aplicarse a través de la realización del propio proceso didáctico, a lo largo del
mismo.
• Su finalidad principal estriba en el perfeccionamiento del proceso didáctico en
un momento en que todavía puede producirse.
• Trata de detectar el nivel de aprovechamiento del alumno en cada habilidad del
aprendizaje y los tipos de errores que se dan en el mismo.
• Constituye una constatación permanente del nivel de aprendizaje de cada
alumno en cada bloque temático o tema de trabajo, y que se puede realizar
mediante distintos instrumentos o técnicas de evaluación.

28. 23
Además debe verse continuada mediante un adecuado tratamiento metodológico, que
consistirá fundamentalmente en la presentación al alumno de la oportunidad de elección
de vías alternativas de aprendizaje.
Por lo tanto se considera que la evaluación de los aprendizajes es un proceso de análisis
y reflexión de la práctica pedagógica, ya que permite al docente construir estrategias
adecuadas y a los alumnos reflexionar sobre sus aprendizajes, sus obstáculos, sus
errores, sus estrategias para aprender, así como autoevaluarse.
Evaluación Sumativa
La evaluación sumativa es la que se realiza al término de un proceso o ciclo educativo,
por lo que está centrada en el producto final.
Su finalidad consiste en certificar el grado en que las intenciones educativas han sido
alcanzadas. A través de la evaluación sumativa el docente puede tener la certeza si los
aprendizajes estipulados en las intenciones educativas fueron cumplidos según los
criterios y las condiciones expresadas en ellas. Pero especialmente este tipo de
evaluación, proporciona información que alcanzará conclusiones importantes sobre el
grado de éxito y eficacia de la experiencia educativa global.
Por su propia naturaleza, la evaluación sumativa atiende principalmente a los productos
del aprendizaje como consecuencia del proceso de enseñanza global.
3.4 Características de la población
Las edades de los alumnos de estas cuatro generaciones según datos estadísticos
(Ingreso Estudiantil al CCH, 2002-2005) se ubican mayoritariamente en el rango de 15
años, es decir, resalta un porcentaje importante de alumnos menores de 15 años, que se
ha ido incrementando en los últimos cuatro años.
Una tercera parte de los estudiantes entra al CCH con 14 años o menos, sumados a
quienes han completado los 15 años, es decir, los alumnos que ingresan al ciclo de
bachillerato son muy jóvenes, lo cual requiere de atención, de supervisión permanente por
parte de los padres en sus actividades escolares. Ya que estos se encuentran en una
etapa formativa tanto en lo referente a su desarrollo físico como emocional.
Así “La orientación hacia una educación interaccional, exige colaboración entre la escuela
y la familia, a fin de evitar consecuencias desequilibradoras para los educandos y
problemas de deficiencia y retrasos en el aprendizaje”, “El educador, por lo mismo deberá
estar atento al ritmo de aprendizaje de cada alumno y, en especial, a su edad psicológica
y afectiva”. (Fernandes, 1991, p.84).
Es necesario que se establezca una buena interacción alumno-profesor, libertad interior,
armonía afectiva, esto llevará a que los alumnos tengan un mejor aprovechamiento en su
aprendizaje.

29. 24
3.5 Desarrollo de la enseñanza
A continuación se describe el desarrollo de la enseñanza, la aplicación del material
didáctico (Anexo 2).
Cabe aclarar que la práctica docente esta influida por varios factores como menciona Díaz
Barriga Frida, entre los que destacan:
• La trayectoria de vida del profesor.
• El contexto socioeducativo en el que se desenvuelva.
• El proyecto currícular en el que se ubique.
• Las opciones pedagógicas que conozca o le exijan.
• Las condiciones de la Institución.
Se puede hacer mención que la variable principal es el profesor, así se deberá conocer
cuales son los conocimientos previos de los alumnos, que son capaces de aprender en un
momento dado, observar su estilo de aprendizaje, sus hábitos de trabajo, sus actitudes.
“Enseñar no es sólo proporcionar información, sino ayudar a aprender” (Maruny, 1989, en
Díaz Barriga, 2002, p.2).
A continuación, se muestra en la tabla 2, el desarrollo de las sesiones que se llevaron a
cabo.
Tabla 2. Desarrollo de las sesiones
No. de
clase
No. de Sesión Tema
Tiempo
(Horas)
Clase 1
Aplicación del examen
diagnóstico
2 horas
Clase 2 Sesión 1 Productos notables 2 horas
Clase 3 Sesión 1 Productos notables 1 hora
Clase 4
Sesión 1 y
Sesión 2
Productos notables y
factorización
2 horas
Clase 5 Sesión 2 factorización 2 horas
Clase 6
Sesión 3 y
Sesión 4
Problemas introductorios que
dan lugar a ecuaciones
cuadráticas
Resolución de ecuaciones
cuadráticas incompletas
2 horas
Clase 7 Sesión 5
Resolución de ecuaciones
cuadráticas completas
2 horas
Clase 8
Sesión 5 y
Sesión 6
Resolución de ecuaciones
cuadráticas completas
Análisis del discriminante
2 horas
Clase 9 Sesión 7 Proceso inverso 1 hora
Clase 10 Resolución de problemas 2 horas
Clase 11
Aplicación del examen
diagnóstico
2 horas

30. 25
Clase1. (2 Horas)
En esta sesión se inicia la aplicación de material didáctico (Anexo 2) que elaboré, a un
grupo formado por 25 alumnos, correspondiente a Matemáticas I del primer semestre del
Colegio de Ciencias y Humanidades.
Considero importante iniciar el tema, aplicando a los alumnos un examen diagnóstico
(instrumento diagnóstico) con lo cual se pretende saber con que conocimientos cuentan
los alumnos al momento de iniciar el tema, de tal forma que se conozcan los
antecedentes necesarios de los alumnos, así como poder identificar las deficiencias en los
aprendizajes.
Cabe aclarar que estas deficiencias en los aprendizajes se irán retomando y manejando
en diferentes niveles a lo largo del desarrollo del tema.
También se hizo mención en como se va a llevar a cabo la evaluación sobre este nuevo
tema ya que se le harían algunas modificaciones, por una parte el trabajo en equipo sería
más fuerte, por otra parte el trabajo individual disminuirá, habrá trabajo grupal.
Por lo tanto, para la evaluación final se tomará en cuenta: trabajo en equipo, tareas
individuales, trabajo extra-clase y un examen.
Clase 2. (2 Horas)
Sesión 1 Productos notables (ver Anexo 2)
Objetivo: En esta sección 1 se pretende que los alumnos tengan una mejor comprensión
de los productos notables por medio de un enfoque geométrico ya que desempeñan un
papel muy importante en los cálculos algebraicos, además el manejo de estas
expresiones facilita la resolución de diversos problemas.
Desarrollo: Inicié el tema con el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, el cual de
alguna manera los alumnos están familiarizados con el tema, así que se hizo una revisión
acerca del área de un cuadrado y de un rectángulo (Actividad 1).
Se mostraron varias figuras (Actividad 2) (cuadrados y rectángulos) con esta actividad los
alumnos encontraron el área de cada figura y posteriormente encontraron el área total de
todas las figuras. Cabe aclarar que las dimensiones de las figuras están indicadas con
números.
Luego se mostraron figuras (Actividad 3) (cuadrados y rectángulos) donde sus
dimensiones estaban combinadas, es decir se indican con números y letras, de igual
manera habría que encontrar las áreas por separado y luego el área total de las figuras.
Posteriormente se realizaron las actividades 4 y 5 modificando el ejercicio anterior, es
decir, ahora dado un cuadrado al cual se le incrementa la longitud del lado, los alumnos
calcularon el área del nuevo cuadrado.
Cabe aclarar que estas actividades me conducirán a la obtención de las reglas de los
productos notables.
Por último se trabajaron las actividades 6 y 7 (ver sección 1)

31. 26
Las actividades mencionadas anteriormente se trabajaron primero de manera individual,
luego de manera grupal y posteriormente algunos alumnos pasaron al pizarrón a
resolverlo y entre todos se verificaron las respuestas. Algunos alumnos no tuvieron claro
cómo calcular el área puesto que se confundieron con el perímetro. Así durante el
transcurso de las actividades se fueron aclarando y resolviendo dudas expuestas por los
alumnos.
Se les dejó la siguiente tarea: De la actividad 3, hacer los ejercicios b) y c), y los ejercicios
en los cuales primero tienen que desarrollar los cuadrados al binomio y luego completar el
desarrollo de los cuadrados al binomio.
Clase 3. (1 Hora)
Comencé la clase revisando y recogiendo las tareas y pregunte a los alumnos si había
dudas de los temas que se trabajaron la clase anterior. Mientras revisaba la tarea, los
alumnos realizaron las actividades 8 y 9. Aclare algunas dudas y quienes estaban mal en
su tarea les dije que la volvieran a hacer y la entregaran para la siguiente clase.
Las actividades se hicieron por parejas, una vez terminadas las actividades se
intercambiaron el material para revisarlas y a un lado tenían que poner la respuesta
correcta en caso de que no la tuvieran, al final contaban el número de aciertos y sobre
eso se les ponía una calificación, para esto los alumnos pasaron al pizarrón.
Esta estrategia me pareció muy interesante porque los mismos alumnos se corregían
entre si y además pudieron observar sus propios errores. El profesor simplemente los
orientaba.
Por último se les dejó la tarea, la actividad 10, y algunos ejercicios donde tenían que
elaborar el producto de binomios conjugados y otros ejercicios sobre el proceso inverso. Y
como tarea extraclase se les dejo que elaboraran un resumen de la sección 1.
Clase 4. (2 Horas)
En la primera hora de clase comencé revisando la tarea, igualmente se intercambiaron el
material para que ellos mismos se calificaran, los alumnos pasaron al pizarrón a resolver
los ejercicios, tuvieron algunas dudas en el desarrollo de la expresión ( )( )baba +−
(Actividad 10) al momento de calcular el área.
En los ejercicios sobre el producto de binomios conjugados los alumnos tuvieron algunas
fallas, éstas fueron al momento de aplicar las leyes de los exponentes en la multiplicación,
por lo que les hice énfasis sobre esto. Pero en general los alumnos resolvieron bien la
tarea.
En la otra hora de clase, se comenzó con el tema factorización (1 hora)
Sesión 2. Factorización (ver Anexo 2)
Objetivo: Repasar algunas técnicas de factorización, así como darle significado a los
algoritmos de las operaciones y reforzar los métodos de factorización, los cuales serán
empleados más adelante en la resolución de ecuaciones de segundo grado.

32. 27
Desarrollo: Con la actividad 1 se pretende inducir a los alumnos al teorema fundamental
de la aritmética.
Para esto se formaron 5 equipos en el grupo y los alumnos realizaron las actividades 1 y 2
después de cierto tiempo cada equipo entregó su trabajo en hojas. Al revisarlas sucedió
que tuvieron mal el desarrollo de la factorización completa, traté de que ellos mismos
vieran sus errores. Se hizo lo siguiente:
¿Cómo podemos descomponer el 36? Sus respuestas fueron variadas algunos dijeron
que 4x9, 18x2, 6x6, 3x12, 1x36, luego tome cada combinación que me dijeron por
ejemplo: les pregunte ¿el 4 como lo podemos descomponer? A lo que contestaron 2x2,
¿el 9 como lo podemos descomponer? Y así sucesivamente se hizo con las diferentes
representaciones del número 36, hasta que se llego a la factorización completa.
Y así, después de estarlos indagando, llegaron a la conclusión de que la factorización
completa se representa como un producto de factores primos.
Con la actividad 2 no hubo problema. Posteriormente realizaron la actividad 3, esta
actividad se trabajó por parejas y de igual manera se intercambiaron el material para
revisarlo y calificarlo según las respuestas correctas e incorrectas, para esto los alumnos
pasaron al pizarrón. Todo el tiempo les aclare sus dudas.
Por último se les dejó la tarea que realizaran las actividades 4, 5 y 6. La actividad 6 se les
pidió para entregar.
Clase 5. (2 horas)
De igual manera comencé la clase preguntando si había dudas del tema anterior, luego
pase a revisar la tarea, mientras los alumnos por parejas trabajaron las actividades 7 y 8.
Después de cierto tiempo otra vez intercambiaron su material tratando de que no fueran
los mismos compañeros que habían calificado la vez anterior. Y así se revisaron las
actividades tanto de la tarea como las que se trabajaron en clase. Aclarando que de un
lado se pondría la respuesta correcta en caso de que la hubieran contestado mal.
Los alumnos daban sus respuestas y entre todos se verificaba si estaba bien o mal y por
qué. Algunos alumnos tuvieron dudas, cuando se les preguntaba en la actividad 4 sobre
qué podían concluir con los signos. Con la actividad 8 los alumnos se dieron cuenta que
no todo trinomio es factorizable en el conjunto de los enteros, y así con la participación de
ellos y la orientación del profesor se llego a la conclusión de que para estar seguro de lo
anterior utilizamos la expresión acb 42
− para determinar si es cuadrado perfecto, siendo
esto último es posible aplicar esta regla.
De manera general puedo decir que los alumnos tuvieron una actitud positiva al realizar
las actividades.
Por último se les dejó la tarea, que desarrollaran la actividad 9 y también se les dejó tarea
extraclase que hicieran un resumen de la sección 2 del tema de factorización. Se les pidió
entregar estas tareas.

33. 28
Clase 6. (2 Horas)
Sesión 3 Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una
incógnita (ver Anexo 2)
La primera hora de la clase, la comencé al igual que las anteriores preguntando si había
dudas del tema anterior y luego recogí las tareas. Hubieron algunas dudas sobre cómo
factorizar algunas expresiones de la actividad 9, las cuales fueron aclaradas.
Luego se les pidió a unos alumnos que leyeran en voz alta unos problemas, los cuales
dieron lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita, en estos problemas sólo se
plantearon las ecuaciones sin resolverlas. El problema 1 dio como resultado una
ecuación cuadrática incompleta de la forma 02
=+ cax , el problema 2 y 3 dieron como
resultado ecuaciones cuadráticas completas.
Les comenté a los alumnos que existen métodos para solucionar o resolver estas
ecuaciones las cuales abordaríamos más adelante. Así que la siguiente hora de clase
comenzamos a estudiar las ecuaciones cuadráticas incompletas.
Sesión 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas (ver Anexo2)
Objetivo: Reconocer las ecuaciones cuadráticas incompletas, transformar una ecuación
cuadrática de forma particular a la forma adecuada para su resolución por un método
específico.
Desarrollo: Se trabajó por parejas las actividades 1, 2 y 3, mientras pasaba por las filas
para observar como trabajaban y también para resolver las dudas que se les presentaban,
aunque hice énfasis en que en el material se les plantearon algunos ejemplos para
resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.
Luego los alumnos empezaron a pasar al pizarrón para resolver las actividades, esto con
la finalidad de que ellos mismos pudieran ver sus resultados. Se hicieron comentarios
sobre este tipo de ecuaciones cuadráticas. Con la actividad 3 hubo algo de confusión
sobre todo en la manera en cómo se resuelve este tipo de ecuación, aunque solo se
trabajaron 2 ejercicios. Puedo mencionar de manera general que todavía presentaron
dificultades para hacer los despejes.
Por último se les dejó la tarea, la actividad 4.
Clase 7 (2 horas)
Sesión 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02
=++ cbxax (ver
Anexo2)
Objetivo: Utilizar diferentes métodos como son la factorización, completando cuadrados y
la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática completa.
Desarrollo: Comencé la clase una vez más preguntando dudas de la tarea y se las recogí.
Algunos alumnos me comentaron que si les podía hacer un resumen de las ecuaciones
cuadráticas incompletas, ya que aunque tenían el material según ellos les hacía falta que
yo explicará un poco más, yo creo que esto pasó porque desde que se inicio con el
material didáctico trate de no hacer mucho uso del pizarrón y la mayoría de las veces

34. 29
ellos lo utilizaban y yo simplemente los orientaba. Pero me comentaron que les gustaba
más que yo les explicará. Por lo tanto, con la participación de los alumnos y el profesor se
hizo en el pizarrón un breve resumen de las ecuaciones cuadráticas incompletas.
Después se pusieron a trabajar con las actividades 1, 2 esto se realizó en parejas,
mientras yo pasaba por las filas para revisar lo que ellos hacían y también para resolver
sus dudas. Después de un rato comenzamos a revisar el trabajo, para esto pasaron al
pizarrón al azar. En las actividades 1 y 2 no se tuvieron problemas. La actividad 3 como
eran ejercicios similares se les dejó de tarea para que reforzarán lo que se había visto.
Luego dada la ecuación 0782
=−+ xx se les pidió que la factorizaran y después de un
rato los alumnos observaron que no se podía factorizar, así entonces les comente que
había que utilizar otro método para poder factorizarla, por lo que se emplearía el método
de completar cuadrados. Así que se pusieron a trabajar con las actividades 4, 5, 6 y 7.
En esta sección ya no se intercambiaron el material, ahora yo pasaba a firmar su trabajo
conforme iban terminando, cabe aclarar que algunos alumnos no se apuraron a los cuales
no les firmaba. Una vez que termine de pasar por las filas entonces empezamos a revisar
el trabajo y con la participación de los alumnos se verificaron sus propias respuestas.
Algunos alumnos se confundieron cuando se hace el cambio de notación por ejemplo, la
ecuación cuadrática 022
=−− xx en lugar de escribir x , se escribe otra letra y además
de manera desordenada. 869 2
+−= aa .
Por último se les dejó la tarea, la actividad 8, que consistía en resolver ecuaciones
cuadráticas, empleando el método de completando cuadrados. Y como tarea extraclase
hacer un resumen de lo que se vio en clase.
Clase 8. (2 Horas)
Esta vez comencé haciendo preguntas sobre lo que ya habíamos visto en clase. Luego
recogí las tareas y por parejas realizaron las actividades 9 y 10.
Luego de un rato se revisaron las actividades, en general no hubo problemas graves con
estos ejercicios, algunos alumnos se confundieron con los signos al momento de utilizar la
fórmula general. Para esto pasaron algunos alumnos al pizarrón, luego a otros alumnos
se le preguntaba si estaba correcto o no y por qué. Y así sucesivamente. De tal manera
que todo el grupo participó.
La actividad 11 consistía en ejercicios similares a las actividades anteriores por lo que se
les dejó de tarea, esto con la finalidad de reforzar el tema que se había visto en clase.
Posteriormente se comenzó con la Sesión 6. Análisis del discriminante acb 42
− (ver
Anexo 2)
Aquí se les pidió a los alumnos que leyeran con calma y resolvieran la actividad 1 de
manera individual.
Luego comenzaron las preguntas hacia los alumnos, ¿un número negativo tiene raíz
cuadrada?, si esto pasa ¿cómo se resuelve el problema?

35. 30
Así los alumnos se dieron cuenta que para que la raíz cuadrada de un número negativo
tenga significado, se introduce una unidad llamada, unidad imaginaria denotada por i .
Cabe aclarar que sólo se hizo mención de los números complejos de una manera breve
ya que así lo menciona el programa de estudios de matemáticas I. Se pusieron algunos
ejemplos de los números complejos.
Después por parejas trabajaron las actividades 2 y 3, para la actividad 3 se les pidió que
llevaran hojas milimétricas, esto con la finalidad de que tuvieran una mejor precisión al
momento de dibujar las gráficas.
Se revisaron las actividades, de manera general no hubo problemas. En la actividad 3 se
graficaron las ecuaciones cuadráticas de la actividad 2, para esto pasaron al pizarrón.
Luego pregunté a los alumnos ¿qué observan en las gráficas?, ¿en qué puntos la gráfica
corta al eje x?, a lo que los alumnos observaron y contestaron.
Por último se quedaron de tarea las actividades 4 y 5. Y como tarea extraclase se les dejó
hacer un resumen de las ecuaciones cuadráticas.
Clase 9. (1 hora)
Sesión 7. Proceso Inverso (ver Anexo 2)
Se inicio la clase revisando la tarea y resolviendo dudas, algunos alumnos tuvieron dudas
al momento de hacer el despeje y como consecuencia de ello, graficaron mal, así que la
duda fue aclarada. Y después de estar indagando a los alumnos, llegaron a la conclusión
de que una ecuación de segundo grado representa gráficamente una parábola.
Posteriormente se realizó la actividad 1 de la sección 7, el proceso inverso, se les
preguntó: ¿Se podrá construir la ecuación cuadrática dada las dos raíces?, si es posible,
¿cómo se haría esto? Los alumnos dieron varias respuestas algunas de ellas fueron: las
dos raíces que nos dan se debe sustituir en la ecuación, por lo que les pregunte ¿en cuál
ecuación, si no hay? Acuérdense que se está buscando la ecuación cuadrática. Otros
dijeron que se debía formar dos binomios, pero ¿cómo los escribimos? Se mencionaron
diferentes formas no muy correctas, hasta que un alumno dijo como se tiene 41 =x
52 −=x se supone que ya esta despejada la x, entonces se escribe así ( )( )54 +− xx ,
luego otro alumno dijo: ah! ahora se multiplican para obtener la ecuación cuadrática
buscada. Así que después de estar indagando a los alumnos se llego a la ecuación
cuadrática buscada 0202
=−+ xx y así sucesivamente en forma grupal se trabajaron los
otros ejercicios similares a este.
Por último se les dejó de tarea que estudiaran todo el material ya que lo habíamos
terminado, y que para la siguiente clase se haría una breve revisión de todo lo que se
había visto. Y los que tuvieran tareas pendientes las entregaran para la siguiente clase.
Clase 10. (2 Horas)
Al comenzar la clase pregunté a los alumnos que si tenían dudas de algún tema
especifico. Había dudas sobre las gráficas anteriores por lo que se trabajaron algunos
ejercicios similares.

36. 31
Luego se les pidió a los alumnos que se regresaran a la sección 3 del material (ver Anexo
2) para que resolvieran los problemas que ahí se les habían planteado, por el método que
ellos quisieran.
Posteriormente se les dejaron unos problemas que originaban ecuaciones de segundo
grado, los cuales los alumnos resolvieron.
Por último se les dejó de tarea que estudiaran para el examen final.
Clase 11. (2 Horas)
Esta fue la última clase con los alumnos, así que después de haber trabajado con el
material se les aplicó el examen (instrumento diagnóstico) este fue el mismo que se les
aplicó al inicio de la unidad.
De manera general hubo disposición por parte de los alumnos para llevar a cabo la
aplicación del material didáctico.
También se hicieron cortes al final de cada sesión, después de cierto número de sesiones
y al término del curso, de esta manera se llevo a cabo un registro sobre las actividades y
tareas realizadas (ver anexo 3). Esto se hizo con la finalidad de que los alumnos tuvieran
un control sobre su propio desempeño durante el curso. Se hicieron comentarios, algunas
observaciones y así hubo alumnos que tenían que trabajar más en clase.
Es importante hacerles ver que también ellos son responsables de su aprendizaje, así que
cuando se termino de aplicar el material, se les pidió a los alumnos que se autoevaluaran,
es un ejercicio interesante porque esto lleva a los alumnos a que hagan una reflexión
sobre su propio aprendizaje, si cumplieron o no con el trabajo en clase.
Además con la realización de este trabajo los alumnos se percataron de lo importante que
es el tema de factorización, algunos alumnos comentaron que este tema fue bueno y
además motivante, por ejemplo primero se trabajaron con ejercicios fáciles de factorizar,
poco a poco se les fue aumentando el grado de dificultad, hasta llegar con ejercicios
donde la factorización ya no es inmediata por lo que algunos alumnos comentaron “no se
puede factorizar”. Este tipo de ejercicios llevo a los alumnos a tener una discusión grupal
teniendo como objetivo encontrar la factorización, considero que este tipo de ejercicios es
una manera de que el alumno comprenda el método de completar cuadrados en la
resolución de una ecuación cuadrática.
Cabe mencionar que durante el transcurso de las clases, se notó que algunos alumnos
todavía presentan problemas con el manejo de la aritmética, así como hacer despejes, la
manipulación de símbolos. Sin embargo se trató de hacer énfasis en estos temas.
El estar en el salón de clases frente a los alumnos y al observarlos se obtiene una gran
información con respecto a su comportamiento, a sus actitudes, la manera en que
desarrollan las actividades asignadas, la manera en como se relacionan con sus
compañeros y la forma que tienen de comunicarse, esto permite conocerlos un poco más,
así que fue una experiencia agradable tanto para mí como para los alumnos.

37. 32
CAPITULO IV. ANÁLISIS Y RESULTADOS
4.1 Primera aplicación del instrumento
En esta primera fase se aplicó el instrumento diagnóstico (examen) a un total de 25
alumnos, antes de iniciar la unidad correspondiente al tema de ecuaciones de segundo
grado, bajo la modalidad de PRE TEST, en el CCH Azcapotzalco.
Resultados del instrumento diagnóstico (examen) aplicado al inicio del tema de
ecuaciones de segundo grado, en el CCH Azcapotzalco.
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
1 6.2 6 2 11 6 16 3.1 21 5
2 1.6 7 1.6 12 5 17 2.9 22 7.2
3 2.7 8 5.2 13 4.5 18 5 23 2
4 5.8 9 1.8 14 7.2 19 5.6 24 5
5 5 10 5 15 2.9 20 2.5 25 5.2
Pre Test
No. de
Pregunta
Respuesta
Correcta
Respuesta
Incorrecta
Resp. %
Correcta
Resp. %
Incorrecta
P1.A 16 9 64% 36%
P1.B 18 7 72% 28%
P1.C 14 11 56% 44%
P1.D 12 13 48% 52%
P2.A 5 20 20% 80%
P2.B 4 21 16% 84%
P2.C 10 15 40% 60%
P3 13 12 52% 48%
P4.A 24 1 96% 4%
P4.B 19 6 76% 24%
P4.C 5 20 20% 80%
P4.D 19 6 76% 24%
P4.E 0 25 0% 100%
P5 11 14 44% 56%
P6 10 15 40% 60%
P7 9 16 36% 64%
P8 8 17 32% 68%
P9 1 24 4% 96%
P10 0 25 0% 100%
P11 19 6 76% 24%
P12 13 12 52% 48%
P13 16 9 64% 36%
P14 17 8 68% 32%
P15 0 25 0% 100%
Total 263 337 44% 56%

38. 33
Gráfica 1. Respuestas correctas e incorrectas en la primera aplicación del instrumento.
Gráfica 1.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Resp. Correcta 263
Resp. Incorrecta 337
1
Se puede observar que en esta primera aplicación del instrumento diagnóstico, los
resultados no fueron muy favorables, ya que como lo muestra la gráfica el porcentaje de
respuestas correctas fue del 44% mientras que el porcentaje de respuestas incorrectas
fue del 56%, por lo que más de la mitad del grupo contestó incorrectamente.
4.2 Segunda aplicación del instrumento
En esta segunda fase se aplicó a los 25 alumnos el mismo instrumento diagnóstico
(examen), después de haber visto el tema de ecuaciones de segundo grado. Bajo la
modalidad POST TEST, en el CCH Azcapotzalco.
Resultados del instrumento diagnóstico (examen) aplicado después de haber trabajado
con el material didáctico, el tema de ecuaciones de segundo grado.
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
1 9.5 6 5.6 11 9.1 16 5.6 21 6.6
2 5.2 7 2.5 12 7.2 17 8.5 22 9.5
3 6.2 8 7.2 13 6.8 18 9.5 23 5.4
4 8.9 9 6.4 14 9.5 19 7.9 24 7.7
5 8.3 10 8.3 15 7.9 20 4.7 25 8.1

39. 34
Post Test
Preguntas
Respuesta
Correcta
Respuesta
Incorrecta
Resp. %
Correcta
Resp. %
Incorrecta
P1.A 25 0 100% 0%
P1.B 25 0 100% 0%
P1.C 24 1 96% 4%
P1.D 25 0 100% 0%
P2.A 19 6 76% 24%
P2.B 18 7 72% 28%
P2.C 21 4 84% 16%
P3 22 3 88% 12%
P4.A 25 0 100% 0%
P4.B 20 5 80% 20%
P4.C 16 9 64% 36%
P4.D 21 4 84% 16%
P4.E 6 19 24% 76%
P5 18 7 72% 28%
P6 18 7 72% 28%
P7 19 6 76% 24%
P8 18 7 72% 28%
P9 18 7 72% 28%
P10 11 14 44% 56%
P11 23 2 92% 8%
P12 20 5 80% 20%
P13 18 7 72% 28%
P14 16 9 64% 36%
P15 1 24 4% 96%
Total 447 153 74.5% 25.5%
Gráfica 2. Respuestas correctas e incorrectas en la segunda aplicación del instrumento.
Gráfica 2.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Resp. Correcta 447
Resp. Incorrecta 153
1

40. 35
En la gráfica 2, se puede ver claramente que en la segunda aplicación del instrumento
diagnóstico (examen) fue favorable, ya que el número de respuestas correctas aumento,
así del 44% subio al 74.5%, se concluye que más de la mitad de los alumnos contestaron
correctamente.
Se presenta la siguiente tabla 1, que contiene los resultados obtenidos del instrumento
diagnóstico (examen) aplicado a los alumnos bajo la modalidad pre test post test.
Tabla 1
No.de
Alumno
Pre Test Post Test
1 6.2 9.5
2 1.6 5.2
3 2.7 6.2
4 5.8 8.9
5 5.0 8.3
6 2.0 5.6
7 1.6 2.5
8 5.2 7.2
9 1.8 6.4
10 5.0 8.3
11 6.0 9.1
12 5.0 7.2
13 4.5 6.8
14 7.2 9.5
15 2.9 7.9
16 3.1 5.6
17 2.9 8.5
18 5.0 9.5
19 5.6 7.9
20 2.5 4.7
21 5.0 6.6
22 7.2 9.5
23 2.0 5.4
24 5.0 7.7
25 5.2 8.1
Promedio 4.2 7.3
Como se puede observar en los resultados obtenidos, una vez que los alumnos trabajaron
con el material didáctico, se concluye lo siguiente: Los resultados fueron mejores, se tuvo
un avance en el promedio de las calificaciones, en la aplicación del pre test se obtuvo un
promedio de 4.2, mientras que en la aplicación del post test el promedio del grupo fue de
7.3
En la siguiente gráfica 3, se puede visualizar de una manera más clara, el avance que
tuvieron los alumnos sobre su rendimiento.

41. 36
Gráfica 3.
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Pre Test
Post Test
En la gráfica 3 se muestra los resultados de las calificaciones del instrumento diagnóstico
bajo la modalidad pre test post test, se puede ver claramente el avance que tuvieron los
alumnos de manera individual.
Así por ejemplo el alumno No. 3 tuvo en la primera aplicación una calificación de 2.7
mientras que en los resultados en el post test obtuvo 6.2 sin embargo revisando el registro
de las actividades de evaluación y las tareas realizadas (ver anexo 3), se puede deducir
que su desempeño en el salón de clases fue mejorando y esto se ve reflejado en sus
calificaciones.
Así de manera general se puede concluir que los resultados de los alumnos fueron
satisfactorios.

42. 37
4.3 Comparación con los resultados obtenidos en el Pre test Post test
Los resultados del instrumento diagnóstico se analizaron pregunta por pregunta
representándolas por medio de gráficas, así mismo se hizo una comparación con la
aplicación de Pre test Post test.
Las preguntas del instrumento diagnóstico se pueden consultar en el anexo 1.
Gráficas de la pregunta 1:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas Resp. Incorrectas
A 16 9
B 18 7
C 14 11
D 12 13
1 2
En la gráfica de la pregunta 1, en el Pre test se puede observar que en la pregunta 1A
solo el 64% de los alumnos contestaron correctamente, la pregunta 1B el 72% contestó
correctamente, la pregunta 1C el 56% contestó correctamente, mientras que con la
pregunta 1D el 48% contestó correctamente, lo cual demuestra que no tienen un concepto
claro del área.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas Resp. Incorrectas
A 25 0
B 25 0
C 24 1
D 25 0
1 2
Sin embargo en la gráfica del Post test se puede observar que hubo un alto incremento en
el porcentaje, las preguntas 1A, 1B y 1D el 100% de los alumnos la contestaron
correctamente, mientras que la pregunta 1C el 96%. Por lo tanto, después de haber
estudiado el material didáctico, los alumnos demostraron que tienen una mejor
comprensión del tema.

43. 38
Gráficas de la pregunta 2:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas Resp. Incorrectas
A 5 20
B 4 21
C 10 15
1 2
En los resultados de la gráfica del Pre test, se puede observar que la pregunta 2A el 20%
de los alumnos contestó correctamente, en la pregunta 2B sólo el 16% y en la pregunta
2C el 40%.
Por lo que la mayoría de los alumnos presentó dificultades en el desarrollo de los
productos notables.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas Resp. Incorrectas
A 19 6
B 18 7
C 21 4
1 2
En la gráfica del Post test los resultados obtenidos muestran un avance, ya que en la
pregunta 2A el 76% contestó correctamente, en la pregunta 2B el 72% y en la pregunta
2C el 84%. Por lo que se puede concluir que los alumnos tuvieron una mejor comprensión
en el desarrollo de los productos notables, después de haber trabajado con el material
didáctico.

44. 39
Gráficas de la pregunta 3:
PreTest
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 13
Resp. Incorrectas 12
1
En la gráfica del Pre test se puede observar que casi la mitad de los alumnos, 48% se
confunden, cuando se les pregunta cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo
grado, además tenían que justificar su respuesta.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 22
Resp. Incorrectas 3
1
Sin embargo en la gráfica del Post test los resultados obtenidos muestran un avance, es
decir el 88% de los alumnos contestó bien. Por lo tanto la mayoría de los alumnos saben
identificar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

45. 40
Gráficas de la pregunta 4:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas Resp. Incorrectas
A 24 1
B 19 6
C 5 20
D 19 6
E 0 25
1 2
En las preguntas 4A y 4D se tenía que encontrar la solución de ecuaciones lineales con
una incógnita, por los resultados obtenidos se puede deducir que la mayoría de los
alumnos no presentan mayor dificultad para resolver este tipo de ejercicios.
En la gráfica del Pre test la pregunta 4A el 96% de la población contestó correctamente,
mientras que en la gráfica del Post test los resultados fueron del 100%; en la pregunta 4D
el 76% había contestado bien y se incremento al 84%.
En las preguntas 4B, 4C y 4E se tenía que encontrar las soluciones de ecuaciones
cuadráticas sencillas. Sin embargo en la pregunta 4B no hubo gran diferencia en ambas
aplicaciones, ya que la mayoría de los alumnos demuestran que tienen una comprensión
en el desarrollo algebraico.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas Resp. Incorrectas
A 25 0
B 20 5
C 16 9
D 21 4
E 6 19
1 2
En la pregunta 4C en la gráfica del Pre test se muestra que la mayoría de los alumnos
tuvieron dificultades al resolver este tipo de ecuación cuadrática, ya que las soluciones de
esta ecuación no daban números reales, por lo que se tenía que hacer uso de los
números complejos.

46. 41
Sin embargo en los resultados de la gráfica del Post test se tiene un alto incremento en el
porcentaje del 20% al 64% de respuestas correctas del total de la población, por lo tanto,
los alumnos mostraron que tienen una mejor comprensión del tema.
En los resultados de la pregunta 4E en ambas gráficas se puede observar que se
mantuvo casi igual, antes y después de la aplicación de los exámenes, se puede concluir
que los alumnos siguen teniendo dificultad al realizar este tipo de desarrollo algebraico.
Gráficas de la pregunta 5:
PreTest
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 11
Resp. Incorrectas 14
1
En la gráfica del Pre test se puede analizar que en la pregunta 5 la mayoría de los
alumnos presentó dificultades para realizar operaciones con polinomios, por las
respuestas que dieron los alumnos hay confusión con las leyes de los exponentes a pesar
que este tema se ve en la primera unidad de matemáticas I.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 18
Resp. Incorrectas 7
1
Los resultados en la gráfica del Post test no son lo que se esperaba, se tiene un
incremento en los porcentajes del 44% al 72%, es aceptable pero no suficiente, por lo que
hay que hacer énfasis en este tipo de ejercicios.

47. 42
Gráficas de la pregunta 6:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 10
Resp. Incorrectas 15
1
En la gráfica del Pre test la mayoría de los alumnos contestaron incorrectamente, a pesar
de que era una de las preguntas más fáciles, se tenía que realizar el producto de un
polinomio, tanto en la pregunta anterior como en esta se puede concluir que los alumnos
presentan dificultades con la aritmética.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 18
Resp. Incorrectas 7
1
En la gráfica del Post test se muestra un incremento en el porcentaje de las respuestas
correctas del 40% al 72%. Aunque se presenta un aumento en las respuestas correctas,
es importante hacer énfasis en el desarrollo de estas expresiones, ya que se esperaba
que el 100% de los alumnos contestaran bien.

48. 43
Gráficas de la pregunta 7:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 9
Resp. Incorrectas 16
1
En la pregunta 7 de la gráfica en el Pre test el 64% de los alumnos contestaron
incorrectamente por lo que es importante hacer énfasis sobre lo que significa factorizar, ya
que es un tema básico en matemáticas I y matemáticas III.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 19
Resp. Incorrectas 6
1
En la gráfica del Post test se tuvo un incremento alto, el 76% de la población contestó
correctamente. La respuesta que dieron los alumnos en esta pregunta demuestra que la
mayoría tiene una mejor comprensión del tema. Ya que con sus propias palabras
describieron lo que para ellos significa factorizar.

49. 44
Gráficas de la pregunta 8:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 8
Resp. Incorrectas 17
1
En la pregunta 8, se les pidió factorizar una ecuación de segundo grado, como se puede
observar en la gráfica del Pre test la mayoría de los alumnos la contestaron
incorrectamente, el 68% y sólo el 32% contestaron bien.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 18
Resp. Incorrectas 7
1
En la gráfica del Post test se tiene un alto porcentaje de respuestas correctas, el 72% de
los alumnos contestaron correctamente, por lo que se demuestra que la mayoría no
presenta dificultad.

50. 45
Gráficas de la pregunta 9:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 1
Resp. Incorrectas 24
1
En la pregunta 9 se tenía que encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática,
utilizando el método que ellos quisieran. Sin embargo solamente un alumno contestó
correctamente, mientras que la mayoría tuvo dificultad para resolverla.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 18
Resp. Incorrectas 7
1
En la gráfica del Post test los resultados muestran que el 72% de los alumnos contestaron
correctamente, por lo que se puede deducir, que la gran mayoría ya no tuvo dificultad en
el desarrollo algebraico para la resolución de este tipo de ecuaciones.

51. 46
Gráficas de la pregunta 10:
PreTest
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 0
Resp. Incorrectas 25
1
En esta pregunta el 100% contestó incorrectamente como lo demuestra la gráfica del Pre
test. A diferencia de la pregunta anterior, se les aumentó el grado de dificultad, se tenía
que encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado, la cual se les dió en
forma desordenada y además con diferente notación.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 11
Resp. Incorrectas 14
1
En la gráfica del Post test se esperaba que hubiera un alto porcentaje de respuestas
correctas, sin embargo los resultados no fueron favorables, ya que menos de la mitad de
los alumnos el 44% contestaron correctamente, por lo que se puede concluir que todavía
presentan dificultades para resolver este tipo de ecuaciones, por lo que hay que hacer
énfasis en los parámetros de la ecuación y en la manipulación de símbolos.

52. 47
Gráficas de la pregunta 11:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 19
Resp. Incorrectas 6
1
La mayoría de los alumnos, 76% contestaron correctamente, lo cual indica que no les
causó gran dificultad, solamente el 24% la contestó incorrectamente.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 23
Resp. Incorrectas 2
1
En la gráfica del Post test se tuvo un incremento alto en el porcentaje de respuestas
correctas, 92%. Por lo que demuestra que los alumnos saben identificar la gráfica de una
función lineal de la forma bmxy += .

53. 48
Gráficas de la pregunta 12:
PreTest
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 13
Resp. Incorrectas 12
1
En esta pregunta la mitad de los alumnos 52% contestó correctamente, aunque la otra
mitad no supo identificar la gráfica de una función de segundo grado, como lo demuestra
la gráfica del Pre test.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 20
Resp. Incorrectas 5
1
En la gráfica del Post test los resultados fueron favorables, el 80% de los alumnos
contestó correctamente, se puede decir de manera general que los alumnos saben
identificar la gráfica de una función cuadrática.
Con la pregunta anterior y esta se puede concluir que los alumnos saben identificar tanto
la gráfica de una función lineal como la gráfica de una función cuadrática.

54. 49
Gráficas de la pregunta 13:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 16
Resp. Incorrectas 9
1
En la pregunta 13 se les planteó un problema sencillo, en la gráfica del Pre test se puede
ver que más de la mitad de los alumnos 64%, supieron plantear y resolver el problema,
por lo que no les causó gran dificultad.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 18
Resp. Incorrectas 7
1
En la gráfica del Post test, se esperaba mejores resultados, mientras que en la primera
aplicación del examen el 64% de alumnos contestó bien, en la segunda aplicación solo el
72% del total de alumnos contestó bien. Por lo tanto, hay que proponer problemas de
aplicación. Cabe aclarar que en este material no se dio énfasis a la resolución de
problemas.

55. 50
Gráficas de la pregunta 14:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 17
Resp. Incorrectas 8
1
Los resultados en ambas aplicaciones del examen se mantuvieron casi igual, por lo que
se puede deducir que a los alumnos se les sigue dificultando la resolución de problemas,
por las respuestas que dieron se puede observar que se les hace difícil formular la
ecuación que represente el problema para poder resolverlo.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 16
Resp. Incorrectas 9
1
Por lo tanto, hay que poner mayor atención en la resolución de problemas que den lugar a
ecuaciones de segundo grado. Aunque cabe aclarar que en el material trabajado no se
tomó como parte principal la resolución de problemas.

56. 51
Gráficas de la pregunta 15:
Pre Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 0
Resp. Incorrectas 25
1
En la pregunta 15 se les planteó un problema, que da lugar a una ecuación de segundo
grado con una incógnita resuelto, donde los alumnos tenían que revisarlo y decir si estaba
bien resuelto o no, en caso de que no, tenían que encontrar el error. Pero como lo
muestra la gráfica del Pre test esta pregunta se les dificultó ya que por las respuestas que
dieron algunos alumnos, resulta que estaba mal planteado pero no supieron encontrar el
error.
Post Test
0
5
10
15
20
25
Resp. Correctas 1
Resp. Incorrectas 24
1
En la segunda aplicación como lo muestra la gráfica, se puede observar que no hubo
cambios, es decir, se mantuvo igual antes y después, los resultados obtenidos se puede
deber que a los alumnos se les dificulta la resolución de problemas, también puede ser
que no se plantearon los ejercicios suficientes.
Por lo tanto hay que hacer énfasis a la resolución de problemas que den lugar a
ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Introducirlos poco a poco y a través de algunas
técnicas lograr que haya una mejor comprensión.

57. 52
4.4 Análisis Estadístico (Prueba de hipótesis sobre diferencias de medias)
Con las calificaciones obtenidas en el instrumento diagnóstico (examen), que se les aplicó
a un grupo de 25 alumnos, bajo la modalidad Pre Test Post Test, se presenta un análisis
estadístico, el cual tiene como finalidad probar si hubo o no diferencia significativa entre
los resultados obtenidos.
TABLA (A): PRE TEST
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
1 6.2 6 2 11 6 16 3.1 21 5
2 1.6 7 1.6 12 5 17 2.9 22 7.2
3 2.7 8 5.2 13 4.5 18 5 23 2
4 5.8 9 1.8 14 7.2 19 5.6 24 5
5 5 10 5 15 2.9 20 2.5 25 5.2
Promedio: 4.2 Desviación Estándar: 1.75997
TABLA (B): POST TEST
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
No.
Alumno
Calificación
1 9.5 6 5.6 11 9.1 16 5.6 21 6.6
2 5.2 7 2.5 12 7.2 17 8.5 22 9.5
3 6.2 8 7.2 13 6.8 18 9.5 23 5.4
4 8.9 9 6.4 14 9.5 19 7.9 24 7.7
5 8.3 10 8.3 15 7.9 20 4.7 25 8.1
Promedio: 7.3 Desviación Estándar: 1.78528
En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla A) se obtuvo la media 2.41 =µ y
desviación estándar de 75997.11 =σ . Por otra parte en la aplicación del examen Post
Test (ver tabla B) se obtuvo una media de 3.72 =µ y desviación estándar de
78528.12 =σ
De manera natural se presenta la siguiente interrogante:
¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio de las calificaciones obtenidas en
los exámenes Pre Test Post Test?
Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para
ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α y usando la
distribución de probabilidad t de Student.

58. 53
A continuación planteamos las siguientes hipótesis:
210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios.
211 : µµ ≠H Sí hay una diferencia significativa entre los promedios.
Como la muestra es pequeña, para realizar todos los análisis utilizamos el siguiente
estadístico:
N
XX
t
2
21*
σ
−
= donde
22
2
2
2
1
−
+
=
N
NN σσ
σ y N es el total de la población
Sustituyendo los datos de la tabla A y B en la fórmula se obtienen lo siguiente:
8092239.1
48
)78528.1(25)75997.1(25 22
=
+
=σ
Por lo tanto 8092239.1=σ
y 0579319.6
25/28092239.1
2.43.7*
=
−
=t
Por lo tanto 0579319.6*
=t
Por otro lado si calculamos
2
1 α−
t con 48 grados de libertad, es aproximadamente 2.684
(este resultado se obtuvo de la tabla t de Student y usando la interpolación).
Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que
0579319.6*
=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se
acepta 1H .
Resultados del análisis:
De acuerdo a los resultados obtenidos, se puede afirmar que sí hay diferencia significativa
entre las medias de las calificaciones obtenidas en los exámenes. Esto prueba
estadísticamente que los resultados de los examenes son mejores si primero se aplica el
material didáctico a los alumnos, que si solamente se aplica el examen sin una enseñanza
previa.

59. 54
A continuación se presenta un análisis sobre los resultados obtenidos tabla 1, agrupando
las preguntas por nivel taxonómico.
Tabla 1. Tabla de Especificaciones
Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta
Inciso de la
pregunta
Cálculo de áreas
Representación algebraica de
áreas conocidas
Nivel de conocimiento
1
1 a)
1 b)
1 c)
1 d)
Número de soluciones de una
ecuación de segundo grado
Nivel de conocimiento 3 3
TABLA (C): PRE TEST
P1
No. de
Alumno
A B C D
P3 Total
1 1 1 1 1 0 4
2 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 1 1
4 1 1 1 1 0 4
5 1 0 0 0 0 1
6 0 0 1 0 1 2
7 1 0 0 0 0 1
8 1 1 0 1 1 4
9 0 0 0 0 0 0
10 1 1 0 1 1 4
11 1 1 1 1 1 5
12 1 1 1 0 1 4
13 0 1 1 1 1 4
14 1 1 1 1 1 5
15 0 1 1 0 1 3
16 0 1 0 1 0 2
17 0 0 0 0 1 1
18 1 1 1 0 0 3
19 1 1 1 1 0 4
20 1 1 0 0 0 2
21 1 1 1 0 0 3
22 1 1 1 1 0 4
23 1 1 0 0 1 3
24 0 1 1 1 1 4
25 1 1 1 1 1 5
Total de respuestas correctas 16 18 14 12 13
Total de respuestas incorrectas 9 7 11 13 12
Promedio: 2.92 Desviación Estándar: 1.55241

60. 55
Nota:
1 = Está bien
0 = Está mal
TABLA (D): POST TEST
P1No. de
Alumno A B C D
P3 Total
1 1 1 1 1 1 5
2 1 1 1 1 0 4
3 1 1 1 1 1 5
4 1 1 1 1 1 5
5 1 1 1 1 1 5
6 1 1 1 1 1 5
7 1 1 0 1 1 4
8 1 1 1 1 1 5
9 1 1 1 1 0 4
10 1 1 1 1 1 5
11 1 1 1 1 1 5
12 1 1 1 1 1 5
13 1 1 1 1 1 5
14 1 1 1 1 1 5
15 1 1 1 1 1 5
16 1 1 1 1 1 5
17 1 1 1 1 1 5
18 1 1 1 1 1 5
19 1 1 1 1 1 5
20 1 1 1 1 1 5
21 1 1 1 1 0 4
22 1 1 1 1 1 5
23 1 1 1 1 1 5
24 1 1 1 1 1 5
25 1 1 1 1 1 5
Total de respuestas correctas 25 25 24 25 22
Total de respuestas incorrectas 0 0 1 0 3
Promedio: 4.84 Desviación Estándar: 0.37416
En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla C) se obtuvo la media de 92.21 =µ y
desviación estándar de 55241.11 =σ . Por otra parte en la aplicación del examen Post
Test (ver tabla D) mostraron una media de 84.42 =µ y una desviación estándar de
37416.02 =σ .
¿Existe una diferencia significativa entre el promedio de respuestas correctas entre los
exámenes Pre Test Post Test?

61. 56
Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para
ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α
A continuación planteamos las siguientes hipótesis:
210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios de respuestas correctas.
211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios de respuestas correctas.
Se procede como el caso anterior, sustituyendo directamente los datos de la tabla C y D
en la fórmula, se obtienen 890324.5*
=t y 1524368.1=σ
Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que
890324.5*
=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se
acepta 1H .
Resultados del análisis:
Se concluye, que sí hay una diferencia significativa entre las medias de las respuestas
correctas, referentes a las preguntas del nivel de conocimiento. Por lo tanto el nivel de
conocimientos de los alumnos es significativamente mayor después de haber aplicado el
material didáctico.
Tabla 2. Tabla de Especificaciones
Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta
Inciso de la
pregunta
Desarrollo de productos
notables:
Factorización
Binomio al cuadrado
Binomios conjugados
Nivel algorítmico 2
2 a)
2 b)
2 c)
Resolución de ecuaciones
lineales y cuadráticas con una
incógnita, por métodos
algebraicos
Nivel algorítmico 4
4 a)
4 b)
4 c)
4 d)
4 e)
Operaciones con polinomios
Nivel algorítmico
5
6
5
6
Métodos de solución de
ecuaciones cuadráticas:
Factorización de una ecuación
cuadrática de la forma:
02
=++ cbxx
Nivel algorítmico 8 8
Resolución de una ecuación
cuadrática de la forma:
02
=++ cbxax
Nivel algorítmico
9
10
9
10

62. 57
TABLA (E): PRE TEST
P2 P4
No. de
Alumno
A B C A B C D E
P5 P6 P8 P9 P10 Total
1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 6
2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2
3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
4 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 6
5 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 7
6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
8 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 5
9 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 3
10 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 5
11 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 7
12 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 6
13 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3
14 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 9
15 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3
16 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 4
17 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 4
18 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 6
19 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 6
20 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3
21 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 5
22 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 9
23 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
24 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 8
25 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 4
Total de respuestas
correctas
5 4 10 24 19 5 19 0 11 10 8 1 0
Total de respuestas
incorrectas
20 21 15 1 6 20 6 25 14 15 17 24 25
Promedio: 4.64 Desviación Estándar: 2.37837

63. 58
TABLA (F): POST TEST
P2 P4No. de
Alumno A B C A B C D E
P5 P6 P8 P9 P10 Total
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 6
3 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 7
4 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 12
5 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 12
6 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 5
7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
8 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 9
9 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 8
10 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 10
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 12
12 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 11
13 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 7
14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
15 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 10
16 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 8
17 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 11
18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
19 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 10
20 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4
21 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 9
22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
23 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 5
24 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 9
25 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 11
Total de respuestas
correctas
19 18 21 25 20 16 21 6 18 18 18 18 11
Total de respuestas
incorrectas
6 7 4 0 5 9 4 19 7 7 7 7 14
Promedio: 9.16 Desviación Estándar: 3.19739
En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla E) se obtuvo la media de 64.41 =µ y
desviación estándar de 37837.21 =σ . Por otra parte en la aplicación del Post Test (ver
tabla F) se obtuvo una media de 16.92 =µ y una desviación estándar de 19739.32 =σ .
¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio en la aplicación de los algoritmos
en los exámenes Pre Test Post Test?

64. 59
Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para
ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α
A continuación planteamos las siguientes hipótesis:
210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios del uso de los algoritmos.
211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios del uso de los algoritmos.
Se procede como el caso anterior, sustituyendo directamente los datos de la tabla E y F
en la fórmula, se obtienen 5567337.5*
=t y 8759008.2=σ .
Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que
5567337.5*
=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se
acepta 1H .
Resultados del análisis:
Por lo tanto se concluye que sí hay una diferencia significativa entre las medias obtenidas
en el uso de los algoritmos correspondientes a las preguntas de nivel algorítmico. Por lo
que se deduce, el nivel algorítmico de los alumnos es significativamente mayor después
de haber utilizado el material didáctico.
Tabla 3. Tabla de Especificaciones
Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta
Inciso de la
pregunta
Concepto de factorización Nivel de comprensión 7 7
Representación gráfica de una
función lineal.
Expresión de la forma:
bmxy +=
Nivel de comprensión 11 11
Representación de una función
cuadrática.
Expresión de la forma:
cbxaxy ++= 2
Nivel de comprensión 12 12

65. 60
TABLA (G): PRE TEST TABLA (H): POST TEST
No. de
Alumno
P7 P11 P12 Total
No. de
Alumno
P7 P11 P12 Total
1 1 1 1 3 1 1 1 1 3
2 0 0 1 1 2 0 1 1 2
3 0 1 1 2 3 1 1 1 3
4 0 1 1 2 4 1 1 1 3
5 1 1 0 2 5 1 1 0 2
6 0 0 1 1 6 1 1 1 3
7 1 1 0 2 7 0 1 0 1
8 1 1 0 2 8 1 1 1 3
9 0 1 0 1 9 0 1 1 2
10 1 0 1 2 10 1 1 1 3
11 0 1 0 1 11 1 1 1 3
12 0 1 1 2 12 0 1 0 1
13 1 1 0 2 13 1 1 1 3
14 0 1 1 2 14 1 1 1 3
15 1 0 0 1 15 1 0 1 2
16 0 0 1 1 16 0 0 1 1
17 0 1 0 1 17 1 1 1 3
18 1 1 0 2 18 1 1 1 3
19 0 1 1 2 19 1 1 1 3
20 0 1 0 1 20 1 1 1 3
21 0 1 1 2 21 1 1 0 2
22 1 1 1 3 22 1 1 1 3
23 0 1 0 1 23 0 1 1 2
24 0 0 0 0 24 1 1 1 3
25 0 1 1 2 25 1 1 0 2
Total de respuestas
correctas
9 19 13
Total de respuestas
correctas
19 23 20
Total de respuestas
incorrectas
16 6 12
Total de respuestas
incorrectas
6 2 5
Promedio: 1.64 Promedio: 2.48
Desviación Estándar: 0.7 Desviación Estándar: 0.71414

66. 61
En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla G) se obtuvo una media de 64.11 =µ y
desviación estándar de 7.01 =σ . Por otra parte en la aplicación del Post Test (ver tabla
H) se obtuvo una media de 48.22 =µ y desviación estándar de 71414.02 =σ
¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio del nivel de compresión obtenida
en los exámenes Pre Test Post Test?
Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para
ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α
A continuación planteamos las siguientes hipótesis:
210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios del nivel de comprensión.
211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios del nivel de comprensión.
Sustituyendo los datos de la tabla G y H, en la fórmula se obtienen: 1151517.4*
=t y
7216863.0=σ
Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que
1151517.4*
=t no esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− . Por lo tanto 0H se rechaza y se
acepta 1H .
Resultados del análisis:
De acuerdo a los resultados obtenidos, sí hay una diferencia significativa entre las
medias, con respecto a las preguntas del nivel de comprensión, después de haber
aplicado el material didáctico. Por lo tanto el nivel de comprensión de los alumnos fue
significativamente mayor.

67. 62
Tabla 4. Tabla de Especificaciones
Contenidos de aprendizajes Nivel taxonómico Pregunta
Inciso de la
pregunta
Resolución de problemas que
dan lugar a ecuaciones
cuadráticas
Nivel de aplicación
13
14
15
13
14
15
TABLA (I): PRE TEST TABLA (J): POST TEST
No. de
Alumno
P13 P14 P15 Total
No. de
Alumno
P13 P14 P15 Total
1 1 1 0 2 1 1 1 0 2
2 1 0 0 1 2 0 1 0 1
3 1 1 0 2 3 0 0 0 0
4 1 1 0 2 4 1 1 0 2
5 1 1 0 2 5 1 0 0 1
6 0 1 0 1 6 1 1 0 2
7 0 0 0 0 7 0 0 0 0
8 1 1 0 2 8 1 0 0 1
9 0 1 0 1 9 1 1 0 2
10 1 0 0 1 10 1 1 0 2
11 1 1 0 2 11 1 1 0 2
12 0 0 0 0 12 0 1 0 1
13 1 1 0 2 13 1 1 0 2
14 1 1 0 2 14 1 1 0 2
15 0 0 0 0 15 1 1 0 2
16 0 1 0 1 16 0 0 0 0
17 1 1 0 2 17 1 1 0 2
18 1 0 0 1 18 1 1 0 2
19 1 1 0 2 19 1 0 0 1
20 0 0 0 0 20 0 0 0 0
21 1 1 0 2 21 0 0 1 1
22 1 1 0 2 22 1 1 0 2
23 0 1 0 1 23 1 0 0 1
24 0 0 0 0 24 1 1 0 2
25 1 1 0 2 25 1 1 0 2
Total de respuestas
correctas
16 17 0
Total de respuestas
correctas
18 16 1
Total de respuestas
incorrectas
9 8 25
Total de respuestas
incorrectas
7 9 24
Promedio: 1.32 Promedio: 1.4
Desviación Estándar: 0.80208 Desviación Estándar: 0.76376

68. 63
En la aplicación del examen Pre Test (ver tabla I) se obtuvo la media de 32.11 =µ y
desviación estándar de 80208.01 =σ . Por otra parte en la aplicación del examen Post
Test (ver tabla J) se obtuvo una media de 4.12 =µ y desviación estándar de
76376.02 =σ .
¿Existirá una diferencia significativa entre el promedio en la resolución de problemas
obtenidas en los exámenes Pre Test Post Test?
Para dar respuesta a esta pregunta realizaremos una prueba de hipótesis estadística para
ver si hay diferencia entre 1µ y 2µ , con un nivel de significancia de 01.0=α .
A continuación planteamos las siguientes hipótesis:
210 : µµ =H No hay diferencia entre los promedios.
211 : µµ ≠H Sí hay diferencia significativa entre los promedios.
Sustituyendo los datos de la tabla I y J se obtienen: 3538614.0*
=t y 7993036.0=σ .
Por lo que, usando un contraste bilateral al nivel de significancia de 01.0 , se tiene que
3538614.0*
=t esta en el intervalo [ ]684.2,684.2− , por lo que se acepta 0H .
Resultados del análisis:
Por lo tanto, se puede observar que no hay una diferencia significativa entre las medias
de las calificaciones obtenidas en la resolución de problemas.
Se puede deducir, por los resultados obtenidos que los alumnos aún después de haber
utilizado el material didáctico todavía presentan dificultades en la resolución de
problemas.

69. 64
CONCLUSIONES
Con base a los resultados obtenidos en este trabajo se menciona lo siguiente:
Me parece importante resaltar que el ambiente del trabajo que se vivió dentro del salón de
clases fue armonioso, ya que la relación alumno – profesor, trajo consigo una excelente
retroalimentación y una buena interacción, esto nos permitió comprender una vez más
que debemos romper las barreras que de alguna manera todavía se tienen en el salón de
clases tradicional, por lo que considero que se debe dejar a un lado la rigidez y el
autoritarismo, es decir enseñar las matemáticas de una manera flexible y pedagógica
para tener una educación de calidad.
Otro aspecto importante que me llamó la atención es con respecto a las actividades de
enseñanza – aprendizaje, especificamente en el tema relacionado con los productos
notables, ya que este fue uno de los que más les gustó a los alumnos por que se buscó la
manera de hacer una vinculación entre el álgebra y la geometría, ya que por lo general
solo se enseña el procedimiento algebraico y no se complementa su enseñanza con una
representación geométrica, así, de esta manera, con los resultados obtenidos se observó
que esto ayuda al alumno a comprender mejor las reglas de los productos notables.
Por lo tanto desde mi punto de vista considero conveniente de ser posible, buscar
ejercicios en los cuales a parte de dar una solución algebraica, permita al alumno
visualizar el problema a través de algunas figuras geométricas.
Además después de estudiar algunos métodos de factorización, así como la fórmula
general, para la resolución de ecuaciones cuadráticas con una incógnita, ayudó a que los
alumnos se dieran cuenta de que la factorización la pueden utilizar para simplificar una
expresión algebraica para poder resolverla. Y también que al resolver una ecuación
cuadrática empleando la fórmula general se encuentra automáticamente la factorización
de la ecuación.
Considero necesario aclarar que todas las ecuaciones de segundo grado se pueden
resolver empleando la fórmula general, sin embargo la resolución de ecuaciones de grado
superior a cinco no pueden encontrarse utilizando la fórmula general o con alguna fórmula
parecida, aquí es cuando la factorización toma gran importancia. Por lo que considero
importante resaltar que el tema de factorización es parte fundamental para las
matemáticas.
El emplear diferentes métodos de factorización, sirvió para que los alumnos
comprendieran la eficacia de conocer y utilizar estos métodos, por lo que en el
instrumento diagnóstico (examen), en las preguntas relacionadas con este tema se les
sugirió a los alumnos que resolvieran las ecuaciones cuadráticas por el método que
quisieran y esto trajo como consecuencia que el alumno eligiera el método que más le
convenía para obtener la respuesta adecuada, no se les exigió un método específico.
Así mismo se observó que la participación activa de los alumnos, en el salón de clases,
hicieron posible que las actividades no se tornarán aburridas, ya que al trabajar en
parejas, en equipo o de manera grupal, facilitó el aprendizaje, además esta situacion

70. 65
permitió propiciar la confianza entre los alumnos, por lo que se sintieron libres para
expresar sus ideas.
Otro aspecto importante fue el de llevar un control sobre las actividades realizadas en
clases y el registro de las tareas que se hicieron, tanto por el aplicador como de los
propios alumnos, esta información permitió a los alumnos conocer su propio desempeño
durante el transcurso de este ejercicio, y al llevar ellos el control de su propio trabajo
adquirieron cierta responsabilidad en su propia evaluación. Así algunos de ellos al
percatarse por si mismos de sus bajas en sus evaluaciones se dieron la oportunidad de
mejorar, prueba de ello son los resultados obtenidos en el capitulo IV, en donde el
rendimiento de los alumnos fue satisfactorio.
Por otro lado considero que es muy importante que entre los profesores exista un
intercambio de experiencias pedagógicas y didácticas, de manera continua esto con la
finalidad de mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Por último considero que de acuerdo a los resultados obtenidos en el análisis estadístico,
se confirma la hipótesis del trabajo, ya que después de haber aplicado el material
didáctico ayudó a los alumnos a que tuvieran una mejor comprensión en los temas. Por lo
tanto los niveles taxonómicos de las preguntas en el instrumento diagnóstico (examen)
referentes al nivel de conocimiento, el nivel algorítmico y el nivel de comprensión fueron
significativamente mayores después de haber trabajado con el material didáctico. Sin
embargo, con respecto al nivel de aplicación los resultados no fueron muy favorables ya
que aún después de haber utilizado el material didáctico todavía presentaron dificultades
en la resolución de problemas. Por lo tanto habrá que buscar otras alternativas para
ayudar a los alumnos a superar estas dificultades.
Por todo lo anterior, desde mi punto de vista los resultados finales son satisfactorios
aunque no suficientes, por lo que es importante continuar con la busqueda de
herramientas auxiliares aplicables al proceso de enseñanza-aprendizaje.

71. 66
BIBLIOGRAFÍA
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Metropolitana Azcapotzalco. Segunda reimpresión 2005.
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Muñoz Corona, Ávila Antuna, López Gazcón, López y López, Santillán Reyes. Ingreso
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72. 67
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Colegio de Ciencias y Humanidades. Secretaria Académica. Prontuario del Profesor,
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Ausubel, Novak y Hanesian. Psicología Educativa. Un punto de vista cognoscitivo.
Editorial Trillas.
M. A. Danilov. El Proceso de Enseñanza en la Escuela. Versión al español de Abollado
Vargas. Editorial Grijalbo, S. A. México, D.F. 1997.
Consejo Académico del Bachillerato. Núcleo de Conocimientos y Formación Básicos que
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Universidad Nacional Autónoma de México. Colegio de Ciencias y Humanidades. Depto
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Pedro D. Lafourcade, Evaluación de los aprendizajes. Editorial Kapelusz, 1969.
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docente. Conferencia: Evaluación y Docencia. Dos tareas académicas consustanciales.
Febrero, 2008.
Morán Oviedo Porfirio, Docencia e investigación en el espacio del aula. Una propuesta
deseable y posible. “60 aniversario de la fundación de los centros de actualización del
magisterio”. Chilpancingo, Gro., 3 de Marzo de 2006.

73. 68
ANEXOS
1.- Instrumento diagnóstico (Examen) Sobre el tema de Ecuaciones Cuadráticas.
2.- Actividades de Enseñanza – Aprendizaje.
3.- Registro de las actividades y tareas realizadas.
4.- Cuestionario aplicado a los profesores sobre el tema de Ecuaciones Cuadráticas.
5.- Información recabada por los profesores de Matemáticas I.
6.- Opinión de los alumnos.

74. 69
ANEXO 1

75. 70
Examen diagnóstico
Nombre: _______________________________________________________________
Grupo: _________ Edad: ___________ Fecha: _____________
1. Escribe una expresión para calcular el área de las siguientes figuras
A = __________ A = __________ A = _________ A = __________
2. Menciona si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas. Justifica tu respuesta
a) 12)4)(3( 2
−+=−+ xxxx
________________________________________________________________
b) 222
)( baba +=+
________________________________________________________________
c) 22
))(( bababa +=−+
_________________________________________________________________
3. Una ecuación de segundo grado ¿cuántas soluciones puede tener? Justifica tu
respuesta.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
4. Encuentra el valor de x , en caso de no encontrarlo di porqué.
a) 92 =+x
b) 0362
=−x
c) 0322 2
=+x
d) 9)2(3 =−x
e) 9)2(3 2
=−x

76. 71
5. El producto del siguiente polinomio ( )234 2
+xx es:
6. El producto del siguiente polinomio ( )( )3232 −+ xx es:
7. Describe con tus propias palabras lo que es factorizar.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
8. La factorización de la siguiente ecuación cuadrática 01032
=−+ xx es:
9. Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática 0286 2
=++ xx .
10. Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática 2
253 aa =+ .
11. La gráfica de la siguiente función cuya regla de correspondencia 12 += xy es:
a) b)
c) d)

77. 72
12. La gráfica de la siguiente función cuya regla de correspondencia 2
2xy = es:
a) b)
c) d)
Plantea y resuelve los siguientes problemas:
13. Se tiene un terreno de forma cuadrangular, cuya área mide 2
361m . ¿Cuál es la
longitud de sus lados?
14. La suma de dos números es 21 y la suma de sus cuadrados es 225. Encuentra los
dos números.

78. 73
15. Un alumno resolvió el siguiente problema, menciona si lo resolvió correctamente o no.
Justifica tu respuesta.
Un comerciante compró cierto número de vacas en $24000. Reservó 15 de ellas,
vendiendo el resto en $20250, ganando $50 por vaca vendida. ¿Cuántas vacas compró y
a qué precio compró y vendió?
Datos: =n Número de vacas compradas
=m El precio $ de cada una
Entonces 24000=mn . Como reservo 15 vacas, las vacas vendidas fueron: 15−n al
precio de 50+m pesos cada una, que dan: ( )( )5015 +− mn =20250. Obteniendo así el
siguiente sistema de ecuaciones:
24000=mn …….. E1
202507505015 =−+− nmmn
Restándolas 37507505015 =+− nm
Por lo tanto: 600103 =− nm ……… E2
Resolviendo esta ecuación lineal con la primera del planteamiento, se obtiene:
despejando m de la E2:
3
10600 n
m
+
=
Sustituyendo m en la E1: 24000
3
10600
=




 +
n
n
Simplificando se obtiene: 24000
3
10600 2
=
+ nn
7200010600 2
=+ nn
07200060010 2
=−+ nn
Resolviendo la ecuación: 07200602
=−+ nn
2
3240060
2
28800360060
2
)7200)(1(4360060 ±
=
+±
=
−−±
=n
2
18060 ±
=
120
2
18060
1 =
+
=n 60
2
18060
2 −=
−
=n
Por lo tanto, el comerciante compró 120 vacas.
3
)120(10600 +
=m =
3
1800
= 60
Y vendió 105 vacas a $60 cada una.

79. 74
ANEXO 2

80. 75
Temática sobre las Actividades de Enseñanza y Aprendizaje
Sección 1. Productos notables
1.1 Cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos.
1.2 Desarrollo de los productos notables.
1.2.1 Caso I ( )2
ba +
1.2.2 Caso II ( )2
ba −
1.2.3 Caso III ( )( )baba +−
Sección 2. Factorización
2.1 Introducción.
2.2 Factorización de factores comunes.
2.3 Factorización de trinomios.
2.3.1 Trinomios de la forma cbxx ++2
donde 0≠b , 0≠c .
2.3.2 Trinomios de la forma cbxax ++2
donde 1≠a 0≠b , 0≠c .
Sección 3. Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una
incógnita.
Sección 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas
4.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas de formas particulares
4.1.1 Ecuación cuadrática de la forma: 02
=+ cax .
4.1.2 Ecuación cuadrática de la forma: 02
=+ bxax .
4.1.3 Ecuación cuadrática de la forma: ( ) nmxa =+
2
.
Sección 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02
=++ cbxax
5.1 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax cuando 1=a por el
método de factorización.
5.2 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax cuando 1≠a por el
método de factorización.
5.3 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax por el método de
completar cuadrados.
5.3.1 Trinomios de la forma cbxx ++2
5.3.2 Trinomios de la forma cbxax ++2
cuando 1≠a .
5.4 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax por la fórmula general
Sección 6. Análisis del discriminante acb 42
−
6.1 El número i .
6.2 Naturaleza de las soluciones de la ecuación 02
=++ cbxax .
Sección 7. Proceso inverso

81. 76
Actividades de Enseñanza y Aprendizaje
Sección1. Productos notables
Se presenta una manera de abordar el tema de algunos productos notables como son: el
binomio al cuadrado, binomios conjugados por medio de un enfoque geométrico.
Objetivo:
El objetivo de esta sección es que tengas una mejor comprensión de los productos
notables, ya que desempeñan un papel muy importante en los cálculos algebraicos,
además el manejo de estas expresiones facilita la resolución de diversos problemas.
1.1 Cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos
Actividad 1
La siguiente figura, es un cuadrado de lado x. Encuentra su área:
A=_________________
Las siguientes figuras son rectángulos. Encuentra las áreas:
A= ______________ A=_______________
Recordarás que las unidades que se usan para medir áreas se llaman unidades
cuadradas.
Definición:
El área de un rectángulo es el producto de su base y su altura
Área = base x altura
Estas dos longitudes la base y la altura son las dimensiones del rectángulo.

82. 77
Ahora encontrarás las áreas de varios rectángulos, haciendo uso de la suma de
polinomios.
Actividad 2
Encuentra la suma de las áreas de los rectángulos. Para encontrar el área total de los
rectángulos debes sumar las áreas individuales.
Área de R1 + Área de R2 + Área de R3 + Área de R4
___________________________________________
Por lo tanto, el área total de los rectángulos es: _________________
Ahora se representarán con variables las longitudes de los siguientes rectángulos
Actividad 3
Encuentra la suma de las áreas de los rectángulos.
Área de R1 + Área de R2 + Área de R3 + Área de R4
__________________________________________
__________________________________________
Recuerda agrupar los términos semejantes.
Por lo tanto, el área total de los rectángulos es: _________________
Ejercicios: Encuentra la suma de las áreas de los siguientes rectángulos:
a)

83. 78
b)
c)
Actividad 4
Considera el siguiente rectángulo, el cual se incrementa una de sus dimensiones.
El área total será: _____________________
Actividad 5
Considera el siguiente cuadrado de longitud 4, en el cual se incrementa 2 unidades.
Encuentra el área del nuevo cuadrado.

84. 79
1.2 Desarrollo de los productos notables
La multiplicación de ciertos factores binomiales se presentan con mucha frecuencia en la
resolución de diversos problemas por lo que les llamamos productos especiales.
Productos Especiales
I. 2
)( ba +
II. 2
)( ba −
III. ))(( baba +−
1.2.1 Caso I. 2
)( ba +
Actividad 6
Observa el cuadrado grande. Su área es de 2
)( yx +
El cuadrado se divide en cuatro pequeñas partes, las cuales se enumeran con 1, 2, 3 y 4.
Contesta las siguientes preguntas:
1. ¿Cuál es el área del cuadrado 1?
_____________________________
2. ¿Cuál es el área del rectángulo 2?
_____________________________
3. ¿Cuál es el área del cuadrado 3?
_____________________________
4. ¿Cuál es el área del rectángulo 4?
_____________________________
5. ¿Cuál es la suma de estas cuatro áreas? Desde luego recuerda agrupar términos
semejantes.
________________________________________
6. ¿Qué puedes concluir acerca de la respuesta anterior y 2
)( yx + ?
_________________________________________

85. 80
Actividad 7
a) Considera el siguiente cuadrado de longitud 3w, el cual se incrementa z unidades.
Encuentra el área del nuevo cuadrado.
Por lo tanto, =+ 2
)3( zw ______________________
b) Considera un cuadrado de lado x, el cual se incrementa 3 unidades. Encuentra el área
del nuevo cuadrado. Dibuja la figura.

86. 81
Otra forma de obtener el desarrollo de la expresión 2
)( yx + es la siguiente:
Dada la expresión 2
)( yx + ¿Qué indica el exponente 2?
_____________________________________________
Por lo que 2
)( yx + = ( ) ( )
Generalizando
En general al multiplicar un binomio de la forma ba + por si mismo se obtiene:
El cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el
cuadrado del segundo término.
Y se simboliza así: 222
2)( bababa ++=+
Ejemplos:
96)3()3)((2)()3( 2222
++=++=+ xxxxx
22222
44)())(2(2)2()2( yxyxyyxxyx ++=++=+
164025)4()4)(5(2)5()45( 2222
++=++=+ xxxxx
2222
1664)())(8(2)8()8( yyyyy ++=++=+
Ejercicios: Desarrolla los siguientes cuadrados al binomio.
a) 2
)6( +x b) 2
)53( +x c) 2
)92( yx +
d) 2
)16( +x e) 2
)87( yx + f) 22
)( yx +
Completa el desarrollo de los siguientes cuadrados al binomio:
a) 81______)9( 22
++=+ xx
b) 36___________)( 22
++=+ xx
c) ______80____________)4( 2
++= xx
d) 169____________________)( 2
++=a
e) 4________25)2(______ 22
++=+ a
f) (_________) 1002022
++= xx

87. 82
1.2.2 Caso II. 2
)( ba −
Actividad 8
a) Considera un cuadrado de lado x, el cual se disminuye en 3 unidades. Encuentra el
área del nuevo cuadrado.
Fig. 1ª
La figura 1ª se puede descomponer de la siguiente manera:
= + - +
= 2
x + 2
3 - 2( )x3
Por lo tanto, el área del nuevo cuadrado de lado ( )3−x es:
= 2
x + 2
3 - 2( )x3 = 2
x + 9 - x6
Ordenando se tiene: 2
x - x6 + 9
b) Considera un cuadrado de lado x, el cual se disminuye en 8 unidades. Encuentra el
área del nuevo cuadrado. Dibuja las figuras correspondientes.

88. 83
Actividad 9
Considera un cuadrado de lado x, el cual se disminuye en y unidades. Encuentra el área
del nuevo cuadrado.
El nuevo cuadrado tiene de lado: )( yx −
Por lo tanto: ))(()( 2
yxyxyx −−=−
Se aplica propiedad distributiva
= )()( yxyyxx −−−
= 22
yyxxyx +−−
Se agrupan términos semejantes
= 22
2 yxyx +−
El área del nuevo cuadrado es: 22
2 yxyx +−
Generalizando
En general al multiplicar un binomio de la forma ba − por si mismo se obtiene:
El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo término:
Y se simboliza así: 222
2)( bababa +−=−
Ejemplos:
96)3())(3(2)3( 2222
+−=+−=− xxxxx
22222
44)())(2(2)2()2( yxyxyyxxyx +−=+−=−
2222
816)())(4(2)4()4( yyyyy +−=+−=−
22222
93025)3()3)(5(2)5()35( yxyxyyxxyx +−=+−=−
Realiza de manera geométrica el desarrollo de la actividad 9 (ver la actividad 8).

89. 84
Ejercicios: Desarrolla los siguientes cuadrados al binomio.
a) 2
)9( −x b) 2
)37( −x c) 2
)52( ba −
d) 2
)16( −x e) 2
)38( ba − f)
2
3
2






−x
g)
2
7
4
2
5






− ba
Completa el desarrollo de los siguientes cuadrados al binomio.
a) 49_______)7( 22
+−=− aa
b) 16_______81_____)9( 22
+−= xx
c) 25______________)( 22
+−= xx
d) ( ) 361222
+−= aa
e) ( ) 144729 22
+−= xx
f) 100______________)4( 2
+−=a

90. 85
1.2.3 Caso III. ))(( baba +−
Dibujar un cuadrado de longitud a (Fig 1)
El área del cuadrado de lado a es: 2
a
Fig 1
Quitarle al cuadrado de lado a (Fig 1), un cuadrado de lado b (Fig 2)
El área del cuadrado de lado b es: 2
b
Fig 2
Se corta la parte restante por la mitad (Fig 3)
Fig 3
Por último se reacomoda la figura 3
Fig 4
Y se puede observar (Fig 4) que: ( )( )bababa −+=− 22

91. 86
El producto de los factores )( ba + y )( ba − es 22
ba − le llamamos diferencia de
cuadrados, es decir, el resultado es la diferencia de dos términos cuadrados perfectos.
Definición
Se dice que un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número
racional
Definición
Las raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos se llaman
números irracionales
Generalizando
Producto de binomios conjugados
22
))(( bababa −=+−
Los factores de una diferencia de cuadrados son la suma y diferencia de las raíces
cuadradas respectivas de dichos cuadrados
Nota: ))(())(( babababa −+=+−
Ejercicio: Encuentra el producto de los siguientes binomios conjugados.
a) (_______)1(_______))1)(1( +=−+ xxx
= _____________________
= _____________________
b) (_______)4(_______))4)(4( +=−+ xxx
= ____________________
= ____________________
c) (______)(_______)2)2)(2( yxyxyx +=−+
= ____________________
= ____________________
Realiza el proceso inverso, es decir, factoriza las siguientes expresiones:
a) 492
−x b) 1442
−x c) 259 2
−x
d) 22
121yx − e) 812
−m f) 22
254 yx −

92. 87
Aplica tus conocimientos:
Con lo visto anteriormente desarrolla las siguientes expresiones:
a) 2
)( cba ++
b) 2
)( dcba +++

93. 88
Sección 2. Factorización
Objetivo:
Repasar algunas técnicas de factorización, así como darles significado a los algoritmos de
las operaciones y reforzar los métodos de factorización, los cuales serán empleados en la
resolución de ecuaciones de segundo grado.
2.1 Introducción
Al factorizar una expresión simplemente se escribe la expresión como un producto de sus
factores.
Hagamos lo siguiente:
Actividad 1
Se tienen los siguientes números: 3 y 7 realiza el producto.
_______ x ______ = _________
Ahora realiza el proceso inverso, es decir, se tiene el producto 21, realiza la factorización:
________ = ______ x _______
Producto A estos números se les llama factores
Realiza la factorización completa de 36:
=36 __ ___ x _____ x ______ x ______
Definición
Al proceso de escribir un número de expresiones algebraicas como el producto de otros
números o expresiones algebraicas se llama factorización.
Nota:
Se dice que un número compuesto está completamente factorizado si se representa como
un producto de factores primos.
Escribe 120 en forma completamente factorizada
120 = ____________

94. 89
El teorema fundamental de la aritmética
Cada entero mayor que 1 puede ser primo o puede ser expresado de manera única,
excepto por el orden de los factores, como un producto de factores primos.
2.2 Factorización de factores comunes
Actividad 2
Encuentra el producto de las siguientes expresiones:
a) )(3 yx + = _____ + ______
b) )2(4 ba − = ____ - _______
c) )2(3 +xx = ____ + _______
Generalizando
Cuando multiplicamos se tiene que: Cuando se factoriza se tiene que:
acabcba +=+ )( )( cbaacab +=+
Se aplica la propiedad distributiva
Ahora realiza el proceso inverso de la actividad 2
a) ___________33 =+ yx
b) =− ba 84 ___________
c) =+ xx 63 2
__________
Que puedes concluir: ________________________________
Nota:
Observa que para factorizar un binomio, se debe buscar un factor (en este caso a ) que
sea común a todos los términos por lo que para tener una expresión completamente
factorizada se debe seleccionar el máximo factor común, n
ax .
Máximo factor común de un polinomio
El término n
ax es el máximo factor común (MFC) de un polinomio si:
• a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio
• n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio

95. 90
Ejemplos: Realiza la factorización por factor común
a) xx 324 2
+
El mayor entero que divide a 4 y 32 es: 4
El mínimo exponente de x en todos los términos es:1
Por lo que el MFC es: x4
Por lo tanto: )8(4324 2
+=+ xxxx
b) 23
205 xx +
El mayor entero que divide a 5 y 20 es: __________
El mínimo exponente de x en todos los términos es: ________
El MFC es: ________
Por lo tanto: ________205 23
=+ xx
Actividad 3
Realiza las siguientes factorizaciones por factor común.
1. 153 +x
2. 3311 −y
3. 273 −− x
4. 42
255 xx −
5. 2
426 aa −
6. 63
183 aa −−
7. xxx 963 23
++
8. 234
1284 ttt +−
9. bbx 33 +
10. yxxy 2
84 −
11. 32
1648 mmm +−
12. 23
69 xx −
13. 54233
42 xyyxyx −−

96. 91
2.3 Factorización de trinomios
Objetivo: Factorizar polinomios de la forma cbxx ++2
donde 1=a , y cbxax ++2
donde 1≠a
Hemos visto que la factorización es el inverso de la multiplicación, ahora se va a usar los
productos especiales (vistos en la sección 1) y se hará el proceso inverso para obtener
algunos productos de factorización de igual utilidad.
La factorización de trinomios se divide en dos casos:
1. Trinomios de la forma: cbxx ++2
donde 0≠b 0≠c
2. Trinomios de la forma: cbxax ++2
donde 1≠a , 0≠b y 0≠c
2.3.1 Trinomios de la forma cbxx ++2
donde 0≠b 0≠c
Actividad 4
Se tiene los siguientes productos, complétalos:
a) )3)(4( ++ xx = (______)4(______) +x
= _________________
= 12______2
++x
El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el
resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12 es el
producto de ____________
¿Qué puedes decir de los signos?
____________________________________________________
b) (_______)4(_______))3)(4( +=−+ xxx
= _____________________
= 12______2
−+x
El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el
resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12− es el
producto de ____________
¿Qué puedes decir de los signos?
____________________________________________________
c) (_______)4(________))3)(4( −=+− xxx
= _____________________
= ____________2
x
El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el
resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12− es el
producto de ____________
¿Qué puedes decir de los signos?
____________________________________________________

97. 92
d) __________________)3)(4( =−− xx
= __________________
= ___________ +12
El coeficiente del segundo término del trinomio es ______ se puede ver que es el
resultado de la suma de los números: _________ y el término independiente 12 es el
producto de ____________
¿Qué puedes decir de los signos?
____________________________________________________
Generalizando
La multiplicación de los binomios es:
abxbaxbxax +++=++ )())(( 2
Para factorizar invertimos la ecuación
))(()(2
bxaxabxbax ++=+++
Como el trinomio es de la forma cbxx ++2
donde 0≠b 0≠c se tiene que:
• Cuando el signo del tercer término del trinomio o el término independiente c es
positivo, los dos números tienen signos iguales al signo del término central del
trinomio.
• Cuando el signo del tercer término del trinomio o el término independiente c es
negativo, los dos números tienen signos opuestos y el de mayor valor absoluto
tiene el signo del término central del trinomio.
Actividad 5
Ejemplo1. Factoriza 862
++ xx .
Solución: Se debe encontrar dos binomios cuyo producto sea 862
++ xx .
- Se busca una pareja de enteros cuyo producto sea 8 y cuya suma sea 6
- Como el signo del tercer término del trinomio es positivo ¿qué signos deben tener los
números buscados? _________________________
Factores Suma
8, 1
4, 2
-Los enteros buscados son: ____ y ____
- Por lo tanto: 862
++ xx = ______)______)(( xx
- El resultado se comprueba multiplicando los binomios, verifícalo.

98. 93
Ejemplo2. Factoriza 2082
−− xx
Solución:
- Se busca una pareja de números enteros cuyo producto sea 20− y cuya suma sea 8−
- Como el signo del tercer término del trinomio es negativo ¿qué signos deben tener los
números buscados? ______________________
Factores Suma
- Los números enteros buscados son: _____ y _____
- Por lo tanto: 2082
−− xx = ( ) ( )
- Verifica el resultado.
Actividad 6
Factoriza
1. 672
++ xx
2. 24102
++ xx
3. 32122
+− aa
4. 122
+− aa
5. 1662
−+ tt
6. 4032
−− mm
7. 22
−− xx
8. bb 6272
−−
9. aa 10252
−+
10. 842 2
−− aa
11. 2
94536 aa +−−
12. aaxax 652
++

99. 94
2.3.2 Trinomios de la forma cbxax ++2
donde 1≠a , 0≠b y 0≠c
Actividad 7
Se tienen los siguientes productos, complétalos
a) (________)3(________)2)5)(32( +=−+ xxx
= _______________________
= 15________2 2
−x
b) (________)2(________)3)4)(23( −=+− xxx
= _______________________
= _______________________
¿Qué observas en los resultados?
_______________________________________
Ahora se realizará el proceso inverso.
Ejemplo1: Factoriza 1572 2
−− xx
Solución:
- Encuentra el producto ac : 2=a y 15−=c por lo que =ac ________
- Encuentra dos enteros cuyo producto sea 30− y cuya suma sea 7− ¿qué signos deben
tener los números buscados? _________________________
Factores Suma
- Los números buscados son: ______ y ______
- Utilizalos apropiadamente para escribir el término intermedio
1572 2
−− xx
151032 2
−−+ xxx
- Se agrupan los términos en pares
)1510()32( 2
−−++ xxx
- Se factoriza cada par
)32(5)32( +−+ xxx
- Observa que )32( +x es el MFC
)5)(32( −+ xx
Por lo tanto: 1572 2
−− xx = )5)(32( −+ xx

100. 95
Qué pasará si los números buscados que se utilizan para reescribir el término intermedio
se colocan de la siguiente manera:
1572 2
−− xx
153102 2
−+− xxx
Agrupa los términos en pares y resuelve.
¿La factorización está correcta? __________________
Qué puedes concluir: ___________________________
Realiza el proceso inverso del inciso b)
Factoriza 8103 2
−+ xx

101. 96
Actividad 8
Factoriza 483 2
++ xx
- Se necesita realizar el producto ac : =a ____ =c _____ por lo que =ac ________
- Encuentra dos enteros cuyo producto sea ______ y cuya suma sea ______
¿Qué signos deben tener los números buscados? _____________________
Factores Suma
- Los números buscados son: ______ y _____
- Utilizalos apropiadamente para reescribir el término intermedio
483 2
++ xx
4________3 2
+x
- Agrupa los términos en pares
)4(___________)3( 2
++x
- Factoriza cada par
__________________
- Observa que ( ) es el MFC por lo que:
( ) ( )
Por lo tanto: 483 2
++ xx = ( ) ( )
¿Cómo puedes comprobar que la factorización esta correcta? ___________________
Realiza la comprobación
b) Factoriza 5156 2
−+ xx
- Realiza el producto ac : =a ____ =c _____ por lo que =ac ________
- Encuentra dos enteros cuyo producto sea ______ y cuya suma sea ________
¿Qué signos debe tener los números buscados? ________________________
Factores Suma
- Los números buscados son: ______________
- ¿Qué observaste? ______________________
Por lo tanto: 5156 2
−+ xx ________________

102. 97
Nota:
No todo trinomio es factorizable en el conjunto de los enteros
Un trinomio de la forma cbxax ++2
es factorizable si existen dos enteros con producto
ac y suma b .
Donde a es el primer número y c el último en la ecuación cbxax ++2
y b es el
coeficiente de x .
Regla para verificar si el trinomio cbxax ++2
es factorizable
Hallar dos números cuyo producto sea ac
cbxax ++2
y cuya suma de los números debe ser b
Nota:
Cabe aclarar que para efectuar la factorización de un trinomio de la forma cbxax ++2
existen varios métodos.
Actividad 9
Factoriza si es posible las siguientes expresiones.
1. 372 2
++ xx
2. 8143 2
++ xx
3. 6113 2
+− yy
4. 143 2
+− mm
5. 120 2
−+ yy
6. aa 698 2
++−
7. 2
4154 tt +−
8. 41012 2
++ yy
9. 865 2
−− tt
10. 2
31216 mm +−−

103. 98
Sección 3. Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con
una incógnita
Problema 1
Se tiene un terreno de forma cuadrangular, cuya área mide 2
784m . ¿Cuál es la longitud
de sus lados?
Solución: Dato conocido: área = 2
784m
Datos desconocidos: La longitud l .
Se puede relacionar los datos conocidos y desconocidos con la siguiente formula: 2
lA =
2
lA =
2
784 l=
07842
=−l
La ecuación obtenida 07842
=−l es una ecuación cuadrática.
Problema 2.
Se juntan varios estudiantes para una excursión que cuesta $440. Pero al partir se suman
dos más, lo que permite disminuir en $2 la cuota inicial por persona. ¿Cuántos eran al
principio y cuál la cuota fijada?
Solución: Sea x el número de estudiantes
Sea c la cuota
Se establece la primera ecuación: c
x
=
440
……… E1
Pero al partir se suman dos estudiantes más y la cuota inicial se disminuye $2 por
persona por lo que se establece la siguiente ecuación: 2
2
440
−=
+
c
x
…….. E2
Sustituyendo el valor de c de la E1 en la E2 se obtiene:
2
440
2
440
−=
+ xx
Se simplifica la ecuación, multiplicando ambos lados por )2( +xx






−+=





+
+ 2
440
)2(
2
440
)2(
x
xx
x
xx
( ) ( )222440440 +−+= xxxx
xxxx 42880440440 2
−−+=
088042 2
=−+ xx
La ecuación que se obtiene 088042 2
=−+ xx es una ecuación cuadrática.

104. 99
Problema 3.
Varias personas alquilan un camión por $300; al cerrar el trato, tres se retiran y cada una
de las restantes se ve obligada a pagar $5 más que lo convenido originalmente. ¿Cuál era
la cuota convenida y cuántas las personas?
Solución: Se representa con p el número de personas y m la cuota convenida.
La siguiente ecuación representa lo que corresponde antes de que se retiraran las tres
personas: m
p
=
300
….. E1
La siguiente ecuación representa lo que corresponde al retirarse las tres personas:
5
3
300
+=
−
m
p
….. E2
Sustituyendo el valor de m de la E1 en la E2 se tiene:
5
300
3
300
+=
− pp
Se simplifica la ecuación, se multiplica ambos lados de la ecuación por )3( −pp






−
−
3
300
)3(
p
pp = 





+− 5
300
)3(
p
pp
)3(5)3(300300 −+−= pppp
pppp 155900300300 2
−+−=
0900155 2
=−− pp
La ecuación que se obtiene 0900155 2
=−− pp es una ecuación cuadrática.
A continuación se estudiarán varios métodos para la resolución de ecuaciones
cuadráticas.

105. 100
Sección 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas
Objetivo:
El objetivo de esta sección es reconocer las ecuaciones cuadráticas incompletas,
transformar una ecuación cuadrática de forma particular a la forma adecuada para su
resolución por un método específico.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: 02
=++ cbxax donde cba ,,
son constantes y 0≠a
2
ax + bx + c = 0 Cuando la ecuación está escrita en esta
forma se le llama forma estándar.
término término término
cuadrático lineal independiente
La condición 0≠a es indispensable para tener una ecuación cuadrática o de segundo
grado.
4.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas de formas particulares
Se puede suponer que 0=b también 0=c , en tales casos se tendrán las siguientes
ecuaciones:
1. Ecuaciones de la forma: 02
=+ cax donde 0=b
2. Ecuaciones de la forma: 02
=+ bxax donde 0=c
A estas ecuaciones cuadráticas se le llaman ecuaciones incompletas
4.1.1 Ecuación cuadrática de la forma: 02
=+ cax donde 0=b
Ejemplo 1.
Resuelve la ecuación 0364 2
=−x
Solución: Se suma en ambos miembros 36.
364 2
=x Se divide ambos miembros entre 4 .
92
=x Se extrae raíz cuadrada a ambos miembros.
3=x
3±=x
Por lo tanto, las soluciones o las raíces de la ecuación son: 3,3 21 −== xx
Comprobación:

106. 101
Sustituyendo 31 =x en la ecuación dada Sustituyendo 32 −=x en la ecuación dada
036)3(4 2
=− 036)3(4 2
=−−
03636 =− 03636 =−
00 = 00 =
Por lo tanto, 31 =x y 32 −=x si satisfacen la ecuación.
Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación 5353 2
=+x
Solución: 553553 2
−=−+x Se resta en ambos miembros 5.
483 2
=x Se divide ambos miembros entre 3.
162
=x Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.
16=x
4±=x
Por lo tanto, las soluciones o las raíces de la ecuación son: ,41 =x 42 −=x
Realiza la comprobación con ambas soluciones.
Actividad 1
Resuelve las ecuaciones dadas:
a) 0252
=−x
_____2
=x Se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.
=x _____
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x
Realiza la comprobación.
b) 01473 2
=−x

107. 102
Generalizando
Las ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma 02
=+ cax donde 0≠a . El método
de solución requiere el uso directo de la propiedad de la raíz cuadrada
Propiedad de la raíz cuadrada.
Si A es un número positivo y Ax =2
, entonces Ax ±= ;
es decir, Ax = de donde: Ax = o Ax −=
4.1.2 Ecuación cuadrática de la forma 02
=+ bxax donde 0=c
Para resolver este tipo de ecuación se utiliza la factorización por término común (visto en
la sección 2).
Ejemplo 3
Resuelve la ecuación 03612 2
=− xx
Solución:
Se obtiene el máximo factor común (MFC), es decir, el mayor entero que divide a 12 y 36
es 12 y el mínimo exponente de x en todos los términos es 1.
Por lo tanto el MFC es x12 .
( ) 0312 =−xx Se iguala a cero ambos factores.
012 =x o 03 =−x Se despeja x en ambos casos.
0=x 3=x
Por lo tanto, las raíces son: ,01 =x 32 =x
Comprobación
Sustituyendo 01 =x en la ecuación dada
( ) ( ) 0036012
22
=−
000 =−
Sustituyendo 32 =x en la ecuación dada
( ) ( ) 0336312
2
=−
( ) 0108912 =−
0108108 =−
000 =−

108. 103
Generalizando
Para resolver la ecuación de la forma 02
=+ bxax donde 0,0 ≠≠ ba se utiliza la
factorización por término común.
02
=+ bxax
( ) 0=+ baxx
Tenemos un producto igual a cero, lo que sólo es posible cuando uno de los factores vale
cero, por lo tanto hay dos posibilidades:
Caso 1. 0=x Por lo que es una solución.
Caso 2. 0=+ bax De aquí se despeja x .
bax −= Se resta b− en ambos miembros de la ecuación.
a
b
x −= Se divide entre a en ambos miembros de la ecuación.
Por lo tanto,
a
b
x −= es otra solución.
En general si el producto de los factores es cero, al menos uno de esos factores debe ser
cero.
Principio del producto cero
Si 0=AB , entonces 0=A o 0=B (o ambos = cero)
Actividad 2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 023 2
=+ xx
El MFC es __________
_____ ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores.
_______ 0= ______ 0= Se despeja x en ambos factores.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x
Realiza la comprobación.

109. 104
b) xx 3819 2
−=
El MFC es _______
______ ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores.
_______ 0= _______ 0= Se despeja x en ambos factores.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x
Realiza la comprobación.
c) aa 208 2
=
El MFC es _______
______ ( ) 0= Se igualan a cero ambos factores.
_______ 0= _______ 0= Se despeja a en ambos factores.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =a ______2 =a
Realiza la comprobación.
¿Qué tienen en común las raíces de las ecuaciones dadas en la actividad 2?
____________________________________________________________
Por lo tanto ¿qué puedes concluir de las raíces de las ecuaciones de la forma
02
=+ bxax en general?
_____________________________________________________________

110. 105
4.1.3 Ecuación cuadrática de la forma ( ) nmxa =+
2
Actividad 3
Despeja x de las siguientes ecuaciones.
a) ( ) 10542
2
=−x
( ) 554
2
=−x Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación.
( ) 554
2
=−x Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.
554 =−x Valor aproximado de la raíz.
523.24 +±≈x Se despeja x .
_______≈x
Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 ≈x ______2 ≈x
b) ( ) 14424
2
=−x
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x

111. 106
Actividad 4
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas según sea el caso.
1. 0492
=−x
2. 0642
=−a
3. 0162
=+y
4. 0543 2
=−x
5. 09 2
=+ x
6. 082
=+ aa
7. 02
=+ xx
8. 2
321 xx −=−
9. xx 44 2
=
10. aa 96 2
−=
11. ( ) 3242
2
=−x
12. ( ) 08193
2
=−−a
13. ( ) 07252
2
=−+m
14. ( ) 415
2
=+x

112. 107
Sección 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02
=++ cbxax
Objetivo:
El objetivo de esta sección es utilizar diferentes métodos como son: la factorización,
completando cuadrados y la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática
completa 02
=++ cbxax .
5.1 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax cuando 1=a por el
método de factorización
Ejemplo 1. 0862
=++ xx
Resolver por factorización.
Recuerda como se factoriza. Se buscan dos números que multiplicados den 8 y esos
mismos números sumados den 6 . Los números buscados son: 4 y 2 ya que
624,824 =+=∗ (ver sección 2.3).
0862
=++ xx
( )( ) 024 =++ xx
Se aplica el principio del producto cero, por lo que cada factor se iguala a cero.
04 =+x 02 =+x
Se despeja x :
4−=x 2−=x
Por lo tanto, las raíces son: 41 −=x 22 −=x
Comprobación:
Sustituyendo 41 −=x en la ecuación dada:
( ) ( ) 08464
2
=+−+−
082416 =+−
02424 =+−
00 =
Sustituyendo 22 −=x en la ecuación dada:
( ) ( ) 08262
2
=+−+−
08124 =+−
01212 =+−
00 =
Por lo tanto, las raíces encontradas sí satisfacen la ecuación.

113. 108
Actividad 1
Completa y resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 02082
=−− xx
La factorización es: ( ) ( ) 0=
Se igualan a cero ambos factores
_________ 0= _________ 0=
Se despeja x :
Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =x ______2 =x
Realiza la comprobación.
b) 036122
=+− aa
La factorización es: ( ) ( ) 0=
Se igualan a cero ambos factores
_________ 0= _________ 0=
Se despeja a :
Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =a _____2 =a
Realiza la comprobación.

114. 109
5.2 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax cuando 1≠a por el
método de factorización
Ejemplo 2. 0483 2
=++ xx
Resolver por factorización.
Recuerda como se factoriza (ver sección 2.3 actividad 8)
La factorización es: ( )( ) 0232 =++ xx
Se igualan a cero ambos factores:
02 =+x 023 =+x
Se despeja x :
2−=x _______=x
Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =x ______2 =x
Realiza la comprobación.
Actividad 2
Completa y resuelve las siguientes ecuaciones
a) 06113 2
=+− yy
La factorización es ( ) ( ) 0=
Se igualan a cero ambos factores:
_________ 0= _______ 0=
Se despeja y :
Por lo tanto, las raíces son: ,_____1 =y ______2 =y
Realiza la comprobación.

115. 110
La ecuación cuadrática completa de la forma 02
=++ cbxax
La resolución por el método de factorización se resume de la siguiente manera:
• La ecuación debe estar en su forma estándar 02
=++ cbxax para factorizar.
• Se igualan a cero ambos factores, obteniéndose dos ecuaciones lineales.
• Por último, se resuelven ambas ecuaciones despejando x , obteniéndose así las
raíces de la ecuación.
Actividad 3
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.
1. 022
=−− xx
2. 010252
=−+ aa
3. 01662
=−+ xx
4. 869 2
+−= aa
5. 8314 2
−−= xx
6. 3652
=− xx
7. 442
+= xx
8. xx 1249 2
=+
9. 0972 2
=−+ yy
10. 523 2
−= xx

116. 111
5.3 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax cuando 1=a por el
método de completar cuadrados
¿Cuál es la factorización de la siguiente ecuación?
0782
=−+ xx
Actividad 4
En cada una de las siguientes expresiones completa el número que hace falta, para que
la ecuación sea válida.
a) ( ) _____105 22
++=+ xxx
b) ( ) ______63 22
++=+ xxx
c) ( ) ______147 22
+−=− xxx
¿Qué observas?
______________________________________________________________________
En cada una de las siguientes expresiones completa el número que hace falta para
obtener un trinomio cuadrado perfecto.
a) ______82
++ xx
b) _____202
++ xx
c) ______122
+− xx
Que puedes concluir
_______________________________________________________________________
Nota
La expresión bxx +2
no es un cuadrado perfecto, sin embargo se puede convertir en un
trinomio cuadrado perfecto, completando el cuadrado.
La expresión cuadrática de la forma bxx +2
se le agrega el término
42
22
bb
=





para
convertirse en un trinomio cuadrado perfecto.

117. 112
Actividad 5
En las siguientes expresiones completa el cuadrado.
a) xx 62
+
¿Qué se debe agregar para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto?
___________________________________________________________
_____62
++ xx
962
++ xx .
Por lo tanto, 962
++ xx es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es: ( )2
3+x
b) xx 162
−
¿Qué se debe agregar para convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto?
____________________________________________________________
______162
+− xx
La mitad de ______ es _____ y ( ) _________
2
=
Por lo tanto, ______162
+− xx es un trinomio __________________ y su factorización
es: ( )2
________ .
Generalizando
Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma bxx +2
, se le suma
el cuadrado de la mitad del coeficiente de x , es decir, sumar
2
2





 b
.
Así bxx +2
22
2
22






+=





++
b
x
b
bxx

118. 113
5.3.1 Trinomios de la forma 02
=++ cbxax cuando 1=a
Actividad 6
Resolver ecuaciones cuadráticas completas por el método de completar cuadrados.
a) 0782
=−+ xx
-Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
7____82
=+ xx
- Se completa en el primer miembro el trinomio cuadrado perfecto, sumándolo también al
segundo miembro para no alterar la ecuación:
22
2
2
8
7
2
8
8 





+=





++ xx
1671682
+=++ xx
- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:
( ) 234
2
=+x
- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:
( ) 234
2
=+x
79.44 ±≈+x
- Por último se despeja x para hallar las raíces:
79.479.41 ≈−≈x
479.4 −±≈x
79.8479.42 −≈−−≈x
Por lo tanto, las raíces de la ecuación son: ,79.01 ≈x 79.82 −≈x
b) 0362
=−− xx
- Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
−2
x _____ = _______
- Se completa en el primer miembro el trinomio cuadrado perfecto, sumándolo también al
segundo miembro para no alterar la ecuación:
( ) ( )222
________________6 +=+− xx
___________________62
+=+− xx

119. 114
- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:
( ) ________________
2
=
- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:
- Se despeja x :
Por lo tanto las raíces son: ,_____1 ≈x ______2 ≈x
c) 024142
=++ xx

120. 115
5.3.2 Trinomios de la forma 02
=++ cbxax cuando 1≠a
Actividad 7
Resolver ecuaciones cuadráticas completas por el método de completar cuadrados.
a) 01293 2
=−+ xx ¿Qué pasa cuando 1≠a ?
- Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de 2
x , en este caso el coeficiente es 3.
3
0
3
1293 2
=
−+ xx
0432
=−+ xx
- Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
xx 32
+ = 4
- Una vez hecho esto ¿qué sigue?
_____________________________________________________________
( ) ( )222
____________________ +=++x
4
9
_________________2
+=+x
- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:
( ) ________________
2
=
- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:
- Se despeja x :
Por lo tanto, las raíces son:
Nota
El método de completar cuadrados proporciona el conjunto solución de cualquier
ecuación de segundo grado

121. 116
Actividad 8
Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completando cuadrados.
1. 0862
=−+ xx
2. 822
+−= aa
3. 04122
=−+ xx
4. 016122 2
=−+ xx
5. 132 2
−−= xx
6. 036123 2
=−+ aa
7. 0472 2
=+− mm
8. xx 482
−=+
9. 02205 2
=++ xx
10. 03 22
=++ aaxx

122. 117
5.4 Resolución de la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax por la fórmula general
Objetivo: Deducirá cómo se obtiene la fórmula general para resolver ecuaciones
cuadráticas, escribir correctamente la ecuación cuadrática 02
=++ cbxax en su forma
estándar e identificar los parámetros a , b y c .
Actividad 9
Deducir la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática.
02
=++ cbxax forma estándar de la ecuación cuadrática.
Para llegar a la fórmula general, se empleará el uso del método de completar cuadrados.
- Se divide ambos miembros entre el coeficiente de 2
x , en este caso es a :
aa
cbxax 02
=
++
02
=++
a
c
x
a
b
x
- Se pasa el término independiente al segundo miembro de la ecuación:
____2
+x = _____
- Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
( ) ( )222
______________ +=++ x
a
b
x
____________
4
_____ 2
2
2
+=++
a
b
x
- Se factoriza el primer miembro y se simplifica el segundo miembro:
( ) ________________
2
=
- Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad:
( ) 2
2
2
4
4
_______
a
acb −
=
________ ±=
- Se despeja x :
=x ______ ± _______
Por lo tanto, la fórmula general es:
a
acbb
x
2
42
−±−
=

123. 118
Formula cuadrática
Las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales
02
=++ cbxax están dadas por la fórmula cuadrática
a
acbb
x
2
42
−±−
=
Actividad 10
Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula general.
a) 010122 2
=+− xx
Los parámetros son: =a _______ _______=b y ______=c
Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x
b) 22
−−= xx
La ecuación en su forma estándar es: _______________
Los parámetros son: _______=a ______=b y _______=c
Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general.
¿Qué sucede con la raíz? ___________________________________
¿Cómo son las soluciones de la ecuación? ______________________
Por lo tanto, las raíces son: __________1 =x ___________2 =x

124. 119
c) xx 32 2
=
La forma estándar de la ecuación es: _________________
Los parámetros son: _______=a _______=b y _______=c
Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x
d) 53 2
=x
La forma estándar de la ecuación es: _________________
Los parámetros son: _______=a ______=b y _______=c
Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =x ______2 =x
e) 532 2
+−=− tt
La forma estándar de la ecuación es: _________________
Los parámetros son: _______=a ______=b y _______=c
Se sustituyen directamente los valores en la fórmula general.
Por lo tanto, las raíces son: _____1 =t ______2 =t

125. 120
Actividad 11
Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula general.
1. 672 2
−=+ xx
2. 0652
=++ xx
3. 2
313 tt −=
4. 724 2
−=t
5. 0246 2
=− xx
6. xx 215 2
+−=−
7. 832
=+ rr
8. 0253 2
=−+ rr
9. 2
216 x=
10. 324 2
+= tt
11. 523 2
−=− xx

126. 121
Sección 6. Análisis del discriminante acb 42
−
Objetivo: Conocerá los números complejos y sabrá que cuando en el radical se obtiene
un número negativo, no tiene solución real por lo que se requiere hacer uso del número
imaginario.
6.1 El número i
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación 012
=+x
12
−=x despejando x
1−=x
¿Qué observas? _____________________________________________
En el conjunto de los números reales, los números negativos no tienen raíces cuadradas.
Los números imaginarios se crearon precisamente para que los números negativos
tuviesen raíces cuadradas y todas las ecuaciones de segundo grado tengan solución.
Para que la raíz cuadrada de un número negativo tenga significado, se introduce una
unidad llamada unidad imaginaria 1− denotada por i .
ix =−= 1
Por lo tanto 12
−=i
Definición
Los números imaginarios son todos los números de la forma bi , donde b es un número
real e i es la unidad imaginaria.
Con la propiedad de que: 12
−=i
Actividad 1
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 0252
=+x
Por lo tanto, sus raíces imaginarias son: _____1 =x ______2 =x

127. 122
b) 0982 2
=+x
Por lo tanto, sus raíces imaginarias son: _____1 =x ______2 =x
Nota:
A estas raíces se les llama conjugadas, es decir, bia + su conjugado es bia −
Definición
Los números complejos se componen de todas las sumas bia + , donde a y b son
números reales e i es la unidad imaginaria.
bia +
Parte real Parte imaginaria
Se llaman conjugados dos complejos que tienen idéntica la parte real, simétricos los
coeficientes de i .
Ejemplos de números complejos:
i43 + , i27 +− , i14

128. 123
6.2 Naturaleza de las soluciones de la ecuación 02
=++ cbxax
Objetivo: Determinar la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática
02
=++ cbxax , análisis del discriminante.
¿Cómo se podrá predecir la naturaleza de las soluciones de la ecuación?
Actividad 2
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, aplicando la formula general:
a
acbb
x
2
42
−±−
=
a) 01543 2
=−− xx
Las raíces de la ecuación son: _____1 =x ______2 =x
Contesta lo siguiente:
¿Estas raíces cómo son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales (raíz doble)
o dos raíces imaginarias?
_____________________________________________________
Ahora calcula la expresión que se encuentra dentro del radicando, es decir, acb 42
−
El resultado que obtuviste fue: mayor que cero, igual a cero o menor que cero.
________________________________________________________
Por lo tanto, que puedes concluir entre la expresión acb 42
− y la naturaleza de las raíces
de la ecuación.
_________________________________________________________

129. 124
b) 0882 2
=+− xx
Las raíces de la ecuación son: _____1 =x ______2 =x
Contesta lo siguiente:
¿Estas raíces cómo son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales (raíz doble)
o dos raíces imaginarias?
_____________________________________________________
Ahora calcula la expresión que se encuentra dentro del radicando, es decir, acb 42
−
El resultado que obtuviste fue: mayor que cero, igual a cero o menor que cero.
________________________________________________________
Por lo tanto, que puedes concluir entre la expresión acb 42
− y la naturaleza de las raíces
de la ecuación.
_________________________________________________________
c) 0234 2
=+− xx
Las raíces de la ecuación son: _____1 =x ______2 =x
Contesta lo siguiente:
¿Estas raíces cómo son: dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales (raíz doble)
o dos raíces imaginarias?
_____________________________________________________
Ahora calcula la expresión que se encuentra dentro del radicando, es decir, acb 42
−
El resultado que obtuviste fue: mayor que cero, igual a cero o menor que cero.
________________________________________________________
Por lo tanto, que puedes concluir entre la expresión acb 42
− y la naturaleza de las raíces
de la ecuación.
_________________________________________________________

130. 125
Generalizando
La expresión acb 42
− se le llama discriminante
Dependiendo del valor del discriminante acb 42
− , de la ecuación cuadrática
02
=++ cbxax se tienen los siguientes casos:
Si acb 42
− > 0 La ecuación cuadrática correspondiente tendrá dos raíces reales
Diferentes.
Si acb 42
− = 0 La ecuación cuadrática correspondiente tendrá dos raíces iguales
(raíz doble).
Si acb 42
− < 0 La ecuación cuadrática correspondiente tendrá dos raíces imaginarias
conjugadas.
Actividad 3
Grafica las ecuaciones de la actividad 2 en hojas milimétricas, observa y anota las
intersecciones que tienen las gráficas con el eje x
Actividad 4
De las siguientes ecuaciones cuadráticas encuentra la naturaleza de las raíces.
1. 0962
=++ xx
2. 16 2
=+ xx
3. 0137 2
=+− xx
4. 1052
+−= mm
Actividad 5
Resolver la ecuación ( ) ( ) 01121 2
=−−−+ xmxm .
Contestar: ¿Qué valores debe tener m para que esta ecuación tenga sus dos raíces
reales e iguales? ¿Cuál es, entonces, el valor común de las raíces?

131. 126
Sección 7. Proceso Inverso
Objetivo: Dadas las dos raíces de una ecuación, construirá la ecuación de la que
provienen.
Hasta ahora se ha visto dada una ecuación cuadrática como encontrar sus raíces, para lo
cual se ha empleado diferentes métodos.
Ahora ¿se podrá construir la ecuación cuadrática dada las dos raíces?
Actividad 1
a) Dadas las raíces: 41 =x 52 −=x construye la ecuación.
Sugerencia: Recuerda el método de factorización, cuando se tiene el producto de dos
factores lineales.
Por lo tanto, la ecuación es: ________________
b) Dadas las raíces:
3
2
1 =x 22 =x construye la ecuación.
Por lo tanto, la ecuación es: __________________
c) Dadas las raíces: 31 −=x
5
3
2 =x construye la ecuación.
Por lo tanto, la ecuación es: __________________

132. 127
Generalizando:
Se tiene la siguiente ecuación 0))(( 21 =−− xxxxa donde 0≠a y 1x , 2x son raíces.
Por lo que el producto de los factores es cero y como 0≠a no queda más que:
01 =− xx 02 =− xx
1xx = 2xx =
Desarrollando la expresión
0))(( 21 =−− xxxxa
02112
2
=+−− xaxaxxaxxax
0)( 2121
2
=++− xaxxxxaax
[ ] 0)( 2121
2
=++− xxxxxxa
Por lo tanto:
0))(( 21
2
=−−=++ xxxxacbxax donde 1x , 2x son raíces.
Así que dada dos raíces de la ecuación cuadrática se podrá construir la ecuación.

133. 128
ANEXO 3

134. 129
Registro de las Actividades Desarrolladas
Sección 1 Sección 2
Sección
4
Sección
5
Sección
6
Sección
7
No.de
Alumno
Act.
6 y 7
Act.
8 y 9
Act.
10
Evaluación
Act.
1
Act.
2 y 3
Act.
4
Act.
5
Act.
7
Evaluación
Evaluación
Evaluación
Evaluación
Evaluación
Evaluación
Final
1 10 9 5 8.0 7 5 9 10 10 8.2 10 9 10 10 9.2
2 4 9 3 5.3 7 8 3 5 6 5.8 10 6 4.5
3 8 5 2 5.0 7 6 10 9 7 7.8 10 10 10 10 8.8
4 10 9 7 8.7 7 4 10 10 8 7.8 10 10 10 10 9.4
5 9 9 9 9.0 7 4 10 10 9 8.0 10 10 10 10 9.5
6 9 5 3 5.7 6 10 9 8 10 8.6 10 9 10 7 8.4
7 6 8 4.7 7 9 9 9 7 8.2 3 1 10 9 6.0
8 3 10 3 5.3 6 10 10 9 7.0 3 5 10 10 6.7
9 6 7 5 6.0 6 9 6 8 7 7.2 10 5 5 5.5
10 7 9 3 6.3 7 10 10 9 9 9.0 10 9 10 7 8.6
11 9 9 9 9.0 7 10 10 10 8 9.0 10 10 10 10 9.7
12 4 8 6 6.0 7 7 9 10 7 8.0 10 10 7 7 8.0
13 5 1.7 10 10 8 7 7.0 7 8 10 5.6
14 8 9 8 8.3 7 10 10 10 9 9.2 10 10 10 10 9.6
15 8 9 7 8.0 7 6 10 10 10 8.6 10 10 10 10 9.4
16 5 1.7 8 8 8 7 6.2 3 6 6 3.8
17 10 9 8 9.0 7 9 9 10 7 8.4 10 10 10 10 9.6
18 9 9 9 9.0 6 10 10 10 10 9.2 10 10 10 10 9.7
19 10 9 8 9.0 7 5 8 9 9 7.6 7 9 10 7.1
20 6 10 5.3 7 9 9 9 9 8.6 7 6 8 6 6.8
21 7 2.3 7 5 10 7 10 7.8 10 9 10 6 7.5
22 10 3.3 10 9 9 10 7.6 10 10 10 7 8.0
23 3 4 2.3 6 6 9 9 7 7.4 7 6 3 4.3
24 9 10 6.3 7 4 9 8 3 6.2 3 6 6 10 6.3
25 10 10 7 9.0 7 5 8 8 9 7.4 10 8 9 7.2
Promedio grupal por cada actividad:
7.7 8.1 6.1 6.8 7.5 9.0 8.9 8.2 8.6 8.0 8.9 8.8
Promedio final del grupo: 8.0
Nota: Cabe aclarar que la sesión 3, se trabajo en clase de manera grupal, la actividad tuvo que ver
con el planteamiento de problemas.

135. 130
Registro de las Tareas
A continuación se presentan las tareas realizadas por los alumnos en cada sesión de
trabajo.
Sección 1 Sección 2 Sección 4 Sección 5 Sección 6 Sección 7
NodeAlumno
Áreas
Desarrollode
Binomio
Act.6
Act.8
Act.9
Resumen
sección1
Resumen
Factorización
Act.4Ec.
Incompletas
Act.3
Act.8
Act.11
ResumenEc.
Cuadráticas
Act.4Gráficay
Solución
Act.1
TotaldeTareas
1 * * * * * * * * * * 10
2 * * * * * * * * 8
3 * * * * * * * * * * * * 12
4 * * * * * * * * * * * * 12
5 * * * * * * * * * * 10
6 * * * * * * * * * * * 11
7 * * * * * * * * * * 10
8 * * * * * * * * 8
9 * * * * * 5
10 * * * * * * * * * * * * * * 14
11 * * * * * * * * * * * * * * * 15
12 * * * * * * * 7
13 * * * * * * * * 8
14 * * * * * * * * * * * * * * 14
15 * * * * * * * * * * * * * * * 15
16 * * * * * * * * 8
17 * * * * * 5
18 * * * * * * * * * * * * 12
19 * * * * * * * * * 9
20 * * 2
21 * * * * * * * * * * * * * * 14
22 * * * * * * * * * * * * * * 14
23 * * * * * * * * 8
24 * * * * * * * * * * 10
25 * * * * 4
Nota: El símbolo * significa que entregaron la tarea.
Con la información obtenida con el cuadro de arriba se puede observar que en cuanto a
las tareas, más de la mitad de los alumnos la realizaron.

136. 131
ANEXO 4

137. 132
Cuestionario
Tema: Ecuaciones de segundo grado en una variable
Nombre: _________________________________________ Fecha: _________
Plantel: __________________
1. ¿Cómo abordas tus estrategias para trabajar la unidad de ecuaciones de
segundo grado en una variable?
2. ¿Cuáles son tus actividades de desarrollo en este tema?
3. ¿Consideras que el tema de factorización y productos notables es un tema que
a los alumnos se les dificulta? ¿Por qué?
4. ¿Qué instrumentos de evaluación utilizas para la unidad de ecuaciones de
segundo grado?

138. 133
ANEXO 5

139. 134
Información recabada por los profesores de Matemáticas I
Se llevo a cabo una entrevista en forma de cuestionario (ver anexo 4) a tres profesores
que imparten la materia de matemáticas y cada uno contestó 4 preguntas de manera
individual.
La entrevista tiene como finalidad conocer algunas de las estrategias que utilizan los
profesores para trabajar con la unidad de ecuaciones de segundo grado, y cuáles son las
actividades que emplean para el desarrollo de este tema. Que opinión tienen en cuanto a
los temas de factorización y productos notables ya que a los alumnos se les dificulta; qué
alternativas emplean para mejorar las dificultades que presentan los alumnos. Y por
último que instrumentos de evaluación utilizan.
A continuación se menciona la información obtenida por los profesores entrevistados.
Profesor A
Respuestas a las preguntas 1 y 2.
Esta es de una manera concisa de cómo: abordar el tema y estrategias para desarrollar la
unidad de ecuaciones de segundo grado en una incógnita.
1. Se inicia el desarrollo de esta unidad proponiendo problemas, cuyo planteamiento para
su solución originen ecuaciones cuadráticas.
Al proponer problemas para llevar a cabo lo anterior es importante considerar los
siguientes aspectos metodológicos:
Que el alumno:
- Lea y entienda bien el problema propuesto.
- Identifique lo que desea saber.
- Identifique la información o datos del problema.
- Utilice literales para representar la incógnita (s).
- Relacione la incógnita con los datos del problema.
- De acuerdo a la característica del problema formule la ecuación que sirva para
resolverlo.
2. Ya determinada la ecuación existen varias interrogantes:
- ¿Qué forma (algebraica) tiene el problema?
- ¿Conoces o recuerdas los métodos para resolver la ecuación cuadrática?
- ¿Cuál es el método adecuado para resolver la ecuación?
3. Se deben seleccionar problemas que originen ecuaciones cuadráticas de la forma:
0) 2
=+ bxaxi 0) 2
=+ caxii y 0) 2
=++ cbxaxiii .

140. 135
4. Se procede a aplicar los tres métodos de solución: Factorización, completando
cuadrados y la fórmula general.
- Se sugiere aplicar cada uno de ellos para resolver la ecuación cuadrática obtenida
en cada problema.
De esta manera el alumno aprenderá que al aplicar cualquiera de estos métodos
obtendrá los mismos resultados.
5. Se resuelven diversas ecuaciones cuadráticas aplicando factorización y completando
cuadrados.
6. Como el alumno ya ha realizado diversos ejemplos aplicando el método de completar
cuadrados, se debe proponer que resuelva la ecuación 02
=++ cbxax , aplicando este
método. De entrada el alumno “manifiesta” dudas ¿cómo resolverla si los coeficientes no
son numéricos?
El profesor sugiere seguir los mismos procedimientos del método de completar
cuadrados.
¡Sorpresa! Obtiene la fórmula cuadrática.
7. Resolver diversas ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general.
Se encontrarán raíces en las que el discriminante acb 42
− pueda ser positivo, cero o
negativo.
8. Es importante tratar en el tema la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática.
9. Considero importante introducir el tema de los números complejos con respecto a su
representación yix + o bia + . Explicar el significado de la i .
10. Proponer problemas que originen ecuaciones cuadráticas para que el alumno los
plantee y resuelva (extra-clase).
11. Ejercicio. Resolver ecuaciones cuadráticas en las que el alumno aplique los métodos.
Respuestas a las preguntas 3 y 4.
Obviamente que el tema de productos notables siempre “ofrece” dificultades al alumno
para su aprendizaje. Quiere memorizar.
Pero para eliminar obstáculos se sugieren dos formas para su aprendizaje mediante
ejemplos:
a) De tipo numérico.
b) Áreas.
Por ejemplo:
?82
=

141. 136
( )22
358 +=
( ) ( ) ( )( ) ( )222
3352535 ++=+
93025 ++=
( ) 6435
2
=+ Que es lo mismo que 2
8 .
Se deben seleccionar ejercicios en los que obtenga áreas de figuras geométricas en las
que combinas áreas de cuadrados con áreas de rectángulos.
Por lo que respecta a la factorización, factorizar el trinomio de segundo grado implica
algunas dificultades. Sin embargo se proponen casos para buscar eliminar estas
dificultades.
Uso del discriminante acb 42
− en cbxax ++2
. Si acb 42
− es un cuadrado perfecto
es posible encontrar los números que cumplan:
Dos números r y s tales que bsr =+ y csr =∗
Encontrados estos, se procede a factorizar o bien se aplica la fórmula general para
factorizar.
Nota: aunque esto a veces no es fácil.
Los instrumentos para evaluación. Se propone un examen escrito que contenga:
a) Resolver 2 ecuaciones aplicando factorización.
b) Resolver 2 ecuaciones aplicando completando cuadrados.
c) Plantear y resolver un problema.
d) Proponer una ecuación en la que el alumno diga qué tipo de raíces tiene (uso del
discriminante) que no la resuelva.
Profesor B
Respuestas a las preguntas 1 y 2
1. Para iniciar el tema, se utiliza un problema con la finalidad de resolver mediante
cálculos aritméticos, para posteriormente plantear el problema usando una ecuación
cuadrática.
Posteriormente se usa la fórmula para resolverlo y se menciona que se resuelve por otras
formas: factorización, completando cuadrados.
2. Continuando con el tema, se proponen otros problemas de simbolización de
enunciados y se resuelve con la fórmula, la ecuación planteada. Se proponen ecuaciones
en donde las soluciones son enteras, posteriormente racionales y finalmente con raíces
irracionales.
La ventaja de utilizar la fórmula y después factorización o completando cuadrados es que
al revisar el discriminante acb 42
− si resulta un número con raíz cuadrada exacta,
aseguramos al alumno que es factorizable la ecuación dada, o en caso de tener por

142. 137
resultado un número negativo se indica que la ecuación no es factorizable y las
soluciones que tienen no son reales (imaginarias).
Completando cuadrados.
Esta manera de resolver ecuaciones las utilizo para resolver algunos ejemplos y después
deducir la fórmula
a
acbb
x
2
42
−±−
= ; comparar con las otras formas de resolverlos.
También el método de completar cuadrados se utiliza cuando en la función cuadrática
( ) cbxaxxf ++= 2
se buscan las coordenadas del vértice (máximo o mínimo) o que
tenga la forma de la función ( ) ( ) khxdxf ++=
2
.
3. Proponer ejercicios y resolverlos, después los alumnos resuelven algunos
individualmente o en equipo, en esta actividad lo importante es realizar las
comprobaciones de cada ecuación y aquí incluyo operaciones aritméticas en donde se
puede utilizar calculadora, para soluciones irracionales.
Respuestas a las preguntas 3 y 4
Con respecto al tema de factorización, lo que sucede es que a los alumnos se les dificulta
utilizarlo, por tener la opción de resolver ecuaciones por fórmula, aunque debería
aclararse que toda ecuación cuadrática es factorizable en los complejos, pero en este
nivel se utilizan solamente las raíces enteras o racionales.
En cuánto al tema de productos notables, considero que a los alumnos se les debe dar
opciones para realizarlos (operaciones algebraicas) y hacer notar que utilizando las
“reglas”, los cálculos son inmediatos y son utilizados en la reducción de expresiones
algebraicas.
Instrumentos de evaluación
En ell tema de ecuación cuadrática la evaluación es la siguiente: La evalúo con las
actividades realizadas en el salón de clases (solución de ejercicios individuales o en
equipo) y ocasionalmente la aplicación de un examen individual, también considero la
asistencia al curso y los apuntes del alumno.
Profesor C
Respuestas a las preguntas 1 y 2
- Iniciar el tema planteando varios problemas 3 o 4, de tal manera que se obtengan
diferentes tipos de ecuaciones de segundo grado y que los alumnos planteen el
modelo.
- Posteriormente los alumnos deberán resolver las ecuaciones obtenidas sin utilizar
la fórmula general.
- Así los alumnos se verán en la necesidad de factorizar.
- Los alumnos grafican las ecuaciones y relacionan la ecuación con la función, es
decir, los ceros de la función con la solución de la ecuación.

143. 138
Respuestas a las preguntas 3 y 4
Considero que los alumnos sí tienen dificultades con los temas productos notables y
factorización. Cuando presentan dificultades con la aritmética, deben hacer muchas
cuentas ya que utilizan mucho las calculadoras, además los alumnos traen malos hábitos,
la manera en cómo esta estructurado el programa de estudios ya no los obligan a hacer
ciertas cosas. Como dice Piaget es una estructura que está formada y no se puede
construir sobre ella.
Instrumentos de evaluación
La manera en como se hace la evaluación es con los exámenes, la práctica diaria y las
tareas. Por ejemplo, divido el pizarrón en 4 partes y paso a los alumnos a resolver
ecuaciones y el profesor va haciendo anotaciones, los paso al azar.
La evaluación es diaria, esto estimula el esfuerzo de los alumnos, además ayuda a
detectar errores en ellos. El trabajo del profesor es ayudar al alumno a pensar, que le
cueste un poco de trabajo pero que lo pueda resolver, buscar la manera de que sea como
algo natural, así como crear la necesidad para aprender no por obligación.
Se puede concluir que la información proporcionada por los tres profesores en cuanto a la
enseñanza de las matemáticas está enfocada a los recursos individuales de cada
profesor, de tal manera que la variable principal es el profesor, en cuanto a que cada uno
tiene su propio método de aplicación para la enseñanza de la materia. Así cada profesor
tiene su propio estilo, su creatividad, sus propias experiencias pedagógicas, sus recursos
disponibles con los que cuenta, etcétera. Sin embargo la esencia es la misma ser mejores
profesores, lo cual se verá reflejado en el proceso de aprendizaje de los alumnos.

144. 139
ANEXO 6

145. 140
OPINIÓN DE LOS ALUMNOS
A continuación se presenta las opiniones de los alumnos, ya que después de concluir las
actividades de enseñanza – aprendizaje, se les preguntó de manera individual que
escribieran sus comentarios acerca de como les pareció el material elaborado para la
quinta unidad de la materia de Matemáticas I. Para esta actividad para identificar a los
alumnos se les etiqueto en orden alfabético empezando por apellido. Así se les asignó un
número del 1 hasta el 23.
También se les pidió que hicieran una evaluación sobre el curso y sobre su desempeño
en las clases. Así las preguntas fueron las siguientes:
A. Da una evaluación del curso.
B. ¿Qué te pareció el material de la quinta unidad? Argumenta tu respuesta.
Cabe aclarar que las palabras son textuales de lo que escribieron los alumnos.
Alumno1:
Respuesta A: En lo personal no me gustan las matemáticas, pero durante este semestre
me di cuenta que en realidad no son tan aburridas y difíciles como creí que eran. Me
gusto mucho la forma de trabajo y la manera en que la maestra explicaba cada ejercicio,
además de la forma de calificar.
Cuando comencé estaba segura que iban a ser más pesadas que en la secundaria, pero
descubrí que no, al contrario se me hizo fácil y no tan aburrido.
En general opino que el ambiente de trabajo fue agradable desde que el semestre
comenzó hasta que termino. Además me resulto más fácil comprender algunos ejercicios,
ya en la quinta unidad.
Respuesta B: Pienso que fue muy buena idea trabajar así la quinta unidad, ya que fue una
idea distinta, sinceramente me hubiera gustado que todas las unidades las hubiésemos
trabajado de este modo, ya que me resulto aún más fácil, ya que el libro explicaba paso
por paso cada ejercicio.
Fue una manera más fácil y más rápida de aprendizaje.
Alumno 2:
Respuesta A: Bien es un buen curso ya que repasamos algunos temas en los cuales
quedan duda, con este curso es un reforzamiento de lo aprendido en la Secundaria.
Además de tener buenos temas la explicación, el material ayuda bastante para el
aprendizaje. Si me gusto estuvo bien todo el repaso y lo aprendido durante el semestre y
lo que falta.
Respuesta B: Además de ser un buen apoyo como material sirvió demasiado ya que las
explicaciones están bien definidas y ejemplificadas, puede servir como repaso para el
examen. Me ayudó demasiado y me va a ayudar para el examen gracias a las
explicaciones y ejemplos que se encuentran.

146. 141
Alumno 3:
Respuesta A: Este primer semestre de matemáticas me pareció muy divertido, fue muy
interesante.
Las explicaciones de la profesora, fueron muy completas y exactas por lo cual las
actividades no se tornaron aburridas.
También me gusto, la paciencia que tuvo la profesora, para explicarnos y resolver las
dudas de todos y cada uno de nosotros.
Respuesta B: El material de esta unidad me pareció muy completo, las explicaciones
están bien planteadas además las actividades son muy interesantes aunque se me
dificultaron un poco.
Alumno 4:
Respuesta A: En este bimestre evaluaría con un 9 a la materia de matemáticas ya que al
inicio me pareció que era muy fácil la materia ya que la maestra explicaba muy bien las
cosas a las que no les entendíamos. Pero al final de la cuarta unidad cuando nos dió el
libro se me hizo un poco más difícil ya que a algunas cosas no les entendía bien y la
maestra ya casi no explicaba.
Respuesta B: Creo que con este material logramos aprender muchas cosas, o también las
pudimos repasar, debido a que a muchos ya nos lo habían enseñado. También por partes
se me hizo un poco difícil y confuso pero al final logre comprenderlo muy bien.
En conclusión, creo que el material fue muy bueno para el aprendizaje de la materia.
Alumno 5:
Respuesta A: El curso es muy bueno ya que todos participamos y aprendemos más
aportando cosas. Además la profesora nos explica y si tenemos dudas podemos
preguntar y nos explica hasta que resolvamos la duda.
Me parece a veces que es un poco pesado porque todas las clases dejaba tarea y es así
como aprendíamos más pero es lo único que no me gusto mucho. En cuanto a las
explicaciones y la forma de dar clases creo que es muy buena técnica la que usa. Y eso
del preguntar todas las clases sobre dudas de un tema anterior es muy bueno ya que el
alumno aclara sus dudas. Mi evaluación sería un 9.
Respuesta B: Este material yo considero que es excelente porque contiene una pequeña
explicación y ejercicios y eso es muy bueno porque hace muy amena la clase, sin
problemas de no entender. Algunos libros de álgebra son buenos pero aburren por su
gran contenido y este es bueno porque tiene pequeño contenido y se entiende más
fácilmente.
Alumno 6:
Respuesta A: A mi el curso se me hizo muy bueno pues aprendí muchas cosas y recordé
otros se me hizo algo difícil pero creo que me esmere, el curso se me hizo algo
constructivo y aprendí más de lo que pensé aunque a veces algunas cosas se me
dificultaron lo que se me hizo pesado fueron algunas tareas.

147. 142
Respuesta B: El material de la 5ª unidad al principio no me gusto mucho pues se me
hacía imposible terminarlo pero después al leerlo y entender de lo que trataban los temas
se me fue facilitando resolverlo, aunque algunas actividades o ejercicios se me
complicaban trate de resolverlos y casi término el libro que al principio me pareció
imposible de terminar, actividades como esta para mi son excelentes pues nos ayudan a
nosotros los alumnos a comprender mejor los conceptos y o reafirmar y evaluar nuestro
desempeño durante todo el semestre.
Alumno 7:
Respuesta A: Me pareció un buen curso ya que si no le entendíamos a algunas cosas la
maestra nos explicaba y creo muy bien.
También creo que el curso fue bueno ya que los temas no fueron muy difíciles y las
explicaciones fueron muy bien hechas por parte de la maestra. Lo que no me gusto fue
que nos dieran hasta el último algunos temas ya que los vimos de prisa no le entendí muy
bien.
Respuesta B: Me pareció muy buen material ya que si tiene muy buenas explicaciones y
ejercicios muy buenos para entenderlo mejor además con este librito es más fácil de
hacer las cosas y entenderlo.
Alumno 8:
Respuesta A: El curso me pareció muy bueno e interesante ya que explicaba cada tema
ampliamente y resolvía las dudas de todo el salón aunque solo fuera una persona la que
no entendiera y esto ayudaba a repasar a los que ya sabían el tema, todos los temas los
aprendí aunque a la hora del examen quien sabe que pasaba que salía mal y yo lo
resolvía como había explicado la maestra. Las tareas también estaban bien ya que era
poca y al entregarla la revisábamos entre todos y aclarábamos dudas. La maestra era
muy tolerante ya que no nos puso horario de llegada y en el salón nos dejaba hablar y
platicar siempre y cuando hiciéramos la actividad y pusiéramos atención a la hora de
clase. Fue un buen curso porque no fue exigente como yo pensaba pero si dejó una muy
buena enseñanza y así aprendo mejor sin presión.
Respuesta B: Me pareció un buen material porque viene especifico y bien explicado en
cada punto a desarrollar lo único que no me gusto fueron las actividades para hacer en
hojas ya que sería mejor que se resolviera en el libro pero esta chido.
Alumno 9:
Respuesta A: El curso fue muy largo y pesado, yo vi que durante el semestre era difícil
pasar pero me di cuenta de que no era así. Aprendí varias cosas que no sabia ahora ya
se. Sinceramente el semestre se me complico no por esta materia sino por otra. Pero en
esta aprendí algo aunque no pase 2 exámenes.
Respuesta B: Me pareció que era algo difícil ya que trataba de las ecuaciones de segundo
grado y a eso no le entiendo nada pero fui aprendiendo conforme a su contenido y creo
que ya más o menos le entiendo.
Alumno 10:
Respuesta A: En lo personal se me hizo algo pesado, pues me atrase y luego tuve que
ponerme al corriente, otro motivo fue que la clase se me hacía muy pesada, pero pues si

148. 143
me gusto el semestre, en relación a los problemas algebraicos no se me hizo tan fácil, se
me dificultó, ahora si los puedo hacer pero no todos.
También creo que fue mucho trabajo y estuve confusa, sobre todo porque no fue un
determinado tiempo para terminar el semestre.
Respuesta B: Fue buen complemento y repaso a lo que no me acordaba y a lo que no le
entendía. Lo que no me pareció es que hubo muy poco tiempo para resolverlo y se me
hizo demasiado cansado de resolver.
Estoy confundida con las ecuaciones cuadráticas, aparte de que fue muy rápido el tiempo
en el que hicimos el material creo que no me di un tiempo para repasar.
Alumno 11:
Respuesta A: Me gusto su técnica pero creo que dejaba mucha tarea, bueno no es que
haya dejado mucha sino que cada vez que nos tocaba su clase nos dejaba tarea.
Me gusto mucho esta clase porque usted nos explicaba muy bien los temas paso por
paso para que aprendiéramos mejor.
Respuesta B: Pues a mi si me gusto el material nadamás que en algunas definiciones
venían confusas, pero en general estuvo bien y creo que con ese libro aprendimos más y
fue una buena técnica para trabajar, aunque también algunos ejercicios venían confusos.
Alumno 12
Respuesta A: En una escala del 1 al 10, yo le pondría un 9, ya que en cada unidad se fue
explicando detalladamente, y si no entendía se volvía a explicar hasta que entendiera, el
modo de atención fue amable y no nos confundía al explicar, pero, por otro lado, el curso
fue muy tardado, haciendo que muchos nos aburriéramos, ya que solo teníamos que venir
a esta clase o si acaso a alguna otra, pero casi siempre fue solo a esta, por ello yo le
calificaría con un 9.
Respuesta B: El material fue bueno y gustoso, ya que te explicaba como resolver las
ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, la explicación que te daba era buena y
detallada, a modo que le entendiéramos, pero a veces, te confundía ya que no tenía los
ejemplos muy claros, es decir, era con lenguaje algebraico y a veces no se entendía, pero
de ahí en fuera, todo el material me pareció bueno y gustoso, porque a la mayoría de las
explicaciones se le entendía y te explicaba a modo que le entendieras.
Alumno 13:
Respuesta A: Me pareció bueno, sin embargo creo que los temas los comprendía en el
momento, pero cuando se trataba de resolver los ejercicios, me costaba bastante trabajo,
sin embargo el hecho de que nos explicara las cosas en el pizarrón fue de mucha utilidad.
En cuanto a calificaciones creo que no saldré tan bien pero logre comprender varios
temas por lo que creo que éste curso fue bueno pero creo que pude dar más, puesto que
el material y las clases eran para aprovecharse.
Respuesta B: Bastante bueno, puesto que sirve de apoyo por los ejemplos que trae es
como una guía, además lo podemos practicar mediante los ejercicios y si tenemos dudas,
las podemos consultar en las explicaciones que vienen en el cuadernillo.

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Alumno 14:
Respuesta A: Me pareció excelente ya que la maestra explica muy bien, realizamos varios
ejercicios, además realiza la clase muy agradable ya que todos participamos y realizamos
los ejercicios en el pizarrón y así saber si nuestra respuesta esta bien o mal y si esta mal
nos dice en que nos equivocamos. Nos proporciona material de apoyo y así practicamos
más nuestros conocimientos.
Respuesta B: Es un material muy bien elaborado ya que te explica paso por paso como
resolver los ejercicios te pone ejemplos y te realiza una buena explicación además de una
clara conclusión.
Alumno 15:
Respuesta A: Bueno, el curso de este semestre me pareció muy bueno y de muy buena
calidad, ya que la maestra, sabe explicar muy bien los temas, los argumenta bien, pero lo
que más me gusto, fue que tiene mucha paciencia con sus alumnos, ya que si alguien no
le entiende, por lo mínimo que sea, la maestra le responde todas sus dudas.
A mi en especial, me ayudó mucho, pues desde la primaria no me gustaban las
matemáticas y en la secundaria casi y las odie, pero ahora, si bien no le tengo un gran
amor, pero si me agrada más esta materia y más, por los ejercicios, me ponen a pensar y
no me doy por vencida, hasta que los termino.
Solo quiero darle las gracias a usted maestra, me ayudó a comprender cosas que no
entendía y de verdad espero verla el próximo semestre, ya que su clase me gusto mucho
y me cayó muy bien.
Respuesta B: Me pareció muy bueno, ya que esos ejercicios me ayudaron a comprender
todos los temas, entendí todo acerca de las ecuaciones, ya que esos temas no les
entendía.
Alumno 16:
Respuesta A: Bueno, el curso me pareció que estuvo bien porque supo explicar bien. Y
también creo que tuvo mucha paciencia con todos para explicar todos los temas, en
especial las ecuaciones lineales. Si hubo algunos temas que no les entendí pero creo que
solo fue 1.
Respuesta B: El material al principio estuvo fácil. En realidad si estuvo algo extenso pero
no estuvo tan difícil. Solo que si hubo algunos temas que no se explicaban
completamente o a veces no era lo mismo que se veía en clase. También puedo decir que
entendí más a la explicación que se daba en clase que la que venía en el libro.
Alumno 17
Respuesta A: Este es uno de los mejores cursos que he tomado, por la cantidad de temas
nuevos que aprendí. Es un curso muy completo y me gusto mucho la actitud de la
profesora ya que cuando no entendías algo te lo explicaba aún cuando tú fueras el único
que no entendías.
Otra cosa muy importante es el nivel de la profesora y la forma en la que preparaba sus
clases.

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Respuesta B: Es un material muy completo y me ayudó a comprender y complementar los
temas que no había entendido aún. Me hubiera gustado que tuviera más espacio para
poder contestar todo en el libro. Este material ayudó mucho, ya que complementaba la
clase.
Alumno 18:
Respuesta A: Pues si me gusto la manera en que se dieron las clases, aunque hubo
momentos en que la profesora iba muy acelerada y pues no era tan fácil por así decirlo
hacer los ejercicios.
Si hubo muy buena explicación, bien desarrollada, buenos ejemplos, los exámenes pues
también nada fuera del otro mundo, aunque lo que no me agrado mucho fue lo de esta
última unidad ya que pues fue así como de improvisto y ya muy así como que muy a la
carrera y muy estresante en parte porque pues fue de que el libro se dió ya hasta casi lo
último del semestre.
Fuera de eso la clase se hizo muy didáctica, muchos de los que no entendían mejor
pasaban a resolverlo y así mejor para darle más entendimiento a la clase.
Respuesta B: Muy buen material. Tiene bien las definiciones muy concretas, bien
resumidas, entendibles y aparte de todo es excelente calidad. Muy buen trabajo.
Alumno 19:
Respuesta A: En lo personal me agrado la forma en que explicó el curso y como nos trato
a cada uno, ya que nos tuvo mucha tolerancia, aunque al final el trabajo fue muy rápido.
Respuesta B: Me pareció bueno, porque esta bien explicado: con ejemplos y definiciones.
Las ecuaciones que ahí se presentan hicieron que desarrollara las habilidades para
resolver y plantear ecuaciones.
Alumno 20:
Respuesta A: El curso me pareció un poco difícil las cosas que vimos no lo eran tanto
pero en los exámenes no salí muy bien. El curso estuvo bien a lo mejor si hubiera sacado
mejores calificaciones estaría satisfecha con lo que hice se que si aprendí porque también
fue como un repaso de lo que vi en tercero de secundaria pero diferente.
La verdad no me se expresar mucho y no puedo poner por lo menos la mitad de la hoja
pero para mi este curso fue difícil porque fue el primer semestre me costo trabajo
adaptarme pero respecto a la materia creo que estuvo muy bien aunque me siento mal
por los exámenes que aunque si sabia saque malas calificaciones.
Respuesta B: Me pareció muy bien, la verdad la factorización a mi se me hace muy difícil
pero leyendo bien pude entender. El cuadernillo esta bien, las instrucciones, los ejercicios
se me hicieron un poco difíciles pero estuvo bien.
Alumno 21:
Respuesta A: En general todo el curso me pareció atractivo, aunque en un principio no
estaba bien acoplado a mis compañeros y a la maestra. Se me hizo un poco sencillo, ya
que la mayoría de los temas vistos ya me los habían enseñado con anterioridad, pero de
igual manera fueron interesantes.

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Del mismo modo, estudiamos temas que para mi eran desconocidos o no los recordaba
muy bien. Una de las cosas que más me agrado fue el tema de las ecuaciones
cuadráticas, pues lo entendí bien y rápido, lo que en realidad no me gusto fue la tarea, no
porque haya sido muy pesada más bien fue porque no me gusta hacer tarea. También
algo que me gusto fue el que nos separaran en dos secciones, así los maestros ponen
más atención en cada alumno.
Respuesta B: Fue bueno, solamente que lo realizamos muy rápido, y no es que no lo
entendiera sino que teníamos que hacer tarea casi diario.
El cuaderno con relación a los temas me agradó pues estaba muy bien explicado y de
manera sencilla además de que abarco muchos temas. Puedo concluir que fue un
material excelente pero no hay que hacerlo con tantas tareas.
Alumno 22:
Respuesta A: El curso me pareció muy bueno, ya que aprendimos muchas cosas nuevas
y algunas otras cosas que ya habíamos visto antes, pero nos sirvió para darles un repaso
y de esta forma recordarlas y tener más práctica.
Respuesta B: Me pareció que estaba muy bien explicado y daba muy buenos ejemplos y
eran claros, ya que si seguías los pasos que se daban para resolver los ejercicios se
podían hacer con facilidad. Este material del cuadernito me pareció muy bien elaborado
ya que contenía ejercicios muy buenos.
Alumno 23:
Respuesta A: En lo personal, a mi este curso me pareció muy bueno, ya que entendí muy
bien todos los temas, gracias a la maestra que supo explicar muy bien, sin confundirme. Y
las veces que no entendía muy bien la maestra me explicaba hasta que me quedara claro.
Yo pienso que la maestra tiene mucho que ver con el aprendizaje, y para mi, la maestra
es muy profesional y tiene mucha capacidad para explicar. Este curso me gusto mucho,
ya que entendí bien matemáticas y me toco muy buena maestra.
Respuesta B: El material de la 5ª unidad fue muy útil y bueno. Ya que te explica todo paso
a paso, su objetivo y el procedimiento. Y lo bueno era que si no le entendías lo volvías a
leer y comprendías los ejemplos. Además que ahorrábamos tiempo, aunque la maestra
nos explicaba lo que nos parecía difícil. Pero fue un material bien elaborado, bien
redactado y con muy buenos conocimientos y ejemplos.