Este documento presenta un análisis de la placa zonal de Fresnel utilizando la teoría fraccional de Fourier. Se describe la placa zonal de Fresnel y cómo enfoca una onda plana monocromática en pequeñas regiones. Luego, se deriva una ecuación general para la difracción producida por una placa zonal utilizando la transformada fraccional de Fourier, obteniendo expresiones formales para las coordenadas de los planos focales y las amplitudes de los órdenes difractados. Finalmente, se muestran resultados de una sim

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Análisis de la placa zonal de Fresnel utilizando la teoría fraccional de Fourier
Article in Revista Colombiana de Fisica · February 2018
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2. Revista Colombiana de Fı́sica,Vol. 40, No.1, Abril 2008
Análisis de la Placa Zonal de Fresnel Utilizando la Teorı́a
Fraccional de Fourier
C. O. Torres a
, L. Mattos a
, C. Jiménez b
, J. Castillo b
, Y. Torres c
aGrupo LOI, Universidad Popular del Cesar. Valledupar-Colombia.
bGrupo GIMA, Universidad de la Guajira. Riohacha-Colombia.
cGrupo GOTS, Universidad Industrial de Santander. Bucaramanga-Colombia.
Recibido 22 de Oct.2007; Aceptado 3 de Mar.2008; Publicado en lı́nea 15 de Abr.2008
Resumen
La placa zonal de Fresnel se describe adecuadamente con ayuda de la teorı́a clásica de la difracción;
en este caso particular se considera una abertura dividida en regiones anulares; es decir una pantalla
de rendijas estrechas de cı́rculos concéntricos la cual es iluminada con una onda plana monocromática;
esta configuración permite enfocar una onda plana monocromática en pequeñas regiones con mucha
intensidad, lo cual da lugar a la formación de una serie de ondas esféricas que convergen o divergen de
puntos focales, de donde se obtiene que la placa zonal es un elemento óptico difractivo con cromatismo
pronunciado. En este artı́culo se presenta una derivación completa y detallada de la difracción producida
por una placa zonal de Fresnel utilizando el formulismo de la teorı́a de la transformada fraccional de
Fourier, obteniéndose de manera formal una ecuación para las coordenadas de los planos focales y para
las amplitudes de los ordenes difractados.
Palabras Clave: Placa zonal de Fresnel, difracción, transformada fraccional de Fourier.
Abstract
The Fresnel zone plates are described suitably with the help of the classic theory of the diffraction; in this
particular case when a plane wave illuminates a certain type of bicomponent optical system, consisting of
plane screens with circular apertures on a given optical axis, a multifocal diffractive focusing effect can
appear; this configuration allows to obtain small regions with much intensity, here the diffraction picture
in the focal planes represents the circular nonlocal bands of the Fresnel zones with a bright narrow peak
at the center. In this article a detailed description of the working principle of the Fresnel zone plates and
general equation for the Fresnel zonal plate diffraction is derived within the framework of the fractional
Fourier transform.
Keywords: Fresnel zone plates, diffraction, fractional Fourier transform
c
°2008.Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1. Introducción
La placa zonal se considera como el primer elemen-
to óptico difractivo, esta consiste en un conjunto de re-
giones circulares opacas y transparentes, fue realizado
por Rayleigh en 1871 [1]; en 1918 Wood fabricó la pla-
ca zonal de fase invertida, en los años 50 y 60’s, varios
investigadores consideraron cortes en forma de dientes
de sierra (blazing) en la placa zonal, para incrementar la
cantidad de energı́a concentrada en un orden de difrac-
ción particular. A finales de 1960, Lesem, Hirsch y Jor-
dan desarrollaron el kinoform; elemento óptico difrac-

3. C. O. Torres et al. Análisis de la Placa Zonal de Fresnel Utilizando la Teorı́a Fraccional de Fourier
tivo cuyo control de fase se hace modulando el perfil de
una superficie óptica [1,2]. La óptica difractiva se fort-
aleció en los años 80’s, gracias al excelente trabajo que
fue realizado en el MIT Lincoln Laboratory, el cual hi-
zo posible la fabricación de lentes de Fresnel con altas
eficiencias de difracción[1].
2. Transformada fraccional de Fourier y formula de
Collins generalizada
Resultados preliminares permiten escribir la conoci-
da integral de difracción de Collins como:
UP (u, v) =
2π sin α
iλ (B)
exp



D
B
−
cos2
α
A
³
1 − B
R1
´
B


iπ
¡
u2
+ v2
¢
λ


h
exp
h
−i
³π
4
−
α
2
´ii2
Fα
[UA (ξ, η)] (1)
Donde los elementos ABCD constituyen la llamada
matriz de transferencia de rayos de un sistema óptico
[2]. La expresión (1) muestra que existe una relación
descrita por la transformación de Fourier de orden frac-
cional Fα
de orden α entre la distribución de amplitud
compleja de salida UP (u, v) y la distribución de am-
plitud compleja de entrada UA (ξ, η); el factor de fase
esta asociado en aproximación paraxial con una onda
divergente [3,4], donde:
R2 =
−AB
³
1 − B
R1
´
AD
³
1 − B
R1
´
− cos2α
(2)
La relación (2) establece de manera general la condi-
ción de obtención de una transformación de Fourier de
orden fraccional entre superfiucies esféricas cuando es
conocida la matriz de transferencia de rayos del sis-
tema óptico; su significado fı́sico se corresponde con el
principio de Huygen’s. Si, R1 → ∞, la Fα
estará so-
bre una superficie esférica de observación con radio
R2 = −AB
AD−cos2 α .
3. Fenómeno de difracción para la placa zonal de
Fresnel
La placa zonal es un ejemplo de la difracción de
Fresnel; y consiste de una abertura dividida en regiones
anulares como las de fig. 1, si la pantalla es ilumina-
da por onda plana monocromática de longitud de onda
λ. Las ondas que emergen de cada una de las ranuras
están en fase, si la diferencia de camino óptico es un
múltiplo entero n de la longitud de onda, por tanto las
rendijas circulares concéntricas son capaces de enfocar
una onda monocromática plana en pequeñas regiones
con mucha intensidad. Si las aberturas circulares son
dividas en zonas de Fresnel y las zonas alternas son cu-
biertas con un material opaco, se tiene una placa zonal
de Fresnel, si además, varı́a sinusoidalmente, se conoce
como una lente zonal de Fresnel. Según la definición
anterior la transmitancia t (ξ, η) de una placa zonal de
fresnel en amplitud queda expresada mediante:
t (ξ, η) =
∞
X
n=−∞
Anexp
"
i2πn
¡
ξ2
+ η2
¢
p
#
⇒
An =
1
p
Z ξ0+p
−ξ0
Z η0+p
−η0
t
¡
ξ2
, η2
¢
exp
·
−
i2πn(ξ, η)
p
¸
dξdη
(3)
Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (1) se
obtiene:
Fα
[t (ξ, η)] =
exp
£
i
¡π
2 − α
¢¤
2π sin α
exp
"
−i
¡
u2
+ v2
¢
2 tan α
#
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
exp
"
−i
¡
ξ2
+ η2
¢
2 tan α
#
exp
·
i (uξ + vη)
2 sin α
¸
∞
X
n=−∞
Anexp
"
i2πn
¡
ξ2
+ η2
¢
p
#
dξdη
(4)
Utilizando propiedades de las transformaciones frac-
cionales de Fourier de funciones simples [5] y con-
siderando que:
pn = 4nπ tan α ⇒
t (ξ, η) =
∞
X
n=−∞
Anexp
"
i
¡
ξ2
+ η2
¢
2 tan α
#
(5)
Donde p es el periodo fundamental de la placa zon-
al de Fresnel, es decir la placa zonal de Fresnel aho-
ra está modulada por el orden de la transformación de
Fourier de orden fraccional, se obtiene:
137

4. rev.col.fis(c),vol.40,No 1(2008)
Figura 1. Placa zonal convencional
Figura 2. Simulación digital
Fα
[t (ξ, η)] =
= exp
h
−i
³π
2
− α
´i
2π sin α
∞
X
n=−∞
Anδ (ξ, η) (6)
Teniendo en cuenta la condición dada en la ecuación
(1) para el caso de propagación una distancia z en el
espacio libre y haciendo el escalamiento respectivo [6]:
UP (u, v) =
2π sin α
iλz
exp
"
sin2
α
iπ
¡
u2
+ v2
¢
λz
#
h
exp
h
−i
³π
2
− α
´ii2 ∞
X
n=−∞
Anδ
³ u
λz
,
v
λz
´
(7)
En este caso particular R1 → ∞, iluminación con
onda plana monocromática de amplitud unitaria, se ob-
tiene que la transformada fraccional de Fourier se en-
cuentra sobre una superficie esférica con radio R2 =
−z
sin2 α
= rn. Donde rn corresponde al radio n-esimo
de una placa zonal. Los coeficientes de Fourier dan los
valores de la amplitud de los focos de la Placa Zonal de
Fresnel, La amplitud de la onda enfocada en el plano zn
correspondiente a una placa zonal de perı́odo pn dado
por la ecuación (7) es An.
4. Simulación digital
Utilizando un algoritmo realizado en Matlab se gener-
aron placas zonales moduladas por un valor definido
por el orden de la transformación fraccional de Fourier;
los resultados son mostrados en la figura 2.
5. Conclusiones
La placa zonal mostrada en esta investigación se
comporta como lo predice la teorı́a de Fresnel, de un
138

5. C. O. Torres et al. Análisis de la Placa Zonal de Fresnel Utilizando la Teorı́a Fraccional de Fourier
modo análogo a una lente convergente. La placa zon-
al concentra una gran fracción de luz difractada en un
punto sobre el eje óptico llamado foco principal, a una
distancia z = rn llamada distancia focal de la placa,
correspondiente al tamaño de las zonas y a la longitud
de onda de la luz utilizada, esta particularidad permite
su uso como elemento de enfoque. En este trabajo me-
diante la simulación digital implementada se encon-
tró que una adecuada modulación de la placa zonal en
términos del orden fraccional de Fourier mejora el en-
foque de la placa zonal.
Referencias
[1] “Optica difractiva: una revisión al diseño y con-
strucción de sistemas ópticos empleando lentes difrac-
tivas”, Revista Mexicana de Fı́sica 52 (6) 479 - 500.
2006.
[2] W. Goodman, “Introduction to Fourier optics,”
McGraw-Hill, New York, Chap. 3, p. 34, (1996).
[3] D. Zhao, “Multi-element resonators and scaled
fractional Fourier transforms,” Opt. Comunn. 168,
85-88 (1999).
[4] P. Pellat-Finet, “Fresnel diffraction and the
fractional-order Fourier transform”, Opt. Let. 19,
pp 1388- 1390, 1994.
[5] V. Namias, “The fractional Fourier transform and
its applications to quantum ” mechanics, J. Inst.
Math. Appl.25, 241-265 (1987).
[6] J. Hua, L. Liu and G. Li, “Scaled fractional Fouri-
er transform and its optical implementation” Appl.
Opt. 36, 8490-8492 (1997).
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