El documento aborda el análisis de tensores de esfuerzos en geomecánica, detallando teorías como la matriz de esfuerzos principales, cosenos directores e invariantes. Incluye ejercicios prácticos para determinar el estado tensional en excavaciones y evaluar la razón de anisotropía en direcciones específicas. Se presentan resultados y referencias relevantes para profundizar en el tema.

1. Profesor: Juan Jarufe
Ayudantes: Víctor Yelicich, Ivo Fritzler
Autor: Ivo Fritzler
2017
Mecánica de Rocas I
Ayudantía 1: “Tensor de Esfuerzos”

2. Contenido
• Idea General
• Teoría
– Matriz de Esfuerzos Principales
– Matriz de Cosenos Directores
– Tensor de Esfuerzos
– Invariantes
– Esfuerzos Principales (2D)
– Razón de Anisotropía
• Ejercicios
• Referencias

3. Idea General
“Estudio de un sector del Macizo”
Tensor de Esfuerzos XYZ
Tensor de Esfuerzos otras orientaciones
Análisis de labores y/o Estructuras
Razón de Anisotropía
Matriz de Esfuerzos Principales
Invariantes
Matriz Cos Dir
Matriz Cos Dir

4. Teoría
• Matriz de Esfuerzos Principales
Representa los esfuerzos principales in-situ en el
sector del macizo rocoso estudiado, además
cada esfuerzo principal, poseerá una dirección e
inclinación determinada (orientación).
Matriz de Esfuerzos Principales

5. Teoría
• Matriz de Cosenos Directores
Permiten trasladar la matriz de Esfuerzos Principales a un Tensor de
Esfuerzos coordenado al plano XYZ, o bien trasladar un Tensor de
Esfuerzos a otra dirección cualquiera.

6. Teoría
• Matriz de Cosenos Directores
– Medición de Dirección 𝛃
Se mide desde el eje x positivo hacia la
dirección en rumbo o azimut del esfuerzo, si se
mide en sentido horario el valor tendrá signo
negativo, si se mide en sentido anti-horario
tendrá signo positivo.

7. Teoría
• Matriz de Cosenos Directores
– Medición de Inclinación 𝛅
Se mide desde un plano horizontal hacia la labor o
estructura, si es positiva, se medirá sobre el plano
horizontal, si es negativa bajo el plano horizontal.
– Tener en cuenta:
a. Inclinación: ángulo medido desde la horizontal al
plano de interés
b. Manteo y Buzamiento: ángulo medido desde el
plano de interés hacia la horizontal.
– No necesariamente se utilizará el concepto de
inclinación (generalmente asociado a excavaciones),
también podemos analizar estructuras geológicas, por
ende, es necesario comprender la medición del manteo
y buzamiento (este último también puede ser usado
para excavaciones, ya que representa una línea).

8. Teoría
• Tensor de Esfuerzos
Representación tridimensional de los
esfuerzos actuantes en un macizo rocoso
coordenados al plano XYZ (definición en
contexto de geomecánica).
Tensor de Esfuerzos

9. Teoría
• Tensor de Esfuerzos
– Obtención de Tensor a partir de una Matriz de Esfuerzos Principales
Se genera a partir del producto entre el coseno director traspuesto, una matriz
de esfuerzos principales y un coseno director normal, cabe destacar que los
cosenos directores estarán en función de la inclinación y dirección beta de los
esfuerzos principales.

10. Teoría
• Tensor de Esfuerzos
– Obtención de Tensor en otra dirección
Se genera por el producto entre una matriz de cosenos directores normal, un
tensor de esfuerzos y una matriz de cosenos directores traspuesta, se debe tener
en consideración que la dirección e inclinación beta para los cosenos directores
en este caso estará en función de la dirección que se desee evaluar y el tensor
de esfuerzo (sin comillas) en este caso nace a partir de la matriz de esfuerzo
principales.

11. Teoría
• Invariantes
Permiten corroborar cambio de coordenadas y además mediante las
invariantes generadas determinar la magnitud y orientación de los
esfuerzos principales, si lo que se esta estudiando es un tensor de
esfuerzos.

12. Teoría
• Invariantes
– Obtención de Magnitud de Esfuerzos Principales
Las raíces obtenidas, se ordenarán según su magnitud teniendo en cuenta la
condición de esfuerzos principales:

13. Teoría
• Invariantes
– Obtención de Orientación de Esfuerzos Principales
Determinantes
Condición
Vectores

14. Teoría
• Invariantes
– Obtención de Orientación de Esfuerzos Principales
Inclinación
Dirección
Angular Beta

15. Teoría
• Esfuerzos Principales (2D)
– Magnitud
Esfuerzo Principal Mayor
Esfuerzo Principal Menor

16. Teoría
• Esfuerzos Principales (2D)
– Orientación

17. Teoría
• Razón de Anisotropía
Corresponde al cociente entre el esfuerzo principal máximo y el
esfuerzo principal mínimo que actúan en el contorno de la labor,
permiten determinar como se distribuyen los esfuerzos en el
contorno de esta, permitiendo evaluar si se comporta de manera
anisótropa o isótropa, mientras más isótropa (cercana a 1 en valor)
sea el comportamiento, menor daño por sobre excavación.

18. Ejercicio
• En el futuro Nivel de Ventilación de una explotación subterránea, se ha realizado
una campaña de caracterización de los esfuerzos in-situ del sector, como
resultado del procesamiento de dicha campaña se han obtenido los esfuerzos
principales indicados en la Tabla 1 (siguiente diapositiva)
• Se proyecta excavar una chimenea que asegure en el largo plazo el flujo de aire,
por lo cual, a usted como Ingeniero Geomecánico se e solicita analizar y
recomendar cual de las siguiente orientaciones permitirá cumplir con este
objetivo, es decir, minimizar el daño por sobre excavación de la chimenea.
• Las direcciones a evaluar corresponden a:
– Chimenea opción A: Azimut 330°, inclinación 80°
– Chimenea opción B: Azimut 150°, inclinación 60°
• Justifique su respuesta. Puede apoyarse con la utilización de la razón entre
esfuerzos principales secundarios (P/Q).

19. Ejercicio
• Considerar:
- AZ corresponde al Azimut de cada uno de los esfuerzos principales e I su
inclinación.
- Los esfuerzos principales están en Mega Pascales (MPa)
Tabla 1. Medición de Magnitud y Orientación de Esfuerzos Principales
σ1 AZ1 I1 σ2 AZ2 I2 σ3 AZ3 I3
63 77.77 -4.53 52 168.82 -13.01 25 328.96 -76.20

20. Desarrollo
• Visualización de información
Se grafican los vectores esfuerzo
en un plano XY o EW - NS, a partir
de la información entregada.

21. Desarrollo
• Determinación de dirección (𝛃)
Para poder utilizar cosenos directores, se
deben obtener direcciones 𝛃, la cual se
mide desde eje X positivo hacia el vector
esfuerzo, dependiendo el sentido será su
signo (anti horario +, horario -)
Esta nueva información nos servirá !

22. Desarrollo
• Generar Cosenos Directores
Teniendo en cuenta que los
Sigmas Principales 1,2,3 para
este caso se asocian a x,y,z.
Realizando el mismo
procedimiento para cada
Sigma, se generan los
Cosenos Directores.

23. Desarrollo
• Obtención de Tensor de Esfuerzos
Con en base a cosenos directores obtenidos anteriormente y la matriz
de esfuerzos principales dada en el enunciado.
Este tensor sólo representa el estado tensional del sector, no lo que
específicamente se desea evaluar (chimeneas).

24. Desarrollo
• Evaluación de opciones
• Caso A
Se gráfica en plano xy o ns
la labor en análisis, y se
determinan sus demás
componentes a 90° de la
excavación, cabe destacar
que la dirección de la
chimenea para este caso, se
consideró como el eje Y.

25. Desarrollo
• Determinación de dirección (𝛃)
Se mide desde eje x positivo cada
componente y se determina la magnitud y
signo de cada dirección.
• Determinación de Inclinación
Estará en función de la inclinación de la
chimenea.

26. Desarrollo
• Obtención de Cosenos Directores y Tensor de Esfuerzos para
Chimenea Caso A.

27. Desarrollo
• Determinación de Esfuerzos 2D
Permiten determinar los esfuerzos que actúan en
el contorno de la labor y así determinar
posteriormente la razón de anisotropía.

28. Desarrollo
• Caso B
Orientación de labor
Tensor de Esfuerzos de labor
Esfuerzos Principales en torno a labor
Razón de Anisotropía de Esfuerzos

29. Desarrollo
• Solución Final
Como la razón de anisotropía en la opción B es menor, es
recomendable generar dicha excavación, ya que en el mediano o
largo plazo no estará “tan” propensa a daños por sobre excavación en
sus paredes.

30. Ejercicio Propuesto
• Como resultado de una campaña de mediciones de esfuerzo realizada en una mina subterránea,
mediante la técnica Hollow Inclusion, se han obtenido como esfuerzos principales promedio lo que se
detalla a continuación:
• Las direcciones se han diferenciado como azimut e inclinación, considerando que la inclinación sobre
la horizontal es positiva.
• A usted como Ingeniero Geomecánico se le solicita:
a. Determinar el tensor de esfuerzos referenciado al los ejes cartesianos (σxyz).
b. En el sector de interés existe una falla de mala calidad geotécnica caracterizada por un Dip de 25° y un Dip
Direction de 330°, la cual podría condicionar futuros diseños mineros en el sector. Por lo cual, se requiere
estimar el estado de esfuerzos sobre la falla, determinando el esfuerzo normal (σn) actuante y su respectiva
componente de corte total (τtotal).
σ1 AZ1 I1 σ2 AZ2 I2 σ3 AZ3 I3
63.33 209.21 -21.24 34.55 115.81 -8.68 22.82 4.84 -66.89
Tabla 2. Estado tensional obtenido vía HI

31. Respuestas
a. σxyz =
40.49 10.50 5.10
10.50 51.81 12.70
5.10 12.70 28.40
b. σN = 24.44 MPa, τtotal = 4.06 MPa

32. Referencias
• Acevedo, D. (2015). Ayudantía 1 - Tensor de Esfuerzo [Material de Clase].
Fundamentos de Geomecánica. Universidad de Santiago de Chile, Región
Metropolitana, Santiago.
• Domcke, M. (2006). Cap 2 Esfuerzos 3D. En Ayudantías Fundamentos de
Geotecnia (pp.14-22). Santiago, Chile: Edición propia del autor.
• Orrego, C. (2015). Análisis de Esfuerzos en tres dimensiones [Material de
Clase]. Fundamentos de Geomecánica. Universidad de Santiago de Chile,
Región Metropolitana, Santiago.