Este documento resume las ecuaciones de Maxwell y la teoría electromagnética. Presenta las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones constitutivas para materiales, y deriva la ecuación de ondas a partir de estas ecuaciones. También describe soluciones como ondas planas y esféricas de la ecuación de ondas electromagnética.

1. Repaso de teoría electromagnética
Ecuaciones de Maxwell:
t
B
E
∂
∂
−=×∇ Faraday (inducción)
t
DH
∂
∂=×∇ Ampérè (sin corriente 0=J )
0B∇⋅ = No existencia de mono-polos magnéticos
0D∇⋅ = Gauss (en ausencia de carga libre)
[ :mVE ] Campo eléctrico
[ :mAH ] Campo magnético (o excitación magnética)
[ ]:2
mAsD Desplazamiento eléctrico
[ ]:2
mVsB Inducción magnética
[ ]:2
mAJ Densidad de corriente
Ecuaciones constitutivas (Materiales) lineales
EJ σ= σ: conductividad; Ley de Ohm
ED ε= εo: 8.8544x10-12
As/mV
ε: permitividad dieléctrica
HB µ= µ: permeabilidad magnética
Relaciones generales:
MHB o += µ PED o += ε
:M Magnetización :P Polarización
Flujo de energía
Vector de Poynting: HES ×=
En ausencia de corrientes, se cumple:
(Teorema de poynting)
t
wS
∂
∂−=⋅∇ ( )J E+ ⋅ disipación
2 2
E D H B
w
⋅ ⋅
= + : densidad volumétrica de Energía electromagnética

2. Integrando en un volumen,
Ven
contenida
energía
V
dvw
dt
ddvS
V
∫∫ −=⋅∇
( )ˆ
S
d
S n ds Energía
dt
⋅ = −∫



⋅ :ˆnS




=



22
m
Watt
sm
J
e
n
s la cantidad de energía que atraviesa la unidad de área (en dirección
ormal a la superficie) por unidad de tiempo
Los detectores promedian:
( ) ( ) [ ]2
0
ˆˆ1 mWattIntStdntS
T
T
=⋅=⋅∫ Intensidad o Irradiancia
Ejemplos:
tierralasobre
solarI ≈ 1.4 KW/m2
= 1.4 x 103
W/m2
= 1.4 x 103
J/m2
s
Láser de 1 mW; radio del spot r = 1 mm; superficie 262
1014.3 mr −
×=π
2
26
/3.0
1014.3
1 mKW
m
mWI ≈
×
≈⇒ −
Detectores de intensidad de luz
Parámetros a tener en cuenta:
Tiempo de respuesta: TDetector ~ 10-10
s _ 10-8
s (depende del detector y el circuito)
Respuesta espectral: respuesta en longitudes de onda, hay diferentes detectores para
distintas regiones del espectro
Eficiencia cuántica (ρ): se define como el cociente entre el Nº de pares electrón-hueco
generados en el detector, sobre el Nº de fotones incidentes
(para detectores basados en semiconductores)
Corriente de oscuridad: es la corriente que se genera a pesar de que no hay fotones
incidentes, esta es proporcional al tiempo de medida (∝t)
Offset: es un valor constante en el tiempo, pero proporcional al número de medidas
realizadas
Relación señal/ruido: mínima intensidad de señal necesaria para poder ser detectada, a
pesar de la presencia de ruido (SNR umbral)

3. Ecuación de ondas:
Partimos de las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones constitutivas.
Hipótesis de trabajo:
- µ y ε independientes de E y H
- Medios homogéneos (µ y ε independientes de tr, )
- No hay Fuentes 0=J , ρ = 0
t
DH
∂
∂=×∇
( ) 2
2
2
2
t
E
t
DH
t ∂
∂=
∂
∂=×∇
∂
∂ ε
( )
2
2
H E
H
t t
µ µ µ
∂ ∂
∇× = ∇× =
∂ ∂ t
ε
∂
∂
(1)
Por otro lado
t
BE
∂
∂−=×∇
t
BE
∂
∂×−∇=×∇×∇
t
HE
∂
∂×∇−=×∇×∇ µ (2)
Sumando (1) y (2)
02
2
=
∂
∂+×∇×∇
t
EE µε
( ) EEEE 22
0
−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇
=
⇒ 02
2
2
=
∂
∂−∇
t
EE µε Ecuación de onda
En forma análoga se llega a 02
2
2
=
∂
∂−∇
t
HH µε ,
Si el material no es homogéneo,
(1)2
2
t
EE
t
H
t
H
t
HE
∂
∂−




 ×∇×∇=
∂
∂×∇−
∂
∂×−∇=





∂
∂×−∇=×∇×∇
εµ
µ
µ
µµµ
Recordando ( )µ
µ
µ
ln∇=
∇

4. Por otro lado:
( ) ( )( ) EEEEE 22
ln ∇−⋅∇−∇=∇−⋅∇∇=×∇×∇ ε (2)
De (1) y (2) obtenemos
( )( ) ( ) ( )EE
t
EE ×∇×∇−⋅∇−∇=
∂
∂−∇ µεµε lnln2
2
2
La misma ecuación se cumple para H
c=
µε
1
velocidad de la luz (radiación) en el medio
01
2
2
2
2
=
∂
∂−∇
t
E
c
E ; 01
2
2
2
2
=
∂
∂−
t
H
c
H∇ (3)
Ondas monocromáticas
( ) ( ) ( ϕω += trEtrE o cos, )
)
(4)
( ) ( ) ( ψω += trHtrH o cos,
En general, se tendrá una superposición de ondas monocromáticas
( ) ( ) ( ) ωϕωω ω dtrEtrE o∫
+∞
∞−
+= cos,,
ω: frecuencia angular [Hz]
Sustituyendo (4) en (3) se obtiene:
( )ϕωω +−=
∂
∂ t
ct
E
c
cos1
2
2
2
2
2
( ) ( ) 0,, 22
=+∇ ωω rEkrE oo Ecuación de Helmholtz
ck ω≡ : número de ondas
Notación compleja:
Resulta conveniente escribir
( ) ( ) ( )ϕω +−
= ti
o erEtrE , ( ) ( ) ( )ψω +−
= ti
o erHtrH ,
Las magnitudes físicas reales se obtienen
( ) ( )[ ]trEtrEEreal ,,
2
1 *
+= ( ) ( )[ ]trHtrHH real ,,
2
1 *
+=

5. Ecuación de ondas escalar
Cuando no es importante el carácter vectorial de los campos:
( ) ( ) 022
=+∇ rEk o (1)
donde puede interpretarse como una componente cartesiana de( )rEo E .
La razón es que si ( zyx EEEE ,,= ) se demuestra que para el caso de las coordenadas
cartesianas se puede escribir como:2
∇
( )zyx EEEE 2222
,, ∇∇∇=∇
Soluciones de la ec. de ondas
Onda plana: ( )
( )
fase
trki
o eEtrE ,
ω±⋅
= (2)
k : vector de onda
Para que la parte especial de (2) sea solución de (1) es necesario
rkirkirkirki
ekkeekie ⋅⋅⋅⋅
⋅−=∇⇒=∇ 2
, la dirección k es arbitraria
2
kkk =⋅
c
k ω=⇒
Las superficies de fase constante se llaman frentes de onda. En este caso son planos
perpendicular a k
Analíticamente: ctetrk o =−⋅ ω ec. de un plano perpendicular a k , a t fijo
_ ctetrk o =−⋅ ωk
rd
r
rdr +
O
( ) ctetrdrk o =−+⋅ ω
0=⋅rk
rdk ⊥⇒ ( rd está en el plano)
¿A qué velocidad viajan los frentes de onda?
( ) ( ) 0==−⋅
dt
cted
trk
dt
d ωk rd
( )dttr +
( )tr
ω=⋅
dt
rdk ˆ dr
kk kc
dt
ω⋅ = =
ˆ dr
k c
dt
⇒ ⋅ =

6. c es la proyección de
dt
rd
en la dirección de k
O sea, es la velocidad a la que hay que moverse en dirección de k , para ver fase
constante.
µε
1=⇒ c es la velocidad de fase de la onda
Ondas esféricas:
( ) ( )trki
o eE
r
trE 1, ω±⋅
=
Las superficies de fase constante, son ahora esferas y se elige signo positivo o negativo
según se trate de una entrante o saliente respectivamente.
El término 1/r , es físicamente de esperar:
2
EHES ∝×=
La energía que atraviesa (por unidad de tiempo) una esfera de radio r será:
por conservación de la energía. Por lo quer4 2
∀= cteSrπ S tendrá que ser
proporcional a 1/r2
r
E 1∝⇒