La esfera tiene el área mínima entre todas las superficies de revolución posibles. Se demuestra esto mediante el uso de coordenadas polares para derivar funcionales del área y la longitud. Minimizando estos funcionales se obtiene que el radio debe ser constante, lo que produce una esfera. Al derivar dos veces el funcional del área con respecto al seno se comprueba que la esfera proporciona un área mínima.

1. [1]
Demostrando área mínima de la esfera
Demostrando que la esfera es un área mínima
By Héctor L. Cervantes C.
Abstract.- Se utiliza coordenadas polares para la ecuación de una línea en el plano para su rotación y se
escoge el funcional de área que genera la superficie de revolución también en coordenadas polares así como
el funcional de longitud en polares para demostrar que el medio círculo produce un máximo de área con un
mínimo de perímetro. Se emplean desigualdades para dos variables, de manera muy sencilla y evidente se
explica por qué el análisis matemático de Euler excluye a la esfera y solamente se obtiene el catenoide que es
una superficie abierta y no cerrada como lo es la esfera que les gana a todas las superficies de revolución.
Introducción.- Mucho se ha tratado de mostrar que la esfera tiene un área minimal utilizando
argumentos muy ingeniosos, pero se intenta dar una explicación académica en esta ocasión.
No se puede demostrar dicha propiedad utilizando coordenadas cartesianas.
CURVA CON PERÍMETRO EXTREMO
Cristo la fórmula diferencial para obtener el perímetro en coordenadas polares es:
𝐿 = ∫ √ 𝑟2 + (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
𝑑𝜃
𝜋
0
Cristo entonces el funcional de longitud es 𝐹 = √ 𝑟2 + (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
dentro del radical
observamos que hay dos términos que eliminando uno hacemos que el radical sea
mínimo, esto es: 𝑟2
+ (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
> 𝑟2
pero también 𝑟2
+ (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
> (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
𝑟2
+ (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
> 𝑟2
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
= 0
𝑟2
+ (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
> (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑟2
= 0
La primera desigualdad dice que el radio se mantiene constante en toda la curva, lo que
instantáneamente produce un círculo. primera evidencia

2. [2]
Demostrando área mínima de la esfera
La segunda desigualdad solamente genera un punto y es desechada.
∴ 𝑟( 𝜃) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 para un extremal de perímetro (conclusión L)
El perímetro del semi-circulo produce en extremal
Funcional modificada para producir un perímetro extremal 𝐹1 = 𝑟
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN CON MINIMA ÁREA
La fórmula diferencial para el área de revolución en coordenadas polares es:
𝑠 = 2𝜋 ∫ 𝑑𝑙 ∙ 𝑟( 𝜃)
𝑏=𝜋
𝑎=0
∙ sin 𝜃 𝑑𝜃
Cristo aquí el funcional 𝐹2 = 𝑑𝑙 𝑟( 𝜃) sin 𝜃 es para un área de superficie de revolución
como 𝑑𝑙 = √ 𝑟2 + (
𝑑𝑟
𝑑𝜃
)
2
entonces
𝐹2 = 𝑑𝑙 𝑟( 𝜃) sin 𝜃 ( 𝜃) = 𝒓( 𝜽) 𝐬𝐢𝐧 𝜽 √ 𝒓 𝟐 + (
𝒅𝒓
𝒅𝜽
)
𝟐
> 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 √𝒓 𝟐
Cristo esta última desigualdad para el funcional de superficie de revolución solo ocurre
cuando
𝑑𝑟
𝑑𝜃
= 0 es decir para r=constante=a; donde a es el radio de la esfera.
Funcional modificado para el área extremal de revolución de la esfera:
𝑭 𝟑 = 𝒂 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝜽
y entonces su integral de superficie es 𝒔 = 𝟐𝝅𝒂 𝟐(− 𝐜𝐨𝐬 𝜽)
𝜋
0
Cristo para demostrar que la superficie 𝒔 así obtenida es una superficie mínima se debe de deribar
doblemente de acuerdo a la variación de su funcional modificado, 𝑭 𝟑 = 𝒂 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝜽 es decir que
𝜕2
𝑆
𝜕𝐹3
2 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒
La variabilidad del funcional 𝑭 𝟑 depende de θ, pero si analizamos si es un mínimo ó máximo
derivando dos veces respecto de θ , obtendremos una ambigüedad de signos en la fluctuación del
coseno en el tramo de integración de 0 → 𝜋, ya que 𝒔 siempre representara en cada punto una

3. [3]
Demostrando área mínima de la esfera
integral definida en todo su tramo de integración original. Con la ambigüedad de signos
anteriormente mencionada impide una conclusión clara del resultado del resultado de análisis al
respecto
𝝏 𝟐
𝑺
𝝏𝑭 𝟑
𝟐 = ±?
Para evitar la ambigüedad (1) se derivará dos veces respecto del 𝐬𝐢𝐧 𝜽 esto no afecta el
resultado del análisis, y si evita la ambigüedad de signos generada por el coseno, a lo largo del
tramo de integración. La función seno es siempre positiva en el tramo 𝟎 → 𝝅
𝑑𝑆
𝑑(sin 𝜃)
=
𝑑
𝑑(sin 𝜃)
{ 𝟐𝝅𝒂 𝟐(− 𝐜𝐨𝐬 𝜽)} = −𝟐𝝅𝒂 𝟐
𝑑
𝑑(sin 𝜃)
{√1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃}
Ya que √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = cos 𝜃
𝑑𝑆
𝑑(sin 𝜃)
= −{(− sin 𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝜃)−1/2
} = (sin 𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝜃)−1/2
𝑑2
𝑆
𝑑(sin 𝜃)2
= (1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝜃)−1/2
− (sin 𝜃)(− sin 𝜃)(1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝜃)−3/2
Finalmente:
𝒅 𝟐
𝑺
𝒅( 𝐬𝐢𝐧 𝜽) 𝟐
= ( 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽)−𝟏/𝟐
+ ( 𝐬𝐢𝐧 𝜽) 𝟐( 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐
𝜽)−𝟑/𝟐
> 𝟎
Se trata entonces de la superficie de la esfera es un área mínima que
además de ser cerrada, supera a todas las demás áreas minimales
encontradas con la ecuación de Euler para dos variables
(𝐜𝐨𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢ó𝐧 𝐒)
La conclusión S aclara que el extremal encontrado para la funcional modificada de la
longitud (que es el semi-círculo), se trata de un perímetro mínimo ya que genera una
superficie de revolución minimal que es la esfera. El semi-círculo tiene un área debajo de él
que es máxima es decir la esfera encierra un volumen máximo con un mínimo de superficie
envolvente.
(1)

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Demostrando área mínima de la esfera