Este documento presenta un resumen de los principales temas de la geometría plana, incluyendo geometría métrica (trazados básicos, polígonos, proporcionalidad, circunferencia), geometría proyectiva (homología, afinidad, homotecia) y otros temas como simetría, giro, traslación e inversión. Explica conceptos geométricos fundamentales y ofrece ejemplos ilustrativos de cada tema.

1. PLANIMETRÍA
Geometría.Priscila
Quezada

2. INTRODUCCIÓN
La geometríaplana trata de aquellos elementos que
solo tienen dos dimensiones y, que por lo tanto, se
encuentran y operan en un plano.
Los elementos básicos con los que se suele trabajar en
geometría plana son el punto, la recta, la circunferencia
y
otras curvas.
La geometría plana se divide en varios temas que nos
ayudan
a estudiarla.

3. GEOMETRÍA MÉTRICA
Estudia los problemas en los que intervienen medidas y
a su vez se divide en :

4. Trazados básicos
Las operaciones geométricas más elementales y que tienen una
utilidad universal, como por ejemplo el trazado de mediatrices,
bisectrices, etc.

5. Ejemplo: ¿Cómo se traza una bisectriz?
Para trazar la bisectriz del ángulo A de un
triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo
siguiente:
•Localizas el vértice B.
•Con origen en el vértice B, trazas un arco de
circunferencia de radio cualquiera pero tal que
corte los lados BA y BC en dos puntos que
llamaremos N y M
•Con origen en N, y radio cualquiera, traza un
arco de circunferencia..
•Con origen en M, y el mismo radio, traza otro
arco de circunferencia que interseque con el
anterior, en un punto.
•Une este punto con el vértice B mediante una
línea recta, y ya tienes la bisectriz del ánguloB..
•Etiqueta con "bB"

6. Polígonos
Líneas cerradas formadas por varios segmentos. La
construcción de polígonos con unas determinadas
características o datos es el objetivo de este apartado.

7. Ejemplo:
AP
= 252
= 625 m²
AJ
= 1502
− 625 = 21 875
m²
En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada,
de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

8. Proporcionalidad
Es la forma en la que a partir de unas determinadas longitudes
conseguimos otras según una determinada relación. Entre las más
habituales están la cuarta proporciona, la tercera proporcional, la media
proporcional, etc.

9. Ejemplo
Dividir un segmento, AB, en partes proporcionales a 3, 5, y
7.
1 - Dibujar una recta cualquiera que parta
de uno de los extremos, A, del segmento a
dividir con cualquier ángulo.
2 - Sobre ese segmento colocar 3, 5 y 7
divisiones de una misma medida
cualquiera (en mi dibujo marcado con 3', 5'
y 7').
3 - Unir el extremo del segmento dado, B,
con el de las divisiones, 7'.
4 - Hacer paralelas a esta última. 7'-B, por
las otras divisiones, 3' y 5'. Donde corten al
segmento original son los puntos que
dividen al segmento dado, punto marcados
con 3, 5 y 7.

10. Circunferencia
La línea curva cuyos puntos al centro están a una
misma distancia. Esta es una de las curvas más
importantes y por ello se trata aparte de las demás.

11. Ejemplo
Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del
triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la
circunferencia.

12. Potencia
Establece una relación entre un punto exterior a una
circunferencia y dicha circunferencia. Es un procedimiento
muy empleado para la búsqueda de circunferencias
tangentes a otros elementos.

13. Ejemplo
1 - Dibujar una circunferencia de centro cualquiera X,
que pase por uno de los puntos, A, y corte a la
circunferencia dada.
2 - Unir los puntos de corte de la circunferencia X con
la C (puntos 1 y 2)
3 - Unir el punto por el que pasa la circunferencia X
con el punto B y trazar una perpendicular a XB
4 - Por B hacer una perpendicular a XB
5 - Por donde esta última corte a 1-2 se dibuja una
perpendicular a C-B y este es un eje radical, e.r.1
6 - Por el punto medio de A -B trazar una perpendicular
y este es el segundo eje radical, e.r.2
7 - Donde se corten los dos ejes radicales es el centro
radical, c.r
Hallarel centro radical de la circunferencia de centro C y de los puntos A y
B

14. Enlaces y tangencias
Muchos objetos no están formados por una única curva, sino por la
unión de varias, siendo este apartado de encargado de determinar
sus elementos (centros, puntos de tangencia, etc.).

15. Ejemplo

16. Óvalos y ovoides
Estas son dos de las curvas técnicas más usadas. El óvalo es un buen
sustituto de la elipse. El ovoide se utiliza en mecánica como leva.

17. Ejemplo
1 - A partir de los extremos de los ejes, A y
C, llevar una distancia igual a la del radio
dado, R. El punto que esta sobre el eje
mayor, O1, es uno de los centros.
2 - Unir los dos puntos, X y O1. Dibujar su
mediatriz. Donde la mediatriz corte al eje
menor, O2, es otro de los centros.
3 - Por simetría (o repitiendo el
procedimiento) se obtienen los otros dos
centros, O3 y O4.
4 - Unir los centros entre sí para
determinar los puntos de tangencia.
5 - Con centro en O1 y O3 y radio R trazar
los arcos que hay entre O2-O3 y O3-O4 y
entre O4-O1 y O1-O2.
6 - Con centro en O2 y O4 y radio hasta
los extremos del eje menor, A y B, dibujar
los otros dos arcos.

18. Curvas cónicas
Son tres la elipse, la hipérbola y la parábola, cuyo estudio es
fundamental por ser, tras la circunferencia, las curvas que más
aparecen.

19. Ejemplo
1 - Con centro en cada uno de los dos
puntos dados y radios hasta el foco dado,
se trazan sendas circunferencias.
2 - Se halla el simétrico del foco dado
respecto de la tangente dada (punto s)
3 - Se determina el centro de la
circunferencia tangente a las dos
realizadas y que pase por el simétrico del
foco
4 - El centro de la circunferencia hallada,
es el segundo foco.
5 - La distancia entre el simétrico del foco
dado y el foco hallado es el eje mayor, 2a.

20. GEOMETRÍA PROYECTIVA
Estudia las proyecciones en un plano y sus invariantes, se divide en :

21. Homología
- La proyección de dos figuras planas que se encuentran en planos
distintos, desde un punto de proyección exterior a los dos planos. Muy
utilizada para hallar secciones de cuerpos como pirámides y conos.

22. Ejemplo
Homología de una figura, ABCD, conocido el centro de homología, el eje
de homología y un punto ya transformado.
1 - Prolongar AB hasta el eje.
2 - Unirlo con A'
3 - Donde corte a la unión de O con B es
su homólogo B'.
4 - Prolongar BC hasta el eje.
5 - Unirlo con B'.
6 - Donde corte a la unión de O con C es
su homólogo C'.
7 - Prolongar AD hasta el eje.
8 - Unirlo con A'.
9 - Donde corte a la unión de O con D es
su homólogo D'.

23. Afinidad
La proyección de dos figuras planas que se encuentran planos distintos, desde
un punto de proyección que esta en el infinito. Muy utilizada para hallar
secciones de cuerpos como prismas y cilindros

24. Ejemplo
Dado el cuadrado de vértices abcd y sus diagonales, hallar su figura afín al aplicar la afinidad definida por
su eje y por el par de puntos afines A-A'.
1 - La dirección de afinidad es A-A'
(paralela al eje)
2 - Unir A con C hasta cortar al eje, X.
Unir X con A'. Por C una paralela a A-
A'. Donde corte a la anterior es C'.
3 - Unir A con D hasta cortar al eje, Y.
Unir Y con A'. Por D una paralela a A-
A'. Donde corte a la anterior es D'.
4 - Unir B con C hasta cortar al eje.
Unir ese punto con C'. Por B una
paralela a A-A'. Donde corte a la
anterior es B'.

25. Homotecia
La proyección de dos figuras planas que se encuentran planos distintos y
paralelos, desde un punto de proyección exterior a los dos planos. Muy utilizada
para construir figuras de forma conocida con una determinada característica.

26. Trazaruna recta porun punto que sea convergente con otras dos que se cortan
fuera de los límites del dibujo.
1 - Trazar una recta cualquiera AB y
otra cualquiera paralela a ella, A'B'. :
2 - Unir los extremos de la primera
recta, A y B, con el punto dado C.
3 - Trazar paralelas por los extremos
de la otra, A' y B', a AC y BC.
4 - Unir el punto de corte de ambas, C',
con el punto dado C y esta es la
solución pedida.

27. Semejanza
Es una homotecia a la que también se le ha podido aplicar un giro o una
simetría. Muy utilizada para construir figuras de forma conocida con una
determinada característica.

28. Ejemplo
los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán
los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

29. Simetría
Es el giro de una figura plana alrededor de un eje (simetría axial) o de un punto
(simetría central). Una forma de simplificar los trazados al solo necesitar una parte.

30. Ejemplo

31. Giro
Es mover una figura alrededor de un punto un determinado ángulo. Útil para
colocar unos elementos en una determinada posición.

32. Ejemplo

33. Traslación
Es mover una figura de tal forma que los nuevos lados son paralelos a los
iniciales. Útil para colocar unos elementos en una determinada posición.

34. Ejemplo
Una traslación en el plano está definida por un vector .

35. Inversión
Relaciona los puntos del plano según el producto de sus distancias a uno fijo,
el centro de inversión. Muy utilizada para la determinación de las
circunferencias tangentes a otros elementos.

36. Ejemplo
Figura inversa de un cuadrado ABCD de
40 mm de lado, centro de inversión en A
y potencia de inversión K = 36 cm².
1 - Se determina el valor del radio de la circunferencia
de autoinversión (o de puntos dobles) mediante la raíz
cuadrada de 36. Obtenida esta se dibuja dicha
circunferencia.
2 - Prolongar el lado DC hasta cortar a la
circunferencia de autoinversión, puntos 1 y 2. La
inversa de dicha recta es la circunferencia que pasa
por el centro de inversión, O = A, y los puntos dobles 1
y 2. Al unir los vértices D y C con el centro de
inversión, O, se obtienen sus inversos, D' y C', siendo
el inverso del segmento CD el arco C'D'.
3 - Se opera de igual modo para determinar el inverso
de BC.
4 - El inverso del punto A esta en el infinito (es
impropio). La recta que pasa por AD es doble por lo
que su inverso es ella misma. Pero el inverso del
segmento AD es el rayo que parte de D' y sigue hacia
el infinito (no el que hay entre D' y A).
5 - El inverso de AB se obtiene igual.