transformaciones geométricas

TRANSFORMACIONES
GEOMÉTRICAS
ISOMÉTRICAS
IGUALDAD
TRASLACIÓN
SIMETRÍA
GIRO
ISOMÓRFICAS
HOMOTECIA Y SEMEJANZA
ANAMÓRFICAS
EQUIVALENCIA
HOMOLOGÍA
AFINIDAD
INVERSIÓN

Se define una transformación geométrica como la operación que
hace posible obtener una figura nueva a partir de otra dada.
Se establece una serie de correspondencias entre elementos
(puntos, rectas) o figuras.
Con el nombre de movimientos se denominan las transformaciones
geométricas que conservan la forma y el tamaño de la figura original.
Atendiendo a las características métricas de la figura transformada
respecto a la originaria, las transformaciones geométricas en el plano
se clasifican del modo siguiente:

Transformaciones
ISOMÉTRICAS
La figura transformada conserva las magnitudes y los ángulos de la figura inicial.
Igualdad Dos figuras son iguales cuando sus lados y sus ángulos son iguales y, además, están dispuestos en el
mismo orden.
Traslación Es el movimiento que hace que un punto, línea o figura, se desplace en una dirección y a una distancia
determinada.
Una traslación queda definida por tres parámetros: una dirección, un sentido u una distancia.
Simetría Axial Dos figuras son simétricas respecto a un punto o una recta cuando, haciendo girar la figura transformada
alrededor de este punto o recta, coincide exactamente sobre la figura inicial.
Radial
Giro Es la transformación que posibilita que un punto, recta o figura plana, se mueva alrededor de otro punto
fijo 0 (centro de giro), en un sentido (positivo o negativo), y un ángulo determinado.
Transformaciones
ISOMÓRFICAS
La figura transformada conserva sólo la forma de la figura de partida, los ángulos son iguales y las magnitudes
proporcionales.
Semejanza
Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. Razón de semejanza
K, es la relación de proporcionalidad entre segmentos homólogos.
Homotecia
Es una transformación geométrica en la que a cada punto (A, B…) se le hace corresponder otro punto (A´,B´…)
alineándose con un punto fijo =, llamado centro de homotecia, y verificándose que 0A´/0A = K, siendo K la razón
de homotecia.

Transformacione
s
ANAMÓRFICAS
La figura transformada es totalmente diferente a la figura de partida
Equivalenci
a
Dos figuras equivalentes tienen distinta forma e igual área.
Homología Es la transformación obtenida al efectuar una proyección desde un punto, en la que a cada uno de los
puntos y de las rectas de una figura plana le corresponden, respectivamente, un punto y una recta de
su figura, homológica, cumpliéndose que:
1º Las parejas de puntos homólogos están alineados con otro punto fijo llamado centro de
homología.
2º Las parejas de rectas se cortan en puntos pertenecientes a una recta fija e, llamada eje de
homología.
Afinidad Es un caso límite de Homología, cuando el centro es impropio.
Se cumple que:
1º Las parejas de puntos afines se hallan en rectas paralelas entre sí y a una dirección dada.: dirección
de afinidad.
2º Las rectas afines se cortan en una recta fija: eje de afinidad.
Inversión En la inversión un punto se corresponde con otro cumpliendo las siguientes condiciones:
1º Ambos puntos ( A, A´) están alineados con otro punto fijo, O, llamado centro de inversión.
2º El producto de las distancias OA x OA´ es un valor constante: potencia de inversión

• Igualdad por copia de ángulos
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB
2. Con centro en B’ se traza un ángulo
igual al B
3. Se transporta el segmento B’C’ = BC
4. Se repite la operación con todos los
vértices
Dado el polígono ABCDE

• Igualdad por coordenadas
1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y
2. Se proyectan los vértices sobre el eje X
3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y
4. Se trazan perpendiculares a X’ e Y’
5. Se unen los vértices hallados

Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
• Igualdad por radiación
1. Se elige un punto O y se une con los
vértices del polígono
2. Con centros en O y O’ se trazan dos
circunferencias del mismo radio
3. Por copia de ángulos se trazan las rectas
que parten de O’
4. Sobre cada recta se llevan las distancias
O’A’, O’B’, etc

• Igualdad por triangulación
1. Se une un vértice con todos los demás
2. Por copia de triángulos se construyen
todos los que se han formado

Definición
Leyes de la transformación geométrica Traslación :
- La recta que une dos puntos homólogos es paralela a una dirección
- Dos rectas homólogas son paralelas
Ejercicio
Trazar el triángulo ABC situando un
vértice en cada una de las rectas dadas
1. Desde un punto cualquiera A se traza
un arco de radio AB que corta a s en el
punto B
2. Hallar C en la intersección de dos arcos.
Uno de centro A y radio AC y el otro de
centro B y radio BC
B
A C
A A'
C
B'
C'
r
s
t
A B
B C
3. Trasladar el triángulo ABC en dirección
r-s hasta que C coincida en la recta t

Trasladar la circunferencia de centro O1, según la dirección d dada ,
para que sea tangente a la recta r.

Dibujar los segmentos de 45 mm de longitud que sean paralelos a la recta r, y que tengan uno de sus
extremos en la circunferencia e y el otro extremo en la recta s. (Septiembre 2008)

• Simetría axial
Definición
Es una transformación geométrica que
cumple las siguientes leyes:
- La recta que une dos puntos simétricos
es perpendicular a una recta fija (eje de
simetría)
Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’
1. Por A se traza la perpendicular al eje y
se lleva AA0 = A0A’
2. Se repite la operación con el resto de
puntos
- Los puntos simétricos están a distinto
lado del eje y a la misma distancia

Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
• Simetría central
Definición
- Dos puntos simétricos están alineados
con un punto fijo (centro de simetría)
Ejercicio Hallar A’B’C’D’E’
1. Se une A con O y se lleva OA’ = OA
2. Se repite la operación con el resto de
puntos
- Los puntos simétricos están a distinto
lado del centro y a la misma distancia

• Giro Definición
- La distancia de dos puntos homólogos a
un punto fijo es constante
- El ángulo que forman las rectas que
unen dos puntos homólogos con el centro
es constante
Ejercicio
Girar la recta r un ángulo f respecto a O
1. Trazar una perpendicular a r por el
punto O obteniendo A como intersección
2. Con centro O giramos el punto A un
ángulo f hasta A’O
B'
A
A'
r'
r B
3. Se traza por A’ la recta girada r’ que es
perpendicular a OA. Comprobamos con B

Dados dos segmentos PQ y P’Q’, hallar
el centro de giro que permite transformar
el primero en el segundo
Dadas la recta r y la circunferencia de
centro O1, girar ésta respecto al centro de
giro dado, para quela circunferencia sea
tangente a la recta.

Dibujar el cuadrado ABCD, estando A sobre s, B sobre r y C sobre t.

• Semejanza por coordenadas
1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y
2. Se proyectan los vértices sobre el eje X
3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y
4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las
distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y =
2/3(OCY), ...
6. Se unen los vértices hallados
5. Se trazan perpendiculares a X e Y

• Homotecia
Definición
- Dos puntos homotéticos están
alineados con un punto fijo (centro de
homotecia)
- Dos rectas homotéticas son paralelas

Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
• Semejanza directa por radiación
Sea la razón de semejanza 2/3
1. Se elige un punto O y se une con todos
los vértices
2. La recta OA se divide en tantas partes
como indique el denominador de la razón de
semejanza (3) y a partir de O se toman
tantas partes como indique el numerador (2)
3. A partir del punto A’ se trazan paralelas

• Semejanza inversa por radiación
Sea la razón de semejanza -2/3
1. Se elige un punto O y se une con todos
los vértices
2. La recta OA se divide en tantas partes
como indique el denominador de la razón de
semejanza (3) y a partir de O se toman, en
sentido contrario, tantas partes como indique
el numerador (2)
3. A partir del punto A’ se trazan paralelas

Aplicación de la homotecia
Tangentes comunes exteriores a dos circunferencias
Tangentes comunes interiores a dos circunferencias

Circunferencias tangentes a dos rectas pasando por un punto, PRR
Aplicación de la homotecia
Circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia situada entre ellas,
CRR
Si a la circunferencia dada le restamos su radio, queda reducida a su centro, es decir, a un punto;
efectuando la misma transformación con las dos rectas (trazar paralelas a cada una de ellas, a la
distancia del radio de la circunferencia y a uno u otro lado respecto a cada recta), el problema se
ha transformado en trazar las tangentes a dos rectas y un punto, PRR

Inscribir en el triángulo ABC dado un triángulo
semejante al también dado PQR.

Proyectar es lanzar una serie de líneas imaginarias o rayos proyectantes desde un punto F ( propio o impropio)
que pasen por todos los puntos del objeto.
Elementos en una proyección: Centro de proyección, Rectas proyectantes, Plano de proyección
PROYECTIVIDAD
La proyectividad es la proyección de puntos, rectas o figuras desde un punto fijo llamado centro de
proyección, más las Secciones producidas por esas proyecciones sobre un plano o varios planos.
Geometría proyectiva: Estudia las relaciones geométricas de la proyectividad

Homografía: Define las relaciones geométricas entre dos secciones planas obtenidas por una misma
radiación desde un punto propio o impropio sobre planos paralelos o concurrentes

La afinidad puede considerarse como un caso particular
de homología, con el centro en el infinito

• Las rectas que unen cada punto con su homólogo pasando por el
centro de la homología son rectas dobles, al ser homólogas de sí
mismas.
• Cada punto y su homólogo están alineados con el centro V de la
homología.
• Una recta y su homóloga se cortan en un mismo punto (homólogo
de sí mismo, por tanto, punto doble) situado en el eje de la homología

Homóloga de una recta r cualquiera

Homóloga de una recta paralela al eje de la homología
S recta auxiliar que corte a r en P

El vértice, el eje y la recta límite de la
figura dada

El eje, la recta límite y el punto homólogo de uno de la figura

Las dos rectas límite y el vértice de homología
Las rectas límite, en el caso de la figura 15, se hallan ambas entre el vértice y el eje de la homología. La
posición de éste último la determinamos paralela a las rectas límite y a la misma distancia de RL’ a la que se
encuentra
RL de V. Conocidos estos cuatro elementos, podremos determinar la figura homóloga de cualquier otra
conocida

Dos puntos homólogos de otros de la figura dada y la dirección del eje

Aplicaciones de la homología
Transformación homológica de un cuadrilátero cualquiera en un cuadrado

Secciones planas de superficies radiales de vértice propio

Trazado de perspectivas cónicas
el vértice de esta homología es el punto de vista de la perspectiva cónica, su eje coincide con la
línea de tierra, y la línea de horizonte de la perspectiva cónica, con una de las rectas límite en la
homología plana.

Encontrar el triángulo homólogo del
triángulo ABC, según los datos de la
homología dados en la figura
En la homología definida en la figura,
encontrar el homólogo del punto B.

Determinar el cuadrado homólogo de
ABCD, con los datos de la homología
facilitados en la figura

HOMOLOGÍA DE LA CIRCUNFERENCIA

Transformación de una circunferencia en una parábola

Circunferencia con un punto en la recta límite: parábola

Las uniones de cada punto con su homólogo (A-A´) definen segmentos paralelos
a la dirección de afinidad
Su eje es una recta de puntos dobles y carece de rectas límite.

La simetría axial puede considerarse como un caso particular de afinidad;
en ella la dirección de afinidad es perpendicular al eje y la razón de afinidad es -1, al
estar una forma y su simétrica en semiplanos opuestos pero equidistantes del eje de
la simetría.

Aplicaciones de la afinidad
Secciones planas de superficies radialesde vértice impropio

Abatimientos en diédrico o axonometría
El eje de la misma es la charnela del abatimiento, siendo la dirección de afinidad la
de las perpendiculares trazadas al eje.

Aplicaciones de la afinid Dibujar la figura afín del triángulo ABC de la figura d

Hallar la figura afín del cuadrado ABCD de la figura

Transformación afín de la circunferencia en elipse
Conocemos los diámetros conjugados AB y CD de la elipse;
trazamos la circunferencia de diámetro AB que representa, al
mismo tiempo, el eje de la afinidad.
Los puntos afines de los extremos del diámetro C’D’ de la
circunferencia son los extremos C y D del segundo diámetro
conjugado de la elipse; de este modo tenemos definida la
dirección de afinidad CC’ y DD’.
Por puntos arbitrarios del diámetro AB, trazamos
perpendiculares al mismo hasta interceptar puntos sobre la
circunferencia; los puntos afines de estos últimos se hallarán
sobre las paralelas al diámetro menor de la elipse, trazadas por
los mismos puntos de AB, mediante paralelas a la dirección
de afinidad CC’.
Obtenidos una serie de puntos afines de los de la
circunferencia, completamos a mano alzada el trazado de la
elipse.

TRANSFORMACIÓN DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA EN UNO EQUILÁTERO

TRANSFORMACIÓN DE UN ROMBO EN UN CUADRADO

Determinar los ejes de la circunferencia afín de la dada en la figura 54, según una
homología de la que conocemos el eje y la dirección, dibujados en la figura, y la
razón de la misma -3/2.

Ejercicio Nº 47
En una afinidad ortogonal que se conoce el eje y la razón de afinidad K = A‘L /
AL = -3/4 hallar la figura afín del hexágono regular ABCDEF
e

1º Por los vértices excepto el C que por estar en el eje es doble C=C' trazamos perpendiculares
al eje dado. Por ser una afinidad ortogonal la dirección de afinidad es perpendicular al eje
e
B
C-C'
D
E
F

2º Sobre la perpendicular desde B por ejemplo tomamos 3 unidades (cm.) punto s y
trazamos una recta r cualquiera concurrente en B y tomamos 4 unidades (cm.) punto t,
unimos s y t.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
r

3º Llevamos la distancia B-3 sobre la recta r punto 3' por este trazamos la paralela a s-t
que corta a la perpendicular por B en 4 la relación B-3/B-4, esta en la proporción dada
en la razón de afinidad 3/4.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
r

3º Se lleva la distancia B-4 desde 3 y nos da el punto B' afín del punto B y que esta en la
razón de 3/4.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
r

4º Unimos A-B y prolongamos hasta el eje el punto de corte con el eje unimos este punto
con B' y determinamos el vértice A'.
e
B
C-C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
r

5º Unimos A-D y el punto de corte con el eje lo unimos con A' y determinamos el vértice
D'.
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
D'
r

6º Unimos F-D y el punto de corte con el eje lo unimos lo unimos con D' y
obtenemos el vértice F'.
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
F'
D'
r

7º Hacemos lo mismo con F-E y obtenemos el vértice E'
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
F'
E'
D'
r

Unimos A’, B’, C’, D’, E’ y F’ y obtenemos la figura afin del exágono dado.
e
B
C- C'
D
E
F
s
t
3
3'
4
B'
F'
E'
D'
r

Ejercicio Nº 48
Trazar la figura afín del cuadrilátero ABCD donde se conoce B'
A
B B'
C
D
Eje

1º Como la dirección de afinidad es paralela al eje por A, C y D trazamos
paralelas al eje.
A
B B'
C
D
Eje

2º Unimos A y B y prolongamos hasta el eje unimos el punto de corte con el
eje con B' y obtenemos el vértice A'.
A
B B'
C
D
Eje
A'

3º Unimos a continuación C con B y el punto de corte con el eje lo unimos con
B' y obtenemos el vértice C'.
A
B B'
C
D
Eje
A'
C'

4º Unimos por ultimo D con C y su punto de corte con el eje lo unimos con C' y
obtenemos el vértice que nos falta D'
A
B B'
C
D
Eje
A' D'
C'

Ejercicio Nº 51
Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A y A', se pide obtener las
figura afín de la dada.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H

1º La dirección de afinidad es la recta A-A'
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
d.a

2º Por los vértices restantes B, C, D, E, F, G y H trazamos paralelas a la
dirección de afinidad d.a.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
d.a

3º Prolongamos AB hasta el eje punto 1 unimos este con A' y nos determina el
vértice B'.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1
B'
d.a

4º Unimos B con G que pasa por C y F hasta que corte el eje por este punto unimos con
B' y obtenemos los vértices C', F' y G'
5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.
6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1
B' F'
C'
G'
d.a

5º Unimos 2 con C', ·3 con F' y 4 con G' y obtenemos los vértices D', E' y H'.
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1 2 3 4
B'
D'
E'
F'
C'
G'
H'
d.a

6º Unimos los vértices y tenemos la figura afín de la dada
eje
A
A'
B
C
D
E
F
G
H
1 2 3 4
B'
D'
E'
F'
C'
G'
d.a

Ejercicio Nº 52
Hallar la figura afín del cuadrado ABCD conociendo el eje y el punto A' afín del
A.
A
B
C
D
A'
eje

1º La dirección de afinidad es la recta A-A'.
d.a.
A
B
C
D
A'
eje

2º Por los vértices del cuadrado B, C, y D, se trazan las rectas paralelas a la dirección
afinidad A-A'.
d.a.
A
B
C
D
A'
eje

3º Se prolonga el lado AB que corta al eje en el punto 1, unimos este punto 1 con el
punto A' y obtenemos el punto B'.
d.a.
A
B
C
D
A'
B'
1
eje

4º Unimos los vértices de las diagonales AC y BD que cortan al eje en los
puntos 2 y 3 unimos estos puntos con A' y con B' y obtenemos los puntos C' y
D', que son los otros dos vértices de la figura afín.
d.a.
A
B
C
D
A'
C'
D'
B'
1
2
3
eje

5º También como vemos podríamos trazar por B' y A' paralelas al eje y obtendríamos los
vértices C' y D' si tenemos presente que al ser A-D y B-C paralelas al eje también lo son
sus afines A'-D' y B'-C'
Se une los vértice y tenemos la figura afín del cuadrado dado.
d.a.
A
B
C
D
A'
C'
D'
B'
1
2
3
eje

Ejercicio Nº 54
Dada una afinidad por su eje, dos puntos afines A y A', se pide hallar la figura
afín de la dada. Realizar el dibujo a escala 2:
e
A
A'

1º Reproducimos los datos dados a la escala solicitada 2:1
A
A'
eje

2º Determinamos la dirección de afinidad que es la recta A-A'.
d.a
A
A'
eje

3º Por los vértices B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad.
d.a
A
A'
B
C
D
eje

4º Unimos A' con el punto de corte del lado AB con el eje punto 1 y lo
prolongamos hasta que corte a la paralela trazada por B y nos determina el
vértice B'.
d.a
A
A'
B'
B
C
D
eje
1

5º Unimos B' con el punto de corte del lado BC con el eje punto 2 prolongando
obtenemos el punto C'.
d.a
A
A'
B'
B
C
C'
D
eje
1
2

6º prolongamos el lado DC hasta que corte al eje en el punto 3 unimos este
con C' y obtenemos el vértice D'.
d.a
A
A'
B'
B
C
C'
D
D'
eje
1
2
3

Ejercicio Nº 55
Dada la afinidad determinada en la figura determinar los ejes de la
elipse afín de la circunferencia dada y trazar la elips
r
s C
s'
r'

1º La dirección de afinidad (d.a.) es la recta que une P y P' puntos donde se
cortan r-s y r'-s'.
r'
s'
C
s
r
P
P'
d.a

2º Determinamos el eje de afinidad por los puntos dobles donde se cortan r -
r' y s-s' puntos 1-1' y 2-2'.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
1-1'
2-2'

3º Por C trazamos una paralela al eje de afinidad que corta a r en el punto 3, por este
punto trazamos la recta 3-3' paralela a la dirección de afinidad que corta en 3' a r', y por
3' una paralela al eje, por C otra paralela a la dirección de afinidad que se corta con la
anterior en C' afín del C.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
1-1'
2-2'
3
3'

4º Trazamos el diámetro ED perpendicular al AB, por A, B, C y D trazamos
paralelas a la dirección de afinidad que nos determina directamente A' y B‘.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
1-1'
2-2'
3
3'

4º Prolongamos el diámetro ED hasta que corte al eje de afinidad este punto lo
unimos con C' y determinamos los punto D' y E'.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'1-1'
2-2'
3
3'

5º Por C' levantamos una perpendicular a A'-B' y llevamos la distancia C'-A',
punto M’
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
1-1'
2-2'
3
3'

6º Unimos el punto M’ con E' y trazamos una circunferencia en el punto medio de E'-M’
que pase por E' y M’ unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los
puntos N' y N.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
1-1'
2-2'
3
3'

7º Unimos el centro de esta circunferencia con C' y obtenemos los puntos N' y N
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
1-1'
2-2'
3
3'

8º Trazamos dos circunferencias de centro C' y radios C'-N y C'-N‘.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
1-1'
2-2'
3
3'

9º Por C' trazamos las paralelas a N-E' y N-M que son las direcciones de los
ejes de la elipse y nos determinan los puntos H', I', G', F'.
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
F'
G'
H'
I'
1-1'
2-2'
3
3'

7º Para determinar mas puntos se trazan diámetros cualesquiera y en sus
puntos de corte con las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse
paralelas a los ejes tal como vemos en la figura
r'
s'
C
s
r
eje
P
P'
d.a
C'
A
B
A'
B'
E
D
D'
E'
M'
N'
N'
F'
G'
H'
I'
1-1'
2-2'
3
3'

Ejercicio Nº 56
Hallar la figura afín de la circunferencia dada sabiendo que el punto afín del
centro es el punto O'. Realizar el dibujo a escala 2:1
e
O
O'

1º Dibujamos los datos a escala 2:1
eje
O
O'

2º La dirección de afinidad es la recta O-O' que une los centros.
eje
O
O'
d.a

3º Hallamos la mediatriz de O-O', donde esta corta al eje de afinidad punto G trazamos
una circunferencia de diámetro O-O', que corta al eje en los puntos M y N que son
puntos de los ejes.
eje
O
O'
d.a
GM
N

4º Unimos N y M con O y O' y estas rectas son los ejes perpendiculares de la elipse y de
la circunferencia.
eje
O
O'
d.a
A
B
C
D
GM
N

5º determinamos los extremos de los ejes de la circunferencia A-B y C-D.
Por A, B, C y D trazamos paralelas a la dirección de afinidad que al cortase los
las rectas M-O' y N-O' nos determinan los extremos de los ajes de la elipse.
eje
O
O'
d.a
A
B
C
D
G
C'
A'
D'
B'
M
N

6º Por ultimo se dibuja la elipse 6º Por ultimo se dibuja la elipse
eje
O
O'
d.a
A
B
C
D
G
C'
A'
D'
B'
M
N

La inversión es una transformación anamórfica.
Su principal utilidad es la resolución de problemas de tangencias.
Si dos formas son tangentes en un punto T, sus inversas también lo serán en T’,
inverso de T.
La inversión conserva también los ángulos, es decir, si dos líneas se cortan en
un punto P formando un ángulo, sus inversas se cortan en el punto P’, inverso de
P, formando el mismo ángulo.

DEFINICIÓN
Es una transformación geométrica que cumple las
siguientes leyes:
- Dos puntos inversos están alineados con un
punto fijo (centro de inversión o polo)
-El producto de distancias del centro de
inversión a dos puntos inversos es constante
(potencia de inversión)
0A x OA´ = 0B x 0B´ = K
A partir de un punto O, llamado centro de inversión, decimos que dos puntos
alineados con dicho centro, A y A’, son inversos entre sí cuando el producto de sus
distancias al centro de inversión es una cantidad constante, k, llamada potencia de
inversión.
k = OA · OA’
La potencia será positiva si ambos puntos están al mismo
lado del centro de inversión, en caso contrario, será negativa.
La potencia de inversión K, es un valor constante
Las distancias de un punto y su homologo al centro de inversión son inversamente proporcionales.

1.El centro de inversión O y la potencia K.
2.El centro O y un par de puntos inversos respecto a ese centro ( A, A´)
3.Dos pares de puntos inversos. A, A´ y B,B´
PARA QUE UNA INVERSIÓN QUEDE DEFINIDA, DEBEMOS CONOCER:

La potencia es una relación concreta entre un
punto y una circunferencia.
La inversión es una transformación que
se puede aplicar a todos los puntos del
plano.
Se llama potencia de un punto P respecto
de una circunferencia c al producto
PA x PB = PC x PD =……PT x PT = PT 2
Ambas, potencia e inversión comparten el mismo fundamento geométrico:
La raíz del valor constante k y se calcula de la misma manera.
0A x OA´ = 0B x 0B´ = K

PROPIEDADES
- Dos pares de puntos inversos
determinan una circunferencia, son
concíclicos
-Las rectas inversas son antiparalelas de
las rectas que unen los pares de puntos
inversos.
Al cortarse las cuatro rectas forman cuatro
ángulos interiores, siendo los opuestos
suplementarios. (propiedad de los
cuadriláteros inscriptibles).
Circunferencia autoinversa: cualquier
circunferencia que contenga un par de
punto inversos

Es una circunferencia autoinversa formada por puntos dobles. (A=A´)
Tiene por centro el centro de inversión y como radio √k.
Sólo existe en la potencia positiva ya que en la potencia negativa los puntos inversos A, A’ están
a distinto lado del centro de inversión.
CIRCUNFERENCIA DE PUNTOS DOBLES.(CPD)

CÓMO HALLAR LA CIRCUNFERENCIA DE PUNTOS DOBLES

Las circunferencias que contienen dos pares de puntos inversos son inversas de sí mismas,
sus puntos no son dobles excepto los de intersección con CPD en la potencia positiva.
Circunferencia autoinversa
Circunferencia autoinversa
CIRCUNFERENCIA INVERSA DE SÍ MISMA.

INVERSO DE UN PUNTO 1
Hallar B’
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Se traza la mediatriz de AA’
3. Se dibuja la circunferencia de centro C
4. Se traza la recta OB

Hallar B’
1. Se elige un punto C cualquiera y se halla
el inverso C’
2. Se traza la mediatriz de BC’
3. Se traza la mediatriz de CC’
4. Se dibuja la circunferencia de centro O2
En el caso de que uno de los puntos sea doble, inverso de sí mismo, la circunferencia pasa por
los tres puntos.
Cuando los pares de puntos están alineados con el centro la circunferencia se la considera de
radio infinito.

INVERSO DE UN PUNTO 3
antiparalelas

Se transforma en una circunferencia que pasa por el centro de inversión
y su centro estará en la perpendicular a la recta desde el centro de inversión.
La inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es una recta que sí pasa por él.
INVERSA DE UNA RECTA que no pasa por el centro de inversión

Inversa de la recta r conocidos dos puntos
inversos, y el polo
1. Se elige un punto B’ de la recta
2. Se halla el inverso B de B’
3. Se traza la mediatriz de OB
4. O2 es el centro de la circunferencia

INVERSA DE UNA RECTA. Recta que pasa por el centro de inversión
Las rectas que pasan por el centro de inversión es autoinversa, se transforman
en ellas mismas, Únicamente son dobles los puntos que pertenecen a la CPD

INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA que pasa por el centro de inversión
Se transforma en una recta que no pasa por el centro de inversión y
es perpendicular a la recta que pasa por centro de inversión y el centro de la circunferencia

Ejercicio
1. Se elige un punto B de la circunferencia
2. Se halla el inverso B’ de B
3. La recta que une O, B y B` corta en C a la
circunferencia de centro O1
Propiedades
Si B´ es el inverso de B y A` es el inverso de A
respecto del centro de inversión O, sucede que
B` es homotético de A y A` es homotético de B
respecto del centro de homotecia O
3. Por B`, homotético de C, trazamos recta
paralela a C O1 que corta a O O1 el punto O3,
centro de la circunferencia inversa buscada de
radio O3B`
B
C
2O
O
1O
A'
A
3O
B'
E
C'C
A
A'
B
B'
O D
INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA que no pasa por el centro de
inversión
Una circunferencia que no pasa por el centro de inversión tiene por inversa otra que tampoco pasa por él.
Se relacionan según una homotecia de centro el centro de inversión.
La razón de la homotecia es K/p, siendo K la potencia de inversión y p la potencia del centro de inversión
respecto de la circunferencia.

Dada la inversión definida por el centro
O y el par de puntos inversos A y A’,
determinar el inverso del punto P respecto
al mismo centro de inversión
El punto A – A’ es inverso de sí mismo
en
una inversión de centro O. Hallar la figura
inversa de la circunferencia c respecto al
mismo centro de inversión

Hallar la figura inversa de la circunferencia
dada, conociendo los inversos de dos
de sus puntos, A – A’ y B – B’

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