2.  Esta Geometría se denomina a cualquier
geometría que no difieren en algún punto de
los establecidos por Euclides en su
tratado de elementos. Los desarrollos de
geometrías no euclidiana comenzó con el
objetivo de construir modelos en los que se
demostrara que no se cumpliera el quinto
postulado de Euclides.
 ´´Si una recta corta a otras dos formando a
un lado ángulos internos, y la suma de estos
es menor que dos rectos, las dos rectas
prolongadas indefinidamente se encontrarán
de ese lado.´´
 Ejemplos de geometrías no Euclidianas:
 - Geometría Hiperbólica
- Geometría elíptica
Euclides
Quinto postulado de Euclides

3.  Esta geometría satisface sólo los cuatro primero
postulados de Euclides y tiene curvatura
negativa.Teorizada inicialmente por Immanuel Kant em
donde el considera espacios de más de tres
dimensiones.
 Uno de los experimentos mas notables fue el de Janos
Bolyai y Ferdinand Schweickard en la cual que los tres
ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º
sexagesimales (en la geometría euclídeana la suma de
los ángulos de los triángulos debe dar180º)
 Esta geometría es confirmada
cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica
coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie
y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría
hiperbólica, ambos prueban que es tan consistente
como la Geometría euclídeana.
 Gauss fue el primer reconocido en considerar la
posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la
Euclídeana.

4. También rechaza el postulado del paralelo, y establece que : "no hay
líneas paralelas, y si se extienden suficientemente lejos, dos líneas rectas
cualesquiera enun plano se encontrarán."
Su invención ha sido acreditada a Bernhard Riemann
o Negación del quinto postulado de Euclides:
Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna
recta paralela a la dada.
Experimento que comprueba
Consideró una esfera y la geometría intrínseca a ella, es decir, tomó la
esfera como plano. Las rectas del plano pasan a llamarse geodésicas y
son círculos máximos, es decir, circunferencias que dividen a la esfera en
dos hemisferios iguales Por tanto por un punto exterior a una geodésica
no pasa ninguna paralela a ella.
En esta geometría elíptica o tambein llamada esférica la suma de los
ángulos de un triángulo es mayor de 180º.
euclidiana
heliptica
eliptica

5.  Es el estudio de las variedades
diferenciales con métricas de Riemann; es
decir de una aplicación que a cada punto de la
variedad, le asigna una forma
cuadrática definida positiva en su espacio
tangente, aplicación que varía suavemente de
un punto a otro. Esto da ideas locales de
magnitudes como ángulo ,longitud de curvas,
y volumen. En casos particulares aparecen
dos tipos convencionales (geometría elíptica y
geometría hiperbólica) pertenecientes a la
geometría NoEuclidiana, así igual como
la geometría euclidiana misma.
Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual
que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas
que varían de punto a punto.