Este documento define la ecuación y el polinomio característicos de una matriz. La ecuación característica es la determinante de la matriz menos la matriz identidad multiplicada por un escalar, y el polinomio característico es esta determinante. Los valores propios de la matriz son las raíces de este polinomio. Las matrices semejantes tienen los mismos valores propios porque comparten el mismo polinomio característico.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CENTLA. Materia: Matemáticas IV. Unidad: 6 profesor : ING. Víctor Manuel Mateo Morales Polinomio y ecuación característica.

2. OBJETIVO COMPRENDER QUE ES UNA ECUACIÓN Y POLINOMIO CARACTERÍSTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON APLICACIONES EN LA INGENIERIA QUÍMICA

3. Teorema 1. Sea A una matriz de n * n. Entonces  es un valor propio de A sí y sólo sí P() = det (A - I) = 0 (4) Definición.Ecuación y polinomio característicos. La ecuación (4) se llama la ecuación característica de A; p() se llama el polinomio característico de A. Como será evidente p() es un polinomio de grado n en . Por ejemplo, si A = a b c d

4. Entonces, A - I = a b  0 = c d - 0  y p() = det ( A - I) = ( a - )(d - ) – bc = 2 – (a + b) + (ad – bc). a -  b c d - 

5. Según el teorema fundamental del álgebra, cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces (contando multiplicidades). Esto significa, por ejemplo, que el polinomio ( - I)5 tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Como cualquier eigenvalor de A es una raíz de la ecuación característica de A, se concluye que Contando multiplicidades, toda matriz de n * n tiene exactamente n eigenvalores

6. Teorema 2. Sea  un valor propio de la matriz AQ de n * n y sea E = {v: Av = v}. Entonces E es un subespacio de Cn. Demostración. Si Av = v, entonces (A - I)v = 0. Así E es el espacio nulo de la matriz A - I, que es un subespacio de Cn. Definición. Espacio propio. Sea  un valor propio de A. El subespacio E se llama espacio propio de A correspondiente al valor propio . Observe que 0 E ya que E es un subespacio. Sin embargo, o no es un vector propio.

7. Teorema 3. Si A y B son matrices semejantes de n * n, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, tiene los mismos valores propios. Demostración. Como A y B son semejantes, B = C-1AC y Det (B -  I) = det (C-1AC -  I) = det [C-1AC – C-1( I)C] = det [C-1(A -  I)C] = det (C-1) det(A -  I) det (C) = det (C-1) det (C) det (A -  I) = det (C –1C) det (A -  I) = det I det (A -  I) = det (A -  I)

8. Esto significa que A y B tiene la misma ecuación característica, y como los valores propios son raíces de la ecuación característica, tiene los mismos valores propios.

9. SUGERENCIAS DIDACTICAS Utilizar software de matemáticas (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab) y calculadoras graficadoras para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas, la construcción de gráficas y la interpretación de resultados. • Desarrollar prácticas de tal manera que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera.