Este documento trata sobre vectores y valores propios de matrices. Explica que un escalar λ es un valor propio de una matriz A si existe un vector no nulo v tal que Av = λv. Los valores propios son las soluciones del polinomio característico determinado(A - λI) = 0. Luego se presentan ejemplos para encontrar los autovalores y autovectores de diferentes matrices.

1. Universidad Central del Ecuador
Facultad de Ingeniería Química
Asignatura de Matemática
Tema :
3.1 Vector y Valores Propios
Realizado por: MsC. Patricia Ochoa P.

2. Un escalar ʎ ϵ R se denomina valor propio de la matriz A si y solo si existe Ԧ
𝑣 ϵ 𝑅𝑛 no nulo tal que:
A 𝒗 =ʎ 𝒗
A 𝒗 =(ʎ I) 𝒗
A 𝒗 -(ʎ I) 𝒗 = 0
(𝑨 - ʎ I) 𝒗 = 0
Polinomio característico P(ʎ ) = det(𝑨 - ʎ I)
Valores propios P(ʎ ) = 0
Definición
Valoresy VectoresPropios

5. Determine los auto-valores, auto-vectores de la matriz A
𝟐 𝟐
𝟐 𝟓

12. Determine los auto-valores, auto-vectores de la matriz A

22. Determine los auto-valores, auto-vectores de la matriz A

23. Determine los auto-valores, auto-vectores de la matriz A

62. Determine los auto-valores, auto-vectores de la matriz A=
1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1

65. 1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1

69. 1 −1 4
3 2 −1
2 1 −1

73. Universidad Central del Ecuador
Facultad de Ingeniería Química
Asignatura de Matemática
Tema :
3.3 Teorema Espectral
Realizado por: MsC. Patricia Ochoa P.

74. 1. Matriz simétrica A
2. Valores y vectores característico 𝐴 റ
𝑣 = 𝜆 റ
𝑣
3. Los vectores propios son ortogonales entre ellos
4. A tiene n valores propios
TeoremaEspectral

75. 1. Encontrar el espacio característico E 𝜆𝑖 correspondientes a cada 𝜆
TeoremaEspectral

76. 1. Dada una matriz 𝐴 ∈ 𝑅𝑛𝑥𝑛
puede ser diagonizable si, existe una matriz
ortogonal P y una matriz diagonal D, talque, D=C-1 A C
TeoremaEspectral

77. Una matriz A de dimensión n x n, real y simétrica verifica las siguientes
propiedades:
1. 𝐴 = 𝜆1𝐴1 + 𝜆2𝐴2 + ⋯ +𝜆𝑛 𝐴𝑛
2. 𝐼 = 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛
3. 𝐴𝑖, 𝐴𝑗 = 0
𝜆1 + 𝜆2 + ⋯ +𝜆𝑛 son los valores característicos de A
𝐴1, 𝐴2, … 𝐴𝑛 operador de proyección ortogonal sobre E 𝜆𝑖
TeoremaEspectral

78. 𝐴 = 𝜆1𝐴1 + 𝜆2𝐴2 + ⋯ +𝜆𝑛 𝐴𝑛

79. 𝐴 = 𝜆1𝐴1 + 𝜆2𝐴2 + ⋯ +𝜆𝑛 𝐴𝑛

87. Encontrar las descomposición espectral de la matriz A y comprobar si cumple con
las propiedades del teorema espectral
A=
7 2
2 4
TeoremaEspectral- Ejercicio

88. A

89. A=
7 2
2 4

90. A=
7 2
2 4

97. A=
7 2
2 4

98. A=
7 2
2 4

101. Encontrar las descomposición espectral S, de la matriz espectro M(S) en un
espacio vectorial 𝑅2 M(S)=
5 2
2 2
TeoremaEspectral- Ejercicio

128. Universidad Central del Ecuador
Facultad de Ingeniería Química
Asignatura de Matemática
Tema :
3.4 Formas bilineales
Realizado por: MsC. Patricia Ochoa P.

129. • Formas lineales
T: V -> K
• Formas bilineales
T: V x V -> K
FormasMultilineales

130. • Forma Polínomica
B={ v1,v2}
• Forma matricial
b{v1,v2}= v1 A v2T
b{v1,v2} = 𝑥1 𝑥2
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑦1
𝑦2
Formatosde la formabilineal