1. A L G E B R A L I N E A L.
ALGEBRA LINEAL
CATEDRATICO: ING. JOSE MANUEL VARGAZ JIMENEZ
UNIDAD: II
TRABAJO:
METODOS DE SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECU.
LINEAL
ALUMNO: CANSECO ALMENDRA PABLO MIGUEL
SEMESTRE: 3
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2. A L G E B R A L I N E A L.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Es aquella matriz que tiene la siguiente forma:
Defina una funcion que reciba una matriz de enteros y diga, si es o no una triangular inferior o
no?
def matrizInferior(a):
for i in range(1,len(a)+1):
contador=0
for j in range(1,len(a[-i])+1):
if(a[-i][-j]==0):
contador=contador+1
b=i-1
if(contador!=b):
return "no es inferior"
print
else :
return "Es Inferior"
Defina una funcion que reciba una matriz de enteros como parametros y muestre la matriz
triangular superior e inferior de dicha matriz
def matrizInferiorYSuperior(a):
#creo dos matrices con ceros
c=[]
d=[]
print a
for i in range(len(a)):
b=len(a[i])*[0]
e=len(a[i])*[0]
c.append(b)
d.append(e)
#superior
i=0
while(i<len(a)):
j=i
while(j<len(a[i])):
MATRIZ DIAGONAL
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3. A L G E B R A L I N E A L.
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas
salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:
Ejemplo:
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las
entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.
Las operaciones de suma y producto de matrices son especialmente sencillas para matrices
diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a1,...,an) para una matriz diagonal que tiene
las entradas a1,...,an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces,
para la suma se tiene:
diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)
y para el producto de matrices,
diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).
La matriz diagonal diag(a1,...,an) es invertible si y sólo si las entradas a1,...,an son todas distintas de
0. En este caso, se tiene
diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.
Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la fila i-ésima de A
por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la
columna i-ésima de A por ai para todo i.
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las
operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores
propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz
diagonal
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4. A L G E B R A L I N E A L.
MATRIZ IDENTIDAD
En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento
neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz
identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una
matriz identidad es el vector unitario de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de
dimensión n.
Como el producto de matrices sólo tiene sentido si sus dimensiones son compatibles, existen
infinitas matrices identidad dependiendo de las dimensiones. , la matriz identidad de tamaño ,
se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal
principal, y 0 en el resto. Así,
Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales,
resulta:
Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe
simplemente como .
También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:
o, de forma aún más sencilla,
La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es
elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.
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MATRIZ NILPOTENTE
En matemática, un elemento x de un anillo R se dice que es nilpotente si existe algún entero
positivo n tal que xn = 0.
Esta definición puede ser aplicada en particular a matrices cuadradas. La matriz
es nilpotente porque A³ = 0. Ver matriz nilpotente para mayor detalle.
En el anillo factorial Z/9Z, la clase del 3 es nilpotente porque 3² es congruente con 0 módulo
9.
Suponemos que dos elementos a, b de un anillo no conmutativo R satisfacen ab=0.
Entonces, el elemento c=ba es nilpotente (si es no nulo) ya que c²=(ba)²=b(ab) a=0. Un
ejemplo con matrices sería:
Vemos que .
Ningún elemento nilpotente puede ser una unidad (excepto en el anillo trivial {0} en el que
únicamente existe un único elemento 0 = 1). Todos los elementos nilpotentes son divisores de cero.
Una matriz cuadrada n dimensional A con elementos en un cuerpo es nilpotente si y solo si su
polinomio característico es Tn, lo cual sucede si y solo si An = 0.
Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo forman un ideal; este hecho es consecuencia del
teorema del binomio. Este ideal es el nilradical del anillo. Cada elemento nilpotente de un anillo
conmutativo está contenido en todo ideal primo del anillo, y de hecho la intersección de todos los
anillos primos es el nilradical.
Si x es nilpotente, entonces 1 − x es una unidad, porque xn = 0 implica
(1 − x) (1 + x + x² + ... + xn−1) = 1 − xn = 1.
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MATRIZ IDEMPOTENTE
En matemática, la idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y
aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que
cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un
elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente.
Por ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes, para la operación producto (·),
son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
Formalmente, si S es un magma, es decir, un conjunto con una operación binaria * , entonces un
elemento se dice idempotente si s * s = s. Si todo s fuese idempotente bajo * , entonces la
operación en sí se denominaría operación idempotente. En particular, cualquier elemento identidad
es un idempotente bajo *.
En álgebra conjuntista, las operaciones de unión e intersección de conjuntos son idempotentes. En
efecto, la unión o intersección de un conjunto consigo mismo, entregan como resultado el conjunto
mismo.
Análogamente, en álgebra booleana, los operadores Y (and, ) y O (or, ) son idempotentes. En
efecto, si V=Verdadero, F=Falso: . Análogamente para F.
En álgebra lineal, la proyección es idempotente. Es decir, cualquier matriz que proyecta todos los
vectores sobre un subespacio V (no necesariamente ortogonalmente) es idempotente, si V mismo
está fijo punto por punto.
Una función f de un conjunto M a sí mismo se llama idempotente si se cumple que para la
composición de funciones, , es decir: , es decir: Esto es
equivalente a decir que f(x) = x, también para todo x en f (M).
Ejemplos triviales de funciones idempotentes en S son la función identidad y las funciones
constantes. Ejemplos menos triviales son el valor absoluto y la función que asigna a cada
subconjunto U de un cierto espacio topológico X la clausura de U. La última es una función
idempotente en el conjunto de partes de X. Es un ejemplo de operador de clausura; todos los
operadores de clausura son funciones idempotentes.
Un anillo en el cual la multiplicación es idempotente ( ) se llama anillo de Boole. Puede
ser demostrado que en cada tal anillo, la multiplicación es conmutativa, y cada elemento es su
propio inverso aditivo.
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7. A L G E B R A L I N E A L.
MATRIZ INVOLUTIVA
Una matriz involutiva es una matriz cuadrada (tiene igual número de filas que de columnas) tal que
su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
Por ejemplo, las siguientes matrices son involutivas:
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8. A L G E B R A L I N E A L.
MATRIZ SIMÉTRICA
Una matriz de elementos:
es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i distinto de j con i, j
=1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.
Ejemplo para n = 3:
A es también la matriz traspuesta de sí misma: At = A. Esta última igualdad es una definición
alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices
hermíticas.
Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión
finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es
semejante a una matriz ortogonal
Descomposición en matriz simétrica y anti simétrica
Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica
de la siguiente forma:
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9. A L G E B R A L I N E A L.
MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Una matriz de mxn elementos (m = filas, n = columnas) :
es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y aji = − aij para todo i, j
=1,2,3,...,n. En consecuencia, aii = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:
Ejemplo
=>
La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto.
Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimetrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a
la diagonal principal.
Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre sera 0.
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