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ÁLGEBRA SUPERIOR ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas Leticia Lizette Espinosa Fahl Joaquín Gilberto Treviño Dávila José Santos García Claudio Hiram Carmona Jurado Abraham Leonel López León Carlos Alfonso Gameros Morales Kluis Roberto Fernández Guillén Arturo Córdova González Ph. D. Martha G. Canales Leyva
OBJETIVO DEL CURSO     Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este programa como base para las demás materias que son los fundamentos sólidos del área de Ingeniería.   
Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades   Lectura comprensiva Operaciones con quebrados Operaciones aritméticas Conjuntos de números Números Complejos Solución de ecuaciones de segundo grado por medio de la fórmula general Combinaciones  
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .1. Generalidades Ecuación Entera Racional  a 0  x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + ......  a n  = 0  Donde  a 0  ≠  0  n entero positivo e indica el grado de la ecuación a 0  ,  a 1  ,  a 2  ,  a n  son constantes y pueden ser reales o números complejos Ejemplos  3 x 4 – 24 x 3  + 4 x 2 –29 x – 67= 0 (4-3   i ) x 4 – (2+4   i ) x 3  +(3- 4   i ) x 2 –(2-9   i ) x – (6+7   i )= 0
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .1. Generalidades Polinomio en x Es una función en la variable x, de grado con la siguiente forma: f(x) =  a 0  x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + ......  a n  con  a 0   ≠  0,  n entero positivo  y  a 0  ,  a 1  ,  a 2  ,  a n  constantes. Entonces f(x)=0 es una una ecuación racional entera de grado n en la variable x Ejemplo  f(x)= 3 x 4 – 24 x 3  + 4 x 2 –29 x – 67
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .1. Generalidades Evaluación de Polinomios Consistre en obtener el valor del polinomio al sustituir el valor de la variable en el polinomio Ejemplo Sea  f(x)= 3 x 4 – 24 x 3  + 4 x 2 –29 x – 6 Para x =1 entonces  f(1) = 3 (1) 4 – 24 (1) 3  + 4 (1) 2 –29 (1)– 67 f(1) = -52
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .1. Generalidades Representación gráfica de Polinomios Sea una función f (x). Para varios valores de x,  evaluar la función y mostrarse en una tabulación para obtener su representación gráfica. Ejemplo  Y x  f(x)  f(x)  X
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .1. Generalidades Raíces de Polinomios El grado del polinomio es la cantidad de raíces que tiene. Las raíces que puede tener un polinomio son de tres tipos: raíces positivas raíces negativas raíces complejas Las raíces también se pueden presentar con valores repetidos.
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 1. Generalidades Representaciòn gráfica de raíces reales de los Polinomios Sea una función f (x) al graficarla, las intersecciones con el eje de las X son las raíces reales de la función.  Se observa que para f(a) y f(b) la función tiene signo contrario, entonces hay por lo menos una raíz entre a y b Y b  a X f(x)
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .1. Generalidades Representaciòn gráfica de raíces complejas de los Polinomios Si un polinomio f(x) tiene raíces complejas  Entonce si z 1  = a + b  i  es una raíz, el complejo conjugado  z 1  = a - b  i  También es raíz del polinomio. Por lo tanto las raíces complejas se presentan por pares   R •   z 1 •   z 1
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .2. Reglas y Teoremas Regla de Rufini o División Sintética Es un método para dividir un polinomio  f (x) por (x + r)  o sea  f (x)  / (x + r) . El divisor se obtiene despejando x=-r Se obtienen los coeficientes del polinomio cociente (o polinomio reducido) y el resto (o residuo) de la división. Divisor  2  3  – 24  + 4  -29  – 6  Coeficientes de f(x)  6  - 36  -64  -186  3  - 18  -32  -93  -196  f(2) o residuo (resto) coeficientes del Polinomio reducido (cociente)
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .2. Reglas y Teoremas Regla de Rufini Ejemplo f(x)= 3 x 4 – 24 x 3  + 4 x 2 –29 x – 6  dividirlo por x-2 de4spejando x=2 Se obtiene El polinomio cociente 3 x 3  - 18 x 2  -32 x  -93   ( de grado n-1) El resto (residuo) de la división f(2)= -196  Ya que f(2)  ≠   0  entonces x = 2  no es raiz
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .2. Reglas y Teoremas Teorema Fundamental del Álgebra Toda ecuación racional entera f(x) = 0 admite al menos una raíz Real o Compleja.
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .2. Reglas y Teoremas  Teorema del Divisor Si r es una raíz de la función f(x) = 0 o sea f(r) = 0  entonces (x – r) es un divisor de f(x).  f(x)=  x 4 +5 x 3  +5 x 2 –5 x - 6  dividido por x-1 (despejando x=1) Realizando la divisi´pon sintética se obtiene 1  1  5  5  -5  -6 1  6  11  6  1  6  11  6  0  como f(1) = 0 entonces x=1 es raiz El polinomio reducido es x 3  +6 x 2 +11 x + 6 =0
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .2. Reglas y Teoremas Teorema del Residuo Sea r una constante, si se divide el polinomio f (x) = a 0  x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + ......  a n  por (x – r), el resto que se obtiene es f( r )
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .2. Reglas y Teoremas De la descomposición en factores En un polinomio x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + .. a n =0  con  a 1  =1 Existen las siguientes relaciones entre los coeficientes y las raíces - a 1 = suma de las raíces a 2 = suma de los productos de las raíces tomadas de dos a dos o sea  a 2  =   C n,2 - a 3 = suma de los productos de las raíces tomadas de tres a tres o sea a 2  = -   C n,3 (-) n a n = producto de todas las raíces
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .2. Reglas y Teoremas De la descomposición en factores En el polinomio x 3 +   4   x 2 +   x – 6 =0  con ríces 1,-2,-3 Verificar las relaciones entre los coeficientes y las raíces - a 1 = suma de las raíces - a 1 = -(1 –2 –3) = 4  a 2 = suma de los productos de las raíces tomadas de dos a  dos o sea  a 2  =   C n,2  y C 3,2  = 3  entonces a 2 = (1)(-2)+(1)(-3)+ (-2)(-3) = 1 - a 3 = suma de los productos de las raíces tomadas de tres a  tres o sea a 2  = -   C n,3  y C 3,3  = 1  entonces a 2 = (1)(-2)(-3) = -6
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .2. Reglas y Teoremas Regla de los signos de Descartes En un polinomio f(x)  con  coeficientes reales ordenado por potencias descendentes, hay una variación de signo cuando dos términos consecutivos son de signo contrario.
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .2. Reglas y Teoremas El número de raíces positivas de la ecuación f(x) =0 es igual a la cantidad de cambios de signo del polinomio f(x), o bien este número menos un entero par. El número de raíces negativas de la ecuación f(x) =0 es igual a la cantidad de cambios de signo del polinomio f(-x), o bien este número menos un entero par. La Regla de los signos de Descartes establece que: La razón de restar pares, es para considerar las raíces complejas.
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .2. Reglas y Teoremas Ejemplo Sea  f(x)=  x 4 +5 x 3  +5 x 2 –5 x - 6  Cambios de signo para f(+1)  +  +  +  -  - un cambio por tanto 1 posible raiz positiva  Cambios de signo para f(-1)  +  -  +  +  -  Tres cambios por tanto 3 ó 1(3-2=1) raíces negativas Incluyendo las raíces complejas quedan las posibles raíces Positivas  negativas  complejas  1  3  0  1  2
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .2. Reglas y Teoremas Cota Superior y Cota Inferior En un polinomio f (x) = a 0  x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + ......  a n  en el cual a 0   a 1  a 2  a 3  a n  son reales  > 0 Si al dividir f(x) por (x-a) siendo a ≥   0 mediante la Regla de Rufini, cuando los coeficientes del polinomio cociente son positivos o cero, entonces “a” es cota superior de las raíces reales de f(x) =0 Si al dividir f(x) por (x+b) siendo b  ≤  0 mediante la Regla de Rufini, cuando todos los coeficientes del polinomio cociente son alternados positivo negativo o cero entonces “b” es cota inferior de las raíces reales de f(x) =0
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .2. Reglas y Teoremas Cota Superior y Cota Inferior Ejemplo  Sea  f(x)=  x 4 +5 x 3  +5 x 2 –5 x - 6  Por la Regla de Rufini se obtiene 6  1  5  5  -5  -6  Todos los coeficientes del polinomio  6  66  426  2526  cociente son positivos, entonces a= 6  1  11  71  421  2520  es cota superior de las raíces reales de f(x)  Por la Regla de Rufini se obtiene -6  1  5  5  -5  -6  Todos los coeficientes del polinomio  -6  6  -66  71  cociente son alternados de signo 1  -1  11  -71  65  positivo, negativo entonces b= - 6  es cota inferior de las raíces reales de f(x) =0
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .3. Raíces racionales Valores posibles de raíces racionales En una ecuación de coeficientes enteros  a 0  x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + ......  a n  con a 0  ≠  0 Sea b es un divisor exacto de  a n  y  c es un divisor exacto de  a 0  Los valores posibles de raíces racionales serán los cocientes de los divisores exactos b/c
RAÍCES DE POLINOMIOS   6 .3. Raíces racionales Valores posibles de raíces racionales Ejemplo Sea f(x)=  x 4 +5 x 3  +5 x 2 –5 x - 6  Posibles divisores exactos de b=6  son  ±  1,  ±   2,  ±   3,  ±  6 divisores exactos de c=1  es ±  1 Entonces  b/c =  ±  1,  ±   2,  ±   3,  ±  6 y que son los valores posibles de las raíces racionales
RAÍCES DE POLINOMIOS     6 .3. Raíces racionales de ecuaciones Raíces Racionales Sea una ecuación  a 0  x n +   a 1  x n-1 +   a 2  x n-2 +   a 3  x n-3 + ......  a n  =0 con    a 0  ≠   0 Una fracción racional b/c irreducible, y que sea raíz de la ecuación, b es divisor de  a n  y c de  a 0  cumplen con los conceptos de los valores probables de raíces.
RAÍCES DE POLINOMIOS   Bibliografía

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Raices De Polinomios

  • 1. ÁLGEBRA SUPERIOR ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007 Martha G. Canales Leyva Roc ío Patricia Rivas Llanas Leticia Lizette Espinosa Fahl Joaquín Gilberto Treviño Dávila José Santos García Claudio Hiram Carmona Jurado Abraham Leonel López León Carlos Alfonso Gameros Morales Kluis Roberto Fernández Guillén Arturo Córdova González Ph. D. Martha G. Canales Leyva
  • 2. OBJETIVO DEL CURSO   Establecer el conocimiento algebraico desarrollado en este programa como base para las demás materias que son los fundamentos sólidos del área de Ingeniería.  
  • 3. Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades   Lectura comprensiva Operaciones con quebrados Operaciones aritméticas Conjuntos de números Números Complejos Solución de ecuaciones de segundo grado por medio de la fórmula general Combinaciones  
  • 4. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .1. Generalidades Ecuación Entera Racional a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + ...... a n = 0 Donde a 0 ≠ 0 n entero positivo e indica el grado de la ecuación a 0 , a 1 , a 2 , a n son constantes y pueden ser reales o números complejos Ejemplos 3 x 4 – 24 x 3 + 4 x 2 –29 x – 67= 0 (4-3 i ) x 4 – (2+4 i ) x 3 +(3- 4 i ) x 2 –(2-9 i ) x – (6+7 i )= 0
  • 5. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .1. Generalidades Polinomio en x Es una función en la variable x, de grado con la siguiente forma: f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + ...... a n con a 0 ≠ 0, n entero positivo y a 0 , a 1 , a 2 , a n constantes. Entonces f(x)=0 es una una ecuación racional entera de grado n en la variable x Ejemplo f(x)= 3 x 4 – 24 x 3 + 4 x 2 –29 x – 67
  • 6. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .1. Generalidades Evaluación de Polinomios Consistre en obtener el valor del polinomio al sustituir el valor de la variable en el polinomio Ejemplo Sea f(x)= 3 x 4 – 24 x 3 + 4 x 2 –29 x – 6 Para x =1 entonces f(1) = 3 (1) 4 – 24 (1) 3 + 4 (1) 2 –29 (1)– 67 f(1) = -52
  • 7. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .1. Generalidades Representación gráfica de Polinomios Sea una función f (x). Para varios valores de x, evaluar la función y mostrarse en una tabulación para obtener su representación gráfica. Ejemplo Y x f(x) f(x) X
  • 8. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .1. Generalidades Raíces de Polinomios El grado del polinomio es la cantidad de raíces que tiene. Las raíces que puede tener un polinomio son de tres tipos: raíces positivas raíces negativas raíces complejas Las raíces también se pueden presentar con valores repetidos.
  • 9. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 1. Generalidades Representaciòn gráfica de raíces reales de los Polinomios Sea una función f (x) al graficarla, las intersecciones con el eje de las X son las raíces reales de la función. Se observa que para f(a) y f(b) la función tiene signo contrario, entonces hay por lo menos una raíz entre a y b Y b a X f(x)
  • 10. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .1. Generalidades Representaciòn gráfica de raíces complejas de los Polinomios Si un polinomio f(x) tiene raíces complejas Entonce si z 1 = a + b i es una raíz, el complejo conjugado z 1 = a - b i También es raíz del polinomio. Por lo tanto las raíces complejas se presentan por pares   R • z 1 • z 1
  • 11. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Regla de Rufini o División Sintética Es un método para dividir un polinomio f (x) por (x + r) o sea f (x) / (x + r) . El divisor se obtiene despejando x=-r Se obtienen los coeficientes del polinomio cociente (o polinomio reducido) y el resto (o residuo) de la división. Divisor 2 3 – 24 + 4 -29 – 6 Coeficientes de f(x) 6 - 36 -64 -186 3 - 18 -32 -93 -196 f(2) o residuo (resto) coeficientes del Polinomio reducido (cociente)
  • 12. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Regla de Rufini Ejemplo f(x)= 3 x 4 – 24 x 3 + 4 x 2 –29 x – 6 dividirlo por x-2 de4spejando x=2 Se obtiene El polinomio cociente 3 x 3 - 18 x 2 -32 x -93 ( de grado n-1) El resto (residuo) de la división f(2)= -196 Ya que f(2) ≠ 0 entonces x = 2 no es raiz
  • 13. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Teorema Fundamental del Álgebra Toda ecuación racional entera f(x) = 0 admite al menos una raíz Real o Compleja.
  • 14. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Teorema del Divisor Si r es una raíz de la función f(x) = 0 o sea f(r) = 0 entonces (x – r) es un divisor de f(x). f(x)= x 4 +5 x 3 +5 x 2 –5 x - 6 dividido por x-1 (despejando x=1) Realizando la divisi´pon sintética se obtiene 1 1 5 5 -5 -6 1 6 11 6 1 6 11 6 0 como f(1) = 0 entonces x=1 es raiz El polinomio reducido es x 3 +6 x 2 +11 x + 6 =0
  • 15. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Teorema del Residuo Sea r una constante, si se divide el polinomio f (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + ...... a n por (x – r), el resto que se obtiene es f( r )
  • 16. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas De la descomposición en factores En un polinomio x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + .. a n =0 con a 1 =1 Existen las siguientes relaciones entre los coeficientes y las raíces - a 1 = suma de las raíces a 2 = suma de los productos de las raíces tomadas de dos a dos o sea a 2 =  C n,2 - a 3 = suma de los productos de las raíces tomadas de tres a tres o sea a 2 = -  C n,3 (-) n a n = producto de todas las raíces
  • 17. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas De la descomposición en factores En el polinomio x 3 + 4 x 2 + x – 6 =0 con ríces 1,-2,-3 Verificar las relaciones entre los coeficientes y las raíces - a 1 = suma de las raíces - a 1 = -(1 –2 –3) = 4 a 2 = suma de los productos de las raíces tomadas de dos a dos o sea a 2 =  C n,2 y C 3,2 = 3 entonces a 2 = (1)(-2)+(1)(-3)+ (-2)(-3) = 1 - a 3 = suma de los productos de las raíces tomadas de tres a tres o sea a 2 = -  C n,3 y C 3,3 = 1 entonces a 2 = (1)(-2)(-3) = -6
  • 18. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Regla de los signos de Descartes En un polinomio f(x) con coeficientes reales ordenado por potencias descendentes, hay una variación de signo cuando dos términos consecutivos son de signo contrario.
  • 19. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas El número de raíces positivas de la ecuación f(x) =0 es igual a la cantidad de cambios de signo del polinomio f(x), o bien este número menos un entero par. El número de raíces negativas de la ecuación f(x) =0 es igual a la cantidad de cambios de signo del polinomio f(-x), o bien este número menos un entero par. La Regla de los signos de Descartes establece que: La razón de restar pares, es para considerar las raíces complejas.
  • 20. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Ejemplo Sea f(x)= x 4 +5 x 3 +5 x 2 –5 x - 6 Cambios de signo para f(+1) + + + - - un cambio por tanto 1 posible raiz positiva Cambios de signo para f(-1) + - + + - Tres cambios por tanto 3 ó 1(3-2=1) raíces negativas Incluyendo las raíces complejas quedan las posibles raíces Positivas negativas complejas 1 3 0 1 2
  • 21. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Cota Superior y Cota Inferior En un polinomio f (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + ...... a n en el cual a 0 a 1 a 2 a 3 a n son reales > 0 Si al dividir f(x) por (x-a) siendo a ≥ 0 mediante la Regla de Rufini, cuando los coeficientes del polinomio cociente son positivos o cero, entonces “a” es cota superior de las raíces reales de f(x) =0 Si al dividir f(x) por (x+b) siendo b ≤ 0 mediante la Regla de Rufini, cuando todos los coeficientes del polinomio cociente son alternados positivo negativo o cero entonces “b” es cota inferior de las raíces reales de f(x) =0
  • 22. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .2. Reglas y Teoremas Cota Superior y Cota Inferior Ejemplo Sea f(x)= x 4 +5 x 3 +5 x 2 –5 x - 6 Por la Regla de Rufini se obtiene 6 1 5 5 -5 -6 Todos los coeficientes del polinomio 6 66 426 2526 cociente son positivos, entonces a= 6 1 11 71 421 2520 es cota superior de las raíces reales de f(x) Por la Regla de Rufini se obtiene -6 1 5 5 -5 -6 Todos los coeficientes del polinomio -6 6 -66 71 cociente son alternados de signo 1 -1 11 -71 65 positivo, negativo entonces b= - 6 es cota inferior de las raíces reales de f(x) =0
  • 23. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .3. Raíces racionales Valores posibles de raíces racionales En una ecuación de coeficientes enteros a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + ...... a n con a 0 ≠ 0 Sea b es un divisor exacto de a n y c es un divisor exacto de a 0 Los valores posibles de raíces racionales serán los cocientes de los divisores exactos b/c
  • 24. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .3. Raíces racionales Valores posibles de raíces racionales Ejemplo Sea f(x)= x 4 +5 x 3 +5 x 2 –5 x - 6 Posibles divisores exactos de b=6 son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 divisores exactos de c=1 es ± 1 Entonces b/c = ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 y que son los valores posibles de las raíces racionales
  • 25. RAÍCES DE POLINOMIOS 6 .3. Raíces racionales de ecuaciones Raíces Racionales Sea una ecuación a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 + ...... a n =0 con a 0 ≠ 0 Una fracción racional b/c irreducible, y que sea raíz de la ecuación, b es divisor de a n y c de a 0 cumplen con los conceptos de los valores probables de raíces.
  • 26. RAÍCES DE POLINOMIOS Bibliografía