Este documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran polinomios. Los ejercicios incluyen encontrar valores para que polinomios sean divisibles, descomponer polinomios factorialmente, encontrar polinomios dados ciertas condiciones sobre sus restos y simplificar fracciones algebraicas. El documento guía al lector paso a paso en la resolución de cada ejercicio.

1. Solución a los ejercicios de polinomios Ejercicios del 12 al 20

2. Dado el polinomio Halla el valor de k para que sea divisible por (x -2) Para que el polinomio sea divisible por x – 2 , 2 debe ser raíz del polinomio, por tanto lo debe anular. Haz que al dividirlo entre (x – 1 ) el resto sea 27 Utilizaremos el teorema del resto. Al sustituir el valor 1 en el polinomio, el resultado debe ser 27

3. Determina el valor de k para que… sea divisible por x + 1 dividido por x – 2 tenga como resto 23 sea divisible por x + 3

4. Descompón factorialmente los siguientes polinomios I Hay que calcular las raíces del polinomio, es decir, los valores que anulan el polinomio . Cómo es de grado 3, procederemos a probar por los divisores del término independiente , que serán los candidatos a ser raíces enteras del polinomio. Las otras dos raíces se calcularán resolviendo la ecuación de segundo grado que se forma igualando a 0 el polinomio de grado 2 -1 0 6 -5 1 -6 5 -1 6 1 -4 1

5. Descompón factorialmente los siguientes polinomios II

6. Descompón factorialmente los siguientes polinomios III Calculamos dos raíces entre los divisores del término independiente, posteriormente resolvemos una ecuación de segundo grado 8 10 -2 -1 0 -10 1 1 -8 -1 -1 8 -9 2 1 0 -8 8 1 -8 2 1 2 1 -10 1 1

7. Descompón factorialmente los siguientes polinomios IV Calculamos dos raíces entre los divisores del término independiente, posteriormente resolvemos una ecuación de segundo grado 15 5 10 1 0 5 3 1 15 3 1 -15 2 2 1 0 -15 15 -3 5 0 1 0 -3 5 3 1

8. Busca un polinomio de tercer grado que tenga como coeficiente la unidad, sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlo por x-3 , x+4 y x+1 son respectivamente 0, 28 y -20 Cómo sabemos que el polinomio es de grado tres y su coeficiente principal es 1, el polinomio tiene la forma: Aplicando el teorema del resto, obtenemos el siguiente sistema lineal de ecuaciones: Por tanto, el polinomio buscado es:

9. Determina el polinomio sabiendo que es divisible por x-5 y que los restos obtenidos al dividirlo por x+1 y x-4 son iguales Al ser divisible por x – 5 , al sustituir x por 5 el polinomio se debe anular. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de dividir el polinomio entre x + 1 y x – 4 se obtiene al sustituir en el polinomio por -1 y 4 . Por tanto: Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriormente obtenidas: El polinomio que buscábamos es:

10. Busca un polinomio de segundo grado que, al dividirlo entre x-2 y x+5 , obtengamos como resto, respectivamente, -5 y 16 Buscamos un polinomio de la forma: Aplicando el teorema del resto, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones Por tanto, el polinomio que nos pedían es

11. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas Para realizar este tipo de ejercicios hay que factorizar los polinomios que se encuentran en el numerador y denominador, simplificando cuando coincidan factores en el numerador y denominador:

12. Efectúa las siguientes operaciones I Para poder realizar estas operaciones hay que descomponer en factores los polinomios de los denominadores, calcular el mínimo común múltiplo y expresar cada sumando con una expresión algebraica equivalente con denominador el mínimo común múltiplo anteriormente calculado.

13. Efectúa las siguientes operaciones II

14. Calcula…I

15. Calcula…II