Este documento describe las expresiones algebraicas y los conceptos básicos relacionados como variables, monomios, polinomios, grados, coeficientes y operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Define términos como monomio, binomio, trinomio y polinomio y explica cómo calcular el valor numérico y realizar operaciones con estas expresiones.
En este documento se presenta la propuesta de actividades tipo para la gestion de conocimiento matemático a traves del uso de TIC que se publica en el Blog Estrategias para procesos Matemáticos.
En este documento se presenta la propuesta de actividades tipo para la gestion de conocimiento matemático a traves del uso de TIC que se publica en el Blog Estrategias para procesos Matemáticos.
Usamos la clásica prueba de que
p
2 es irracional para introducir el
lenguaje y los modelos de razonamiento tpicos de la logica (matematica)
y el algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para
introducir los conceptos de la aritmetica de los numeros.
Usamos la clásica prueba de que
p
2 es irracional para introducir el
lenguaje y los modelos de razonamiento tpicos de la logica (matematica)
y el algebra. Al mismo tiempo, esta prueba sirve como pretexto para
introducir los conceptos de la aritmetica de los numeros.
This is the documentation of a private design research documentation about holography.
(english below)
Holographische Folien sind dünne transparente Folien mit einer photoaktiven Schicht in die sich ein Scheinraum oder sogar ein bewegter Scheinraum belichten oder anders gesagt programmieren lässt.
Holographische Folien manipulieren, nach Ihrer Belichtung, Licht.
Die vorliegende Arbeit untersucht die bestehenden Folientechnologien und die anschließende Diskussion ob sich Hologramme für die Produktgestaltung z.B. zur Erweiterung der Materialtiefe eignet oder ob diese Technologie auch in Zukunft ein Faszinosum bleiben wird.
Diese Dokumentation entstand als Vorthema zu meinem Designdiplom 2010. Sollten Ungenauigkeiten oder Quellenfehler vorliegen so ist dies nicht im Vorsatz der Täuschung entstanden. Auch dient diese Doku keinem Wirtschaftlichen nutzen und spiegelt nur meine persönliche Meinung wieder.
ENGLISH:
Holographic films are thin transparent film containing of a photoactive layer. Programmed with light this layer can be used to show a room or even a moving space. Holographic films manipulates light.
The present study examines the existing film technologies and discusses whether holograms are useful for product design to i.e. extend the depth of a material or whether this technology will continue to be just a fascinating thing to dream about.
This documentation was created as pre-task to my design diploma thesis in 2010. If there are inaccuracies or errors in mentioning the sources so this did not occur in the intent to deceive. This document also serves no intent for profit and reflects only my personal opinion.
Suchmaschinenoptimierung 2009 - Hart am Wind gegen die FlauteChristoph C. Cemper
CEMPER bietet einen Vergleich der Methode SEO zur SEM/PPC an, die 45x teurer sein kann!
Ideen und Denkanstösse zur Suchmaschinen-optimierung (SEO) in 2009 zur Steigerung der Marge für Online Versandhandel / Retailer.
Dabei wird aufgezeigt, dass SEO bis zu 45 effektiver/preiswerter sein kann, als PPC. Vor allem aber ist SEO eine Investition mit Nachhaltigkeit, während PPC nur Betriebskosten sind - d.h. ist der Geldhahn abgedreht, ist der Traffic weg.
Dieser Vortrag wurde direkt im Anschluss an dem von Google.at am Versandhandelstag 2009 von Christoph Cemper gehalten.
Este es un trabajo de expresiones algebraicas, es una herramienta donde nos puede facilitar en aprender este tipo de tema que les explica paso a paso de como aprender cada uno de sus temas.
Este es un trabajo de matemáticas donde podemos ver que nos explica sobre el tema de las expresiones algebraicas, es una herramienta muy fácil para aprender matemática
guia de ejerccicios practcos para desarrolar las capacidades de las expresiones algebraicas de los nuemeos y sus componentes.
las mismas ayudan a desarrollar capacidades de ejercicos con variables, por otra partetenemos los monomis, sus grados,
Presentación aborda el temad e los grados de las expresiones algebraicas: grado absoluto y grados relativos. Se explica a través de ejemplos interactivos y se proponen ejercicios.
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Tr abaj ar en ál gebra consi st e en manej ar rel aci ones numéricas e n
las que una o m ás cant i dades so n desco noci das . Est as cant idade s s e
llam an VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se represent an por
l et r as .
Una expr esi ón al gebrai ca es una combi naci ón de l et ras y n úm er os
l i gadas por l os si gnos de l as operaci ones: a di ci ón, sust racc i ón,
m ul t i pl i caci ón, divi si ón y pot enci aci ón.
Las e xpr esiones algebr a ic as nos p er m it en, por ej em plo, ha lla r ár eas y
volúm en es.
Ej em plos de expr e siones al gebr aica s son:
Longit ud de la ci r cunf er encia: L = 2 r , donde r es el r adio de la
cir cunf er encia.
Ár ea del cuadr ado : S = l 2 , donde l e s el lado del cuadr ado.
Volum en del cubo: V = a 3 , donde a es la ar ist a del cubo.
Val or numéri co de una expresi ón al gebrai ca
El val or numé ri co de una expresi ón al gebrai ca, para un
det er m i nado val o r, es el número que se o bt i ene al sust i t ui r en ést a el
val or num éri co dado y re al i zar l as operac i ones i ndi cadas.
L( r ) = 2 r
r = 5 cm. L (5) = 2 · · 5 = 10 cm
S( l) = l 2
l = 5 cm A( 5) = 5 2 = 25 cm 2
V( a) = a 3
1
2. a = 5 cm V( 5) = 5 3 = 125 cm 3
Cl asi f i caci ón de las expre si ones al gebrai cas
M onomio
Un m on omi o es una e xpr esión algebr a ic a en la que la s únic as
oper aci o nes que apar ece n ent r e las var ia bles son el pro duct o y l a
pot enci a de exponent e nat ural .
Bi nomi o
Un bi nomi o es una expr e sión alg e br aica f or m ada por dos monom i os .
Tr i nomi o
Un t ri nomi o es una expr es ió n algeb r aica f or m ada por t r es
m onom i os .
Pol i nomio
Un pol i n omi o es una e xp r esión a l gebr aica f or m ada por má s de un
m onom i o .
M onomios
Un MONOMIO es una ex presi ón al gebrai ca en l a que l as única s
oper aci o nes que apar ece n ent r e las var ia bles son el pro duct o y l a
pot enci a de exponent e nat ural .
2x 2 y 3 z
Part es de un monomi o
Coef i ci ent e
El coef i c i ent e del m onom io es el n úm er o que apar ec e m ult ipli cando a
las var ia bles.
2
3. Par t e l i teral
La part e l i t eral est á const ituida por l as let r as y sus exponent es .
G r ado
El gr ado de un m onom io e s la sum a de t od os los e xponent es de las
let r as o var iables.
El gr ado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
M onomios semej ant es
Dos mo nomi os son se mej ant es cuan d o t i enen l a mi sma par t e
l i t er al.
2x 2 y 3 z e s sem ej ant e a 5x 2 y 3 z
Operaciones con monomios
Suma de M onomios
Sólo po d em os sumar monomi os semej ant es .
La suma de l os monomi os es ot ro mono mi o que t i ene l a mi sm a
par t e l iter al y cu yo co ef i ci ent e es l a suma de l os coef i ci ent es.
ax n + bx n = ( a + b) bx n
2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z
Si los m onom ios no son sem ej ant es se obt iene un pol inom io.
2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z
3
4. Product o de un número por un monomi o
El pr odu ct o de un núm er o por un m o nom io es ot r o monom i o
sem ej ant e cuyo coef i ci ent e es el product o del coef i ci ent e de m onom i o
por el número .
5 · 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z
Product o de monomi os
El pr od u ct o de m onom ios es ot r o monomi o que t i e ne por c oef i ci ente
el pr oduct o de l os coef i ci ent es y cu ya part e l i t eral se obt i ene
m ul t i pl i cando en t re sí la s part es l i t erales t eni endo en cuent a l as
pr opi edades de l as pot enci as .
ax n · bx m = ( a · b)bx n +m
5x 2 y 3 z · 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3
Coci ent e de monomi os
.
El cocie n t e de m onom ios e s ot r o monomi o que t iene por coefi ci ent e
el coci ent e de l os coe f i ci ent es y cu ya part e l i t eral se obt i ene
di vi di endo ent re sí las part es l i t erales t eni endo en cuent a l as
pr opi edades de l as pot enci as
ax n : bx m = ( a : b)bx n − m
Pot enci a de un monomi o
Par a r eal izar la pot encia d e un m onom io se eleva, cada elem ent o de
ést e, al expo nent e de la pot encia.
4
5. ( ax n ) m = a m · bx n · m
( 2x 3 ) 3 = 2 3 ( x 3 ) 3 = 8x 8
( - 3x 2 ) 3 = ( - 3) 3 ( x 3 ) 2 = −27x 6
Concept o de pol inomi o de una sol a vari abl e
Un pol i nomi o de una sola var iable es una e xpr esi ón algebr a ic a de la
f or m a:
P( x) = a n x n + a n - 1 xn - 1
+ an - 2 xn - 2
+ .. . + a 1 x 1 + a 0
Siend o a n , a n -1 . . . a 1 , a o núm er os, llam ados coef i ci ent es .
n un número nat ural .
x l a variabl e o i ndet ermi nada.
a n es el coef i ci ent e pri nci pal .
a o es el térmi no independ i ent e.
G rado de un pol inomi o
El gr ad o de un poli nom i o P( x) e s el ma yor exp onent e al qu e s e
encuent r a elevad a la vari abl e x.
Ti pos de pol i nomi os
Pol i nom io nul o
El pol i nomi o nul o t iene t odos sus coef i ci entes nul os .
Pol i nom io compl et o
Un pol i nomi o compl et o t iene t odo s l o s t érmi nos desde el t ér m ino
indep end ient e has t a el t érm ino de m ayor grado.
5
6. P( x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3
Pol i nom io ordenado
Un pol i nomi o está orden ado si lo s monomi os que lo f or m an est án
escr it os de ma yo r a menor grado .
P( x) = 2x 3 + 5x - 3
Ti pos de pol i nomi os según su grado
Pol i nomio de grado cero
P( x) = 2
Pol i nomio de primer grado
P( x) = 3x + 2
Pol i nomio de segundo grado
P( x) = 2x 2 + 3x + 2
Pol i nomio de t ercer grado
P( x) = x 3 - 2x 2 + 3x + 2
Pol i nomio de cuart o grado
P( x) = x 4 + x 3 - 2x 2 + 3x + 2
Val or numéri co de un pol inomi o
El val or numéri co de un pol i nomio es el r esult ado que obt e nem os al
sust it uir la var iabl e x por un núm er o cualqui e r a.
P( x) = 2x 3 + 5x - 3 ; x = 1
6
7. P( 1) = 2 · 1 3 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Suma de pol i nomi os
Par a su mar dos pol i no mi os se suman l os coef i ci ent es de l os
t ér m i nos del mi smo grado.
P( x) = 2x 3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x 2 + 2 x 3
1O r denam os los poli nom i os, si no lo est án.
Q ( x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x
P( x) + Q( x) = ( 2x 3 + 5x - 3) + ( 2x 3 - 3x 2 + 4 x)
2Agr upa m os los m onom io s del m ism o gr ado.
P( x) + Q( x) = 2x 3 + 2x 3 - 3 x 2 + 5x + 4x - 3
3Sum am os los m onom ios sem ej antes.
P( x) + Q( x) = 4x 3 - 3x 2 + 9x - 3
Rest a de pol i nomi os
La r est a de p olin om io s consi st e en sumar el op uest o d el
sust r aen do .
P( x) − Q (x) = ( 2x 3 + 5x - 3) − ( 2x 3 - 3x 2 + 4x)
P( x) − Q( x) = 2x 3 + 5x - 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x
P( x) − Q( x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x - 3
P( x) − Q( x) = 3 x 2 + x - 3
7
8. Product o
Product o de un número por un pol i nomi o
Es ot r o p ol i nomi o que t i en e de gr a do el mi smo del poli nom i o y com o
coef i ci ent es el product o de l os coef i ci ent es del pol i nomi o por el
núm er o .
3 · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3 - 9x 2 + 12x - 6
Product o de un monomi o por un pol i nomi o
Se m ul t ipl i ca el monomi o por t odos y ca da uno d e los mo nom i os
que f or m an el poli nomi o .
3 x 2 · ( 2x 3 - 3x 2 + 4x - 2) = 6x 5 - 9x 4 + 12x 3 - 6x 2
Product o de pol inomi os
P( x) = 2x 2 - 3 Q( x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x
Se m ul t ipl i ca cada monomi o del pri mer pol i nomi o por t odos l os
el em ent os segu ndo pol inomi o.
P( x) · Q (x) = ( 2x 2 - 3) · ( 2x 3 - 3x 2 + 4x) =
= 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12 x =
Se suma n l os monomi os del mi smo grado.
= 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x
Se obt i e ne ot ro pol i nomio cu yo g rado es l a suma de l os gr ados de
l os pol i nomi os que se mul t i pli can.
8
9. Coci ent e de pol i nomi os
Resol ver el coci e nt e:
P( x) = 2x 5 + 2x 3 −x - 8 Q( x) = 3x 2 −2 x + 1
P( x) : Q( x)
A l a i zqui erda si t uamos el d i vi dendo . Si e l poli nom i o no e s
com pl et o dej am os huecos en los lugar es que cor r espondan.
A l a derecha si t uamos el di vi sor dent ro de una caj a.
Real i zamos el coci ent e ent re el pri mer monomi o del di vi dendo y
el pr i m er monomi o del divi sor.
x5 : x2 = x3
M ul ti pl i camos ca da t érmino del pol i nomi o di vi sor por el resul t ado
ant er i or y l o rest amos del pol i nomi o di videndo:
Volvem o s a divid ir el pr im er m onom io del dividen d o ent r e el pr im er
m onom io del divi sor . Y el r esult ad o lo m u l t ip licam o s por el divis or y lo
r est am os al divide ndo.
2x 4 : x 2 = 2 x 2
9
10. Pr ocede m os igual que ant es.
5x 3 : x 2 = 5 x
Volvem o s a hacer las m ism as oper aciones.
8x 2 : x 2 = 8
10x − 6 es el res t o , por que su gra do es m enor que el del d i vi sor y
por t ant o no se puede cont i nuar divi diend o.
x 3 + 2x 2 +5x+8 es el cocien t e.
10
11. I de nt i dades not abl es
Bi nom i o al cuadrado
( a - b) 2 = a 2 - 2 · a · b + b 2
( x + 3) 2 = x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
( 2x − 3) 2 = ( 2x) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x 2 − 12 x + 9
Un bi nomi o al cuadrado es i gual es i gual al cuadrado del pri m er
t ér m i no m ás, o menos, el dob l e product o del primero por el segundo
m ás el cuadrado segundo
Sum a por di f erenci a
Sum a por di f erenci a es i gual a di ferenci a de cuadr ados.
( a + b) · ( a − b) = a 2 − b 2
Sum a por di f erenci a es i gual a di ferenci a de cuadr ados.
11
12. ( 2x + 5) · ( 2x - 5) = ( 2 x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Fracci on es al gebrai cas
Una f rac ci ón al gebrai ca es el co ci ent e de dos p ol i nomi os y se
r epr esent a por :
P( x) es el num er ador y Q( x) el denom inad or .
Fracci on es al gebrai cas equi val ent es
Dos f racci ones al gebrai cas
son equi val ent es , y lo r epr esent am os por :
si se veri f i ca que P( x) · S(x) = Q ( x) · R( x).
son equi val ent es por que:
( x+ 2) · ( x+2) = x 2 − 4
Dada un a f r acción algebr aica, si mul t i pl i camos el numerador y el
denom i nador de dicha f r acción p or un mi smo pol i nomi o di st i nt o d e
cer o, l a fr acci ón al gebrai ca resul t ant e es equi val ent e a l a dada.
12
13. Si mpl i fi caci ón de f racci ones al gebrai cas
Par a si mpl i fi car una f racci ón al gebrai ca se di vi de el numerador y
el deno m i nador de l a f racci ón po r un pol i nomi o que sea f act or co m ún
de am bos.
13