Este documento trata sobre cálculo de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de polinomios. Explica cómo factorizar polinomios y calcular el MCD y MCM de dos o más polinomios factorizados tomando los factores comunes al menor y mayor exponente respectivamente. También cubre sumar, restar y dividir fracciones algebraicas aplicando las mismas propiedades que para fracciones numéricas.

1. POLINOMIOS:
M.C.D. Y M.C.M.
FRACCIONES
ALGEBRAICAS
ECUACIONES
ALGEBRAICAS

2. Recordemos primero cómo calculamos el
máximo común divisor y el mínimo
común múltiplo de varios números con
un ejemplo:
Sean los números 12 y 40
M.C.D. Y M.C.M. DE VARIOS POLINOMIOS
Primero debemos descomponerlos
en sus factores primos:
12 = 22 . 3
40 = 23 . 5

3. Para calcular el m.c.d. multiplicamos
los factores comunes elevados al
menor exponente
m.c.d. (12 , 40) = 22 = 4
Sin embargo para el m.c.m debemos
multiplicar
los factores comunes y no comunes
elevados al mayor exponente
m.c.m. (12 , 40) = 23 . 3 . 5 = 120
12 = 22 . 3
40 = 23 . 5

4. Para calcular el m.c.d. y el m.c.m. en
el caso de varios polinomios conviene
recordar:
• ¿ Qué son polinomios primos?
• Factorización de polinomios

5. Son polinomios primos aquellos que sólo
son divisibles entre sí mismos y la unidad.
Ejemplos de polinomios primos:
• x
• x + 1
• x - 2
• 2x + 1
• x2 + 1
• x4 + 2
En general son primos
todos los polinomios
de la forma
(x – a)

6. P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x
1. ¿Podemos sacar factor común?
Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x).
2. ¿Es identidad notable? No
3. ¿Es ecuación de segundo grado? No
4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6)
Ahora nos centraremos en factorizar…
Comenzamos a factorizar
siempre haciéndonos las
mismas preguntas
Veamos un ejemplo de
factorización:

7. 2x3 – 3x2 – 11x +6 Los divisores del término independiente, 6,
son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.
Comenzaríamos probando con el 1.
2 -3 -11 +6
1
1
1
-2
-2
-13
-13
-7
Como no da cero borraríamos y
probaríamos con otro divisor de 6.
Probaríamos con el -1 y el 2 y
comprobaríamos que el resto no
es 0. Sin embargo con el -2 da 0.
-2
2
-4
-7
14
3
-6
0
Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =
= 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)
Luego si -2 es raíz, un divisor
de P(x) es: x + 2
Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: x2 - 7x + 3
Por lo tanto: (2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3)

8. Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus
raíces.
Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la
ecuación:
2x2 -7x +3 = 0
Las soluciones obtenidas
serán:
x1 = 3
x2 = 2
1
Por lo tanto 2x2 -7x +3 =
x - 3
x – 1/2
(x – 3)
(x – ½)
·
Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado:
P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) =
= 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2
· 2
¿Por qué ponemos el 2?
Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de
mayor grado no quedaría 2x2, sino x2.

9. Recopilemos toda la información obtenida:
Raíces:
Polinomios
divisores de P(x):
-2 x + 2
3 x - 3
1/2 x – 1/2
¡Pero falta otra raíz!
P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2
Como tenemos la x como factor, si
igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0
0 x

10. CÁLCULO DEL
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)
Y DEL
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M)

11. Para calcular el m.c.d y el m.c.m, tenemos que tener los
polinomios factorizados.
Recuerda que para factorizar polinomios hay que
seguir ciertos pasos:
1. Sacar factor común.
2. Mirar si es identidad notable.
3. Resolver la ecuación de segundo grado o Ruffini.

12. CÁLCULO DEL M.C.D.
Hallemos el m.c.d de los
polinomios P(x) y Q(x):
P(x) = x3 + x2 - 4x - 4
Q(x) = 3x2 - 12x + 12
El primer paso es factorizar dichos polinomios.
P(x) = (x - 2)·(x + 2)·(x + 1)
Q(x) = 3·(x - 2)2
Ejemplo 1

13. La definición de m.c.d es:El producto de los factores comunes al
menor exponente
P(x) = (x - 2) ·(x + 2)·(x + 1)
Q(x) = 3·(x - 2)2
Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son:
El único factor común, y al menor exponente es
(x - 2)
(x - 2)
(x - 2)
(x - 2)
m.c.d(P(x), Q(x)) =

14. Ejemplo 2
P(x) = 48x6 - 144x4 + 96x3 =
Q(x) = 4x4 + 8x3 - 12x2 =
Factorizamos los polinomios
· (x+2)
·(x+3)
Recordemos que el m.c.d son factores comunes al
menor exponente, luego en este caso los factores
comunes son:
24
22
· (x-1)2
2 y (x-1)
Como tiene que ser al menor exponente,
22
(x-1)
22 ·
m.c.d(P(x),Q(x)) =
24 · 3 ·x3 · (x-
1)2
· x2· (x-1)
· (x-1)
22 · (x-1)

15. CÁLCULO DEL M.C.M.
Hallemos el m.c.m de los polinomios P(x) y Q(x):
P(x) = x3 + x2 - 4x - 4
Q(x) = 3x2 - 12x + 12
El primer paso es factorizar dichos polinomios.
= (x - 2)·(x + 2)·(x + 1)
= 3·(x - 2)2
Ejemplo 1
La definición de M.C.M. es: el producto de los factores
comunes y no comunes al mayor exponente.

16. P(x) =
Q(x) =
Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son:
Los factores comunes son:
(x - 2)
(x - 2)2
(x - 2)
m.c.m(P(x), Q(x)) =
3, (x + 2) y (x + 1).
3·
· (x + 2) ·(x + 1)
(x - 2)2
3·
· (x + 2) ·(x + 1)
3·(x + 2)·(x + 1)·
Como tienen que ser al
mayor exponente, el
(x - 2)2
y los no comunes son:
(x – 2)
·
(x + 2) · (x + 1)
· (x -
2)2
3·

17. Ejemplo 2
P(x) = 48x6 - 144x4 + 96x3
Q(x) = 4x4 + 8x3 - 12x2
Factorizamos los polinomios
· (x+2)
·(x+3)
Recordemos que el m.c.m son factores comunes y no
comunes al mayor exponente, luego en este caso,
= 22
(x+2) ·
24·
m.c.m(P(x),Q(x)) =
24 · 3 ·x3 · (x-
1)2
=
· x2 · (x-1)
3 ·x3 · (x+3) · (x-1)2

18. FRACCIONES ALGEBRAICAS
En la multiplicación y división de fracciones algebraicas se
factoriza tanto el numerador como el denominador, se
multiplica o se divide, según sea, y se simplifica:
2
6
3
:
4
4
4
2
3





x
x
x
x
x
x
2
)
2
(
3
:
)
2
(
)
2
)(
2
(
2






x
x
x
x
x
x
Ejemplo: Factorizamos
Operamos
)
2
(
3
)
2
(
)
2
)(
2
)(
2
(
2





x
x
x
x
x
x
3
x

y simplificamos

19. Para sumar o restar fracciones algebraicas tendremos
que hacer como a la hora de sumar o restar fracciones,
calcular el m.c.m de los denominadores
Calculemos:
2
5
4
2
2
3
2
2




 x
x
x
x
x
Lo primero será factorizar los denominadores:
 
2
2
2



 x
x
x
x
   
2
2
4
2




 x
x
x
2

x
m.c.m    
2
2 


 x
x
x

20. 2
5
4
2
2
3
2
2




 x
x
x
x
x
=
     








 2
5
2
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
   
2
2
3



 x
x
x
·(x-2)
   
2
2
2





x
x
x
x· x
   






2
2
5
x
x
x
·x
(x+2)
   
2
2
10
5
2
6
3 2
2









x
x
x
x
x
x
x
   
2
2
6
13
3 2







x
x
x
x
x
Sustituimos los denominadores por el m.c.m
Dividimos el m.c.m entre cada denominador y lo multiplicamos
por el numerador.
Operamos
y… ya está

21. FRACCIONES ALGEBRAICAS: ECUACIONES
Estas ecuaciones se resuelven aplicando las mismas
propiedades que para cualquier otro tipo de
ecuación.
Veamos algunos ejemplos:
2
1
3
1
x
1


Debemos reducir a común denominador ambos
miembros de la ecuación recordando lo que
sabemos sobre polinomios primos
Ejemplo 1:

22. 2
1
3
1
x
1


En la ecuación:
El m.c.m. de los denominadores será
simplemente su producto 6x
Eliminamos denominadores y resolvemos:
6x
3x
6x
2x
6x
6


3x
2x
6 

6
x 

23. 3
x
1
2
x
x
1
-
x
1




Como el cociente es por jerarquía anterior a
la suma, primero operaremos:
Siempre que tengamos dos fracciones
separadas por un signo =, el mejor método
3
x
1
1)
-
x(x
2
x



Ejemplo 2:

24. 3
x
1
1)
-
x(x
2
x



será utilizar la propiedad “producto de
medios igual a producto de extremos”
    
1
x
x
3
x
2
x 



x
x
6
5x
x 2
2




6
6x 
 1
x 


25. 3
2
-
x 
Ejemplo 3:
0
3
x
2
3x
2



Una fracción vale cero cuando vale cero
su numerador
0
2
3x 


26. x
x
x
2
1
x
1
2x
2
2x
3
x
2








Ejemplo 4
Primero factorizamos los denominadores en
polinomios primos:
1)
x(x
x
2
1
x
1
2x
1)
2(x
3
x









27. Calculamos el m.c.m. de los denominadores
multiplicando los factores primos comunes
y no comunes elevados al mayor exponente
1)
x(x
x
2
1
x
1
2x
1)
2(x
3
x








 
1
x
2x 
Reducimos a común denominador
   
 
 
1)
2x(x
x
2
2
1
x
2x
1
2x
2x
1)
2x(x
3
x
x









28. eliminamos denominadores y resolvemos
  2x
4
2x
4x
3x
x 2
2





0
4
7x
3x
- 2



1
x 
3
4
x 
   
 
 
1)
2x(x
x
2
2
1
x
2x
1
2x
2x
1)
2x(x
3
x
x







