Algebra

01 02COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria ALGEBRA 3er. Año Secundaria
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
* Determinar los divisores comunes en las
expresiones algebraicas participantes, así
mismo el reconocimiento de los múltiplos
comunes a ellos.
II. COMENTARIO PREVIO
Para determinar el Máximo Común Divisor y
Mínimo Común Múltiplo de dos o más
expresiones algebraicas , vamos a utilizar
nuestros conocimientos adquiridos en la
factorización de polinomios, tal como
podremos observar en los ejemplos
planteados.
III. CONTENIDO TEÓRICO :
1.-MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
Antes de dar la definición, es necesario
enfatizar lo siguiente :
* El factor o divisor de una expresión
algebraica entera, es otra expresión
algebraica entera que la divide
exactamente.
* El divisor común de dos o más expresiones
algebraicas, es otra expresión algebraica
entera que divide exactamente a cada una
de ellas.
DEFINICION: El máximo común divisor de
dos o más expresiones algebraicas, es la
expresión algebraica entera de mayor grado
que divide exactamente a cada una de ellas.
Ejemplo
42 )1x();1x)(1x();1x)(1x( --+-+
4 1x 22 );1x)(1x();1x();1x();1x( ++-++-
DIVISORES ALGEBRAICOS
x3
-1 → (x-1) ; (x2
+x+1) ; (x3
-1)
(x-1)2
→ (x-1) ; (x-1)2
EL M.C.D. es : (x - 1)
2. MINIMO COMUN MÚLTIPLO ( M. C. M)
* El múltiplo de una expresión algebraica
entera, es otra expresión algebraica que es
divisible entre la expresión dada
inicialmente.
* Se llama múltiplo común de dos o más
expresiones algebraicas, a toda expresión
algebraica que es divisible entre cada una
de las expresiones dadas inicialmente .
DEFINICION: El mínimo común múltiplo de
dos a más expresiones algebraicas enteras es
la expresión algebraica entera de menor grado
que es divisible entre cada una de las
expresiones dadas.
Ejemplo :
x4
- 1→ (x4
- 1) ; (x4
- 1)(x - 1);
(x4
- 1) (x - 1) (x2
+ x + 1)......
x3
-1→ (x3
-1); (x3
-1) (x+1) ; ( (x3
-1) (x+1) (x-1);
(x3
-1) (x+1) (x-1) (x2
+1).........
(x-1)2
→ (x-1)2
; (x-1)2
(x+1) ; (x-1)2
(x+1)(x2
+1);
(x-1)2
(x+1) (x2
+1) (x2
+x+1)........
MULTIPLOS ALGEBRAICOS
El M.C.M.
(x4
-1)(x-1)(x2
+x+1) ≡ (x3
-1)(x+1)(x2
+1);
≡(x-1)2
(x+1)(x2
+1)(x2
+x+1)
3. PROPIEDADES
a) Si dos o más expresiones algebraicas son
primos entre sí, entonces su M.C.D. es la
unidad y su M.C.M. es el producto de ellos.
Sean A y B dos expresiones algebraicas
primas entre si:
1M.C.D B):(A =
B.AM.C.M B):(A =
b) Si A y B son dos expresiones algebraicas
enteras, se cumple :
B.A.M.C.M.M.C.D )B:A(B):(A =
4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR EL
M.C.D. Y EL M.C.M. POR
DESCOMPOSICION DE FACTORES.
Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de
expresiones algebraicas enteras por el método
de la descomposición en factores, es
importante que se utilice correctamente las
definiciones expuestas anteriormente y según
el siguiente procedimiento:
a) Se descomponen las expresiones dadas en
sus factores primos(se factoriza).
b) El M.C.D. se determina multiplicando los
factores comunes afectados con su menor
exponente.
c) El M.C.M. se determina multiplicando los
factores comunes y no comunes afectados
con su mayor exponente.
Ejemplo 1.- Sean los monomios :
52
yzx24A = donde 24 = 2 3
. 3
73
yzx216B = 216 = 2 3
. 3
3
24
yx480C = 480 = 25
. 3.5
Entonces :
M.C.D. = (23
) (3)x2
y = 24x2
y
M.C.D. =(25
) (33
) (5) x4
y2
z7
=4320 x4
y2
PRACTICA DE CLASE
01. Hallar el MCD de A y B; siendo:
A = x3
- 7x - 6 ;
B = x4
+ 2x2
- 3
a) (x + 2) b) (x + 1)2
(x - 3) c) (x + 1)
d) (x2
+ 3) e) (x + 1) (x - 1)
02.Si el MCD de:
P(x) = x(x + 1) (x - 2) (x - 1)
Q(x)= x3
- 3x + 2
Se iguala 2, entonces:
a) x = 1 b) x = -1 c) x=3 ó x = 2
d) x = 3 e) x = -2
03.El MCD y el MCM de dos polinomios son
respectivamente:
MCD (A, B) = x2
+ 3x + 2
MCM (A, B) = (x+5) (x+1) (x+2) (x+3)
si uno de los polinomios es: P(x) = (x+1)
(x+2) (x+3). Hallar el otro polinomio.
a) (x+1) (x+5)2
b) (x+2) (x+5)
c) (x+1) (x+2) (x+5) d)(x-1)(x+2)2
(x+5)4
e) (x+3) (x+5)
04.Hallar el MCD de:
A = x5
-2x4
- x+2
B = x4
- 7x3
+ 18x2
- 20x + 8
a) (x-2) (x-1) b) (x-2) (x-1)4
c) (x-2)3
(x-1) d) (x+4) (x+2) (x-1)2
e) (x+3) (x+1)5
05.Si el MCD de:
A = x5
- 2x3
+ 2x2
- 2x+1
B = x3
- x2
- 4x + 4
se iguala en cero, entonces:
a) x =-1 b) x = 0 c) x =2
d) x=4 e) x=1
06.Hallar el MCD de los polinomios:
A = x3
+ 2x2
+ 2x+1
B = x4
- 1
C = x2
+ 4x + 3
S3AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S3AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
II
MCD - MCM -

a) x+1 b) x+2 c) x+3
d) x+4 e) x+8
07.Hallar el MCD de:
P(x) = x3
-xy2
+ x2
y - y3
Q(x) = x3
- xy2
- x2
y + y3
R (x) = x4
- 2x2
y2
+ y4
a) (x + y) (x - 3y) b) (x + 2y) (x - y)
c) (x - y) d) (x + y) (x +4y)
e) (x + y) (x - y)
08.Hallar el MCM de los polinomios:
A = x5
- ax4
- a4
x + a5
B = x4
- ax3
- a2
x2
+ a3
x
a) x (x + a)2
(x - a) (x2
+ a2
)
b) x (x - a)2
(x + a) (x2
+ a2
)
c) x (x - a) (x + a)2
(x2
+ a2
)
d) x (x - a) (x + a)2
(x2
-a2
+ ax)
e) x (x + a) (x - a) (x2
+ a2
)
09.Hallar el MCD de los Polinomios:
Q(a,b)=ab(ab+a+b+2)+a+b+1
R(a,b)=ab[a(a+1)+b(a+1)+1]+a2
+ a+b
S(a,b)=[a2
b-a+a2
-b+ab2
-b2
] (a+1)
a) a(a+1) b) (a+b)(a+1) c) (a+1)
d) (a+b+1) e) a2
- 1
10.Sean los polinomios:
P(x) = x4
+mx-9x2
+n y otro Q(x) cuyo
M.C.D. (P,Q) = x2
– 5x + 6
Calcular: m/n
a)
2
1 b) -2 c)
3
1−
d) -3 e)
4
1
11.Se sabe que el producto de multiplicar el
M.C.D. y MC.M. de dos polinomios en x es
(x5
– x3
) y además, la suma de dichos
polinomios es (x3
+x2
- 1). Hallar el residuo de
dividir el M.C.M. entre x2
+ 2
a) 5x - 1 b) –x + 2 c) 4x + 1
d) 6x e) 0
12.Hallar el valor numérico del M.C.D. de los
polinomios
F(x) = x6
+2x5
+ x4
+ x +1
P(x) = 2x4
+ 7x3
+ 9x2
+ 7x + 2
Para: x = 2 +1
a) 4 - 2 b) 5+3 2 c) 2-2 2
d) 4 e) -2
13.Hallar el M.C.M. de los siguientes
polinomios
P(x) = 2x4
– x3
– 3x2
+ 3x – 9
a(x) = 10x3
– 9x2
+ 17x – 6
Dar como respuesta la suma de las
coeficientes
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
14.Determinar el número de factores primos del
M.C.M. de los polinomios
P(x) = x5
– x3
+ x2
– 1
Q(x) = x6
- 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15.Determinar el grado de M.C.M de los
polinomios:
A(x) = x2
– 15x + 36
B(x) = x2
– 9
C(x) = x3
+ 6x2
– 63x + 108
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01.Hallar La suma de los coeficientes del MCD
de los Polinomios:
P(x) = x3
+ x2
+ x + 1
Q(x) = x3
+ 3x2
+ 5x + 3
a) 0 b) 2 c) 4
d) 6 e) 8
02.Si el MCD de los polinomios:
M(x,y) = 48 xn-2
y m+1
2n
N(x,y) = 72xn-1
y m-1
Es 12x2
y3
; entonces: m2
– n2
es:
a) 0 b) 2 c) 3
d) -4 e) 5
03.Hallar el MCD de los polinomios:
P(x,y) = x4
+xy3
+ x3
y + y4
Q(x,y) = 3x3
+ 5x2
y + xy2
– y3
R(x,y) = x4
+ 3x3
y + 3x2
y2
+ xy3
a) x + y b) x - y c) x2
– y2
d) (x + 4)2
e) (x-y)2
04.Sabiendo que el MCD de los polinomios: 2x3
– x2
+ 3x+m, y x3
+ x2
+ n es: x2
– x + 2
El valor de (m+n) es:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 9 e) 10
05.Dado tres polinomios: A, B y C se conoce
que el MCD de los dos primeros es (x2
- 1),
mientras que el MCD de los últimos es
(x+1)2
El MCD de los 3 polinomios es:
a) x- 1 b) x + 1 c) x2
- 1
d) (x+1)2
(x-1) e) N.A.
06.El MCM de los siguientes , polinomios:
A = x4
+ x3
+ x2
+ 2x+1
B = x5
+ 2x3
+ x2
+ x + 1; es:
a) x3
– x2
+ 1
b) x3
+ x + 1
c) x6
+ x5
+2x4
+3x3
+2x2
+2x+1
d) x6
– x5
+ 2x – x3
+ 2x2
– 2x + 1
e) x3
+ x - 1
07.El MCD de los sgtes, polinomios:
A = x5
+ 3x4
+ 6x3
+ 4x2
+ 8x + 5
B = x4
+ 2x3
+ 3x2
– 2x + 5
a) x2
+ x + 5 b) x3
+ x + 1 c) x2
+ 3x + 5
d) x2
– x + 1 e) x2
– 3x + 5
08.El MCD de los polinomios:
A = x6
+ x4
+ x – 1
B = x6
– 2x3
– x2
+ 1, es:
a) x3
-x2
+ 1 b) x3
+x2
-1 c) x3
-x+1
d) x3
+x - 1 e) x3
– x – 1
09.Hallar el MCD de A, B y C
A = x5
+ x + 1
B = x8
+ x4
+ 1
C = x6
- 1
a) x2
+ x + 1 b) x2
– x – 1 c) x + 1
d) x - 1 e) x2
- 1
10.Si: Q(x) = x3
– x2
– 9x + 9 es el MCM de los
polinomios:
P1 = x2
+ 2x – 3
P2 = x2
+ bx + 3,
El cuadrado de su MCD es:
a) x2
– 2x-1 b) x2
+2x + 1 c) x2
– 2x + 1
d) (x+2)2
e) (x+3)2
OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:
* Conoce una nueva operación matemática.
* Determina el factorial de un número natural.
* Resuelve ejercicios referidos a factoriales
haciendo uso de las propiedades estudiadas.
FACTORIAL DE UN

COMENTARIO PREVIOCOMENTARIO PREVIO::
El presente módulo comprende el estudio de una
nueva operación matemática denominada
factorial, el cual se refiere a determinar el
resultado del producto de los números naturales
consecutivos desde el 1 hasta el número indicado.
Pero ¿ Para que nos va a servir esta nueva
operación matemática? Pues bien esta operación
se va a utilizar como un apoyo en la potenciación
de polinomios.
CONTENIDO TEÓRICOCONTENIDO TEÓRICO
1. Factorial de un número
El factorial de un número natural “n” es el
producto de todos los números naturales
consecutivos desde 1 hasta “n”.
La simbología a utilizar será: n! = n
n! = n = 1 x 2 x 3 x . . . x (n-1) x n
∀ n ∈ N Λ n ≥ 1
2. Propiedades del factorial de un número
1. Los factoriales sólo están definidos
para los números naturales. Así:
0! ...... ∃ 2½
................. ∃/
3! ...... ∃ (-6)! ................. ∃/
4
!7
...... ∃ (2/5)! ........ ∃/
2. El factorial de un número natural puede
expresarse en función del factorial de otro
número natural menor.
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
7! = 6! x 7
Luego: n! = (n – 1)! . n
De la relación anterior, se concluye:
Para n=1⇒1!=0!x1 ⇒ 1! = 0! = 1
Observación:
Sí n!=1, cabe dos posibilidades para n:
n = 0 ó n = 1
Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7
Luego se concluye:
n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n
3. Si: a! = b! ⇒ a = b
4. En factoriales se debe recordar lo siguiente:
(a ± b)! ≠ a! ± b!
(a . b)! ≠ a! . b!
(a/b)! ≠ a! / b!
3. Cofactorial o semifactorial
Sea “n” un número entero positivo, el
cofactorial o semifactorial de”n” se denota
por n!! ó n y se define:
a. Para “n” par:
8!! = 2 x 4 x 6 x 8
20!! = …………………
b. Para “n” impar:
7!! = 1 x 3 x 5 x7
19!! = …………………
Luego:
1x3x5x...x n si “n” es impar
n!! = n =
2x4x6x...x n si “n” es par.
4. Relación entre el cofactorial y el
factorial de un número.
 Si el número es par:
(2n)!! = 2n = 2n n
 Si el número es impar:
2n
(2n-1)!! = 2n-1 =
2n
n
Observaciones:
• 3! = 6  factorial de 3
• 3!! = 3  cofactorial de 3
• 3 !!!  no existe definición
• (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3
• ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!
• 3 !!! ≠ (( 3! )!)!
Ejemplo:
Si
!7!6
!8!7!6
+
++
=A ;
!70!69
!71
+
=B
!36
!35!34 +
=C Calcula: A x B x C
Resolución
Aplicando las propiedades estudiadas y
reduciendo términos tendremos:
)71(!6
)5671(!6
7!6!6
87!67!6!6
+
++
=
+
++
=
x
xxx
A
A = 64/8 = 8
70
71
7170
)701(!69
7170!69
==
+
=
xxx
B
35
1
3635
36
3635!34
)351(!34
==
+
=
xxx
C
Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16
PRACTICA DE CLASEPRACTICA DE CLASE
01.Hallar el equivalente de:
!201
!199!2000 +
=R
a) 0,01 b) 0,001 c) 0,005
d) 0,05 e) N.A.
02.Calcula el valor de n en:
24
)!4()!3(
)!3.()!5(
=
+++
++
nn
nn
a) 0 b) 3 c) 2
d) 1 e) N.A.
03.Para qué valor de “n” se cumple:
12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04.Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x!
es:
a) 24 b) 36 c) 30
d) 54 e) 60
05.Reduce:
( )
nfactor
n
x
)...!4!3)(!3!2)(!2!1(
)...!5!4!3)(!4!3!2(!3!2!1
+++
++++++
=
06.Simplifica:
500
1500...12963
1000....8642
xxxxx
xxxxx
07.Halla “x” en:
1(1!)+2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1
08.En qué cifra termina N?
N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!
09.Calcula el valor de E:
!3!2!1
!27!26!25
!25++
++
10.Halla “n” en:

48
)!7()!6(
)!8()!7()!6(
=
+++
+++++
nn
nnn
01.Reduce la siguiente expresión:
E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n
a) n! . nn
b) (2n). n! c) 2n
. n!
d) 2n
e) N.A.
02.Simplifica:
60........22.21.20
60.............14.13
a) 19/12 b) 19!/12! c) 19!
d) 12! e) 19! - 12!
03.Hallar n Si:
[(n! + 2)! – 4] ! = 20!
04.Sabiendo que:
!15
)!5()!6(
)!5()!7(
=
+++
++
xx
xx
,el valor
de“x”es :
05.Calcula “n” en:
!108
)!43()!53(
)!43()!53)(8103(3 2
=
+−+
++++
nn
nnnn
06.Hallar el equivalente de:
E=2(2!)+4(2!)+6(3!)+8(4!)+ ... + 2n(n!)
* Define, conoce y aplica las propiedades del
coeficiente binomial o número combinatorio
para su posterior aplicación en la solución de
problemas.
COMENTARIO PREVIO:
En la sesión anterior conocimos la gran
importancia de las variaciones, permutaciones y
combinaciones. Ésta última tiene muchas
aplicaciones en las soluciones de problemas que
involucren a la potenciación de polinomios.
Pues conozcamos a continuación sus
aplicaciones.
Coeficiente binomial
Esta importante notación conocida como
coeficiente binomial, se define de la siguiente
manera: Si “n” es un número real y “r” un
número natural, la notación coeficiente binomial
denotado por






r
n
. Se lee: “coeficiente n,
r” y está definida por:
   factoresr
rxxxx
rnnnn
r
n
""
....321
)1)....(2)(1( +−−−
=





Puede comprobarse que el número de factores
que hay en el numerador de ésta relación,
coincide con “r”.






r
n
Propiedad:
1=





n
n
∧
1
0
=




n
Teorema del coeficiente binomial
El siguiente teorema, permite evaluar






r
n
de
otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es
un entero no negativo y 0 ≤ r ≤ n, se verifica que:
índice superior
índice inferior
COEFICIENTE

)!(!
!
....321
)1)....(2)(1(
""
rnr
n
rxxxx
rnnnn
r
n
factoresr
−
=
+−−−
=






La expresión propuesta es semejante al
cálculo del número de combinaciones de “n”
objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a
este coeficiente binomial n, r también se le
llama número combinatorio n, r.
Una notación equivalente a la ya establecida es:
n
rC , Donde “n” recibe el nombre de la base y
“r” el de orden.
=





r
n
Basen
ordenrC ←
←
Propiedad de los números combinatorios
1º Los números combinatorios
complementarios, son aquellos que tienen
igual base y la suma de las órdenes coincide
con dicha base.
Se verifica que los números combinatorios
complementarios son iguales.
m
nm
m
n CC −=
Ejemplo:
4950
21
99100100
2
100
98 ===
x
x
CC
2º La suma de dos números combinatorios de
igual base, cuyas órdenes difieren en una
unidad, es igual a otro número combinatorio
cuya base es la de los sumandos aumentado
en una unidad y cuyo orden es el mayor de
los órdenes:
1
1
+
− =+ m
n
m
n
m
n CCC
Ejemplo:
20
321
4566
3
5
3
5
2 ===+
xx
xx
CCC
3º La suma de todos los números combinatorios
de igual índice, cuyos órdenes varían desde
cero hasta la propia base, vale 2 elevado a
dicha base:
mm
m
mm
CCC 2...10 =+++
Ejemplo:
16244
4
4
3
4
2
4
1
4
0 ==++++ CCCCC
4º Degradación de índice: Consiste en
descomponer un número combinatorio en
otro que tenga como índice superior e inferior
el inmediato anterior. Es decir:
1
1
−
−= n
r
n
r C
r
n
C
1−
−
= n
r
n
r C
rn
n
C
n
r
n
r C
r
rn
C 1
1
−=
+−
=
01.Calcula “n” en:
5
7
2
4
1
32
=
+
+
+
n
nn
C
CC
a) -22/7 b) 7 c) 22
d) 3 e) N.A.
02.Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad:
n
p
n
p CC 2
10
2
2 −− =
a) 4,6 b) 6,4 c) 8,10
d) 5,5 e) 3,6
03.Calcula “x” en:
212
21
212
2221
2
21
1
22
2
20
−−−−−
=−+++ xxxxxx
CCCCCC
a) 18 b) 19 c) 20
d) 22 e) 21
04.Un valor equivalente a
13
6C es:
a)
14
7C b)
13
5C c)
13
7C
d)
12
7C e)
13
8C
05.Sí:
n
C2
= 10; Hallar: 2n-1
a) 5 b) 15 c) 13
d) 9 e) 7
06.Sí:
18
xC =
18
2+xC , el valor de “x” es:
a) 4 b) 6 c) 2
d) 10 e) 8
07.Simplifica: 15
7
15
7
15
8
2
82
C
CC +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
08.Resuelve: 168
4
5
7
=−
−
n
n
C
C
a) 16 b) 18 c) 21
d) 19 e) 20
01.
15=





b
a
∧
( )
360
!
!
=
−ba
a
Entonces a.b es igual a:
a) 24 b) 96 c) 216
d) 864 e) N.A.
02.Reduce:
16
1
16
2
18
15
17
15





 +











 −






a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5
d) 5/3 e) 1/15
03.¿ Para qué valor de “n” se cumple:
4
2
33
1
3
++
++ nnn
CCC = 1331
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
04.Reduce: (r ≤ n – 1)






 −
+





−
+





−
−
+





+
+
r
n
r
n
r
n
r
n 1
11
1
1
1
a) 





+
+
1
2
r
n
b) 




 +
r
n 2
c)






+
+
2
2
r
n
d) 





+
+
2
3
r
n
e) N.A.
05.Calcula: “n + k” de:






−
=





12
21
11
2
22
7
kk
∧






=





2
2
28
3
4
3
nn
a) 15 b) 8 c) 12
d) 9 e) 17
06.Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:
2
n
C4
= 5
1
3
−n
C
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 5
07.Calcula el valor de “x” en:
( )
( )
122
. 1
2
1
21
1
12
1
−=
−
−
−
+
+
+
−
++
+
x
CCC
CCC
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
m
x
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 5
* Desarrolla correctamente la potenciación de un
binomio, haciendo uso de los coeficientes
binomiales.
* Determina el término que ocupa un
determinado lugar en el desarrollo de dicha
potencia.
* Resuelve ejercicios y problemas referidos al
binomio de Newton.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
El Binomio de Newton recibe el nombre de
Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más
grande los matemáticos ingleses y uno de los
mayores científicos de la humanidad.
En este módulo introducimos las combinaciones
de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para
denotar los coeficientes de los términos del
desarrollo del binomio.
Estos valores funcionando como coeficientes del
desarrollo del binomio, son llamados números
combinatorios.
1. POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON
La potencia de un binomio es un polinomio
que se denomina desarrollo binomial o de
Newton. Así tenemos:
(x + a)1
= x + a
(x + a)2
= x2
+ 2xa + a2
(x + a)3
= x3
+ 3x2
a + 3xa2
+a3
(x + a)4
= x4
+ 4x3
a + 6x2
a2
+4xa3
+a4
: :
: :
Veamos a continuación el desarrollo de los
diversos tipos de exponentes que pueden afectar
al binomio.
DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN
BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n ∈
IN): BINOMIO DE NEWTON
nnnnn
aax
nn
anxxax ++
−
++=+ −−
...
2.1
)1(
)( 221
o también:
nn
n
nnnnnn
aCaxCaxCxCax .......)( 22
2
1
10 ++++=+ −−
Como ( ) n
k
n
k C= ; entonces también se podría
expresar haciendo uso de los coeficientes
binomiales:
+





+





+





=+ −− 22
2
1
10
...)( axaxxax n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
axaax ........ 1
1
33
3






+





++




 −
−
−
FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR
DIRECTAMENTE EL DESARROLLO DEL
BINOMIO
Veamos los siguientes ejemplos:
MÉTODO 1
Desarrollar : (x + a)4
432234 axa4ax6ax4x ++++Solución :
Nótese que cualquier coeficiente es igual al
producto del coeficiente anterior por el exponente
de “x”, dividido entre el exponente de “a”
previamente aumentado en 1.
Así: El 3er coeficiente: 6
11
3.4
=
+
El 4to coeficiente: 4
12
2.6
=
+
Generalizando:
Coeficiente
de un término
Coeficiente del
término anterior
Exponente de la 2da
base del término anterior
Exponente de la
1ra base del
+1
=
término anterior
cualquiera
METODO 2
TRIÁNGULO DE PASCAL
Si distribuimos en línea los coeficientes del
desarrollo del binomio para sus potencias
consecutivas, toma la forma geométrica de un
triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a
sus descubridores.
Veamos
(x + a)0
⇒ 1
(x + a)1
⇒ 1 1
(x + a)2
⇒ 1 2 1
(x + a)3
⇒ 1 3 3 1
(x + a)4
⇒ 1 4 6 4 1
POTENCIACIÓN DE

(x + a)5
⇒ 1 5 10 10 5 1
(x + a)6
⇒ 1 6 15 20 15 6 1
(x + a)7
⇒ 1 7 21 35 35 21 7 1
: : : : :
También:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
En donde un coeficiente cualquiera es igual a la
suma de los dos que están encima de él en la fila
anterior.
Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Luego:
(x+y)5
=x5
+5x4
y+10x3
y2
+10x2
y3
+5xy4
+y5
Además obsérvese estos detalles del triángulo:
4 6
4
1C 4
2C
10
5
2C
Que en realidad comprueban que:
5
2
4
2
4
1 CCC =+
Es un caso particular de:
ccc
n
r
n
r
n
r
=+
−−
−
11
1
Además: 1+5+10+10+5+1= 32 = 25
ó
55
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
2=+++++ cccccc
Son una prueba de que la suma de los
coeficientes de la fila n, es igual a 2n
.
Observación:
♦ Tanto el método (1) como el método
(2) son viables o factibles de emplear para
potencias con exponentes pequeños, caso
contrario habría que emplear la forma
general.
♦ Si los términos del binomio están
ligados con el signo "−", los términos del
desarrollo estarán ligados en forma alternada
con los signos + , −.
nnnnn
aax
nn
anxxax ±−
−
+−=− −−
...
2.1
)1(
)( 221
o también:
nn
n
nnnnnnn
aCaxCaxCxCax .......)( 22
2
1
10 ±−+−=− −−
Siendo los de lugar: IMPAR ⇒ positivo
lugar: PAR ⇒ negativo
TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE
LA POTENCIA DE UN BINOMIO
Para: (x ± a)n
, se tiene que:
( ) kknn
kk axt −
+ ±=1
Donde :
(k + 1) → lugar que ocupa el término





 n
k
→ combinación de “n” elementos tomados
de “k” en “k”
n → exponente del binomio
x → primer término del binomio
a → segundo término del binomio
k → lugar del término buscado menos 1
Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo
de:
10
43
4
1
2 





− yx
Resolución
Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula
se obtiene:
( )
6
46103
10
6
7
4
1
.2 











=
−
yxT
2412124
7 2)2.(
6.5.4.3.2.1
5.6.7.8.9.10
yxT −
=
2412
7 .
128
105
yxT =
TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE
LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO
A PARTIR DEL EXTREMO FINAL
Es necesario y suficiente intercambiar
simultáneamente las bases y aplicar la fórmula
conocida del término general.
Ejemplo: Calcular el t10 a partir del extremo
final de: (x + y)40
Resolución
Solamente intercambiamos las bases (y + x)40
y
aplicamos la fórmula del término general.
93140
9
94040
9
40
1910 .. xyCyctt final === −
+
Observación:
* La suma de los coeficientes de (x + a)n
es:
n
n
nnnn
CCCC ++++= ....2 210
* La suma de los coeficientes de (x – a)n
es cero.
* En general la suma de los coeficientes del
desarrollo de la potencia de un binomio se
obtiene reemplazando a las variables que
aparecen en la base por la unidad.
P(x ; a) = (px ± qa)n
⇒ P(1;1) = (p ± q)n
2. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN
BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO
Y/O FRACCIONARIO.
En la primera parte del módulo se estudió el
Teorema del binomio cuando el exponente es
un número entero y positivo cualquiera, ahora
se trata de hallar la fórmula para exponente
negativo y/o fraccionario.
...
2.1
)1(
1
)( 221
+
−
++=+ −−
ax
nn
ax
n
xax nnnn

( ) ( ) ( ) +++=+ −− 22
2
1
10 .....)( axaxxax nnnnnnn
( ) .....a.x. 33nn
3
++ −
Su desarrollo admite infinitos términos
pudiéndosele llamar Serie binomial..
Ejemplo.
Hállese los tres primeros términos de la
expansión de: ( ) 3/1
1
−
−x
Resolución
De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá
plantear:
...)1()1()1(
1
3
13/1
1
3/1
3/1
0
3
1
+





+





=−
−−−
−
−−
xx
Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:
....
2.1
1
3
1
3
1
3
1
1)1( 23/1
+






−
−





 −
+





−+=− −
xxx
Finalmente efectuando las operaciones indicadas
conseguimos:
  
términosprimerostres
2
3/1
.....
9
x2
3
x
1)xI( −+−=− −
PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL
BINOMIO
01.El número de términos es infinito, y al
desarrollo se le reconoce con el nombre de
serie binómica de Newton.
02. Para determinar el desarrollo de (x + a)n
para
un número fraccionario y / o negativo el
valor de x debe ser uno y además x > a. Los
valores de a deben ser 0 < a < 1.
03. Los términos del desarrollo con respecto a
sus signos, no tienen ninguna relación.
04.Para determinar el término general en el
desarrollo se utiliza la siguiente fórmula.
kkn
n
k
k axt −
+ 





=1 ; ó también:
kkn
factoresk
k ax
k
knnnn
t −
+
+−−−
=
!
)1)...(2)(1(
1
  
3. FÓRMULA DE LEIBNITZ
Así como se puede hallar el término que uno
desee en la potencia de un binomio, se puede
hallar un término cualquiera en la potencia de un
polinomio, aplicando la llamada fórmula de
Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas
estableceremos las reglas para el desarrollo de (a
+ b + c + d)m
, en donde el término que contiene a:
aα
. bβ
. cγ
. dδ
es:
δγβα
δγβα
dcba
m
....
!!!!
!
Donde: m=+++ δγβα
El desarrollo de toda la potencia se expresa así:
δγβα
δγβα
dcba
m
dcba m
...
!!!!
!
)( ∑=+++
Donde m se descompone en todos los modos
posibles tales que: α + β + γ + δ pertenecen al
conjunto {0; 1; 2; ... m}.
Ejemplo:
Halla el coeficiente de x6
en el desarrollo
de (1 + 2x – x2
)5
.
Resolución
El coeficiente estará expresado por:
γβα
γβα
)()2()1(
!!!
!5 2
xx −∑ .....
........ (I)
Donde : β + 2γ = 6 (exponente de x6
)
Además : α + β + γ = 5, donde los valores
posibles que pueden asumir son:
α = 0 ; β = 4 ; γ = 1
α = 1 ; β = 2 ; γ = 2
α = 2 ; β = 0 ; γ = 3
Reemplazando en (I):
22211240
)()2()1(
!2!2!1
!5
)()2()1(
!1!4!0
!5
xxxx −+−
66663202
308012010)()2()1(
!3!0!2
!5
xxxxxx =−+−=−+
¡Importante!
Dado el polinomio:
n
ostérk
kcba )...(
min""
  
++++
El número de términos de su desarrollo se calcula
de la siguiente manera:
n° términos = 




 −+
−
1
1
kn
k
Ejemplo:
El número de términos de (1 + x + y + z)6
es:
84
3.2.1
7.8.99
3
146
14 ===−+
− CC
01.¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en
relación con el desarrollo de (x2
– 3y5
)6
?
a) El desarrollo consta de 7 términos.
b) Los términos son alternadamente
positivos y negativos.
c) La suma de los exponentes que afectan a
“x” é “y” en cada término es constante.
d) El coeficiente del segundo término es –18
e) El coeficiente del cuarto término no es
540
02.El quinto término de (2x2
+ y)20
tiene por
coeficiente:
a) 170. 28
b) 570. 24
c) 570. 216
d) 340 . 25
e) 4845. 216

03.El término de segundo grado en el desarrollo
de:
4
2 2




−
x
x es :
a) -32x2
b) 24x2
c) -12x2
d) 4x2
e) -16x2
04.Halla el coeficiente del término independiente
de “x” en el desarrollo de ( )1248 −
−xx
a) 490 b) 492 c) 497
d) 493 e) 425
05.Hallar n + k si se sabe que el cuarto término
del desarrollo de (x + 2)n
es 80xk
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
06.En el desarrollo de:
120
3
5 1






+
x
x .
Determinar el número de términos
irracionales.
a) 9 b) 150 c) 118
d) 112 e) Imposible
07. Al desarrollar la expresión:
nn
n
m
x
x
y
x






+
+
−
20
10
Observamos que ésta admite un término
central cuya parte literal es: 60060
yx
.Calcula “m + n”
a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45
08.Hallar el coeficiente que contiene a x2
en el
desarrollo de: 2/1
)41( −
− x .
a) 12 b) 6 c) 4
d) 18 e) 1
09.Calcular el coeficiente cuya parte literal es x9
en la expresión: 53
)21( xx ++
a) 70 b) -70 c) 80
d) -80 e) 90
10.El número de términos que se obtiene al
desarrollar:
n
zyx )5432( 22
+++ es 84.
Calcula n.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
01.¿Cuáles son los dos primeros términos del
desarrollo de:
10
2
10
1 





−
a
?
a) 1– a2
b)10 – a20
c) 1 – 10a8
d) 10 – a2
e) 1+ a2
5
2
2
11






+
xx
.El
término que contiene a x–8
es:
a) El 2do b) El 3ro c) El 4to
d) El 5to e) El 6to
03.En el desarrollo de
m
x
a
x 





+2
los
coeficientes de los términos cuarto y décimo
son iguales. Hallar el término que no contiene
a “x”:
a) 120 b) 612 a4
c) 870 a6
d) 3003 a10
e) 1020 a9
04.Por el teorema del binomio. ¿Cuántos
términos de la expansión de: ( )123
23 +
son números naturales?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05.Si el término de lugar “n” contando a partir
del último en la expansión del binomio.
B(x ; y)=
m
y
x 





+ 2
3 1
.Es px18
y–6
Halle m+n+p
a) 82 b) 84 c) 86
d) 88 e) 90
06.Calcular el valor que toma el quinto término
del desarrollo de:
1
1
−x
;para x=0,4
a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005
d) 0,007 e) 0,009
07.La suma de los coeficientes numéricos del
desarrollo completo de ( x2
– 2xy + y2
)7
, es:
a) 0 b) 7 c) 14
d) 128 e) 1282
08.Si el número de términos que se obtiene al
desarrollar: ( 2 + 3x2
+ 4y + 5z2
)n
es 84.
Calcula “n”
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
09.Al desarrollar: ( x + y + z + w )8
, se obtienen
“n” términos en el cual uno de ellos toma la
forma: λ x2
y2
zw3
. De acuerdo a lo anterior,
calcular el valor de: “x + n”
a) 1805 b) 1584 c) 1845
d) 1854 e) 1580
10.Hallar el término que contenga la cuarta
potencia de “a” en el desarrollo de:
( )10
2 a−
a) 1280 a4
b) 1380 a4
c) 1480 a4
d) 1580 a4
e) 1680 a4
11.En el desarrollo de
7
1






−
a
a , el
coeficiente de a-1/2
es:
a) - 7 b) 7 c) - 21
d) 221 e) 35
12.La suma de los coeficientes numéricos de
todos los términos del desarrollo de: (x - 2y)18
es:
a) 0 b) 1 c) 2
d) - 19 e) 19
13.Indicar el lugar que ocupa el término
independiente de “x” en la expansión de:
x
x
23
4
154
1
+








a) 57 b) 63 c) 97
d) 112 e) 113
14.En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un
término en la cual su grado es numéricamente
igual a la posición que ocupa. Indica dicha
posición si la suma de los coeficientes de
todos los términos del desarrollo es igual a
234
a) 8 b) 11 c) 10
d) 12 e) 9

120
3
5 1






+
x
x . Determina el
número de términos racionales e irracionales.
a) 9 y 12 b) 15 y 104 c) 17 y 104
d) 20 y 101 e) N.A.
17.Al desarrollar la expresión:
x
y
y
x
m
n
n n
−
+








+
10
20
,
Observamos que ésta admite un sólo término
central cuya parte literal es : x60
y600
. Calcular
: “m + n”
a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45
* Extrae la raíz cuadrada de un polinomio.
* Extrae la raíz cúbica de un polinomio.
La sexta operación, la radicación, se expresa con
el signo: . No todos conocen que este signo
es una variante de la letra latina “r“, primera letra
de la palabra latina radix, que significa raíz. En
otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz,
no era la “r“ minúscula si no la mayúscula, la
“R“, y junto a ella se escribía la primera letra de
las palabras latinas quadratus, la letra “q” o la
primera de cubus, la “c“, señalando con ello que
la raíz a extraer era cuadrada o cúbica.
Escribían por ejemplo: R.q. 4325 ó R.c.21758 en
lugar de la moderna expresión:
3254 ó 3 75821
CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:
1. RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la
potenciación, que consiste en obtener una
expresión llamada raíz, de tal manera que al
ser elevado a un número llamado índice nos
produce una expresión llamada radicando o
cantidad subradical.
Donde: b : Raíz enésima
n : índice
A : Radicando
√ : Signo de la radicación.
2. RAÍZ ENÉSIMA DE POLINOMIOS
Donde: P(X) : Polinomio radicando
R(X) : Raíz enésima
r(X) : Residuo de la raíz enésima.
3. GRADOS DE LA RADICACIÓN
3.1. GRADO DE LA RAÍZ: RO
0
)( xP : Grado del polinomio
radicando.
RADICACIÓN DE
)()()()( x
n
xx
n
x rRPP +=⇔∃
AbbA nn
=⇔=
INR
n
p
R OxO
∈= ;
0
)(

01 02
Ejemplo: Extraer laraíz cuadradade16x5
+ 24x5
– 7x4
– 4x3
+ x2
– x + 6
16x5
+ 24x5
– 7x4
– 4x3
+ x2
– x + 6 4x3
+ 3x2
– 2x + 1 ⇒ Raíz cuadrada
-16x6 2(4x3
) = 8x3
⇒ Haceel papel dedivisor.
24x5
– 7x4
24x5
: 8x3
= 3x2
⇒ Segundo
término
-24x5
– 9x4
(8x2
+ 3x2
)(-3x2
) = -24x5
– 9x4
-16x4
–4x3
+ x2
-16x4
: 8x3
= -2x ⇒ Tercer
término
16x4
+ 12x3
– 4x2
(8x3
+ 6x2
– 2x) (2x) = 16x4
+
12x3
– 4x2
8x3
– 3x2
– x + 6 8x3
: 8x3
= 1 ⇒ 4to término
-8x3
– 6x2
+ 4x – 1(8x3
+ 6x2
– 4x + 1) ( - 1) = -8x3
– 6x2
+ 4x – 1
Residuo ⇒ -9x2
+ 3x + 5
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria ALGEBRA 3er. Año Secundaria
N : Índice de la raíz
3.2. GRADO DEL RESIDUO: ro
Ejemplo:
Hallar los grados de los términos de la
siguiente radicación:
120 810
++ xx
Resolución:
0
)( xP : 10 ; n = 2, luego:
Ro
= 10/2 = 5 (Grado de la raíz)
ro
≤ ( n – 1) Ro
– 1 (Grado del
residuo)
ro
≤ ( 2 – 1) 5 – 1
ro
≤ 4
∴ Ro = 5 ; ro ≤ 4 ; r máx. = 4
4. RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
MÉTODO PRÁCTICO
Es condición necesaria que P(x) sea de grado
2 o múltiplo de 2, además de ser ordenado y
completo. Así mismo los términos del
polinomio deben agruparse de 2 en 2 a partir
del término independiente, a continuación se
procederá a la extracción de la raíz cuadrada
mediante las siguientes recomendaciones:
1. Se extrae la raíz cuadrada del primer término
de P(x)
2. El término obtenido se eleva al cuadrado y se
resta de su correspondiente término semejante
en el radicando.
3. Se bajan los dos términos del siguiente grupo
y se duplica la raíz obtenida hasta ese
momento.
4. Se divide el primer término del resto obtenido
hasta ese momento, entre el doble del primer
término de la raíz, el cociente obtenido es el
segundo término de la raíz cuadrada.
5. Este
segundo
término de
la raíz se
suma al
doble del
primer
término de
la raíz
formándose un binomio, éste binomio se
multiplica por el opuesto del segundo
término, sumándose el producto a los dos
términos que se habían bajado.
6. Se procede como en las recomendaciones 3, 4
y 5 hasta obtener un resto cuyo grado sea
menor que el grado de la raíz cuadrada.
5. RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO
MÉTODO PRÁCTICO
Es condición necesaria que P(x) sea de grado
3 o múltiplo de 3, además de ser ordenado y
completo. Así mismo los términos del
polinomio deben agruparse de 3 en 3 a partir
del término independiente, a continuación se
procede a la extracción de la raíz cúbica
mediante las siguientes recomendaciones:
1. Se extrae la raíz cúbica del primer
término de P(x), obteniéndose el primer
término de la raíz.
2. El término obtenido se eleva al cubo y se
resta de su correspondiente término
semejante en el radicando.
3. Se bajan los tres términos del siguiente
grupo y se divide el primer término con el
triple del cuadrado de la raíz hallada hasta
ese momento. El cociente obtenido será el
segundo término de la raíz cúbica.
4. A continuación se forman tres productos:
4.1. El triple del cuadrado del primer
término de la raíz por el segundo
término de la misma.
4.2. El triple del primer término de la raíz
por el cuadrado de su segundo
término.
4.3. El cubo del segundo término de la
raíz. Luego los productos obtenidos
se restan de los tres términos que se
habían bajado del polinomio.
5. Se baja el siguiente grupo y se procede
como en los pasos 3 y 4, hasta obtener un
residuo cuyo grado sea una unidad menor
que el doble del grado de la raíz ( grado
máximo)
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
Extraer la raíz cuadrada de los siguientes
polinomios.
01.4x6
–12x3
+13x4
-22x3
+25x2
-8x+16
02.4x4
– 20x3
+ 37x2
+ 32x2
+ 32x
03. - 12
04.9x6
–24x5
+28x4
-46x3
+44x2
-20x+25
05.4x6
– 16x4
+ 28x3
- 16x2
- 56x + 19
06.25x4
+ 70x3
a + 29x2
a2
- 28xa3
+ 4a4
Extraer la raíz cúbica de los siguientes
polinomios:
07.8x6
+12x5
-54x4
- 59x3
+ 135x2
+ 75x - 125
08.27x6
+ 54x5
+ 9x4
- 28x3
- 3x2
+ 6x - 1
09.x6
- 6x5
+ 15x4
- 20x3
+ 15x2
+ 6x - 1
Resolver los siguientes ejercicios:
10.Calcular “m” y “n” sí la raíz cuadrada de:
9x4
- 42x2
+ mx2
- 56x + n, es exacta.
11.Calcular “m + n” si la raíz cuadrada de:
ro
≤ (n – 1)Ro
– 1 ; ro
∈ N

mx4
+ nx3
+ 29x2
+ 12x + 4, es exacta.
12. Calcular:
C
BA
E
−
= ; sabiendo que:
1x4x6x2x3x2xA 23456
++++−−=
1x2x5x2x2x4xB 23456
+++++−=
C = x – 1
a) x + 1 b) x – 1 c) x
d) 2x e) 2x + 1
01.Calcular “m + n” si la expresión:
49x26
- mx16
+ nx13
+ 4x6
- 15x3
+ 27, tiene
raíz cuadrada inexacta, y se obtiene como
residuo 5x3
+ 2.
02.Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de:
9x4
+ mx3
+ nx2
- 70x + 49, es exacta.
03. Calcular “m + n” en: 81x4
- 216x3
+ mx + n,
para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del
residuo correspondiente.
04. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:
9x30
+ 30x18
+ 24x15
+ 25x6
+ mx3
+ 16, es
exacta.
4x4
+ (m + 3)x3
+ 5x2
+ (m + 1)x + 1, es
exacta.
06. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de:
9x4
+ mx3
+ nx2
+ 20x + 4, es exacta.
25x40
- 30x25
+ 70x20
+ 9x10
- mx5
+ 49, es
exacta.
08.Calcular “m + n” en: 16x4
+ 96x3
+ 216x2
+
mx + n, para que su raíz cuadrada sea el
cuadrado del residuo correspondiente.
09.Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de:
16x4
+ mx3
+ nx2
10. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de:
9x4 + mx3
+ nx2
11.Calcular el menor valor que se le debe asignar
a (β) en: P(x) = 16x4
+ 32x3
+ 24x2
+ αx + β
Para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del
residuo correspondiente.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12.¿Qué valor de “n” convierte a los polinomios:
I. x4
+ mx3
+ nx2
+ px + 1
II. x4
+ 4mx3
+ 6nx2
+ 4px + 1
En cuadrados perfectos?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
12.Calcular la condición que deben cumplir los
coeficientes de:(a + bx)2
+ (c + dx)2
a fin de
que la expresión resulte un cuadrado perfecto.
a) a=b b) a=b=c
c) a = b = c = d d) a = -b = c
e) a = b = c = -d
* Opera correctamente con radicales, haciendo
uso de las propiedades enunciadas en el
presente módulo.
* Transforma radicales dobles a radicales
simples, haciendo uso de las fórmulas de
transformación demostradas en clase. :
En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos,
buscando la longitud de la diagonal de un
cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase
de números distintos a los naturales y a los
fraccionarios, les pareció tan poco razonable
lo que obtuvieron que le llamaron irracional.
Las raíces que no pueden expresarse
exactamente mediante números racionales
representan números irracionales y reciben el
nombre de radicales. Por ejemplo:
11,5,3 , son radicales.
1. CONOCIMIENTOS PREVIOS:
1.1. VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ
)2(; ≥Ν∈∧ℜ∈= +
nnASírAn
Ejemplos:
a) 22)2( 2
== b)
22)2( 2
=−=−
Luego:
c)

principalraízlaEs
Xxx 131)-(3x169 22
−==+−



〈−+
≥−
=+−
01313x-
0131-3x
169 2
xsi
xsi
xx





〈+
≥
=+−
3
1
13x-
3
1
1-3x
169 2
xsi
xsi
xx
1.2. EXPRESION RADICAL: Las raíces de
expresiones algebraicas que no pueden
expresarse exactamente mediante una
expresión algebraica racional, representan
expresiones algebraicas irracionales y
reciben el nombre de radicales. Ejemplo:
3 25 3
8;8;3 abcyxx ; son
radicales.
1.3. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son
aquellos radicales que presentan el mismo
orden o índice, sin importar el radicando.



〈−
≥
==
0
02
xsix
xsix
xx
RADICACIÓN DE

Ejemplo: 3 23 23 2
;; baxyzyx ;
Son radicales homogéneos.
1.4 RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos
radicales que presentan el mismo orden o
índice y la misma cantidad subradical, sin
importar la expresión que lo multiplica.
Ejemplo:
5 25 25 2
26;25;2
5
7
xxxx − ;
son
radicales semejantes.
1.5. HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: Es
la operación que consiste en transformar
radicales con diferente índice (radicales
heterogéneos), en radicales con igual índice
(radicales homogéneos).
Se recomienda tener en cuenta las
siguientes; reglas:
(1) Se halla el M.C.M. de los índices de los
radicales, que será el índice común.
(2) Se divide el M.C.M. encontrado entre el
índice original de cada radical y cada
cociente de multiplica por el exponente
también original de la cantidad
subradical.
Ejemplo:
5 24 33
;; wzx ,
expresarlos como homogéneos.
En primer lugar se debe reconocer que el
M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.
60 203
xx = (60 ÷ 3 = 20)
60 454 3
zz =
60 245 2
ww =
1.6 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se
dice que un radical está simplificado al
máximo cuando al descomponer en factores
primos el radicando todos los factores
primos están elevados a exponentes
menores que el índice del radical.
Ejemplo : 330 está simplificado
al máximo porque descomponiendo 330 en
factores primos tendremos:
330 2
165 3
55 5
11 1
1
en cambio, 384 no está simplificando
al máximo porque descomponiendo 384 en
factores primos tendremos:
384 2
192 2
96 2
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Para simplificar 384 al máximo
procederemos del modo siguiente.
32232384 67
xx=⋅=
6862384 6
⋅=⋅=
1.7. PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN:
Consiste en extraer una expresión del
radicando; así:
nn n
BABA =
Ejemplos:
a)
55 5
baba = b)
33 3
28 abab =
c) 444
33381243 == x
1.8. PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN:
Consiste en introducir una expresión en el
radicando; así:
n nn
BABA =
Ejemplos:
a) baba 55
= b)
3 33
82 abab =
c)
44 44
2433333 == x
2. OPERACIONES CON RADICALES
2.1. ADICIÓN DE RADICALES
a) Para radicales semejantes se procede
así:
nnnn
xcbaxcxbxa )( ±±=±±
b) En la adición de radicales con distinto
índice, la expresión queda indicada.
⇒± nn
ybxa no son semejantes
Observación.- En las operaciones de
adición y sustracción los radicales se
simplifican al máximo y a continuación
se efectúan las operaciones
2.2 MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
a) nnn
xyabybxa =.
b)
mn mnmn mmn nnm
yxyxyx == ..
2.3 DIVISIÓN DE RADICALES
a) nnn
y
x
b
a
ybxa =:
b)
mn mnmn mmn nnm
yxyxyx ::: ==
3. DESCOMPOSICIÓN DE RADICALES
DOBLES EN SIMPLES
3.1. PRIMER CASO:
yxBA ±=±
De donde:
22
CA
y
CA
x
−
=∧
+
=
Siendo : BAC −= 2
En resumen la fórmula para descomponer
una raíz doble en raíces simples es:
A B
A C A C
± =
+
±
−
2 2
Es decir que, para transformar radicales
dobles, en radicales simples: A2 - B, debe
ser un número cuadrado perfecto.
3.2. SEGUNDO CASO:
Donde:
xyB
zyxA
2=
++=
yzD
xzC
2
2
=
=
Resolviendo el sistema de ecuaciones
obtenemos x, y, z.
Ejemplo: Transformar a radicales simples:
2262326 +++
Resolución:
;;; xzxyA 2622326 ===
yz222 =
Luego:
zyx ++=6
yzxzxy === 263 ;;
21
33
==
=⇒=
zy
xx
zyxDCBA ±+=±±+
330 = 2 x 3 x 5 x 11,
todos los factores primos
están elevados a
exponentes menores que 2.
384 = 27
x 3, como se
puede observar, no todos
los factores primos están
elevados a exponentes
menores que 2.

Pero:
zyx ++=+++ 2262326
2132262326 ++=+++
3.3. TERCER CASO:
Donde:
CxxA 34 3
−=
3 2
BAC −= siendo: BA −2
cubo
perfecto.
Cxy −= 2
Ejemplo:
Transformar: 3
21420 + a radicales
simples.
Resolución:
Cálculo de C:
3 2
BAC −= Siendo:
2
21421420 )(; =⇒== BBA
2
392400
21420
3
3 22
=
−=
−=
C
C
C )()(
Cálculo de x:
Cx
CxxA
)2(3420
34
3
3
−=
−=
)64(20 2
−= xx La igualdad se
cumple cuando: 2=x
Cálculo de y:
2
222
2
=
−=
−=
y
y
Cxy
Luego: 22214203
+=+
01.Transforma a radicales simples
A) 729 + B) 247 −
C) 4
347 + D) 442 2
−+ xx
E) 2611+ F) 1228 +
G) 14012 + H) 288 +
I) 288 + J)
nn 2
34723 −+ .
K) xx 2
22312 −+ .
L) 3569735697
44
−−+=T
02.Calcula el valor de:
1223999921971001002199 22
+−++−−+−− ...
03.Simplificar:








−−++= 7571373
4
E
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04.Al descomponer en radicales simples:
22
2 aycxybxybxa ++++
se obtiene una expresión de la forma
yxk + , dar como resultado el valor
de k.
a) a2 b) b c) b2
d) ba + e) Ninguna
05.Reducir:
bbabababba +++−+++ 22
2235
a) ba − b) b2 c) a2
d) ba + e) Ninguno
06.Si se tiene que: βα+=+ ba .
Hallar el equivalente de:
34226
33 ββαβαα −−+=E
a) a – b b) a2 – b c) a – b2
d) E = 0 e) a2 – b2
07.Calcula el valor de:
6273021128814012 −−−++−+=E
a) 2 b) 1 c) 0
d) -2 e) N.A.
08.Simplifica:
32423335932 +++−++−= )(E
a) √3+2 b) 2 - √3 c) 3
d) - 2 e) 2
09.Hallar el valor de “E”
32121212121 ++++++= ............E
a) 12 + b) 1 - √2 c) - ( 1 + √2 )
d) 0 e) √2
10.Simplificar:



+++−+− 23226342405612
a) 5 b) 7 c) 4
d) 6 e) N.A.
11.Simplificar
10831235483272752
125202745
++−−−
+−−−
)
)
b
a
12. 346
444 xx dividirlo entre
520
44 x
13.Efectuar la operación:
3
8749826483 )( ÷
14.Simplificar:
65
155
22
228
x
xx
01.Proporcionar el radical equivalente a:
124347 −++
yxBA ±=±
3

a) 324 + b) 3413 −
c) 3628 + d) 3628 −
e) 3413 +
02.Transformar radicales simples:
53953159531 )......()......( +++++++++
a) 10 5 + 2 b) 10 3 + 5
c) 10 5 +20 d) 5 10 +10
e) 10 5 -20
03.Reduce:
E = 1228 + + 30211 − +
1027 −
a) 2 6 b) 6 c) 2 5
d) 5 e) 0
04.Reduce:
108330048310812 ++−−
a) 1 b) 0 c) 8 3
d) 12 3 e) 6 3
05.Calcula:
............. 222666 ++÷−−
06.Reduce:
)(.))()()(( 2212131213 ++−−
07.Transformar: 549417 +−=E
08.Si:
2
6
3
15
== yx ; la relación que
cumple es:
a) x < y b) x = y c) x/y =c
d) x/y = √3 e) x > y
09.Reducir:
2221355216142935212 −−−+−−+=E
10.Efectuar:
))(( 44
212118211 −+++
a) 1 b) 2 c) 4
d) 2 √2 e) 4 √2
11.Calcula (a + b) si se cumple:
ba 2102721210625 +=−+−++
a) 42 b) 45 c) 47
d) 49 e) 51
12.Sí:
15
15
15
15
+
−
=
−
+
=
n
n
n
n
yx ;
Halla el valor de:
1
1
1
1
+
+
+
+
+
y
xy
x
yx )()(
a) 1 b) 2 c) 5n
d) 5n
+1 e) 3
13.Efectuar las operaciones indicadas:
3333
242812542163
48375527212
+−−
+−+
)
)
b
a
16
3
227412
2
1
4
3
8
27
3
234
3
12 3
3
3
2
2
−+−
+−
)
)
d
ab
b
a
b
bb
a
a
b
c
( ) ( ) 1332510325
2
++−+)e
14.Al transformar:
142267618 +++
Como una suma de radicales simples se
obtiene zyx ++ x > y > z.
Calcular: x + y +z
15.Al transformar la expresión: 3
31526 +
se obtiene yx + , el valor de x + y es:
16.Calcular:
( ) ( )4 42
22981 −+−=E
17. Sabiendo que
los radicales son homogéneos, reducir:
42
646464 +++
−+ mnmn
nm
18. La raíz
cuadrada de la expresión:
2818566166102542411 +−+++++
Es equivalente a:

01 02
ba
FRN
FRba
FRN
ba
N
±
=
±
=
±
).(
))((
).(
3333
ba
FRN
FRbaba
FRN
baba
N
±
=
+
=
+
).(
))((
).(
3 233 23 233 2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3er. Año Secundaria ALGEBRA 3er. Año Secundaria
* Determina correctamente el factor
racionalizante de una determinada expresión
algebraica.
* Resuelve ejercicios referidos a racionalización
de fracciones algebraicas con denominador
irracional.
Muchas veces hemos escuchado hablar acerca de
racionalizar una determinada fracción algebraica,
y hemos entendido por racionalización al
proceso mediante el cual se puede convertir una
fracción cuyo denominador sea una expresión
algebraica irracional, en otra fracción
equivalente con denominador racional.
Generalmente se realiza la racionalización del
denominador de una fracción, pero en algunos
casos también se presentan ejercicios en donde se
nos pide racionalizar el numerador.
1. RACIONALIZACIÓN
Racionalizar una fracción con denominador
irracional, consiste en transformarlo a otro
equivalente con denominador racional.
Para lograrlo es necesario multiplicar los
términos de la fracción por otra expresión
irracional llamado factor racionalizante
FACTOR RACIONALIZANTE
Si al multiplicar dos expresiones algebraicas
irracionales se obtiene como resultado una
expresión algebraica racional, entonces
ambos términos serán denominados factor
racionalizante uno del otro.
EXPRESIÓN
IRRACIONAL
EXPRESIÓN IRRACIONAL
EXPRESIÓN
RACIONAL
5 32
yx 5 32
yx yx.
5 343
cba ..
5 24 33 2
cba .. cba ..
ba ± ba  ba −
33
ba ± 3 233 2
baba + ba ±
Factor Racionalizante Producto
2. CASOS DE LA RACIONALIZACIÓN
PRIMER CASO: n m
a
N
; n > m
Factor racionalizante: mn
a
N
n mn
〉
−
;
Observamos que la fracción presenta en su
denominador un monomio.
Ejemplo:
Racionalizar: 5 2
1
x
Resolución: F. R. 5 35 25
xx =−
x
x
x
x
xx
x
5 3
5 5
5 3
5 35 2
5 3
1
==
×
⇒
SEGUNDO CASO:
ba
N
±
Factor racionalizante: ba 
Observamos que la fracción presenta en su
denominador un binomio cuyos sumandos
son radicales de índice 2, para racionalizarlos
hemos aplicado el criterio de la conjugada.
Ejemplo:
Racionalizar:
45
3
−++ nn
Resolución: F. R. 45 −−+ nn
( ) ( )
45
453
45
453
45
3
45
45
45
3
45
3
+−+
−−+
=
−−+
−−+
=
−++
−−+
−−+
×
−++
=
−++
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nnnn
)()(
3
45
45
3 −−+
=
−++
∴
nn
nn
TERCER CASO: cuando la fracción presenta
en su denominador expresiones cuyos
términos poseen radical de índice superior a
2; será necesario tratarlo teniendo en cuenta
los siguientes aspectos:
44
ba
N
±
a) Cuando la fracción presenta en su
denominador expresiones en las cuales sus
términos poseen radicales cuyo índice es
potencia de 2, para racionalizar se aplica
el criterio de la conjugada las veces que
sea necesario.
Factor racionalizante: ( )( )baba +44

b)Cuando la fracción presenta en su denominador
una suma algebraica de radicales de tercer orden.
3 233 2
33
babaRF
ba
N
+=
±
.;
33
3 233 2
baFR
baba
N
±=
+
;

Ejemplo: Racionaliza:
33 2
25
1
+x
Resolución:
33 23 4
62525 +−= xxRF ..
2562525
62525
25
1
233 23 4
33 23 4
33 2 +
=
+−
+−
×
+ x
FR
xx
xx
x
25
62525
25
1
2
33 23 4
33 2 +
+−
=
+
∴
x
xx
x
 Observación:
a
FRN
aa
FRN
a
N
n mnn mn m
).(
))((
).(
==
−
ba
FRN
ba
ba
x
ba
N
ba
N
−
==
±
).(



ba
FRN
baba
baba
x
ba
N
ba
N
−
=
+
+
±
=
±
).(
))((
))((
44
44
4444


RACIONALIZ

Lo antes expuesto; se puede aplicar cuando el
denominador presenta radicales que se están
sumando algebraicamente y que son de
cualquier orden impar mayor que 3.
Previamente se tendrá en cuenta criterios
estudiados en las divisiones notables que
originan cocientes notables exactos.
EXPRESIÓN
IRRACIONAL
FACTOR RACIONALIZANTE P
nn
ba − n nn nn n
baa 121 −−−
+++ ... ba −
nn
ba + n nn nn n
baa 121 −−−
++− ... ba +
01.Calcula: E =
33
93
212
1
93
212
1 −++
a) 1 b) 5 c) 8
d) 10 e) 12
02. E =
2
13
12832117288







 −−+
,su valor será:
a) 13 b) 11 c) 9
d) 7 e) 8
03.Al racionalizar:
532
28
−+
−
se obtiene
como denominador.
a) 6 b) 2 6 c) 10
d) 12 e) N.A
04.Simplificar: 22
32
13
−
−
+
a) 2 b) 3 c) 5
d) 6 e) 7
05.Al racionalizar el denominador de la
expresión adjunta, el grado del producto de
los términos del denominador será:
128 5
3128
1
yx −
a) 16384 b) 8192 c) 4096
d) 2048 e) 8
06.Al racionalizar y simplificar:
5 72
33
120
24
yx
yx
el denominador de la fracción resultante es:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
07.Efectuar:
E =
23
2
322
5
2332
3
−
+
−
+
−
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
08.La equivalente de:
E=
3/2
4
3
35697
2142039211










+
−++
es
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
09.Racionalizar:
6321
1
+++
, se
obtiene:
10.Al reducir:
56
1
67
1
78
1
83
1
−
−
−
+
−
−
−
=T
se puede afirmar que:
a) T > 2 b) T = 1 c) T <1
d) 1< T < 2 e) Ninguna anterior
11.Después de racionalizar el denominador de:
142267618
74
+++
; resulta.
12.Después de hacer racional el denominador de
la fracción:
3339
123
33
−+
; se obtiene.
13.Al racionalizar el denominador de la
siguiente fracción:
333
2
yxyx
yx
+−+
este se convierte en.
14.Después de reducir a su mínima expresión:
333
21139
1
31526
1
257
1
+
+
+
+
+
Resulta.
15.El denominador de las fracciones, una vez
racionalizado es:
122
1
4
+−
=a ;
36
772
1
−+
=b
01.Al racionalizar:
T =
7531
7152
+++
− )(
se obtiene:
a) 11 b) 21 c) 31
d) 41 e) N.a
02.Al efectuar:
30211
1
348
4
1027
3
−
−
+
+
−
=T
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
03. Racionaliza e indica el denominador:
6749
1
33
−−
=E
a) 300 b) 350 c) 400
d) 430 e) 450
04. Efectuar:
12
15282
151065
1 −−
+
−+−
=T
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05.Calcular:
33
33
72
1
33
72
1 −++
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 5
06.Sí: 3
132000 +=m ;
3
131997n +=
Hallar : 9339
nnm9m −−

a) 27 b) 72 c) 30
d) 20 e) 25
07.Calcula (a + b) si se cumple:
ba 2102721210625 +=−+−++
a) 42 b) 45 c) 47
d) 49 e) 51
08.Indique el denominador después de
racionalizar:
122
1
+++ xx
a) x b) x + 1 c) x + 2
d) 1 e) 2
09.Sí: A =
23
1
−
; B =
23
1
+
Entonces:
a) (A + B) ∈ N b) (A – B) ∈ N
c) AB > 1 d) AB < 1
e) (A + B) 3 ∈ Z
10.Al efectuar: 33
4221
23
++
obtendremos
una expresión que adopta la forma:
333
CBA ++ . Hallar A + B + C.
11.Racionalizar:
1392781
1
5555
++++
12.Al racionalizar:
yxyx −++
1
Señalar el denominador resultante.
* Define y reconoce a las cantidades imaginarias
como componentes no reales de los números
complejos.
* Opera con las potencias enteras de i.
El conjunto І de los números irracionales, junto
con el conjunto Q de los números racionales
constituyen el conjunto R de los números reales.
Por los conocimientos previos que manejamos
vimos que el campo numérico hasta ahora
conocido necesitaba una nueva ampliación que
permitiera hallar raíces pares de números
negativos. Así, por ejemplo, no existe ningún
número real que represente
4
4183 −−−− ,,, . Estas raíces
reciben el nombre cantidades imaginarias.
Llamamos imaginarios a los números
constituyentes de las componentes no reales de
los números complejos.
En este módulo que consta de dos sesiones
trataremos de realizar un estudio formal y
riguroso de este nuevo sistema numérico, en todo
momento relacionaremos estos conceptos nuevos
con los conocimientos antes conocidos.
1. CANTIDADES
IMAGINARIAS
Los números imaginarios se originan de la
extracción de la raíz cuadrada a números
negativos.
Definición: Las cantidades imaginarias son
aquellas que se obtienen por la extracción de
raíces pares de números negativos.
Ejemplo: 126
5649 −−− ;; ; son
cantidades imaginarias. Toda expresión de la
forma: n
a2 , donde n es par y a es un
número real no negativo, es una cantidad
imaginaria pura.
Unidad imaginaria: Recibe este nombre el
radical 1− , se le representa mediante el
siguiente símbolo: i = 1− (notación de
Gauss) y cumple i 2
= -1.
1− se tomará como referencia para
medir todas las cantidades imaginarias puras.
Operación básica de transformación:
Sea a ∈ ℜ+
, tenemos:
iaaaa =−=−=− 11)(
Toda raíz imaginaria puede expresarse como el
producto de un número real por la unidad
imaginaria.
Ejemplo:
i39 =− ; i55 =− ;
i
3
2
9
4
=−
Potencias enteras de la unidad imaginaria:
De i 1
= i se ha concluido que i 2
= -1;
conociendo esto podemos deducir todas las
demás potencias de i .
i 1
= i i 5
= i 4
. i 1
= i i 9
= i
i 2
= -1 i 6
= i 4
. i 2
= -1 i 10
= -1
i 3
= - i i 7
= i 4
. i 3
= - i i 11
= - i
i 4
= 1 i 8
= i 4
. i 4
= 1 i 12
= 1
Generalizando:
i4q + r
= i r
0 ≤ r < 4 ; q ∈ Ζ
Veamos los siguientes ejemplos:
♦ Sabemos que: i 4q
= 1 ∀ q ∈ Ζ
i 12 448
= 1 ; i 137 956
= 1; i -12 448
= 1
Recuerde que 4q es
0
4 ; ∀ q ∈ Ζ
CANTIDADES

♦ La unidad imaginaria i, no siempre
estará afectado exactamente de un exponente
0
4 , podría presentarse:
i4q + r
; 0 ≤ r < 4; q ∈ Ζ
i15 767
= i 4 (3 941) + 3
= i 3
= - i
i -135
= i 4 (-34) + 1
= i1
= i
Se concluye: i + i 2
+ i 3
+ i 4
= 0, esta relación
podemos generalizarlo diciendo: La suma de
cuatro potencias consecutivas cualesquiera de
la unidad imaginaria es igual a cero. Es decir:
in
+ i n+1
+ i n+2
+ in+3
= 0 ; ∀ n ∈ Ζ
Ejemplo:
♦ i217
+ i218
+ i 219
+ i 220
= 0
♦ i - 75
+ i - 76
+ i - 77
+ i - 78
= 0
Resumen:

0
4
41
0
∀=i positivo o negativo

0
4
4
0
∀=+ rr
ii positivo o negativo, r ∈ Ζ
 0432
=+++ iiii ; en general:
 Ζ∈∀=+++ +++
niiii nnnn
;0321
1. Hallar:
a) i 4 273
b) i 30 214
2. Siendo, i = 1− , dar el
valor de:
I. i –7
II. i –21
III. i-3 224
3. Simplificar:
37912137728249
12123 iiiii +−++
4. Hallar el valor de: i 658
+ i 527
–
i 436
+ i 247
5. Simplificar:
161514131211109
8765432
428428
824824
iiiiiiii
iiiiiiii
+++++++
+++++++
6. Reduce a su mínima
expresión:
(i –233
– i–232
+ i –231
-... - i –2
+i –1
-1)2
7. Reducir: ( )
22
6
4
2
+




















n
i
i
i
i
....
8. Simplificar:
niniiii
iniiii
n
n
4189753
8432
4432
168642
−++++++
+++++
)(...
...
01. Simplificar:
196225361
36100324
−+−−−
−−−+−
02.Calcular:
a) i16
b) i10
c) i4n+3
(n entero) d) i43
03.Hállese la parte real de efectuar:
2222
100321
.....11 iiK ++++=
a) 1 b) 0 c) 50
d) 100 e) 25
04.Hállese la expresión reducida de:
iiii
iiiiS
iii
+



 ⋅⋅=
−++
3113
a) 1 b) -1 c) 1
d) -1 e) N.A.
05.Efectuar: E =
3333
5555
2222 iii ++
a) i b) - i c) 1
d) - 1 e) N.A
06.Simplificar:
603593584540527
293302313321328
−+−+−−−+−
++++
=
iiiii
iiiii
K
a) 4 b) 3 c) 8
d) - 1 e) N.A
* Realiza un estudio formal de los números
complejos y sus respectivas propiedades.
* Aplica las propiedades antes estudiadas en la
resolución de ejercicios que involucran
números complejos.
NUMEROS

El matemático francés Descartes fue el primero
que llamó imaginarios a los números
constituyentes de las componentes no reales de
los números complejos. El matemático alemán
Euler contribuyó notablemente a divulgar el uso
de los números complejos, pero quién mayor
auge dio a su utilización fue el matemático danés
Wessel, que suministró una valiosa interpretación
geométrica de los números complejos.
01.NÚMEROS COMPLEJOS
Son de la forma Z = a + b i, a ∈ IR, b ∈ IR
se llama:
a = Re(z) → parte real de Z
b = Im(z) → parte imaginaria de Z
Complejos Conjugados
Son aquellos que difieren únicamente en
el signo de su parte imaginaria:
4 – 3i 4 + 3i
Complejos Opuestos
El opuesto de a + bi es – a – bi
Complejos Nulo
Aquel número que tiene su parte real y su
parte imaginaria iguales a cero:
0 = 0 + 0i
Igualdad de dos números complejos
Dos números complejos son iguales si
tienen iguales sus partes reales y sus
partes imaginarias:
a + bi = c + di ⇒ a = c y b = d
Módulo o norma de un complejo
Se define por medio de la siguiente
relación:
Ejemplo:
54343 22
=−+−=−−= )()(ir
02.OPERACIONES CON NÚMEROS
COMPLEJOS
Adición:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(2+7i)+(-7- 3i)=(2-7) + (7 - 3)i = -5 + 4i
Resta
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b – d)i
(3+
5
2
i)-(4+
9
1
i)=(3-4)+(
5
2
-
9
1
)=-1+
45
13
i
Multiplicación
(a + bi) (c + di) = (a c-bd) + (ad +bc)i
(2-5i)(3-7i) = 6 - 14i-15i+35i2
= -29 - 29i
Potenciación
Zn
= Z.Z.Z.Z.Z .... Z , ∀ Z∈C, n∈N
n veces
División de números complejos
22
dc
ad)i(bcbd)(ac
i)di)(cd(c
i)di)(cb(a
idc
iba
+
−++
=
−+
−+
=
+
+
Efectuar:
i
25
26
25
7
34
15i26i8
i)3i)(43(4
i)3i)(45(2
i34
i52
22
2
−
−
=
+
+−
=
−+
−−
=
+
−
Raíz cuadrada de números complejos
La radicación de un número complejo
arrojará tantas raíces como lo indique el
índice del signo radical.
Es decir: dado Z = a + bi para calcular las
raíces enésimas o raíces de orden “n” de Z (n∈
Ν, n ≥ 2), se establece lo siguiente:
yixbian
+=+
Donde: a, b y n son datos, x e y tendrán que
calcularse (x, y ∈ ℜ); para esto se tendrá que
elevar ambos miembros a la “n” y desarrollar
el segundo miembro por fórmula del binomio
de Newton. Se recomienda esto cuando “n”
toma valores pequeños, en caso contrario
téngase en cuenta la fórmula de Moivre.
Ejemplo:
Calcular las raíces cuadradas de 21 – 20i
Resolución
Establecemos la igualdad:
iyxi +=−2021
Elevando al cuadrado:
21 - 20i = (x 2
– y 2
) + 2xy i
Por igualdad de números complejos:
♦ x 2
– y 2
= 21 ....(I)
♦ 2xy = -20 ....(II)
(I) 2
+(II) 2
:(x2
–y2
)2
+4x2
y2
= (21)2
+ (-20)2
(x2
+ y2
)2
= 841→ x2
+ y2
= 29 .......(III)
(I)+(III):2x2
=50→x2
=25→ x = 5 ó x = –5
(III)–(I):2y2
=8 → y2
= 4 → y = 2 ó y = -2
De (II): x e y tienen signos opuestos, luego:
x = 5 ; y = -2 ó x = -5 ; y = 2
)( ii 252021 −±=−∴
Otra forma: Aplicando transformaciones de
radicales dobles en simples. Veamos:
1002211102212021 −−=−−=− xi
( ) ( )ii 254252021 −±=−−±=−
Observación: Cuando el índice es 2 (n=2)
podría tomarse en cuenta la transformación de
radicales dobles en simples, para algunos
casos.
03.REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN
NÚMERO COMPLEJO
La representación gráfica de un número
complejo se realiza en un sistema de ejes
coordenadas denominado Diagrama de
Argand, mediante un punto cuyas
coordenadas serán las componentes de un
complejo, al punto se le denomina afijo del
número complejo.
Ejemplo:
Representar gráficamente los siguientes
números:
Número complejo Afijo del complejo
4 + 3i (4 ; 3)
2 - 4i (2 ;-4)
-5 + 2i (-5; 2)
7 (7 ; 0)
22
baibaP +=+=
C
⇔
C
(25) + (-4)
(25) (-4)

-3i (0 ;-3)
eje imaginario
eje real
(4,3)
(-5,2)
(2,-4)
04.FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
RELACIONES FUNDAMENTALES
e je im a g in a rio
e je re a l
a + b i = (a , b )
b
p
a
0
1) 22
bar += ....módulo
2) θ = arc tg(
a
b
)...argumento
(0 ≤ θ < 2π) , a ≠ 0
3) a = r cos θ
4) b = r sen θ
FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE
UN COMPLEJO
Sea Cos θ + i sen θ = Cis θ
Luego: a + b i = r Cis θ
Ejemplo:
1) Cis 60° = cos 60° + i sen 60° =
2
1
+
2
3
i
2) Expresar en forma polar –4 - 4 3 i
8344 22
=−+−= )()(r
°==
−
−
= 2403
4
34
tgarctgarcθ
°=−− 2408344 cisi
e je im a g in a rio
e je re a l
2 4 0 °
6 0 °
05.OPERACIONES CON COMPLEJOS EN
FORMA POLAR
1°) Multiplicación
2°) División
3°) Potenciación
Nota:
Si r = 1 tenemos la fórmula de Moivre
4°) Radicación
Donde: k = 0 ; 1 ; 2 ; ... (n-1)
Ejemplos:
1) Hallar las raíces cúbicas de la unidad
120(
3
360
1011 333
kCis
k
Ciscis °=
°
==
K = 0 ⇒ W1 = Cis 0 = 1
K=1⇒ W2 = Cis 120° = i
2
3
2
1
+
−
K = 2 ⇒ W3 = Cis 240° =
2
1−
-
2
3
i
2) Resolver x4
+ 1 = 0
4
360180
118011
k
Ciscisx
°+°
==−=
k = 0, 1, 2, 3
K=0⇒W1 =Cis 45° =
2
2
+
2
2
i K
= 1⇒W2 = Cis 135° =
2
2−
+
2
2
i
K = 2 ⇒ W3 = Cis 225° =
2
2−
-
2
2 i K = 3 ⇒ W4 = Cis 315° =
2
2
-
2
2
i
)( 21
2
1
22
11
θθ
θ
θ
−= Cis
r
r
Cisr
Cisr
(r1 Cis θ1) (r2 Cis θ2) = r1 r2 Cis (θ1 + θ2)
(r cis θ)n
= rn
cis (nθ)
(cis θ)n
= cis (nθ)
a + b i = r (cos θ + i sen θ)
n
k
Cisrcisr
)( °+
=
360θ
θ

01. Efectuar:
i
i
i
i
i
i
K
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a) 1 - i b) 1 c) 0
d) 1 + i e) i
02. Si la raíz cuadrada del número complejo:1 + i
es: x + yi .Hállese el valor de:
x
y
y
x
M −=
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
03. Si se cumple: iyixn +=++ 148
Calcular el valor de “x”.
a) 24n
b) 24n+2
c) 42n+1
d) -24n+2
e) -22n+1
04. Calcular:
( )∑=
+
+++
n
n
nn
xxx
1
4644
2652
Para: x = −1
a) 1 b) 5 c) 5(n - 1)
d) 5n e) 5(n+1)
05. Simplificar:
ii
i
2
13
2
3
125
37






+−
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.a.
06. Si:
2
31 −+−
=w . Calcular el V.N. de:
K = (5 + 7w + 7w2
)12
a) 64 b) 512 c) 1024 d) 2048 e) 2048
07. Siendo “W” una de las raíces cúbicas de la
unidad tal que: w ≠ 1, calcule:
S=(a+aw+w2
)4
(1+aw+ aw2
)4
(a + w + aw2
)4
a) a12
b) (a+1)12
c) -(a -1)12
d) (a -1)12
e) N.a.
08.Si tenemos que:
52
5
9
1
2
21
3
i
i
i
xii
=
−
+
+
+
+
Hállese el módulo de “Z”:
+
∈+= RxixZ /
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) N.A.
09. Hállese “Z” de:
1
8
4
3
5
8
12
=
−
−
=
−
−
Z
Z
iZ
Z
;
a) 6 + 17i b) 4 + 9i c) 6 + 19i
d) 6 + 8i e) A y D
10. Si “z” es un complejo tal que 5=z
.Halle:
22
11 zzK −++=
a) 52 b) 50 c) 48
d) 2 e) 32
11. La suma de los siguientes complejos:
Z1 = 2 + (y + 2)i
Z2 = y + 4 - 3yi / y ∈ R
origina un número real calcularlo
a) 7 b) 0 c) 5
d) 2 e) 6
01.Calcular :
R =
4
1
1
1
1






+
−
+
−
+
i
i
i
i
a) 2 b) i c)4
d) 0 e) N.A
02.Si Z = 1 + i ; Calcular : Z8
a) 2 i b) 4 i c) 16
d) 18 e) N.A
03.Si la raíz cuadrada del número complejo 1 + i
es x + y i , Hallar el valor de : M = x/y - y/x
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) N.A
04.Sabiendo que E es un valor real, donde el
valor de :
E =
( ) i
i
i
−
+
+3
43
225
; donde i =
1−
a) 4 b) 2 c) 3
d) 1 e) N.A
05.Sumar :
+
−
+
+
−
+
+
−
+
i
i
i
i
i
i
56
65
34
43
2
21
……
………n términos
a) ( n+1 ) i b) ( 2n + 1 ) I c) n i
d) 2n I e) N.a.
06.Hallar “α - β” en :
(1+i) (2+i) ( α + i ) = (1 - i ) (2 - i ) (β - i )
Sabiendo su i = √-1
a) 2 b) 4 c) 0
d) -1 e) N.a
07.Hallar “a+b” si
( ) ibai
i
i
i
i
+=+
−
+
+
−
−
4
21
21
5
3
2
23
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N.a
08.Sumar :
+
−
+
+
−
+
+
−
+
i
i
i
i
i
i
56
65
34
43
2
21
……n
términos
a) ( n+1 ) i b) ( 2n + 1 ) I c) n i
d) 2n I e) N. A.
09.Hallar “a+b” si:
( ) ibai
i
i
i
i
+=+
−
+
+
−
−
4
21
21
5
3
2
23
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) N. A

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