curvas, circunferencias, astroides, hipocicloides, otros.

1. C I R C U N F E R E N C I A
a
r
pol
Coord
a
y
x
car
Coord



.
.
.
. 2
2
2

2. E L I P S E






sen
b
y
a
x
pol
Coord
b
y
a
x
cart
Coord
cos
.
.
1
.
. 2
2
2
2

3. A S T R O I D E
t
sen
a
y
t
a
x
par
Coord
a
y
x
cart
Coord
3
3
3
/
2
3
/
2
3
/
2
cos
.
.
.
.





4. C A R D I O I D E
)
cos
1
(
2
.
.
)
(
4
)
2
(
.
. 2
2
2
2
2
2







a
r
pol
Coord
y
x
a
ax
y
x
cart
Coord

5. C I C L O I D E
)
cos
1
(
)
(
.
. t
a
y
sent
t
a
x
par
Coord 




6. CONCOIDE DE NICOMEDES







sec
.
.
0
)
(
)
(
.
. 2
2
2
2
2
b
a
r
pol
Coord
x
a
y
x
b
x
cart
Coord

7. CARACOL DE PASCAL
b
a
r
pol
Coord 

 cos
.
.

8. FOLIUM DE DESCARTES
axy
y
x
cart
Coord
sen
sen
r
pol
Coord
3
.
.
cos
cos
3
.
.
3
3
3
3









9. TRIFOLIUM

 3
cos
.
. a
r
pol
Coord

10. R O D O N A C E A
)
(
. 

 b
sen
a
polares
Coord

11. T R I C U S P I D E
3
2
2
2
2
)
3
3
(
4
)
9
12
(
.
. a
x
a
a
ax
y
x
cart
Coord 





12. TRIDENTE DE NEWTON
d
cx
bx
ax
xy
cart
Coord 


 2
3
.
.

13. LEMNISCATA DE BERNOULLI
)
2
cos(
.
.
)
(
)
(
.
.
2
2
2
2
2
2
2
2





a
r
pol
Coord
y
x
a
y
x
cart
Coord

14. CUARTICA PERIFORME
)
(
.
. 3
2
2
x
a
x
y
b
cart
Coord 


15. ESPIRAL DE ARQUIMEDES

a
r
polares
Coord.

16. ESPIRAL LOGARITMICA








 
a
r
b
e
a
r
polares
Coord b
ln
1
.

17. CLOTOIDE O ESPIRAL DE CORNU
2
0
2
0
2
.
.
2
2
cos
.
.
a
r
s
pol
Coord
dt
t
sen
y
dt
t
x
cart
Coord
t
t






 






 
 


18. Espiral de Arquímedes (Espiral uniforme )
(287-212 AC) -225 AC

a
r

19. ESPIRALES EN LA NATURALEZA

20. ESPIRITROMPA DE MARIPOSAS

21. Espiral Logarítmica o Equiangular
)
/
1
arctan(
)
/
ln(
1
b
u
a
r
b
ae
r b



 

22. Curvas derivadas de una curva plana
• 1- Evoluta y Evoluta exterior
• 2- Podaria
• 3- Radial
• 4- Cáustica
• 5- Inversa
• 6- Envoltura

23. Evoluta y Evoluta exterior de la Espiral
Logarítmica

24. Podaria de la Espiral Logaritmica

25. Radial de la Espiral Logaritmica

26. Curvas derivadas de la Espiral Logarítmica
• La Espiral Logarítmica es la única curva para
la cual su evoluta, su involuta, su podaria,
su radial, …. etc, son también espirales
logarítmicas. La curva se mantiene
invariable frente a todas estas
transformaciones.

27. Espiral Logarítmica o Equiangular
René Descartes (1596-1650) – 1638

28. Espiral Logarítmica o Equiangular
Jakob (Jacques) Bernoulli (1654 – 1705)– Spira Mirabilis –
(Espiral Maravillosa)
Eadem Mutata Resurgo (Mutante y permanente, vuelvo a resurgir
siendo el mismo)

29. ESPIRALES EN LA NATURALEZA

30. ESPIRALES EN LA NATURALEZA

31. Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

32. Espirales (y Fibonacci) en la Naturaleza

33. Espirales (y Fibonacci) en la naturaleza

34. Fósiles de Ammonites

35. Fósiles de Ammonites

36. N A U T I L U S
• Molusco marino cefalópodo “cabeza con pies”, único con
caparazón externa y 4 branquias.
• 450 millones de años - Océanos Pacífico e Indico
(Australia y Filipinas)

37. OTROS CEFALÓPODOS

38. N A U T I L U S
• 16-30 cm diametro. –Hasta 20 años – 60-90 tentáculos
• 1 vuelta = 16-18 cámaras – Adulto hasta 30 cámaras
• Cámaras aumentan tamaño siempre en la misma proporción
(autosemejanza)

39. N A U T I L U S – Generación del caparazón
• Rotar círculos curvatura y desplazar centros –
Perpendiculares al plano de la curva

40. N A U T I L U S
Madurez: 5 – 10 años
Hembras ponen huevos 1 vez al año y tardan 1 año en
eclosionar

41. N A U T I L U S - Morfología

42. N A U T I L U S

43. N A U T I L U S - Sección transversal

44. Espiral Logaritmica del Nautilus

45. NAUTILUS – Sección transversal

46. NAUTILUS

47. NAUTILUS

48. NAUTILUS

49. N A U T I L U S
• Acuario de Berlín- Foto de J. Baecker

50. Fotografia “Nautilus”
• Fotógrafo Edward Weston (1886-1958) – 1927
• Subastada en U$S 1.082.500 (2010) por la firma Sotheby’s
– NewYork (9º más cara de la historia)

51. CASA NAUTILUS
• Arq. Javier Senosiain (Bioarquitectura)– DF México
2006-

52. CASA NAUTILUS

53. CASA NAUTILUS

54. CASA NAUTILUS

55. CASA NAUTILUS

56. CASA NAUTILUS

57. CASA NAUTILUS