Este documento describe cómo usar la programación lineal para resolver juegos. Primero se identifica el problema, la matriz de pagos y las estrategias disponibles. Luego se asignan probabilidades a las estrategias y se calculan los pagos esperados usando la matriz de pagos. Finalmente, se formula un modelo de programación lineal para maximizar el valor del juego sujeto a restricciones sobre los pagos esperados y la suma de probabilidades. Cualquier juego con estrategias mixtas puede resolverse de esta manera.

1. Resolución de juegos
utilizando programación lineal
Luis Santiago Alcaraz

2. Introducción:
La programación lineal es un método matemático de optimización que busca determinar
el valor óptimo de una función objetivo lineal, sujeta a un conjunto de restricciones
lineales. En términos formales, se busca maximizar o minimizar una función objetivo
f(x) = c_1 * x_1 + c_2 * x_2 + ... + c_n * x_n
Sujeta a un conjunto de restricciones lineales de la forma:
a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + ... + a_1n * x_n <= b_1
a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + ... + a_2n * x_n <= b_2
...
a_m1 * x_1 + a_m2 * x_2 + ... + a_mn * x_n <= b_m
Donde x_i (i=1,2,...,n) son las variables de decisión, c_i y a_ij son coeficientes
constantes, y b_i son términos independientes constantes. La solución óptima se
encuentra en el punto donde se maximiza o minimiza la función objetivo, cumpliendo
todas las restricciones lineales.

3. Paso 1: Identificar el problema y la matriz de pagos
Definir el juego, los jugadores y las estrategias disponibles.
Crear la matriz de pagos, que muestra los resultados posibles para cada combinación de estrategias de los
jugadores.
Paso 2: Asignar probabilidades a las estrategias
Asignar variables (x1, x2, x3, ...) a las probabilidades de cada estrategia.
Establecer la restricción de que la suma de estas probabilidades debe ser igual a 1.
Paso 3: Calcular pagos esperados
Calcular el pago esperado para cada estrategia combinada utilizando la matriz de pagos y las probabilidades
asignadas.

4. Paso 4: Formular el modelo de programación lineal
Establecer la función objetivo, que es maximizar el valor del juego (variable "v").
Añadir restricciones para garantizar que la diferencia entre el valor del juego y los pagos esperados sea menor
o igual a 0.
Incluir la restricción de que la suma de las probabilidades de las estrategias debe ser igual a 1.
● Cualquier juego con estrategias mixtas se puede resolver con un modelo de programación
lineal.

5. Para cualquier estrategia del jugador 2, se presentará LA SIGUIENTE DESIGUALDAD ya que
el jugador 2 puede escoger una estrategia pura donde al menos un Yj = 1 y el resto igual a cero, lo que
hace que el sistema se reduzca a: