Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Explica las definiciones de seno, coseno y tangente para ángulos en cualquier magnitud utilizando la circunferencia goniométrica. También describe propiedades como ángulos opuestos, suplementarios y complementarios, y muestra ejemplos de cálculos trigonométricos.

1. Escuela Secundaria N° 5
Curso: 6° Año
Espacio Curricular: MATEMÁTICA
Docente: Prof. Alicia Carrizo

2. FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS

13. Astronomía : Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna,
distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios, ...
Artillería : ¿A qué distancia se encuentra un blanco al que se desea disparar con una
catapulta o con un cañón?
Cartografía : Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias
y algunos ángulos.
Construcciones : Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de
orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la
montaña, en el lugar deseado.
Navegación : Construcción de cartas marinas en las que se detalle la ubicación de
escollos, arrecifes, ...

20. Podemos extender las definiciones de las razones
trigonométricas para ángulos agudos en un triángulo recto
a ángulos de cualquier magnitud en el círculo.
Recuerde:

21. Hallar la razón trigonométrica indicada.
(5)sin4.
)tan(-2403.
)30cos(2.
)sin(.1
o
8
15


3827.0
8
sin 







  10cos 
3
3
tan
3
4
tan 













Nota que el 5 representa 5 radianes. Un
ángulo que mide 5 radianes está en 4to
cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?
0.9589-

22. Se puede observar el comportamiento de las razones trigonométricas a medida que rotamos
alrededor del círculo formando ángulos.
Recuerde que
aunque aquí se
muestran algunos
ángulos más
conocidos podemos
hallar el seno o el
coseno a ángulos
con cualquier
medida.

23. Funciones Trigonométricas
• Para definir las funciones trigonométricas se define como
entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en radianes.
• De esta forma el dominio de una función trigonométrica es el
conjunto de los números reales.
• El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ) es [-
1,1].
• Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes funciones
trigonométricas
f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).

24. Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x)
• Comenzaremos el estudio de las gráficas de
las funciones de seno y coseno armando una
tabla de valores.

25. Gráfica de f(x)=sin(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

26. Gráfica de f(x)=sin(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

27. Gráfica de g(x)=cos(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

28. Gráfica de g(x)=cos(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.

29. Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.

30. Gráficas de f(x)=sin(x)

31. Gráficas de f(x)=cos(x)

32. Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
1. En las gráficas anteriores se puede observar el gran
parecido que existe entre ambas.
2. De hecho, parece que podemos trasladar la gráfica de
g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la gráfica de
f(x)=sin(x).
3. Podemos describir este parecido diciendo que f(x)=
sin(x) = cos(x-[/2]).
Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º mide
/2 (en números reales o radianes).

33. Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
4. En las gráficas anteriores también se puede
observar que los valores de ambas funciones se
repiten cíclicamente para múltiplos de 2.
5. Este comportamiento se puede describir f(x) =
sin(x) = sin(x + 2n ) donde n pertenece a los
enteros (n  ).
6. También podemos decir que
g(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n  .

34. Creando nuevas funciones trigonométricas:
transformaciones
• Construya una tabla de valores para cada una
de las siguientes funciones.
• F(x)=2 sin(x)
• F(x) = sin(2x)
• F(x) = 2 sin(x +1)
• F(x) = 2 sin(x) + 1

35. Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)= 2 . sin(x)

36. Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)=sin(2x)

37. Gráfica de f(x) = sin(x) y f(x)= 2 . sin(x+1)

38. Gráfica de f(x)= 2 . sin(x) y f(x)= 2 . sin(x)+1

39. Creando nuevas funciones trigonométricas:
transformaciones
• Construya una tabla de valores para cada una
de las siguientes funciones.
• F(x)=2 cos(x)
• F(x) = cos(2x)
• F(x) = 2 cos(x +1)
• F(x) = 2 cos(x) + 1

40. Gráfica de f(x)=2cos(x)

41. Gráfica de f(x)=cos(2x)

42. Gráfica de h(x)=tan(x)
• Vamos a construir una tabla con algunos valores de
tangente para varios ángulos.
• Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está definido para
algunos ángulos. ¿Por qué?

43. No siempre es posible definir la función tangente de
un ángulo (x). De hecho, cuando la función coseno
del ángulo toma el valor de cero, la función tangente
no está definida (¿por qué?).

44. • Su radio es igual a la
unidad.
• Su centro es el origen
de coordenadas.
• Sus razones
trigonométricas son
independientes del
radio
Y
LA CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
1

45. 1.- Línea seno: Se representa por
la perpendicular trazada desde
el extremo del arco, hacia el
diámetro horizontal.
Sen a = cateto opuesto
hipotenusa
Que por la construcción la
hipotenusa vale 1
sen a = y
Seno
0
x
y
a

46. Análisis de los cuadrantes
0º
360º
90º
180º
270º
0
1
-1
+∞
- ∞
1
-1
0º = 0
90º = 1
180º = 0
270º = -1
360º = 0
Línea
Seno

47. 2.- Línea coseno: Se representa
por la perpendicular trazada
desde el extremo del arco,
hacia el diámetro vertical.
cateto adyacente
Cos a =
hipotenusa
Que por la construcción la
hipotenusa vale 1
cos a = x
Coseno
0
x
y
a

48. Línea
Coseno
270º
0º
360º
90º
180º 1-1
+∞- ∞
0- 1 1
0º = 1
90º = 0
180º = - 1
270º = 0
360º = 1

49. Tg.
3.- Línea tangente:
cateto opuesto
tg a = ---------------------
cateto adyacente
x’=1
0
x
y
a
y’
x
x’
y
y’Teorema de
Semejanza de
triangulos
(Teorema de
Tales)
y/x=y’/x’
Se empieza a medir de este origen y termina
en la intersección de la tangente
geométrica con el radio prolongado
que pasa por el extremo del arco.

50. 0º
360º
90º
180º
270º
0
+∞
- ∞
Línea
Tangente

51. 0
x
y
a
5.- Línea Cotangente:
ctg a = 1
tg a
ctg a = x / y
Ctg

52. 4.- Línea secante:
sec a = 1
cos a
0
x
y
a

53. 0
x
y
a
5.- Línea Cosecante:
Cosec a = 1
Sen a

54. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA

55. ÁNGULOS OPUESTOS
α αcos x cos(- )=x=
P (x,y)
α αsen y sen( ) y= - = -
α α
y y
tg tg(- )
x x
-
= =
65º
-65º
Si sen 65º= 0,9063 entonces sen(-65)=
Si cos 65º= 0,4226 entonces cos(-65)=
Si tg 65º= 2,1445 entonces tg(-65)=
-0,9063
0,4226
2,1445
Q(x, -y)

56. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS (SUMAN 180º)
α αcos x cos(180º- )=-x=
α αsen y sen(180º ) y= - =
Si sen 20º= 0,342 entonces sen160º=
Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos160º=
Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 160º=
0,342
-0,9396
-0,3639
180 -
P (x,y)
20º
160º
α α
y y
tg tg(180- )
x x
= =
-
Q(-x,y)

57. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º)
α αcos x cos(90º- )= y=
α αsen y sen(90º ) x= - =
Si sen 20º= 0,342 entonces sen 70º=
Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos70º=
Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 70º=
0,9396
0,342
1/0,3639=2,7474
P (x,y)
20º
α α
α
y x 1 1
tg tg(90º- )
yx y tg
x
= = = =
70 º
90 -
Q(y,x)

58. ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º
α αcos x cos(90º+ )= - y=
α αsen y sen(90º ) x= + =
Si sen 20º= 0,342 entonces sen 110º=
Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos110º=
Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 110º=
0,9396
-0,342
-1/0,3639=- 2,7474
P (x,y)
20º
α α
α
y x 1
tg tg(90º+ )
x y tg
= = = -
-
X
y
Q (-y,x)
90 +
110 º

59. ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180 º
α αcos x cos(180º+ )=-x=
α αsen y sen(180º ) y= + = -
Si sen 20º= 0,342 entonces sen 200º=
Si cos 20º= 0, 9396 entonces cos200º=
Si tg 20º= 0,3639 entonces tg 200º=
- 0,342
-0,9396
0,3639
180 +
P (x,y)
20º
200º
α α α
y y
tg tg(180+ ) tg
x x
-
= = =
-
Q(-x,-y)

60. ALGUNOS EJEMPLOS
Expresa cos 225º como un ángulo del primer cuadrante
225º
cos 225º
45º
cos 45º
Solución: cos 225º = - cos 45º

61. α α αHalla las restantes razones trigonométricas de sabiendo tg =-3 y que 180º<
Con la calculadora se obtiene que el ángulo es –71,5650º, o lo que es lo mismo 288,435.
-71,465º
288,535º
288,353 no vale porque es mayor que 180º
Por lo ya estudiado, cuando dos ángulos difieren en
180º tienen la misma tangente
Por lo que el ángulo buscado cumple que:
α α288,435º - = 180º =108,43495ºÞ
Conocido el ángulo se calcula el seno y el
coseno con la calculadora

62. α α αHalla con la calculadora sabiendo que sen = - 0,75 y que 270º<
Con la calculadora se obtiene que el ángulo es -48,5903º que es lo mismo que 311 ,4096º
Debo encontrar un ángulo que tenga el mismo seno que 311,4096 y que sea menor a 270º
311,4096 º
sen 311,4096Mismo seno y es menor que 270º
α 311,4096º 2·41,4096º 228,59036= - =α