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![Completa la siguiente tabla y grafica la función y = tan
θ en el intervalo ]–90°, 90°[.
3.8 Gráfica de la función tangente](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-38-320.jpg)
![EJEMPLO: Grafica, f(θ) = 3sen θ en el intervalo [0, 360°], las siguientes funciones utilizando la amplitud y
periodicidad
0
3sen 𝜃
3
2 3
3
2
0
−3
2
-3
−3
2
0
amplitud = 3
P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
T =
𝟑𝟔𝟎°
𝟏
= 𝟑𝟔𝟎°
Periodo: Indica cada cuanto se repite la gráfica.
f(θ) = sen Bθ es P =
𝟑𝟔𝟎°
𝑩
Y= 3sen 𝜽](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-41-320.jpg)
![3.10 Desplazamiento vertical de las funciones trigonométricas
Grafica f(θ) = sen θ – 3 , en el intervalo [0, 360°],
utilizando los desplazamientos:
3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k.
0
sen θ – 3
−𝟓
𝟐
-2
−𝟓
𝟐
-3 −𝟕
𝟐
-4
−𝟕
𝟐
-3
En general la gráfica de f(x) + k es un desplazamiento
vertical de la gráfica de f(x):
hacia arriba si k > 0
hacia abajo si k < 0.](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-46-320.jpg)
![3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas
Grafica f(θ) = sen(θ + 90°) funciones, en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos:
0 1 0 -1 0 1
Y = sen(θ + 90°) 1 0 -1 0 1 -1
Senθ
sen(θ + 90°)
θ + 90° = 0
θ = - 90°](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-49-320.jpg)
![PASO 1. CALCULAR. n(A) = _____ n(B) = ________ y n(A⋂B) = ______
Paso 2. a) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
b) n(U) = 9
c) n(Ac ) = n(U) – n(A)
4 5 2
n(A⋃B) = 4 + 5 – 2
n(A⋃B) = 7
c) n(Ac ) = 9 – 4
c) n(Ac ) = 5
Definición: La cantidad de elementos que tiene un conjunto
1.3 Calcula la cardinalidad de conjuntos y de sus operaciones
d) n(B c ) = n(U) – n(B)
e) n[(A⋃B) ] c = n(U) – n(A⋃B)
= 9 – 7
= 2
n[(A⋃B) ] c
f) n(Ac⋂Bc) = (A⋃B) c = 2
g) n[(A⋂B)c ] = n(U) – n(A⋂B)
= 9 – 2
= 7
n[(A⋂B)c ]
h) n(Ac ⋃ Bc) = n(Ac ) + n(Bc ) – n(Ac⋂Bc)
n(B c ) = 9 - 5
n(B c ) = 4
h) n(Ac ⋃ Bc) = 5 + 4 – 2
h) n(Ac ⋃ Bc) = 7](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-113-320.jpg)
![1.4 Resuelve problemas aplicando las propiedades de la cardinalidad de las operaciones con conjuntos.
Considerando los números naturales del 1 al 100, resuelve:
a) ¿Cuántos múltiplos de 4 hay?
A = {4(1),4), 4(3), ... , 4(23), 4(24), 4(25)}
n(A) = 25.
b) ¿Cuántos que no son múltiplos de 5 hay?
B = {5(1), 5(2), 5(3), ... , 5(18), 5(19), 5(20)}
n(Bc ) = n(U) – n(B) = 100 – 20 = 80.
c) ¿Cuántos múltiplos de 4 y de 5 hay?
El conjunto formado por los múltiplos de 4 y de 5
es el mismo conjunto que el de los múltiplos de 20
que hay entre 1 y 100.
A⋂B = {20(1), 20(2), 20(3), ... , 20(5), }.
n(A⋂B) = 5
d) ¿Cuántos múltiplos de 4 o de 5 hay?
n(B) = 20
Esta dado por el conjunto A⋃B.
n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B).
= 25 + 20 – 5
= 40
e) ¿Cuántos números que no son múltiplos de 4 ni de 5 hay?
n[(A⋃B)c ]
n(A⋃B)
= n(U) – n(A⋃B)
= 100 – 40
= 60 .
n[(A⋃B)c ]
Tips:
𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟐𝟓
Tips:
𝟏𝟎𝟎
𝟓
= 𝟐𝟎
1.4 Aplicaciones de la cardinalidad de conjuntos](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-115-320.jpg)
![n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B),
n(A⋃B) = 35 + 21 – 14
n(A⋃B) = 42
n[(A⋃B)c ] = n(U) – n(A⋃B)
2. Considerando los conjuntos U, A y B en los que se cumple que n(U) = 60, n(A) = 35,
n(B) = 21 y n(A⋂B) = 14, determina:
n[(A⋃B)c ] = 60 - 42
n[(A⋃B)c ] = 18](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-120-320.jpg)
![n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B),
n(A⋃B) = 35 + 21 – 14
n(A⋃B) = 42
n[(A∩B)c ] = n(U) – n(A ∩B)
2. Considerando los conjuntos U, A y B en los que se cumple que n(U) = 60, n(A) = 35,
n(B) = 21 y n(A⋂B) = 14, determina:
n[(A ∩ B)c ] = 60 -
n[(A ∩ B)c ] =](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-121-320.jpg)
![3.11 Desplazamiento horizontal de las funciones trigonométricas
Grafica f(θ) = sen(θ + 90°) funciones, en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos:
0 1 0 -1 0 1
Y = sen(θ + 90°) 1 0 -1 0 1 -1
senθ
sen(θ + 90°)
θ + 90° = 0
θ = - 90°](https://image.slidesharecdn.com/2materialdeapoyomodulo4-230517151604-fb429b67/85/2-MATERIAL-DE-APOYO-MODULO-4-pptx-140-320.jpg)
Subido porkarina ivett martinez
2° MATERIAL DE APOYO MODULO 4.pptx
Este documento trata sobre las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Explica cómo calcular estas funciones para cualquier ángulo usando el círculo trigonométrico. También describe la periodicidad de las funciones seno y coseno, las cuales tienen un período de 360 grados. Finalmente, explica cómo calcular la tangente usando la definición de tangente y la periodicidad de las funciones seno y coseno.
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- 1. 3.1 Razones trigonométricasde cualquier ángulo, repaso
- 2. −𝟏 𝟐 × 𝟐 𝟐 = − 𝟐 𝟐 RACIONALIZAR DENOMINADORESRADICALES −𝟏 𝟓 ×= − 𝟓 𝟓 −𝟏 𝟐 𝟓 ×= − 𝟓 𝟐(𝟓) = − 𝟓 𝟏𝟎
- 3. 3 Determina las razonestrigonométricas seno, coseno y tangente para cada ángulo Paso 1: r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 r = (−𝟐)𝟐 + 𝟐𝟐 r = 𝟒 + 𝟒 r = 𝟖 r = 𝟐𝟐 × 𝟐 r = 𝟐 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟐 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽 = −𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟏 𝟐 = − 𝟐 𝟐 = 𝒕𝒂𝒏𝜽 = 𝟐 −𝟐 = -1 𝟐 −𝟐 Paso 2 3.1 Razones trigonométricas de cualquier ángulo, repaso
- 4. 4 Determina las razonestrigonométricas seno, coseno y tangente para cada ángulo 3.1 Razones trigonométricas de cualquier ángulo, repaso Paso 1: r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 r = (𝟐)𝟐 + (−𝟒)𝟐 r = 𝟒 + 𝟏𝟔 r = 𝟐𝟎 r = 𝟒 × 𝟓 r = 𝟐 𝟓 𝒔𝒆𝒏𝜽 = −𝟒 𝟐 𝟓 = −𝟐 𝟓 = −𝟐 𝟓 𝟓 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐 𝟐 𝟓 = 𝟏 𝟓 = 𝟓 𝟓 𝒕𝒂𝒏𝜽 = −𝟒 𝟐 = -2 −𝟒 𝟐 Paso 2
- 5.
- 6. 1. Se denominaCírculo trigonométrico (CT) a la circunferencia de radio 1, centrada en el origen O. 3.2 Círculo trigonométrico Para todo ángulo θ es posible determinar los valores de cos θ y sen θ como coordenadas de un punto en el CT. Las coordenadas de un punto P(x, y) en el círculo trigonométrico están determinadas por el ángulo θ dibujado en posición estándar con lado terminal OP. Por definición de las razones trigonométricas de cualquier ángulo se tiene sen𝜽 = 𝒚 𝟏 = 𝒚 y cos 𝜽 = 𝒙 𝟏 = 𝒙 Por lo tanto P ( x , y ) = P ( cos 𝜽, 𝒔𝒆𝒏 𝜽)
- 7. 1. Para cadavalor de θ grafi ca el punto P(cos θ, sen θ) en el CT. Dibuja un círculo por cada literal. d) θ = –45°, θ = –135°
- 8. 1. Para cadavalor de θ grafi ca el punto P(cos θ, sen θ) en el CT. Dibuja un círculo por cada literal. e) θ = 360°, θ = 405°
- 9. 2. Obtén elseno y coseno de los siguientes ángulos u lizando el círculo trigonométrico d) θ = 270°
- 10. 3.3 Periodicidad delas funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico • sen(θ ± 360°) = sen θ • cos(θ ± 360°) = cos θ • Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores: • sen 405° sen( 45º + 360°) = sen 45º
- 11. 3.3 Periodicidad delas funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico • sen(θ ± 360°) = sen θ • cos(θ ± 360°) = cos θ • Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores: • Cos - 675° • cos( -675º + 2 × 360°) = cos 45º
- 12. 3.3 Periodicidad delas funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico • sen(θ ± 360°) = sen θ • cos(θ ± 360°) = cos θ • Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores: • Sen 1080° • Sen ( 1080º - 3×360°) = sen 0º
- 13. 3.3 Periodicidad delas funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico • sen(θ ± 360°) = sen θ • cos(θ ± 360°) = cos θ • Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores: • Sen 540° • Sen ( 540º- 360°) = sen 180º
- 14. 3.7 La tangenteen el círculo trigonométrico
- 15. 3.7 La tangenteen el círculo trigonométrico
- 16. 3.3 Periodicidad delas funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico Ángulo en posición estándar es aquel que tiene vértice en el origen del sistema de coordenadas y cuyo lado inicial está sobre el eje "x" positivo Sea θ un ángulo cualquiera y sea α = θ + 360°. Se cumple que al dibujar los ángulos θ y α, en posición estándar, tienen el mismo lado terminal en el CT.
- 17. • las funcionesseno y coseno son periódicas de acuerdo con la siguiente definición: una función f es periódica si existe un numero positivo t tal que f(x + t ) = f(x ) para toda x . El número positivo mas pequeño correspondiente (si existe) es el periodo de f. Si f tiene un periodo t , entonces la gráfica de f en cualquier intervalo de longitud t se conoce como un periodo completo de f . • La función seno tiene un periodo 360° : sen ( 𝜽 + 360° ) = sen 𝜽 • La función coseno tiene un periodo 360° : cos (𝜽 + 360° ) = cos 𝜽 • Período es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. • El período : Representa la medida del ángulo en la cual la gráfica completa un ciclo.
- 18. 3.3 Periodicidad delas funciones seno y coseno en el círculo trigonométrico Sea θ un ángulo cualquiera y sea α = θ + 360°. Se cumple que al dibujar los ángulos θ y α, en posición estándar, tienen el mismo lado terminal en el CT. Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Sen ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝑺𝒆𝒏 𝜽 Ejemplo 1. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de sen 540° Sen ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝑺𝒆𝒏 𝜽 Sen 540° = Sen ( 180 +𝟑𝟔𝟎) Sen 540° =𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟖𝟎° Sen 540° = 𝟎 𝟐 = 𝟎 𝟑𝟔𝟎°
- 19. Ejemplo 2. Utilizala periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos – 675 ° Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Cos -675°= cos ( -675° +𝟑𝟔𝟎° × 𝟐) c𝒐𝒔 − 𝟔𝟕𝟓° = 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓° 𝟒𝟓° c𝒐𝒔 − 𝟔𝟕𝟓° = 𝟐 𝟐 Cos -675°= cos ( -675° +𝟑𝟔𝟎° ) Cos -675°= cos ( - 315 ) No, está en posición normal Cos -675°= cos ( -675° +𝟕𝟐𝟎° )
- 20. Ejemplo 3. Utilizala periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos 630 ° Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 c𝒐𝒔 𝟔𝟑𝟎° = 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝟕𝟎 ° c𝒐𝒔 𝟔𝟑𝟎° = 𝟎 𝟐 = 𝟎 Cos 630°= cos ( 270° +𝟑𝟔𝟎° ) 360° 𝟐𝟕𝟎 ° 9𝟎 ° c𝒐𝒔 𝟔𝟑𝟎° = 𝟎
- 21. Ejemplo 4. Utilizala periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos -630 ° Cos ( 𝜽 + 𝟑𝟔𝟎) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 c𝒐𝒔 − 𝟔𝟑𝟎° = 𝒄𝒐𝒔 (𝟗𝟎) ° c𝒐𝒔 − 𝟔𝟑𝟎° = 𝟎 𝟐 = 𝟎 Cos- 630°= cos ( -630° +𝟑𝟔𝟎° × 𝟐 ) 90° Cos- 630°= cos ( -630° +𝟕𝟐𝟎° ) c𝒐𝒔 − 𝟔𝟑𝟎° = 𝟎
- 23. R/ sen 405°= 2 2 R/ cos 420° = 1 2 R/ sen -300° = 3 2
- 24. Gracias por tulike / comentario Suscríbete al canal Nos vemos en la próxima clase¡ 3.4 Periodicidad de la tangente en el círculo trigonométrico
- 25. 3.4 Periodicidad dela tangente en el círculo trigonométrico 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽
- 26. 3.4 Periodicidad dela tangente en el círculo trigonométrico Ejemplo 1. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores tan 240° tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 tan ( 60° +𝟏𝟖𝟎°) 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟒𝟎° = 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟒𝟎° = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎° 𝟔𝟎° 𝟔𝟎° 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝟒𝟎° = 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽
- 27. 3.4 Periodicidad dela tangente en el círculo trigonométrico Ejemplo 2. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores tan 600° tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 tan ( 60° +𝟏𝟖𝟎° × 𝟑 ) 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = tan ( 60° +𝟓𝟒𝟎° ) 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎° 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = 𝟑 𝟐 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝟔𝟎° 𝟔𝟎° 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎𝟎° = 𝟑
- 29. 3.4 Periodicidad dela tangente en el círculo trigonométrico Ejemplo 3. Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular los siguientes valores tan -495° tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 Tan -495° = tan ( -495°+𝟏𝟖𝟎° × 𝟑 ) Tan -495° = tan ( -495°+𝟓𝟒𝟎 ° ) Tan -495° = tan ( 45° ) 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Tan -495° = 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 = 𝟏 45° Tan -495° = 𝟏
- 30. R/ tan 225°= 1 R/ tan 210° = 3 3 R/ tan 240° = 3 tan ( 𝜽 + 𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝜽 tan ( 30º +𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝟑𝟎º tan ( 60º +𝟏𝟖𝟎°) = 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎º
- 31. Gracias por tulike / comentario Suscríbete al canal Nos vemos en la próxima clase¡
- 32. 3.7 La tangenteen el círculo trigonométrico
- 33. 1.0 1.0 -1.0 -1.0 EJEMPLO 1. Representael valor de la tangente de -45° , utilizando la figura de la conclusión: -45° P(1, tan -45°) 3.7 Representa el valor de la tangente de un ángulo utilizando el círculo trigonométrico.
- 34. 1.0 1.0 -1.0 -1.0 EJEMPLO 2. Representael valor de la tangente de θ = –150° utilizando la figura de la conclusión: -150° P(1, tan -150°) 3.7 Representa el valor de la tangente de un ángulo utilizando el círculo trigonométrico.
- 35. 3.8 gráfica dela función tangente
- 36. Angul o 0 30º 60º90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º Y = sen 0 0.5 0.86 1 0.86 0.5 0 -0.5 -0.86 -1 -0.86 -0.5 0
- 37. Angul o 0 30º 60º90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º Y = cos
- 38. Completa la siguientetabla y grafica la función y = tan θ en el intervalo ]–90°, 90°[. 3.8 Gráfica de la función tangente
- 39. 3.9 Periodo yamplitud de las funciones trigonométricas
- 40. 3.9 Periodo yamplitud de las funciones trigonométricas periodo de la función f(θ) = sen Bθ es P = 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 Se llama amplitud de la función trigonométrica f(θ) = A sen θ al valor |A| y es el máximo valor que puede tomar la función.
- 41. EJEMPLO: Grafica, f(θ)= 3sen θ en el intervalo [0, 360°], las siguientes funciones utilizando la amplitud y periodicidad 0 3sen 𝜃 3 2 3 3 2 0 −3 2 -3 −3 2 0 amplitud = 3 P = 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 T = 𝟑𝟔𝟎° 𝟏 = 𝟑𝟔𝟎° Periodo: Indica cada cuanto se repite la gráfica. f(θ) = sen Bθ es P = 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 Y= 3sen 𝜽
- 42. amplitud = -2P = 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 T = 𝟑𝟔𝟎° 𝟏 = 𝟑𝟔𝟎°
- 43. amplitud = 1P = 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 T = 𝟑𝟔𝟎° 𝟑 = 𝟏𝟐𝟎°
- 44. amplitud = 1 P= 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 T = 𝟑𝟔𝟎° 𝟏/𝟐 = 𝟕𝟐𝟎°
- 45. 3.10 Desplazamiento verticalde las funciones trigonométricas
- 46. 3.10 Desplazamiento verticalde las funciones trigonométricas Grafica f(θ) = sen θ – 3 , en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos: 3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k. 0 sen θ – 3 −𝟓 𝟐 -2 −𝟓 𝟐 -3 −𝟕 𝟐 -4 −𝟕 𝟐 -3 En general la gráfica de f(x) + k es un desplazamiento vertical de la gráfica de f(x): hacia arriba si k > 0 hacia abajo si k < 0.
- 47. 3.11 Desplazamiento horizontalde las funciones trigonométricas
- 48. 3.11 Desplazamiento horizontalde las funciones trigonométricas La gráfica de f(θ) = sen(θ – α) es un desplazamiento horizontal de α unidades de la gráfica de sen θ. En general, la gráfica de f(x – h) es un desplazamiento horizontal de h unidades de la gráfica de f(x): Hacia la derecha si h > 0. Hacia la izquierda si h < 0. x – h = 0 x = h x + h = 0 x = -h
- 49. 3.11 Desplazamiento horizontalde las funciones trigonométricas Grafica f(θ) = sen(θ + 90°) funciones, en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos: 0 1 0 -1 0 1 Y = sen(θ + 90°) 1 0 -1 0 1 -1 Senθ sen(θ + 90°) θ + 90° = 0 θ = - 90°
- 50. 3.13 Sistema circularde ángulos
- 51. 3.13 Sistema circularde ángulos
- 52. 3.13 Sistema circularde ángulos Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma. Un radián es una unidad de medida de un ángulo.
- 53. 𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 =𝟏𝟖𝟎° EJEMPLO 1. Convertir 210° en radianes: 210° 180° 𝝅 = 𝟕 𝟔 𝝅 rad EJEMPLO 2 . Convertir 315° en radianes: 315° 180° 𝝅 = 𝟕 𝟒 𝝅 rad 315°÷ 3 = 105 180 °÷ 3 = 60 ÷ 3 = 35 ÷ 3 = 20 ÷ 5 = 7 ÷ 5 = 4
- 54. 𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊á𝒏 =𝟏𝟖𝟎° EJEMPLO 3. Convertir 𝟐 𝟗 𝝅 a grados 𝟐 𝟗 𝝅 𝜋 180° = 𝟐(𝟏𝟖𝟎°) 𝟗 = 𝟐 𝟐𝟎 = 𝟒𝟎° EJEMPLO 4 . Convertir 𝟓 𝟒 𝝅 a grados : 𝟓 𝟒 𝝅 𝜋 180° = 𝟓(𝟏𝟖𝟎°) 𝟒 = 𝟓 𝟒𝟓° = 𝟐𝟐𝟓° 180 °÷ 4 = 45° 180° ÷ 9 = 20°
- 58. Gracias por tulike / comentario Suscríbete al canal Nos vemos en la próxima clase¡
- 66.
- 67. Observa las siguientessecuencias de figuras y números. Responde lo pedido en cada caso. • a) Determina las figuras 5, 6 y 7 que corresponden a la secuencia e identifica la regla que se ha utilizado para generarla
- 68. • b) ¿Cuálfigura corresponde a la Figura 7?
- 70. 1.2 Patrones generalizados •c) Determina el número faltante y la regla que se ha utilizado para generar la secuencia.
- 71. 1.2 Patrones generalizados •Para cada sucesión, encuentra el término general y los términos que se piden. • 2n • 2(42) = 84 a) 2, 4, 6, 8, ... ¿cuál es el término 42?
- 72. • c) 1,4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, ... ¿cuál es el término 11?
- 73. 1.2 Patrones generalizados •2. Enlista los primeros cinco términos de la sucesión que tiene término general an, en cada uno de los siguientes casos:
- 74. • EJERCICIO 1.Para la serie 3, 5,7, 9…… el término general que la representa es: • A. an = 2n + 1 C. an = 12 - 2n • B. an = 2n – 12 D. an = 2n – 3
- 75. 1.3 Sucesiones aritméticas:definición la sucesión se obtienen sus términos pueden obtenerse sumando un mismo número al término anterior se llama sucesión aritmética. Una sucesión aritmética tiene la propiedad que al restarle a un término su anterior siempre se obtendrá el mismo resultado. A este resultado se le llama diferencia f) 11, 7, 3, –1 , –5, –9, ... e) –4, –4, –4, –4, –4, –4, ... 2, 𝟓 𝟐 , 3, 𝟕 𝟐 , 4, 𝟗 𝟐 , 5, , ... Identifica si cada sucesión es una sucesión aritmética En caso de serlo, determina su diferencia. -4 – (-4) - 4 + 4 = 0 -4 – (-4) - 4 + 4 = 0 Es aritmética con d= 0 2, 2.5 , 3, 3.5 , 4, 4.5 , 5, , ... 5 – 4.5 = 0.5 3 – 2.5 = 0.5 Es aritmética con d= 0.5 3 – 7 - 4 -9 – (- 5) - 9 + 5 - 4 Es aritmética con d= -4
- 76. 1.3 Sucesiones aritméticadefinición 𝒂𝟐 𝒂𝟏 𝒂𝟑 𝒂𝟒 2 𝟓 𝟐 3 𝟕 𝟐 4 𝟗 𝟐 5 𝒂𝟓 𝒂𝟔 𝒂𝟕
- 77. EJERCICIO 2. Laprogresión 1, 3, 5, 7 … es una progresión A. Geométrica con r = 4 B. Aritmética con, d = 4 C. Geométrica con r = 2 D. Aritmética con, d = 2
- 78. 1.4 Sucesiones aritméticas:término general
- 79. 1.4 Sucesiones aritméticas:término general 1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta. a) 𝒂𝒏 = 5 + 4(n – 1) 𝑪) 𝒂𝒏 = 2 – 3(n – 1) f) 𝒂𝒏 = 5 – 1 3 (n – 1) Ejemplos
- 80. 1.4 Sucesiones aritméticas:término general 1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta. 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) Ejemplos 1. Establece el término general de las sucesiones aritméticas de los problemas de la Clase 1.3. f) 11, 7, 3, –1 , –5, –9, ... 7 – 11 - 4 -9 – (- 5) - 9 + 5 - 4 Es aritmética con d= -4 𝒂𝒏 = último valor / término general 𝒂𝟏 = 1er valor de la serie 𝐝 = diferencia n = posición / cantidad 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) 𝒂𝒏 = 11 + −𝟒 (n – 1) 𝒂𝒏 = 11 −𝟒𝒏 + 𝟒 𝒂𝒏 = 15 −𝟒𝒏
- 81. 1.4 Sucesiones aritméticas:término general 1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta. 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) Ejemplos 1. Establece el término general de las sucesiones aritméticas de los problemas de la Clase 1.3. Es aritmética con d= 0.5 𝒂𝒏 = último valor / término general 𝒂𝟏 = 1er valor de la serie 𝐝 = diferencia n = posición / cantidad 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) 𝒂𝒏 = 2 + 𝟎. 𝟓 (n – 1) 𝒂𝒏 = 2 + 𝟎. 𝟓 𝒏 − 𝟎. 𝟓 𝒂𝒏 = 1.5 +𝟎. 𝟓 𝒏 2, 𝟓 𝟐 , 3, 𝟕 𝟐 , 4, 𝟗 𝟐 , 5, , ... 5 – 4.5 = 0.5 3 – 2.5 = .05 2, 2.5 , 3, 3.5 , 4, 4.5 , 5, , ...
- 82. EJERCICIO 1) ¿Cuáles el término general de la siguiente sucesión: 3, 7, 11, 15,…….? d=4 A. a n = 6n - 3 B. a n = 4n - 1 C. a n = 3n D. a n = n + 3 a n = 4n - 1 a n = 4(1) - 1= 3 a n = 4(2) - 1 = 7 a n = 4(3) - 1 = 11
- 83. 1.4 Sucesiones aritméticas:término general 1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta. f) 𝒂𝒏 = 5 – 1 3 (n – 1) 2. Determina los términos 1, 7, 11, 20 y 100 de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas: 𝒂𝟐𝟎 = 5 – 1 3 (20 – 1) 𝒂𝟐𝟎 = 5 – 1 3 (19) 𝒂𝟐𝟎 = 5 – 𝟏𝟗 𝟑 𝒂𝟐𝟎 = 𝟏𝟓− 𝟏𝟗 𝟑 𝒂𝟐𝟎 = −𝟒 𝟑 f) 𝒂𝒏 = 5 – 1 3 (n – 1) 𝒂𝟏𝟏 = 5 – 1 3 (11 – 1) 𝒂𝟏𝟏 = 5 – 1 3 (10) 𝒂𝟏𝟏 = 5 – 𝟏𝟎 𝟑 𝒂𝟏𝟏 = 𝟏𝟓− 𝟏𝟎 𝟑 𝒂𝟏𝟏 = 𝟓 𝟑
- 84. 1.4 Sucesiones aritméticas:término general 1.4 Establece el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta. a) 𝒂𝒏 = 5 + 4(n – 1) 2. Determina los términos 1, 7, 11, 20 y 100 de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas: 𝒂𝟏 = 5 + 4(1 – 1) 𝒂𝟏 = 5 + 4(0) 𝒂𝟏 = 5 + 0 𝒂𝟏 = 5 𝒂𝒏 = 5 + 4(n – 1) 𝒂𝟏𝟎𝟎 = 5 + 4(100 – 1) 𝒂𝟏𝟎𝟎 = 5 + 4(99) 𝒂𝟏𝟎𝟎 = 5 + 396 𝒂𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟎𝟏 C ) 𝒂𝒏 = 2 -3 (n – 1) 𝒂𝟕 = 2 - 3(7 – 1) 𝒂𝟕 = 2 − 3(6) 𝒂𝟕 = 2 - 18 𝒂𝟕 = −16 𝒂𝟏 = 5 ; 𝒂𝟕 = 29 , 𝒂𝟏𝟏 = 45 ,𝒂𝟐𝟎 = 81 𝒂𝟏𝟎𝟎 = 401 C ) 𝒂𝒏 = 2 -3 (n – 1) 𝒂𝟏𝟏 = 2 - 3(11 – 1) 𝒂𝟏𝟏 = 2 − 3(10) 𝒂𝟏𝟏 = 2 - 30 𝒂𝟏𝟏 = −28 𝒂𝟏 = 2 ; 𝒂𝟕 = −16 , 𝒂𝟏𝟏 = −28 ,𝒂𝟐𝟎 = −55 𝒂𝟏𝟎𝟎 = −295
- 85. • EJERCICIO 3Karla acepta su primer empleo con un salario inicial de $300. Le prometen le mantendrán un aumento de $20 mensuales, si hace bien su labor, durante los primeros 12 meses. ¿cuál es el salario que Karla obtuvo al octavo mes de trabajo? • A. 320 C. 460 • B. 500 D. 440 300, 320, 340, 360, 380, 400, 420, 440.
- 86. • EJERCICIO 4.Emilio conviene en cobrar $1 por el primer dia de trabajo, $2 por el segundo dia y cada día sucesivo su salario se duplicará, ¿Cuánto deberá cobrar por el día 20? • A. 5, 242.88 B. 10,485.75 • C. 20 D. 40 • 1, 2, 4, 8,16, 32, 64, 128, 256, 512,
- 87. 1.5 Sucesiones aritméticas:suma parcial, parte 1
- 88. 1.5 Sucesiones aritméticas:suma parcial, parte 1 1.5 Calcula la suma parcial de una sucesión aritmética. 𝑺𝒏 = 𝒏 ( 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) 𝟐 𝒂𝒏 = −4 + 5 (n – 1) Solución . 𝒏 = 77 𝒂𝟏 = 𝒂𝟕𝟕 = Paso 1 . 𝒂𝟏 = −4 + 5 (1 – 1) 𝒂𝟏 = −4 + 5 (0) 𝒂𝟏 = −4 + 0 𝒂𝟏 = −4 −4 𝒂𝒏 = −4 + 5 (n – 1) 𝒂𝟕𝟕 = −4 + 5 (77 – 1) 𝒂𝟕𝟕 = −4 + 5 (76) 𝒂𝟕𝟕 = −4 + 380 𝒂𝟕𝟕 = 𝟑𝟕𝟔 𝟑𝟕𝟔 𝑺𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 (−𝟒+𝟑𝟕𝟔) 𝟐 𝑺𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 (𝟑𝟕𝟐) 𝟐 𝑺𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 (𝟏𝟖𝟔) 𝑺𝟕𝟕 = 𝟏𝟒 𝟑𝟐𝟐
- 89. 1.6 Sucesiones aritméticas:suma parcial, parte 2
- 90. 1.6 Sucesiones aritméticas:suma parcial, parte 2 1.6 Calcula el número de términos que deben sumarse de una sucesión aritmética si se conoce la suma parcial. 𝒏 = 𝒂𝟏 = 𝒂𝒏 = 𝑺𝒏 = −𝟏𝟐𝟗 𝑺𝒏 = 𝒏 ( 𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) 𝟐 𝒂𝒏 = −4 - 7 (n – 1) Solución . Paso 1 . 𝒂𝟏 = −4 - 7 (1-1) 𝒂𝟏 = −4 + 0 𝒂𝟏 = −4 𝒂𝟏 = −4 - 7 (0 ) −4 𝒂𝒏 = −4 - 7 (n – 1) 𝒂𝒏 = −4 - 7 n + 7 𝒂𝒏 = - 7 n + 3 - 7 n + 3 −𝟏𝟐𝟗 = 𝒏 ( −𝟒 − 𝟕𝒏 + 𝟑 ) 𝟐 −𝟏𝟐𝟗 𝟐 = 𝒏 ( −𝟏 − 𝟕𝒏 ) −𝟐𝟓𝟖 = −𝒏 - 7 n2 Paso 2 .
- 91. 𝟕𝒏 6 - 6 258 2 43 −𝟐𝟓𝟖= −𝒏 - 7 n2 𝟕𝒏𝟐 + 𝒏 − 𝟐𝟓𝟖 = 𝟎 𝟕𝒏𝟐 −𝟐𝟓𝟖 𝒏 129 3 43 43 1 = - 42𝒏 = 43𝒏 𝒏 ( 7n + 43 ) ( n - 6 ) = 𝟎 7n + 43 = 0 7n = - 43 n = − 𝟒𝟑 𝟕 n - 6 = 0 n = 6 𝒂𝒏 = −4 - 7 (n – 1) d = -7 𝒂𝟏 = - 4 - 4 , - 11 , - 18 , - 25 , - 32 , - 39 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) forma 2 : buscamos la cantidad de términos por ensayo y error 𝑺𝟔 = −𝟏𝟐𝟗 Se deben sumar 6 términos para la 𝑺𝟔 = −𝟏𝟐𝟗
- 92. 1.7 Sucesiones aritméticas:problemas
- 93. 3. De unasucesión aritmética se sabe que 𝒂 𝟗 = – 5 y que 𝒂 𝟏𝟓 = 31. Calcula 𝒂 𝟐𝟎 . 1.7 Resuelve problemas sobre sucesiones aritméticas si se conocen algunos datos de estas. 1.7 Sucesiones aritméticas: problemas 𝒂 𝟕 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 ,𝒂𝟒 , 𝒂𝟓 𝒂𝟔 , 𝒂𝟖 , − 𝟓, 31, 𝒂𝟏𝟎 , 𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 ,𝒂𝟏𝟑 , 𝒂𝟏𝟒 d= (𝒂𝒏 −𝒂𝟏) 𝒏−𝟏 7−𝟏 = 𝟔 d= (𝟑𝟏−(−𝟓) 𝟔 d= (𝟑𝟏+𝟓) 𝟔 d= 𝟑𝟔 𝟔 = 6 d= 6 37 , 43 , 𝒂𝟗 𝒂 𝟏𝟓 49, 55 , 61 , 𝒂 𝟐𝟎 𝑹/ 𝒂 𝟐𝟎 = 61 𝟑𝟏 − (−𝟓)
- 94. El octavo términode una sucesión aritmética es 8 y el vigésimo es 44. Determina el término general de la sucesión. 𝒂𝟖 = 𝟖 𝒂 𝟐𝟎 = 44 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) 𝒂𝟏 , ........... 𝒂𝟏𝟎 , 𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 ,𝒂𝟏𝟑 , 𝒂𝟏𝟒 , 𝒂 𝟏𝟓 , 𝒂 𝟏𝟗 , , 𝒂𝟗 , 𝒂 𝟏𝟕 , 𝒂 𝟏𝟖 , 𝒂 𝟏𝟔 , 44- 8 = 𝟑𝟔 n= 13-1 = 𝟏𝟐 d= 𝟒𝟒−𝟖 𝟏𝟐 d= 𝟑𝟔 𝟏𝟐 Paso 1 44= 𝒂𝟏 + 𝟑 (20 – 1) 𝒂𝟏 + 𝟑 (19 ) 44= 𝒂𝟏 + 𝟓𝟕 44= 44 −𝟓𝟕 = 𝒂𝟏 -13 = 𝒂𝟏 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝐝 (n – 1) 𝒂𝒏 = -13 +𝟑 (n – 1) 𝒂𝒏 = -13 +𝟑 𝐧 – 3 𝒂𝒏 = -16 +𝟑 𝐧 𝒂𝟖 = 𝟖 𝒂𝟕 = 𝟓 𝒂𝟔 = 𝟐 𝒂𝟓 = −𝟏 𝒂𝟒 = −𝟒 𝒂𝟑 = −𝟕 𝒂𝟐 = −𝟏𝟎 𝒂𝟏 = −𝟏𝟑 d= 𝟑 Paso 2 Paso 3 d= 𝟑
- 95. 2.1 Sucesiones geométricas:definición* 2.1 Determina si una sucesión es geométrica utilizando su definición
- 96. 2.1 Sucesiones geométricas:definición* Una sucesión donde sus términos pueden obtenerse multiplicando por un mismo número el término anterior se llama sucesión geométrica. Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, 64……… r = 2 2, 6, 18, 54, 162, 486 ……… r = 3 100, 50, 25 , 12.5, 6.25……… r = 𝟏 𝟐 Una sucesión geométrica tiene la propiedad que al dividir un término entre su anterior, el resultado siempre es el mismo. A este resultado se le llama razón. 5, 15, 45, 135, 405….., r = 3 ÷ ÷ Geométrica Geométrica Geométrica
- 98. 2.2 Sucesiones geométricas:término general* 2.2 Encuentra el término general de una sucesión geométrica.
- 99. 2.2 Sucesiones geométricas:término general* Ejemplo: 𝒂𝒏 = 𝟏 𝟒 𝒏 𝒂𝒏 = 𝟑 𝟐 𝒏−𝟏 𝒂𝒏 = 𝟑𝒏−𝟏 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏 𝒂𝒏 = término general / último valor de la serie 𝒂𝟏= primer valor de la serie 𝒓 = razón 𝒏 = 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅/𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 Establece el término general de las sucesiones geométricas del problema de la clase 2.1.
- 100. 2, 4, 8,16, 32, 64……… r = 2 Establece el término general de las sucesiones geométricas del problema de la clase 2.1. 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏 5, 15, 45, 135, 405….., r = 3 ÷ ÷ ÷ ÷ 𝒂𝒏 = 𝟐𝟏 𝟐 𝒏 −𝟏 𝒂𝒏 = 𝟐 𝒏 −𝟏+𝟏 𝒂𝒏 = 𝟐 𝒏 𝒂𝒏 = 𝟓 𝟑 𝒏 −𝟏 Término general Término general
- 101. 2.3 Sucesiones geométricas:suma parcial, parte 1 2.3 Calcula la suma parcial de una sucesión geométrica.
- 102. 2.3 Sucesiones geométricas:suma parcial, parte 1 2. Calcula la suma de los primeros 6 términos de la sucesión 𝒂𝒏 = 𝟑 −𝟐 𝒏 −𝟏 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓𝒏 −𝟏 𝒓 −𝟏 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏 𝒂𝟏 = 3 𝒓 = −𝟐 𝑺𝟔 = 𝟑 −𝟐 𝟔 −𝟏 −𝟐 −𝟏 n = 𝟔 𝑺𝟔 = 𝟑 𝟔𝟑 −𝟑 𝑺𝟔 = −𝟏 𝟔𝟑 Otra forma …. 3, -6, 12, -24, 48, -96, 𝑺𝟔 = −𝟔𝟑
- 103. 2.5 Sucesiones geométricas:problemas
- 104. 2. El primertérmino de una sucesión geométrica es 3 y el tercer término es 4/ 3. Determina el término general y el cuarto término 2.5 Sucesiones geométricas: problemas 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏 r = 𝒏−𝟏 𝒂𝒏 𝒂𝟏 𝒂𝟏= 3 𝒂𝟐 𝒂𝟑 = 𝟒 𝟑 r = 𝟑−𝟏 𝟒 𝟑 𝟑 𝟏 r = 𝟐 𝟒 𝟗 r = ± 𝟐 𝟑 𝒂𝒏 = 𝟑 𝟐 𝟑 𝒏 −𝟏 𝒂𝟒 = 𝟖 𝟗 𝒂𝟑 = 𝟒 𝟑 × 𝟐 𝟑 Término general cuarto término 𝒂𝒏 = 𝟑 − 𝟐 𝟑 𝒏 −𝟏 𝒂𝟒 = −𝟖 𝟗 𝒂𝟑 = 𝟒 𝟑 × −𝟐 𝟑 cuarto término
- 105. 2.5 Sucesiones geométricas:problemas r = 𝒏−𝟏 𝒂𝒏 𝒂𝟏 𝒂𝟓= 48 𝒂𝟔 𝒂𝟖 = 𝟑𝟖𝟒 r = 𝟒−𝟏 𝟑𝟖𝟒 𝟒𝟖 r = 𝟑 𝟖 r = 𝟐 𝒂𝟗 = 𝟕𝟖𝟔 𝒂𝟖 = 𝟑𝟖𝟒 × 𝟐 3. En una sucesión geométrica, el quinto término es 48 y el octavo es 384. Determina el décimo segundo término 𝒂𝟕 𝒂𝟏𝟐 = ? × 𝟐 × 𝟐 × 𝟐 𝒂𝟏𝟎 = 𝟏𝟓𝟑𝟔 𝒂𝟏𝟏 = 𝟑𝟎𝟕𝟐 𝒂𝟏𝟐 = 𝟔𝟏𝟒𝟒
- 106. 2.5 Sucesiones geométricas:problemas 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓 𝒏 −𝟏 𝒂𝟏= 2 𝒂𝟐= 6 𝒂𝟑 = 𝟏𝟖 r = 𝟑 13122 = 𝟐 𝟑 𝒏 −𝟏 4. ¿Qué término de la sucesión geométrica 2, 6, 18, ... es 13 122? 𝒂𝒏 = 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟐 𝟐 = 𝟑 𝒏 −𝟏 6561 = 𝟑 𝒏 −𝟏 6561 3 2187 3 729 3 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 𝟑𝟖 = 𝟑 𝒏 −𝟏 Igualando potencias. 8 = n – 1 8 + 1 = n 9 = n …………………………………… ÷ 𝒂𝟑 = 𝟏𝟖 × 𝟑 𝒂𝟒 = 𝟓𝟒 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 𝒂𝟓 = 𝟏𝟔𝟐 𝒂𝟗 = 𝟏𝟑, 𝟏𝟐𝟐 𝒂𝟔 = 𝟒𝟖𝟔 𝒂𝟕 = 𝟏𝟒𝟓𝟖 𝒂𝟖 = 𝟒𝟑𝟕𝟒 Método 1: usando la razón 13 122 es el noveno término. Método 2: usando la fórmula
- 107. 1.2 Operaciones conconjuntos
- 108. 1.1 Teoría deconjuntos • La cantidad de elementos que tiene un conjunto se conoce como cardinalidad del conjunto y dado un conjunto A se denota la cardinalidad de A por n(A) (o en ocasiones como|A|). • Si los elementos están expresados por una regla o característica de todos los elementos, se dice que el conjunto está expresado por comprensión, • Ejemplo: A: { días de la semana} • Si los elementos están expresados en forma de lista, se dice que el conjunto está expresado por extensión, por ejemplo: A = {domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado} • La cardinalidad de A se denota por n(A) = 7 • El conjunto que no posee elementos se conoce como conjunto vacío, se denota por ∅,
- 109. 1.2 Operaciones conconjuntos 1. La operación entre dos conjuntos A y B, que forma el conjunto de los elementos que están en A o en B A⋃B, y se lee “A unido B”. 2. intersección de conjuntos, se denota A⋂B, y se lee “A intersectado B”. 3. el conjunto de los elementos que están en A pero no están en B se conoce como diferencia de conjuntos, y se denota A – B 4. La operación entre dos conjuntos A y U que cumplen que A ⊂ U y toma los elementos de U que no están en A se conoce como complemento del conjunto A, y se denota Ac 5. Al conjunto U a menudo se le conoce como conjunto universo o simplemente universo.
- 110. 2. Para cadadiagrama de Venn, determina los conjuntos A, B, A⋃B, A⋂B, A – B, B – A, Ac y Bc A: B: A⋃ B : A⋂B : ____________ A – B : ∅ B – A : _____________ Ac : ________________ Bc : ___________________ 𝟑, 𝟓, 𝟕 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟕 𝟑, 𝟓, 𝟕 𝟐, 𝟒 𝟏, 𝟐 𝟒, 𝟔 𝟏, 𝟔
- 111. 1.3 Calcula lacardinalidad de conjuntos y de sus operaciones
- 113. PASO 1. CALCULAR.n(A) = _____ n(B) = ________ y n(A⋂B) = ______ Paso 2. a) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B) b) n(U) = 9 c) n(Ac ) = n(U) – n(A) 4 5 2 n(A⋃B) = 4 + 5 – 2 n(A⋃B) = 7 c) n(Ac ) = 9 – 4 c) n(Ac ) = 5 Definición: La cantidad de elementos que tiene un conjunto 1.3 Calcula la cardinalidad de conjuntos y de sus operaciones d) n(B c ) = n(U) – n(B) e) n[(A⋃B) ] c = n(U) – n(A⋃B) = 9 – 7 = 2 n[(A⋃B) ] c f) n(Ac⋂Bc) = (A⋃B) c = 2 g) n[(A⋂B)c ] = n(U) – n(A⋂B) = 9 – 2 = 7 n[(A⋂B)c ] h) n(Ac ⋃ Bc) = n(Ac ) + n(Bc ) – n(Ac⋂Bc) n(B c ) = 9 - 5 n(B c ) = 4 h) n(Ac ⋃ Bc) = 5 + 4 – 2 h) n(Ac ⋃ Bc) = 7
- 114. 1.4 Aplicaciones dela cardinalidad de conjuntos
- 115. 1.4 Resuelve problemasaplicando las propiedades de la cardinalidad de las operaciones con conjuntos. Considerando los números naturales del 1 al 100, resuelve: a) ¿Cuántos múltiplos de 4 hay? A = {4(1),4), 4(3), ... , 4(23), 4(24), 4(25)} n(A) = 25. b) ¿Cuántos que no son múltiplos de 5 hay? B = {5(1), 5(2), 5(3), ... , 5(18), 5(19), 5(20)} n(Bc ) = n(U) – n(B) = 100 – 20 = 80. c) ¿Cuántos múltiplos de 4 y de 5 hay? El conjunto formado por los múltiplos de 4 y de 5 es el mismo conjunto que el de los múltiplos de 20 que hay entre 1 y 100. A⋂B = {20(1), 20(2), 20(3), ... , 20(5), }. n(A⋂B) = 5 d) ¿Cuántos múltiplos de 4 o de 5 hay? n(B) = 20 Esta dado por el conjunto A⋃B. n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B). = 25 + 20 – 5 = 40 e) ¿Cuántos números que no son múltiplos de 4 ni de 5 hay? n[(A⋃B)c ] n(A⋃B) = n(U) – n(A⋃B) = 100 – 40 = 60 . n[(A⋃B)c ] Tips: 𝟏𝟎𝟎 𝟒 = 𝟐𝟓 Tips: 𝟏𝟎𝟎 𝟓 = 𝟐𝟎 1.4 Aplicaciones de la cardinalidad de conjuntos
- 116. 2.1 Diagrama deárbol
- 117. María tiene 2pantalones, 1 falda, 2 blusas y 3 pares de zapatos, todos diferentes. Utiliza diagrama de árbol para determinar cuántas formas diferentes tiene María para vestirse 2.1 Utiliza el diagrama de árbol para resolver situaciones sobre conteo. 2.1 Diagrama de árbol El diagrama en donde se listan todas las posibilidades de un suceso por casos y se representa por líneas rectas se conoce como diagrama de árbol, Hay 18 formas diferentes en que puede vestirse María.
- 118. 2.1 Diagrama deárbol 2. Utiliza un diagrama de árbol para calcular cuántas formas hay para repartir 4 dulces de diferente sabor entre 4 personas, si ninguna puede quedar sin dulces. Hay 24 formas diferentes de repartir los dulces.
- 119. 2.2 Principio dela suma
- 120. n(A⋃B) = n(A)+ n(B) – n(A⋂B), n(A⋃B) = 35 + 21 – 14 n(A⋃B) = 42 n[(A⋃B)c ] = n(U) – n(A⋃B) 2. Considerando los conjuntos U, A y B en los que se cumple que n(U) = 60, n(A) = 35, n(B) = 21 y n(A⋂B) = 14, determina: n[(A⋃B)c ] = 60 - 42 n[(A⋃B)c ] = 18
- 121. n(A⋃B) = n(A)+ n(B) – n(A⋂B), n(A⋃B) = 35 + 21 – 14 n(A⋃B) = 42 n[(A∩B)c ] = n(U) – n(A ∩B) 2. Considerando los conjuntos U, A y B en los que se cumple que n(U) = 60, n(A) = 35, n(B) = 21 y n(A⋂B) = 14, determina: n[(A ∩ B)c ] = 60 - n[(A ∩ B)c ] =
- 123. TUTORIA N°2 LUNES26 DE ABRIL • AGENDA • SALUDO/ASISTENCIA • REFLEXIÓN • REPASO • PRESENTACIÓN DE LOS INDICADORES DE LOGRO • REPASO TUTORÍA 1 • DESARROLLO DE TUTORÍA 2 • CIERRE
- 124. • 3.9 Graficafunciones trigonométricas del tipo y = Asen θ y y = sen Bθ. • 3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k. • 3.11Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen(θ – α). • 3.12 Grafica las funciones trigonométricas del tipo y = Asen B(θ – α). • 3.13 Convierte ángulos del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa
- 126. REPASO Determina los valoresde seno, coseno y tangente de cada ángulo.
- 127. • EJERCICIO 2.Utiliza la periodicidad de las funciones trigonométricas para calcular el valor de cos ( 420°)= subraye la opción correcta. A)Cos 45° B)cos 30° C)cos 60°
- 128. EJERCICIO 3. ¿Cuál es la función que representa la gráfica mostrada? A) seno B) coseno C) tangente D) secante
- 129. CONOCIMIENTO PREVIO .LEA LOS DOS CONCEPTOS QUE SE EXPONEN A CONTINUACIÓN Y LUEGO RESPONDA LOS EJERCICIOS PROPUESTOS. • 1. El periodo es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. Se calcula de la forma siguiente: • Para : f(𝜽) = 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝜽 Período es = 𝟑𝟔𝟎° 𝑩 • 2. Amplitud: Se llama amplitud de la función al valor del coeficiente que multiplica a la misma. En la gráfica la vemos como la distancia que existe entre el eje x y el valor más alto o más bajo que toma la función.
- 130. Indicadores de logro •1.3 Determino si una sucesión es aritmética utilizando su definición. • 1.4 Establezco el término general de una sucesión aritmética y lo utiliza para calcular algunos términos de esta. • • 1.5 Calculo la suma parcial de una sucesión aritmética
- 131. CONOCIMIENTO PREVIO • EJERCICIO3. investigar 2 ejemplos resueltos del Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 • EJERCICIO 4. Investiga como se deduce la identidad pitagórica: c2 = a2 + b2
- 132.
- 133. TUTORIA N°2 JUEVES29 DE ABRIL • AGENDA • REPASO • PRESENTACIÓN DE LOS INDICADORES DE LOGRO • REPASO TUTORÍA 1 • DESARROLLO DE TUTORÍA 2 • CIERRE
- 134. • 3.11Grafica funcionestrigonométricas del tipo y = sen(θ – α). • 3.12 Grafica las funciones trigonométricas del tipo y = Asen B(θ – α).
- 139. 3.11 Desplazamiento horizontalde las funciones trigonométricas La gráfica de f(θ) = sen(θ – α) es un desplazamiento horizontal de α unidades de la gráfica de sen θ. En general, la gráfica de f(x – h) es un desplazamiento horizontal de h unidades de la gráfica de f(x): Hacia la derecha si h > 0. Hacia la izquierda si h < 0. x – h = 0
- 140. 3.11 Desplazamiento horizontalde las funciones trigonométricas Grafica f(θ) = sen(θ + 90°) funciones, en el intervalo [0, 360°], utilizando los desplazamientos: 0 1 0 -1 0 1 Y = sen(θ + 90°) 1 0 -1 0 1 -1 senθ sen(θ + 90°) θ + 90° = 0 θ = - 90°
- 141. • 3.9 Graficafunciones trigonométricas del tipo y = Asen θ y y = sen Bθ. • 3.10 Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen θ + k. • 3.11Grafica funciones trigonométricas del tipo y = sen(θ – α). • 3.12 Grafica las funciones trigonométricas del tipo y = Asen B(θ – α). • 3.13 Convierte ángulos del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa