Referente a la Transformada de Fourier

1. FOURIER
La buena transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una
transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del
tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la
física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarse en cualquiera de los
dominios al otro. El propio término se refiere tanto a la operación de transformación
como a la función que produce.
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f de
valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera
siguiente:
Donde f es L, es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral
de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de
algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.
Tabla de transformadas básicas

2. La función periódica se denomina aquella que verifica la propiedad: f (t) f (t T0) T0 0
siendo T0 el periodo de la señal. Una señal periódica se extiende desde t = -∞ a t = ∞.
La expresión en serie de una onda periódica viene dada por una componente continua y
un número finito de términos en sen y cos correspondientes a la componente fundamental
y armónicos de la función. Si f(t) es una función periódica con periodo T0, puede
expresarse mediante una serie de Fourier de la forma:
O bien
La primera frecuencia, viene determinada por el periodo de la onda
y se denomina frecuencia fundamental. Las demás
frecuencias son múltiplos de la fundamental: segundo armónico 2 0, tercer armónico 3 0,
así sucesivamente.
La serie Fourier muestra una onda periódica en sus componentes continua y alterna.
Puede ser representada como suma de una señal de fuente continua y una serie ilimitada
de fuentes alternas.

3. Como se muestra en la figura. Así se podrá calcular la respuesta a una entrada periódica
por superposición.
Coeficientes de Fourier
Los límites de integración en estas ecuaciones se extienden desde -Tο/2 hasta Tο/2.
Aunque estos límites pueden medirse con el mismo periodo en cualquier intervalo, de 0
a Tο o de Tο a 2Tο, etc.
Ondas Simétricas
 Una onda se dice que es simétrica par si: f(-t) = f(t)
La serie de Fourier para una onda par está formada por los términos de coseno, es decir,
todos los coeficientes -bη -son cero.
 Una onda se dice que es simétrica impar se: -f(-t) = f(t)
Su serie de F. está formada por los términos en seno, es decir, todos los términos -aη -son
cero.
 Una forma de onda es alternada cuando: -f (-t - (Tο/2)) = f(t)

4. Al desarrollar su serie de F. sólo encontramos términos impares, con lo que las amplitudes
de todos los armónicos pares son cero.
Sabiendo que:
La simetría alternada puede aparecer junto a la simetría par o la impar en algunas formas
de onda.
Serie de Fourier exponencial
La distribución de las amplitudes de las componentes de una señal es función de la
frecuencia y se llama espectro. La forma trigonométrica de la serie de F. produce el
espectro de f(t) en dos parámetros - aη - y - bη -. La ventaja de la forma exponencial
reside en que describe el espectro en un solo término - cη -.
La primera sumatoria comienza con n = 0 con lo que se incluye el término cο ya que e˚=1.
Para la segunda sumatoria se puede reemplazar c-n por cη y cambiar los límites del
sumatorio desde n = -1 hasta n = -∞

5. Resumen