El documento aborda productos notables en álgebra, describiendo características y fórmulas de binomios conjugados, binomios con término común, y el cuadrado y cubo de binomios. Se presentan también ejemplos de cálculo y representaciones geométricas de estos productos. Además, se incluyen ejercicios resueltos para aplicar los conceptos discutidos.

1. Productos notables

2.  
2
 
2
2
a  9
a
3
Son aquellos que poseen un término común y un término simétrico,
es decir, difieren únicamente en el signo.
El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del
término común, menos el cuadrado del término simétrico.
  
3 3
a a
    
3 2 3 2
x x
 
Cuadrado del Término común: 2
a

9

Por lo que:   
3 3
a a
  
Cuadrado del Término común:
   2 2
a b a b a b
   
Binomios conjugados

3.   
2 5
x x
  
 
2
x
 
2
2
x  7 10
 
2 5
 x
 
5
x
Son aquellos que como su nombre lo indica poseen un término común
y el segundo término es diferente
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado
del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes
multiplicado por el término común, más el producto de los no comunes
Cuadrado del término común:
Suma algebraica de los no comunes por el término común:
Producto de los no comunes:
2
x

7
 x
10

De donde:   
2 5
x x
  
    
2 2
x a x b x a b x b
     
Producto de dos binomios con un término común

4. Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más
el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado
del segundo término
 
2
2
x 
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo, se dice que ha sido
elevado al cuadrado. Así:
El cuadrado del primer término:
El doble del producto del primer término por el segundo:
El cuadrado del segundo término:
 
2
x 2
x

 
2
2 4

2
x  4  4
x
 
2
2
x  
 
2
2 
x 4x

 
2 2 2
2
a b a ab b
   
Binomio al cuadrado

5.  
3
2
x 
El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer
número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por
el segundo, más el triple del producto del primer número por el
cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
            
3 2 2 2
2
a b a b a b a b a b a b a ab b a b
           
Así pues:
 
3
x 3
x

Cubo del primer número:
Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo:
Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo:
Cubo del segundo número:
 
2
x
3  
2 2
x
6

 
x
3  
2
2 x
12

 
3
2 8

3
x 2
x
 6 x
12  8
 
3
2
x  
 
3 3 2 2 3
3 3
a b a a b ab b
    
Binomio al cubo

6. Producto de dos binomios de la forma (ax + b)(cx + d)
  
2 3 7 5
x x
 
 
2x 2
14x

Este tipo de binomios son aquellos que no tienen ningún término en
común, o sea, que todos los términos son diferentes
El primer término del trinomio es el producto de los dos primeros términos
de los binomios. El término intermedio (lineal) es la suma algebraica de los
productos obtenidos al multiplicar el primer término de cada binomio por
el segundo término del otro. El tercer termino es el producto de los dos
segundos términos.
El trinomio resultante es:
El producto de los primeros términos de los binomios será:
La suma algebraica de los productos de los primeros términos por los
segundos es:
El producto de los segundos términos de los binomios es:
 
7x
 
2x 10x

 
5
 
7x 21x
 
 
3

11x

 
3
 15
 
 
5
2
14x
 11x
 15

  
2 3 7 5
x x
 
    
2
ax b cx d acx ad bc x bd
     

7. (x + 3)2
(x 3 + 6)2
(4x 5 + 6y3)2
= x 2 + 2 (x ·3) + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
= (x 3) 2 + 2 (x 3 ·6) + 6 2 = x 6 + 12 x 3 +36
= (4x 5)2+ 2(4x 5 ·6y3)+(6y3)2 = 16x10 + 48 x5 y3+ 36y6
Las sumas de binomios al cuadrado también representan áreas de
rectángulos: (a + b)2 = a2 + 2 ab +b2
Ejercicios resueltos
1. Resuelve los siguientes productos notables:

8. (x - 3)2
(x 3 - 6)2
(4x 5 - 6y3)2
= x 2 + 2 (x)(- 3) + (-3)2 = x 2 - 6 x +9
= (x 3) 2 + 2 (x 3)(-6) + (-6) 2 = x 6 - 12 x3 + 36
= (4x 5)2+ 2(4x 5)(-6y3)+(-6y3)2 = 16x10 -48 x5 y3+ 36y6
La resta de binomios al cuadrado también se puede representar por
áreas de rectángulos:
2. Resuelve los siguientes productos notables:

9. (x +3) (x+4)
(x +3) (x-4)
(x -3) (x-4)
= x 2 +(4)(x)+(3)(x)+ (3)(4)= x2 +(3+4)x +12 = x2+7x + 12
= x 2 +(-4)(x)+(3)(x)+ (3)(-4)= x2 +(3-4)x -12 = x2- x – 12
= x 2 +(-4)(x)+(-3)(x)+ (-3)(-4)= x2 +(-3-4)x +12 = x2-7 x + 12
(2x +3)(2x+4)= (2x)2 +(4)(2x)+(3)(2x)+(3)(4)= x2 +(3+4)(2x) +12 = 4x2+14x + 12
(2x +3)(2x-4)= (2x)2 +(-4)(2x)+(3)(2x)+(3)(-4)= x2 +(3-4)(2x) -12 = 4x2-2x + 12
La representación por medio de rectángulos es:
3. Resuelve los siguientes productos notables:

10. (x +3) (x-3)
(2x +3) (2x-3)
(x 3 +3) (x 3-3)
= x 2 +(-3)(x)+(3)(x)+ (3)(-3)= x2 +(3-3)x -9 = x2- 9
= (2x) 2 +(-3)(2x)+(3)(2x)+ (3)(-3)= 4x2 +(3-3)(2x) -9 = 4x2- 9
= (x 3) 2 +(-3)(x 3 )+(3)(x3 )+ (3)(-3)= x6 +(3-3)x 3 -9 = x6- 9
La representación por medio de rectángulos es:
4. Resuelve los siguientes productos notables: