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UNIDAD 3 POLINOMIOS.pdf
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- 2. Recordemos… • Un Polinomioes una expresión algebraica formada por la suma algebraica entre varios monomios no semejantes • Los monomios que conforman un polinomio se denominan términos.
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- 4. PRODUCTOS NOTABLES • Sonregularidades que se pueden calcular sin necesidad de aplicar el algoritmo de multiplicación. • Cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección.
- 5. a. 𝒙 𝒚+ 𝒛 = 𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 Propiedad Distributiva REGLA. - El producto de un monomio por una suma algebraica es igual a la suma algebraica de los productos del monomio por cada término de la suma. • 𝒙2 2𝒂 + 3𝒃 − 𝒄 = 2𝑎𝑥2 + 3𝑏𝑥2 − 𝑐𝑥2
- 6. Propiedad Distributiva b. 𝒂+ 𝒃 𝒄 + 𝒅 = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 REGLA. - El producto de dos binomios cualesquiera es un polinomio cuyos términos son los productos de cada término del primer binomio por cada término del segundo binomio. • 𝟐𝒂 + 𝒃)(𝟑𝒄 + 𝒅 2𝑎 3𝑐 + 2𝑎 𝑑 + 𝑏 3𝑐 + 𝑏 𝑑 = 6𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 3𝑏𝑐 + 𝑏𝑑
- 7. Cuadrado de unbinomio (𝒙 + 𝒂)𝟐= 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 REGLA. - El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el duplo del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo. (𝒙 − 𝒂)𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 REGLA. - El cuadrado de la resta de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el duplo del producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo.
- 8. Cuadrado de unbinomio • (𝒙 − 𝟏)𝟐 (𝑥)2−2 𝑥 1 + 1 2 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 • 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 𝟐 (𝑥2)2 + 2 𝑥2 𝑦2 + (𝑦2)2= 𝑥4 + 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4
- 9. Cuadrado de unTrinomio 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄 REGLA. - El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de sus términos más la suma de los duplos de los productos de cada término por cada uno de los términos que siguen de él. • 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 + 𝟒𝒄 𝟐 2𝑎 2 + 3𝑏 2 + 4𝑐 2 +2 2𝑎 3𝑏 + 2 2𝑎 4𝑐 + 2 3𝑏 4𝑐 4𝑎2 + 9𝑏2 + 16𝑐2 + 12𝑎𝑏 + 16𝑎𝑐 + 24𝑏𝑐
- 10. Producto de dosBinomios Conjugados 𝒙 + 𝒂 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 REGLA. - El producto de la suma de dos expresiones algebraicas por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. • 𝒙2 + 𝒚2 𝒙2 − 𝒚2 𝑥4 − 𝑦4
- 11. Producto de dosBinomios Conjugados 𝒙 + 𝒂 𝒙 − 𝒂 = 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 REGLA. - El producto de la suma de dos expresiones algebraicas por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados. • 𝒙2 + 𝒚2 𝒙2 − 𝒚2 𝑥4 − 𝑦4
- 12. Producto de dosbinomios que tienen un término en común 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 REGLA. - El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual al cuadrado del término en común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común más el producto de los términos no comunes. • 𝒙 + 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝑥2 + 2 + 3 𝑥 + 2 3 = 𝑥2 + 5𝑥 + 6
- 13. Cubo de unBinomio (𝒙 + 𝒂)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟑𝒂𝟐 𝒙 + 𝒂𝟑 (𝒙 − 𝒂)𝟑 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒂𝒙𝟐 + 𝟑𝒂𝟐 𝒙 − 𝒂𝟑 REGLA. - El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triplo del cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primer por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. REGLA. - El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triplo del cuadrado del primero por el segundo, más el triplo del primer por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
- 14. Cubo de unBinomio • 𝒂 + 𝟒 𝟑 𝑎3 + 3𝑎2 4 + 3𝑎 4 2 + 43 = 𝑎3 + 12𝑎2 + 48𝑎 + 64 • 𝒂 − 𝟏 𝟑 𝑎3 − 3𝑎2 1 + 3𝑎 1 2 − 13 = 𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎 − 1
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- 16. Identifique el productonotable y resuelva • 2𝑥2 − 3𝑦2 3
- 17. Identifique el productonotable y resuelva • 3𝑎3 + 5𝑏4 2
- 18. Identifique el productonotable y resuelva • (𝑥3 + 𝑦2 )(𝑥3 − 𝑦2 )
- 19. Identifique el productonotable y resuelva • 5 7 𝑎2 + 1 8 𝑛 2
- 20. Identifique el productonotable y resuelva • 𝑚 − 2 7 3
- 21. Identifique el productonotable y resuelva • (𝑥2 − 8)(𝑥2 − 10)
- 22. COCIENTES NOTABLES • Delos productos notables estudiados anteriormente resultan cocientes correspondientes que llamaremos también notables.
- 23. 1. 𝑚𝑎 + 𝑚𝑏+ 𝑚𝑐 𝑚 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2. 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 3. 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 4. 𝑎2 − 𝑏2 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 5. 𝑎2 − 𝑏2 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 6. 𝑎3 +𝑏3 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 7. 𝑎3 −𝑏3 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
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- 25. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL • Factorarun polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas.
- 27. Factor común Cuando lostérminos de un polinomio tienen un factor común x, el polinomio es igual al producto de este factor por el polinomio cuyos términos se obtienen dividiendo por x los términos del polinomio dado • En el polinomio 𝟐𝒂 + 𝒂𝒃 − 𝟑 𝟓 𝒂𝒄 el factor común es a, por lo que obtenemos: 2𝑎 + 𝑎𝑏 − 3 5 𝑎𝑐 = a 2 + 𝑏 − 3 5 𝑐 • En el polinomio 𝟒𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟖 𝟗 𝒙𝟔𝒚𝟓𝑧 el factor común es 2𝑥2𝑦, por lo que obtenemos: 4𝑥3𝑦2 − 2𝑥2𝑦 + 8 9 𝑥6𝑦5𝑧 = 2𝑥2𝑦 2𝑥𝑦 − 1 + 4 9 𝑥4𝑦4𝑧
- 28. Factor común poragrupación Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual números de términos con un factor en común en cada grupo, se obtiene en cada uno de ellos el factor común, Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se obtiene a su vez, como factor común. • Factorar 2𝑚𝑥 + 𝑛3 𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3 𝑦 Observamos como es posible agrupar los términos en este caso, se agrupan el primero y el tercer término factor común 2m , y el segundo y el cuarto término factor común 𝑛3 . 2𝑚𝑥 + 𝑛3 𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3 𝑦 = 2𝑚 𝑥 − 𝑦 + 𝑛3 (𝑥 − 𝑦) Como observamos podemos nuevamente aplicar factor común en este caso sería todo lo que esta dentro de paréntesis. El mismo ejercicio se puede agrupar de manera diferente. (𝒙 − 𝒚)(𝟐𝒎 + 𝒏𝟑)
- 29. Factor común poragrupación • Factorar 𝟐𝒎𝒙 + 𝒏𝟑 𝒙 − 𝟐𝒎𝒚 − 𝒏𝟑 𝒚 Agrupamos el primer y segundo término factor común x, y el tercer y cuarto término el factor común es y, obtenemos: 2𝑚𝑥 + 𝑛3𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3𝑦 = 𝑥 2𝑚 + 𝑛3 + 𝑦 (−2𝑚 − 𝑛3) Como el segundo paréntesis difiere del primero únicamente en el signo de sus términos, para transformarlo en un paréntesis igual a primero se le precede por el signo menos y se cambia de signo a todos los términos que encierra: 2𝑚𝑥 + 𝑛3𝑥 − 2𝑚𝑦 − 𝑛3𝑦 = 𝑥 2𝑚 + 𝑛3 − 𝑦 2𝑚 + 𝑛3 = (𝒙 − 𝒚)(𝟐𝒎 + 𝒏𝟑)
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- 31. Factorar los polinomios •5𝑎 − 𝑎𝑥 + 5𝑏 + 5𝑐 − 𝑏𝑥 − 𝑐𝑥 + 25 − 5𝑥
- 32. Factorar los polinomios •5𝑝2 𝑞 − 10𝑝𝑞2 + 5𝑝2 𝑞2
- 33. Factorar los polinomios •𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 − 𝑐𝑦
- 34. Factorar los polinomios •𝑚 + 𝑛 𝑥 − 𝑚 + 𝑛 𝑦
- 35. Trinomio Cuadrado Perfecto Untrinomio es un cuadrado perfecto (igual al cuadrado de un binomio), cuando dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercero es el doble producto de las raíces cuadradas de dichos términos. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 = (𝒙 − 𝒂)𝟐 • Factorar 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙𝒛 + 𝟒𝒛𝟐 Es un cuadrado perfecto, pues contiene dos términos cuadrados perfectos 25𝑥2 𝑦 4𝑧2 . Las raíces cuadradas, (positivas), de estos términos son 5𝑥 𝑦 2𝑧, y su doble es 2 5𝑥 2𝑧 = 20𝑥𝑧. 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙𝒛 + 𝟒𝒛𝟐 = (5𝑥 − 2𝑧) 2
- 36. Diferencia de Cuadrados REGLA.- La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados. 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) • Factorar 𝟏𝟎𝟎𝒂𝟐 𝒃𝟐 − 𝟒𝟗𝒄𝟐 Las raíces cuadradas, (positivas), de estos términos son 10𝑎𝑏 𝑦 7𝑐 respectivamente. 𝟏𝟎𝟎𝒂𝟐 𝒃𝟐 − 𝟒𝟗𝒄𝟐 = (10𝑎𝑏 + 7𝑐)(10𝑎𝑏 − 7𝑐)
- 37. Suma o Diferenciade Cubos 𝒙𝟑 + 𝒂𝟑 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 ) REGLA. - La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1° la suma de sus raíces cubicas, 2° el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. 𝒙𝟑 − 𝒂𝟑 = (𝒙 − 𝒂)(𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 ) REGLA. - La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1° la diferencia de sus raíces cubicas, 2° el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
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- 39. Factorar los polinomios •𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑏2 4
- 40. Factorar los polinomios •(𝑎 + 𝑏)2 −𝑐2
- 41. Factorar los polinomios •(𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 )−𝑥2
- 42. Factorar los polinomios •(2𝑎 − 𝑏)3 −27
- 43. Trinomio de laforma 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) El trinomio deberá cumplir las condiciones siguientes: 1. El coeficiente del primer término es 1. 2. El primer término es una letra que estará elevado al cuadrado. 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad, positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° término y es una cantidad, positiva y negativa.
- 44. Trinomio de laforma 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) Para factorizar un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 se debe: a. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es 𝑥, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. b. En el primer factor, después de 𝑥 se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de 𝑥 se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del tercer término. c. Se busca dos números cuya suma algebraica sea el valor del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor del tercer término del trinomio.
- 45. Trinomio de laforma 𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) 𝒙2 − 5𝒙 − 14 • Factorar • Paso a (𝑥 − )(𝑥 + ) • Paso b (𝑥 )(𝑥 ) 14 2 7 7 1 • Paso c • Suma algebraica : −5 − 7 + 2 = −5 • Multiplicación algebraica: −14 (− 7)(+ 2) = −14 (𝑥 − 7 )(𝑥 + 2)
- 46. Trinomio de laforma 𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) Son trinomios de la forma: 2𝑥2 + 11𝑥 + 5 3𝑎2 + 7𝑎 − 6 10𝑛2 − 𝑛 − 2 Se diferencia de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto uno
- 47. Trinomio de laforma 𝑎𝑥2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒓 𝟔𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 − 𝟑 • Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de 𝑥2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7𝑥, se tiene: 36𝑥2 − 6 7𝑥 − 18 • Pero 36𝑥2 = (6𝑥)2 𝑦 6 7𝑥 = 7(6𝑥) luego podemos escribir (6𝑥)2 − 7 6𝑥 − 18 • Se factoriza el trinomio (6𝑥)2 − 7 6𝑥 − 18 , como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora tenemos que dividir para 6 para no alterar el trinomio, se obtiene: (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2) 6 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1)
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- 49. Factorar los polinomios •𝑛2 − 6𝑛 − 40
- 50. Factorar los polinomios •(𝑎 + 𝑏)2 −12 𝑎 + 𝑏 + 20
- 51. Factorar los polinomios •𝑥2 − 5𝑎𝑥 − 36𝑎2
- 52. Factorar los polinomios •28 + 3𝑥 − 𝑥2
- 53. Factorar los polinomios •15𝑥4 − 11𝑥2 − 12
- 54. Factorar los polinomios •12𝑥2 𝑦2 + 𝑥𝑦 − 20
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- 56. Es un métodoque permite: • Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …) • Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a • Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …) Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras Método o Regla de Ruffini
- 57. 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓𝒂𝒓 𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 +𝟏𝟔𝒙 − 𝟓 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑹𝒖𝒇𝒇𝒊𝒏𝒊 1.- Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. 𝟏𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟓 2.- Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor 𝟑 𝟐 𝟏 𝟎 𝟏 − 𝟖 + 𝟏𝟔 − 𝟓 En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. 3. Identificamos los factores del término independiente en este caso −5 son: +1, −1 + 5, −5. Por lo tanto los posibles divisores de primer grado del polinomio dado son los siguientes
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- 59. 4.- Recuerda elnúmero (a) del binomio x – a corresponde a +5, que al ser reemplazado en este caso se obtiene 𝑥 − +5 , Por consiguiente, el polinomio resultante divisible sería 𝑥 − 5 y el cociente exacto es 𝑥2 − 3𝑥 + 1; es decir 𝟐 𝟏 𝟎 ൯ 𝒙3 − 8𝒙2 + 16𝒙 − 5 = 𝑥 − 5 (𝑥 2 − 3𝑥 + 1 De ser el caso se podrá seguir con la factorización en el 2° término o seguir aplicando Ruffini.
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- 61. Factorar utilizando laRegla de Ruffini • 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12
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- 63. Descomponer en factores,indique el caso de factorización utilizado. • 𝑥8 − 25𝑥5 − 54𝑥2
- 64. Descomponer en factores,indique el caso de factorización utilizado. • 4𝑥5 − 𝑥3 + 32𝑥2 − 8
- 65. Descomponer en factores,indique el caso de factorización utilizado. • 𝑥7 + 𝑥4 − 81𝑥3 − 81
- 66. Descomponer en factores,indique el caso de factorización utilizado. • 𝑎2 − 𝑎𝑥 (𝑥4 − 82𝑥2 + 81)
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- 68. La fracción algebraicaracional es una expresión que se puede escribir como cociente de dos polinomios Τ 𝑃 𝑄. El polinomio 𝑃 es el numerador y 𝑄 el denominador de la fracción.
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- 73. Suma y Resta •𝑥 − 2 + 3 𝑥−1
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- 77. División y Multiplicación • 𝑎2−5𝑎 𝑏+𝑏2÷ 𝑎2+6𝑎−55 𝑏2−1 ∗ 𝑎𝑥+3𝑎 𝑎𝑏2+11𝑏2
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- 82. Definición Algunas vecesel denominador de una fracción tiene dos términos los cuales incluyen raíces cuadradas. Entonces el denominador puede racionalizarse al multiplicar por una expresión, la cual permitirá quitar las raíces del denominador.
- 83. Caso 1 REGLA. -Se multiplican los términos de la fracción por el radical, del mismo índice que el denominador, que multiplicado por este de como producto una cantidad racional. Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es monomio o del tipo a b n cm
- 84. Racionalizar el denominador 3 2𝑥 = 3∗ 2𝑥 2𝑥 ∗ 2𝑥 = 3 2𝑥 22𝑥2 = 3 2𝑥 2𝑥 Multiplicamos ambos términos de la fracción por 2𝑥 y tenemos: • 3 2𝑥
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- 87. Expresiones Conjugadas Dosexpresiones que contienen radicales de segundo grado como 𝑎 + 𝑏 𝑦 𝑎 − 𝑏 𝑜 𝑎 + 𝑏 𝑦 𝑎 − 𝑏 , que difieren solamente en el signo que une sus términos, se dice que son conjugados. Por los cual, el producto de dos expresiones conjugadas es racional. 4𝑥 + 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟í𝑎 4𝑥 − 𝑏
- 88. Caso 2 REGLA. -Se multiplica ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado. Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de tipo a 𝑏+ 𝑐
- 89. 4 5 + 2 . 5− 2 5 − 2 ൯ 4 ( 5 − 2 5 2 − 2 2 ൯ 4( 5 − 2 5 − 2 = ൯ 4( 5 − 2 3 Conjugado del denominador Racionalizar el denominador • 𝟒 𝟓+ 𝟐
- 90. Racionalizar el denominador • 4−2 2+ 5 2
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