Este pdf contiene ejercicios resueltos sobre los fundamentos de la electrotecnia. El objetivo es que los alumnos afiancen los conceptos de circuitos y maquinas eléctricas, análisis y técnicas de análisis de circuitos.
3. Problemas de
Fundamentos de Electrotecnia
Miguel Ángel García García
Joaquín Mur Amada
Nabil El Halabi
Iván Cristóbal Monreal
Centro Universitario de la Defensa
Zaragoza
5. Prólogo
Hemos escrito este texto docente con el ánimo de que sirva de apoyo y
ayuda para que los alumnos alcancen los resultados de aprendizaje previstos
en la asignatura Fundamentos de Electrotecnia del Grado en Ingeniería de
Organización Industrial, perfil Defensa, que se imparte en el Centro
Universitario de la Defensa de Zaragoza.
El objetivo de esta recopilación de problemas, tanto resueltos como
propuestos, es que, a través de su resolución, los alumnos afiancen los
conceptos de circuitos y máquinas eléctricas, y las técnicas y métodos para el
análisis de circuitos que se tratan en los diversos temas en los que se ha
dividido la asignatura.
Para alcanzar los resultados de aprendizaje nos atrevemos a aconsejar que,
antes de consultar la solución, el alumno trate primero de resolver los
problemas por sus propios medios, y que las soluciones sirvan como
instrumento para contrastar la validez de los razonamientos y los pasos que
ha seguido en su propia resolución. Para afianzar y autoevaluar este
aprendizaje, se han incluido problemas propuestos, en los que sólo se indica
su resultado.
Cabe reseñar que se ha hecho una estimación del nivel de dificultad de todos
los problemas, indicándolo en cada uno mediante estrellas. Una y dos
estrellas señalan los problemas que ayudan a introducirse en el estudio del
tema en cuestión, mientras que los señalados con 3 y 4 estrellas son los
problemas que servirán al alumno para afianzar los conceptos y para hacerse
con las técnicas y métodos utilizados a lo largo de la asignatura. El adecuado
uso de este texto permitirá al alumno adquirir las competencias necesarias
para llevar a cabo con éxito el análisis de circuitos y el estudio de las
máquinas eléctricas que otras disciplinas le requerirán más adelante.
11. Leyes de Kirchhoff y referencias de polaridad 9
Problema 1.2 ()
En el circuito de la figura, los rectángulos indican elementos de naturaleza
desconocida, y las flechas indican la referencia de polaridad tanto de la
intensidad como de la tensión en cada rama.
a) Si se conocen las siguientes tensiones:
U1 = 8 V, U2 = 4 V, U5 = 3 V, U6 = 3 V, U7 = 1 V, U10 = ‐1 V, U11 = 2 V
Determinar las tensiones restantes del circuito y calcular la tensión
entre los puntos A y B.
b) Si se conocen las siguientes intensidades:
I1 = 1 A, I3 = 2 A, I4 = 4 A, I6 = 6 A, I9 = 1 A
Determinar las restantes intensidades del circuito.
c) Demostrar que se cumplen las ecuaciones:
I6 + I9 + I11 = 0
I1 + I2 + I3 + I4 = 0
6
5 7
1 2 3 4
9
8 10
11
A
B
12. 10 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Solución:
a) La estrategia de resolución consistirá en buscar trayectorias cerradas en
las que solamente una tensión sea desconocida, de tal forma que se pueda
aplicar la 2ª Ley de Kirchhoff a esa trayectoria y despejar la tensión
desconocida.
Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la trayectoria cerrada siguiente:
Trayectoria 1‐5‐2‐8: U1 = U5 + U2 – U8 U8 = ‐1 V
Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a distintas trayectorias cerradas:
U1 = U5 + U6 + U3 – U11 U3 = 4 V
U8 + U9 = U11 U9 = 3 V
U3 = U7 + U4 – U10 U4 = 2 V
UAB = U5 + U2 UAB = 7 V
b) Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff al nudo A:
0 = I5 + I1 I5 = ‐ I1 I5 = ‐1 A
Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff al nudo entre la rama 7 y 4:
I7 = I4 I7 = 4 A
Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff al nudo entre la rama 4 y 10:
I4 + I10 = 0 I10 = ‐ I4 I10 = ‐4 A
Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff a los distintos nudos se obtiene:
I5 = I2 + I6 I2 = ‐7 A
I8 + I2 = I9 I8 = 8 A
I11 + I9 + I3 = I10 I11 = ‐7 A
c) Para demostrar las ecuaciones, se dibujan los recintos cerrados que se
muestran en la siguiente figura:
13. Leyes de Kirchhoff y referencias de polaridad 11
Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff generalizada al reciento cerrado A se
obtiene:
I6 + I9 + I11 = 0
Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff generalizada al reciento cerrado B se
obtiene:
I1 + I2 + I3 + I4 = 0
6
5 7
1 2 3 4
9
8 10
11
A
B
Recinto cerrado B
Recinto cerrado A
15. Tema 2: Elementos de circuitos y ecuaciones de
definición
Problemas resueltos
Problema 2.1 ()
La figura muestra la forma de onda de la tensión en bornes de la bobina para
la referencia indicada en el circuito. Determinar la forma de onda de ig(t)
(valor de la fuente de intensidad). Considerar descargados inicialmente tanto
la bobina como el condensador.
Solución:
Inicialmente se establecen las referencias de las intensidades en las ramas:
La expresión temporal de la tensión u(t) es:
1
ig(t)
+
0,5 H
u(t)
2 F
u(t)
4
3
2
1
1 2 3 4 5 [s]
[V]
t
0
1
ig(t)
+
0,5 H
u(t)
2 F
iL(t)
iC(t)
A
16. 14 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
2 0 2
( )
4 2
t t
u t
t
Aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff al nudo A se obtiene:
( ) ( ) ( )
g L C
i t i t i t
Las ecuaciones de definición de la bobina y del condensador son:
0
0
1
( ) ( ) ( )
t
L L
t
i t i t t u d
L
( )
( )
C
du t
i t C
dt
Dada la forma de la expresión de la tensión u(t), para determinar la
expresión de la intensidad ig(t), se han de considerar dos intervalos
diferenciados, y calcularla en cada uno de ellos.
Así pues:
o Para el intervalo 0 2
t
La expresión de la intensidad iL(t) es:
0
2 2
0 0
0
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 0) 2 0 2
0,5
( 2) 8 A
t t t
L L L
t
L
i t i t t u d i t d t
L L
i t
Conviene resaltar que el valor de la intensidad iL(t) al final de cada intervalo,
será el valor inicial de la intensidad iL(t) en el intervalo siguiente. Por lo que
se ha calculado el valor de iL(t) al final del intervalo, es decir, para t = 2 s.
La expresión de la intensidad iC(t) es:
( )
( ) 2 (2 ) 4 A
C
du t d
i t C t
dt dt
Con lo que en este intervalo:
2
( ) ( ) ( ) 4 2
g c L
i t i t i t t
17. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 15
o Para el intervalo 2
t
0
0 2
2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( 2) 4 8 4 8 2( 2) 8 8
0,5
t t t
L L L
t
i t i t t u d i t d t t
L L
( )
( ) 2 (4) 0 A
C
du t d
i t C
dt dt
Por lo que la intensidad ig(t) en este intervalo es:
( ) ( ) ( ) 8 8
g c L
i t i t i t t
Por lo tanto, la expresión temporal de la intensidad es:
2
4 2 0 2
( )
8 8 2
g
t t
i t
t t
La representación gráfica de esta intensidad se muestra en la siguiente
figura:
t [s]
ig
(t) [A]
5
10
2 4
20
15
3
1
5 6
25
19. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 17
o Para el intervalo 0 t 2
( ) 2
C
u t t
Aplicando la ecuación de definición del condensador:
1
( )
( ) 0,3 2 0,6 A
c
du t
i t C
dt
Una vez conocida la intensidad que circula por la rama, se calculan el resto
de las tensiones en los elementos por los que circula esa misma intensidad:
2 2 1
( ) ( ) 2 0,6 1,2 V
R
u t R i t
1
( ) ( ) 3 0,6 1,8 V
u t i t
Aplicando la 2ª L.K., se calcula la tensión en bornes de la bobina:
2
( ) ( ) ( ) ( ) 2 1,2 1,8 2 3
L C R
u t u t u t u t t t
Conocida la tensión en bornes de la bobina, es posible calcular la intensidad
que circula por ella aplicando su ecuación de definición:
2 2
0 0
1
( ) ( 0) 2 3 3 3
0 A
t
t
L L
i t i t d t t
L
Nótese que, en la expresión anterior, iL(t=0) = 0 porque la bobina está
inicialmente descargada.
Conocidas las dos intensidades, se puede aplicar la 1ª L.K. para hallar iT(t):
2
1
( ) ( ) ( ) 0,6 3
T L
i t i t i t t t
Entonces:
1 1
2 2
1
( ) ( )
( ) 5 0,6 3 5 15 3
R T
R
u t R i t
u t t t t t
Aplicando la 2ª L.K. se obtiene la tensión en la fuente independiente:
20. 18 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
1
( ) ( ) ( )
g R L
e t u t u t
2 2
( ) 5 15 3 2 3 5 17 6
g
e t t t t t t
2
( ) 5 17 6
g
e t t t
o Para el intervalo 2 t 4
( ) 8 2
C
u t t
Aplicando la ecuación de definición del condensador:
1
( )
( ) 0,3( 2) 0,6 A
c
du t
i t C
dt
Una vez conocida la intensidad que circula por la rama, se calculan el resto
de las tensiones en los elementos por los que circula esa misma intensidad:
2 2 1
( ) ( ) 2( 0,6) 1,2 V
R
u t R i t
1
( ) ( ) 3( 0,6) 1,8 V
u t i t
Aplicando la 2ª L.K., se calcula la tensión en bornes de la bobina:
2
( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 1,2 1,8 5 2
L C R
u t u t u t u t t t
Conocida la tensión en bornes de la bobina, es posible calcular la intensidad
que circula por ella aplicando su ecuación de definición:
2 2
2 2
1
( ) ( 2) 5 2 10 5 10 5 10 4
10 A*
t
t
L L
i t i t d t t
L
(*) El valor inicial de la intensidad en este intervalo, es el valor final de la
intensidad en el intervalo anterior:
2 2
0 2 ( ) 3 ( 2) 2 3 2 10 A
L L
t i t t t i t
Entonces:
2
( ) 5 4
L
i t t t
21. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 19
Aplicando la 1ª L.K.:
2 2
1
( ) ( ) ( ) 0,6 5 4 5 3,4
T L
i t i t i t t t t t
Entonces:
2 2
1( ) 5 5 3,4 5 25 17
R
u t t t t t
Aplicando la 2ª L.K.:
1
( ) ( ) ( )
g R L
e t u t u t
2
( ) 5 25 17 5 2
g
e t t t t
2
( ) 5 23 22
g
e t t t
o Para el intervalo t ≥ 4
( ) 0 V
C
u t
Aplicando la ecuación de definición del condensador:
1
( )
( ) 0 A
c
du t
i t C
dt
Una vez conocida la intensidad que circula por la rama, se calculan el resto
de las tensiones en los elementos que comparten esa intensidad:
2 2 1
( ) ( ) 0 V
R
u t R i t
1
( ) ( ) 0 V
u t i t
Aplicando la 2ª L.K., se calcula la tensión en bornes de la bobina:
2
( ) ( ) ( ) ( ) 0 V
L C R
u t u t u t u t
Así pues:
4
1
( ) ( 4) 0 8 A
8 A
t
L L
i t i t d
L
22. 20 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Aplicando la 1ª L.K.:
1
( ) ( ) ( ) 0 8 8 A
T L
i t i t i t
Por tanto:
1( ) 5 8 40 V
R
u t
Aplicando la 2ª L.K.:
1
( ) ( ) ( )
g R L
e t u t u t
( ) 40 V
g
e t
Por lo tanto, la expresión temporal de la tensión en la fuente es:
2
2
5 17 6 si 0 2
( ) 5 23 22 si 2 4
40 si 4
g
t t t
e t t t t
t
La representación gráfica de esta tensión se muestra en la siguiente figura:
t [s]
eg
(t) [V]
10
20
2 4
40
30
3
1
60
50
5
6
23. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 21
Problema 2.3 ()
Dadas las tres bobinas acopladas magnéticamente de la figura, escribir las
ecuaciones de definición de dichas bobinas teniendo en cuenta las
referencias de tensión e intensidad y los terminales correspondientes
indicados en el esquema.
Solución:
Las ecuaciones de definición de las bobinas serán de la forma:
3
1 2
1 1 12 13
3
1 2
2 21 2 23
3
1 2
3 31 32 3
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
di t
di t di t
u t L M M
dt dt dt
di t
di t di t
u t M L M
dt dt dt
di t
di t di t
u t M M L
dt dt dt
Resta conocer el valor de cada uno de los signos que aparecen en las
ecuaciones.
Para conocer los signos de los términos que contienen a los coeficientes de
autoinducción, solo se necesita observar el sentido relativo entre la
referencia de intensidad de cada bobina y su referencia de tensión.
i1
(t)
u3
(t)
+
+
+
i2
(t)
u1
(t) u2
(t)
i3
(t)
24. 22 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
o Término que contiene a L1: La referencia de la intensidad i1(t) coincide con
el sentido de la referencia dada para u1(t), con lo que el signo de este
término es “+”.
o Término que contiene a L2: La referencia de la intensidad i2(t) coincide con
el sentido de la referencia dada para u2(t), con lo que el signo de este
término es “+”.
o Término que contiene a L3: La referencia de la intensidad i3(t) no coincide
con el sentido de la referencia dada para u3(t), con lo que el signo de este
término es “‐”.
Para conocer los signos de los términos que contienen a los coeficientes de
inducción mutua, ha de conocerse el efecto que producen las intensidades
que circulan por las otras bobinas, en la bobina para la cual se está hallando
la expresión de la tensión, utilizando para ello los terminales
correspondientes entre ellas y las referencias de tensión e intensidad de
cada bobina.
o Término que contiene a M12: Se está comprobando como influye la
intensidad i2(t) en la tensión u1(t). La intensidad i2(t) entra por punto en la
bobina 2, luego creará en la bobina 1 el mismo efecto que una intensidad
que entrara por punto en la bobina 1 (concepto de terminal
correspondiente). Esa intensidad (entrando por punto en la bobina 1)
circularía de acuerdo a la referencia de tensión de la bobina 1, con lo que
el signo de este término es “+”.
o Término que contiene a M13: Se está comprobando como influye la
intensidad i3(t) en la tensión u1(t). La intensidad i3(t) sale por cuadrado en
la bobina 3, luego una intensidad que saliera por cuadrado en la bobina 1,
circularía en sentido contrario a la referencia de tensión de la bobina 1,
con lo que el signo de este término es “‐”.
o Término que contiene a M21: Se está comprobando como influye la
intensidad i1(t) en la tensión u2(t). La intensidad i1(t) entra por punto en la
bobina 1, luego una intensidad que entrara por punto en la bobina 2,
25. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 23
circularía de acuerdo a la referencia de tensión de la bobina 2, con lo que
el signo de este término es “+”.
o Término que contiene a M23: Se está comprobando como influye la
intensidad i3(t) en la tensión u2(t). La intensidad i3(t) sale por triángulo en
la bobina 3, luego una intensidad que saliera por triángulo en la bobina 2,
circularía en sentido contrario a la referencia de tensión de la bobina 2,
con lo que el signo de este término es “‐”.
o Término que contiene a M31: Se está comprobando como influye la
intensidad i1(t) en la tensión u3(t). La intensidad i1(t) entra por cuadrado
en la bobina 1, luego una intensidad que entrara por cuadrado en la
bobina 3, circularía de acuerdo a la referencia de tensión de la bobina 3,
con lo que el signo de este término es “+”.
o Término que contiene a M32: Se está comprobando como influye la
intensidad i2(t) en la tensión u3(t). La intensidad i2(t) entra por triángulo
en la bobina 2, luego una intensidad que entrara por triángulo en la
bobina 3, circularía de acuerdo a la referencia de tensión de la bobina 3,
con lo que el signo de este término es “+”.
Por lo tanto, las ecuaciones de definición son:
3
1 2
1 1 12 13
3
1 2
2 21 2 23
3
1 2
3 31 32 3
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
di t
di t di t
u t L M M
dt dt dt
di t
di t di t
u t M L M
dt dt dt
di t
di t di t
u t M M L
dt dt dt
26. 24 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 2.4 ()
En el circuito de la figura, la fuente ideal de tensión tiene un valor constante
de 5 V. En estas condiciones, y para la referencia indicada, determinar la
tensión en bornes de la resistencia R2. El transformador debe considerarse
ideal.
Datos: Eg = 5 V, R1 = 10 , R2 = 2 , a = 3
Solución:
La fuente ideal de tensión es de continua, por lo que genera un flujo
magnético en el primario del transformador constante. Un flujo constante
implica, por la ley de inducción de Faraday, que no hay tensión inducida U2
en el secundario del transformador, luego la tensión en la resistencia R2 es
nula.
2
2 2
2
0 V
0 V
R
R
U
U U
U
R1
Eg
+
R2
a:1
+
UR2
R1
Eg
+
R2
a:1
+
UR2
U2
+
+
U1
27. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 25
Problema 2.5 ()
En el circuito de la figura, que contiene un transformador ideal, y para la
referencia indicada, determinar la tensión en bornes de la resistencia R.
Datos: eg(t) = t2
V, R = 10 , a = 3
Solución:
El secundario del transformador está cortocircuitado, esto es us(t) = 0 V, por
lo que, aplicando la primera ecuación de definición de un transformador
ideal (para las referencias y terminales correspondientes indicados en el
circuito):
( ) ( )
( ) 3 0 0 V
p s
p
u t a u t
u t
Entonces, aplicando la 2ª L.K. en el circuito del primario del transformador:
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
g R p R
R g
e t u t u t u t t
u t e t t
R
eg(t)
+
a:1
+ uR(t)
R
eg
(t)
+
a:1
+ uR
(t)
up
(t) us
(t)
+
+
28. 26 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 2.6 ()
Calcular u(t)/i(t) en el dipolo de la figura. El transformador se considerará
ideal.
Solución:
Se fijan las referencias de tensión e intensidad del circuito:
Si se aplica la 1ª L.K. generalizada al recinto cerrado indicado en el figura:
Intensidades que entran en el recinto Intensidades que salen del recinto
3( ) 0 A
i t
Por lo tanto, aplicando la 1ª L.K. a los nudos A y B:
3:1
+
u(t)
i(t)
1
1
3:1
+
u(t)
i(t)
1
1
i2
(t)
i1
(t)
i3
(t)
i4
(t)
u1
(t) u2
(t)
+ +
uR2
(t)
+
+
uR1
(t)
A B
29. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 27
1
2 4
( ) ( )
( ) ( )
i t i t
i t i t
La relación de transformación es a = 3, lo que significa que:
1
2
3
N
a
N
Las ecuaciones del transformador, para las referencias tomadas son:
1 1
2 2
1 1 2 2
( )
1ª ecuación del transformador 3
( )
2ª ecuación del transformador ( ) ( ) 0
u t N
a
u t N
N i t N i t
A partir de las cuales se obtiene que:
1
2
1 2
( )
3
( )
1
( ) ( )
3
u t
u t
i t i t
Por otro lado, aplicando la ley de Ohm a la resistencia de la derecha:
2 4
( ) ( ) 1
u t i t
Sustituyendo en las expresiones obtenidas anteriormente:
2 4 2 1
1 2 1 1
( ) ( ) 1 ( ) 1 3 ( ) 1
( ) 3 ( ) 3 3 ( ) 9 ( )
u t i t i t i t
u t u t i t i t
Con lo que la relación pedida es:
1 1
1 1
( ) 9 ( )
( )
9
( ) ( ) ( )
u t i t
u t
i t i t i t
31. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 29
Sustituyendo en la expresión anterior por los valores conocidos:
9 3
g g
E R
Si se representa en un circuito el segundo caso:
La intensidad que circula por el circuito es:
2
10
2 A
5
I
La tensión U2 es (ecuación de definición de una fuente real de tensión):
2 2
g g
U E R I
Sustituyendo en la expresión anterior por los valores conocidos:
10 2
g g
E R
Las ecuaciones obtenidas para ambos casos forman un sistema lineal de
ecuaciones cuya solución es:
9 3
12 V, 1
10 2
g g
g g
g g
E R
E R
E R
Luego el circuito que modela la fuente real de tensión es:
Rg
Eg
+
5
+
I2
U2 10 V
+
12 V
+
1
33. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 31
Si se representa en un circuito el segundo caso:
Se calcula la intensidad I2:
2
300
3 A
100
I
Esa intensidad I2 es (ecuación de definición de una fuente real de
intensidad):
2
300
g
g
I I
R
Sustituyendo en la expresión anterior el valor conocido de I2:
300
3 g
g
I
R
Las ecuaciones obtenidas para ambos casos forman un sistema lineal de
ecuaciones cuya solución es:
100
5
6 A, 100
300
3
g
g
g g
g
g
I
R
I R
I
R
Luego el modelo de la fuente de real intensidad es:
Rg
Ig 100
+
300 V
I2
6 A 100
34. 32 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 2.9 ()
En el circuito de la siguiente figura se realizan dos medidas diferentes. En la
primera medida se conecta un voltímetro real de resistencia interna
RV = 10 Ω entre los terminales A y B, y se mide 40 V. En la segunda medida se
conecta entre los terminales A y B un voltímetro ideal (RV =), y se mide
60 V. Determinar a partir estas medidas, los parámetros Rg y Eg de la fuente
real de tensión.
Solución:
El circuito que modela el comportamiento de un voltímetro real es:
Donde representa a un voltímetro ideal y RV representa la resistencia
interna del voltímetro real.
En la primera medida, se conecta en bornes del dipolo un voltímetro real de
resistencia interna RV = 10 , esto es:
Rg
Eg
+
10
A
B
Fuente real de tensión
RV V
Rg
Eg
+
10
A
B
RV
V
10
+
UAB1
40 V
I1
Req
V
35. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 33
Calculando la Req de las dos resistencias en paralelo:
1 1 1 2 1
5
10 10 10 5
eq
eq
R
R
Con lo que el circuito se puede representar como:
donde la tensión UAB1 es la medida por el voltímetro real.
Aplicando la ley de Ohm a Req se obtiene I1:
1
40
8 A
5
I
Según la ecuación de definición de una fuente real de tensión:
1 1
∙
AB g g
U E R I
40 ∙8
g g
E R
En la segunda medida, se conecta en bornes del dipolo un voltímetro ideal
(resistencia interna RV = ), esto es:
donde la tensión UAB2 es la medida por el voltímetro ideal.
Rg
Eg
+
Req = 5
+
UAB1
40 V
I1 A
B
Rg
Eg
+
10 RV = V
+
UAB2
60 V
I2 A
B
38. 36 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Y realizando el paralelo de las dos últimas resistencias:
1 1 1 31 48
16
3 48 31
5
eq
eq
R
R
Aplicando la expresión del divisor de tensión en ese circuito, se obtiene que:
1
2
4
3 2,162 V
48
4
31
48
31
3 0,837 V
48
4
31
U
U
Deshaciendo la última agrupación de resistencias realizada, el circuito
resultante será:
Se calcula la intensidad I1 en este circuito mediante la ley de Ohm:
4
3 16/5
4
48/31
+
3
+
+
U2
U1
4
3
16/5
+
U2
U1
+
I1
39. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 37
2
1 0,261 A
16
5
U
I
Deshaciendo las agrupaciones de resistencias realizadas anteriormente:
Aplicando la expresión del divisor de intensidad en este último circuito, se
obtiene que:
2 1
3 1
1
3
2 0,261 0,156 A
1 1 5
2 3
1
2
3 0,261 0,104 A
1 1 5
2 3
I I
I I
Y volviendo al circuito original:
4 2
3 6/5
+
U2
I1
3
4 2
3 2
I1
I2
I3
U
2
3 V
+
4 2 1
3 2
+
I
I2
I3
I1
42. 40 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 2.12 ()
Deducir si la curva representada en la figura corresponde a la tensión en
bornes o a la intensidad que circula por un condensador de 1 F de capacidad.
Determinar la ecuación de la otra variable, u(t) o i(t), y representarla.
Suponer que el condensador está inicialmente descargado.
Resultados: Corresponde a la intensidad que atraviesa el condensador.
La expresión temporal de la tensión es:
2
2
t para 0 t 1
‐2t + 3 para 1 t 3
u(t)
‐t + 8t ‐ 18 para 3 t 4
‐2 para t 4
La representación gráfica de esta tensión es:
1
2
‐2
2 4 t [s]
‐1
3
5 6
t [s]
u(t) [V]
1
2
‐2
2 4
‐3
1
‐1
5 6
43. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 41
Problema 2.13 ()
El circuito de la figura se encuentra en estado estacionario, calcular el valor
de u(t).
Resultados: u(t) = 0 V
Problema 2.14 ()
Hallar las tensiones y las corrientes en todos los elementos del circuito de la
figura, sabiendo que u(t) = sen 2t. Suponer que inicialmente los elementos
están descargados: u(t=0) = 0 V e i2(t=0) = 0 A.
Resultados: 2
3
i (t) = cos t
2
2 2
2 2
4
2 3 2
4
4
2
2
1
u (t) = 2cos t
u (t) = sen t + 2cos t
1
i (t) = (‐cos t + 2sen t + 1)
1
i (t) = (1+ 2sen t + cos t)
+
10 V
2 2
1 mH 2
1 F
2
+
5 V
2
1 mH
+
u(t)
2
+
4
2 H 2
1/2 F
+
u(t)
e(t)
u1
(t)
+
u2
(t)
+
i3
(t)
i1
(t)
i2
(t)
u4
(t)
+
44. 42 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
2 3 2
3 2 5 2
1
u (t) = 1+ 2sen t + cos t
e(t) = 1+ sen t + cos t
Problema 2.15 ()
Determinar la relación U0/E en el circuito de la figura.
Resultados: 0
U
= 1
E
Problema 2.16 ()
Dado el dipolo de la figura, calcular la tensión entre los terminales A y B
(tensión a circuito abierto, U0) y la intensidad que circula entre estos dos
mismos puntos cuando entre ellos se coloca un cortocircuito (intensidad de
cortocircuito, Icc).
500
250
I
U0
+
2Ib
+
E
+
E1
+
E2
R1
+
I2 R2
A
B
I2
45. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 43
Resultados: 2 1
0 2
1
E ‐ E
U = ‐ + E
R
2 1 2 1
cc
1 2
E R ‐(E ‐ E )
I
R (R + )
Problema 2.17 ()
Dadas las tres bobinas acopladas magnéticamente de la figura, escribir las
ecuaciones de definición de dichas bobinas teniendo en cuenta las
referencias de tensión e intensidad y los terminales correspondientes
indicados en el esquema.
Resultados: 3
1 2
1 1 12 13
3
1 2
2 12 2 23
3
1 2
3 13 23 3
di (t)
di (t) di (t)
u (t) = +L + M + M
dt dt dt
di (t)
di (t) di (t)
u (t) = ‐M ‐ L ‐ M
dt dt dt
di (t)
di (t) di (t)
u (t) = +M + M + L
dt dt dt
2
i1
(t)
u2
(t)
1
1’
2’
+
+
+
i3
(t)
u1
(t) u3
(t)
3
3’
L1
L3
L2
M13
M12
M23
i2
(t)
46. 44 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 2.18 ()
Dos bobinas acopladas magnéticamente, de parámetros L1, L2 y M, se
conectan como se muestra en la figura siguiente. Escribir las ecuaciones de
las tensiones u1(t) y u2(t) en función de las intensidades i1(t) e i2(t) y de los
parámetros anteriores.
Resultados: 1 2
1 1
di (t) di (t)
u (t) = (L ‐ M) ‐ M
dt dt
1 2
2 2
di (t) di (t)
u (t) = (L ‐M) ‐M
dt dt
Problema 2.19 ()
Encontrar la relación entre u1(t) e i1(t) en el circuito de la figura.
+
u1
(t)
+
u2
(t)
i1
(t)
i2
(t)
L2
L1
M
+
u1
(t)
i1
(t
R
R
N 3N
47. Elementos de circuitos y ecuaciones de definición 45
Resultados: 1
1
u (t) R
=
i (t) 25
Problema 2.20 ()
Para el circuito de la figura calcular:
a) La tensión UAB, si no existiera el voltímetro.
b) La tensión UAB, si el voltímetro fuera ideal.
c) La tensión UAB, si el voltímetro fuera real, y de resistencia interna
RV = 10 k.
d) La tensión UAB, si el voltímetro fuera real, y de resistencia interna
RV = 100 k.
Resultados: a) UAB = 50 V, b) UAB = 50 V, c) UAB = 25 V, d) UAB = 45,4 V
Problema 2.21 ()
Para el circuito de la figura calcular:
a) El valor de la intensidad I si no existiera el amperímetro.
b) El valor de la intensidad I si el amperímetro fuera ideal.
c) El valor de la intensidad I si el amperímetro fuera real, y de
resistencia interna RA =1 .
d) El valor de la intensidad I si el amperímetro fuera real, y de
resistencia interna RA =1 m.
+
100 V
A
B
20 k
20 k
V
48. 46 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Resultados: a) I = 0,5 A, b) I = 0,5 A, c) I = 0,375 A, d) I = 0,498 A
Problema 2.22 ()
A través de las medidas realizadas sobre un vehículo militar de tracción
eléctrica se sabe que:
Cuando el motor que mueve dicho vehículo funciona a velocidad
máxima, la tensión en bornes de la batería de corriente continua que
lo alimenta es de 23 V y la intensidad que circula por dicho motor es
de 100 A.
Cuando esa misma batería alimenta, además de al motor
funcionando a velocidad máxima, a los faros de dicho vehículo, la
tensión medida en bornes de la batería pasa a ser de 22,97 V, y la
intensidad que circula por ella es entonces de 103 A.
Determinar el valor de los elementos que, convenientemente conectados,
representan el comportamiento de la batería del vehículo.
Resultados: Una fuente real de tensión de valores: Rg = 0,01 y Eg = 24 V
3 I
+
1,5 V A
50. 48 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Para las referencias de la figura, se define la potencia absorbida por un
dipolo como:
( ) ( ) ( )
abs
P t u t i t
Por lo tanto, la potencia absorbida por la resistencia es:
( ) ( ) ( )
abs R R
P t u t i t
Aplicando la ley de Ohm a la resistencia:
( ) ( )
R
u t i t R
Con lo que:
2 2 2
( ) ( ) (4sen ) 3 48sen
abs R
p t i t R t t
Se comprueba que la potencia absorbida en la resistencia es siempre mayor
o igual que cero.
b) La energía almacenada en la bobina es:
2 2 2
1 1
( ) ( ) 5 16sen 40sen
2 2
L
w t L i t t t
c) La tensión en la bobina es:
( )
( ) 5 4cos 20cos
L
di t
u t L t t
dt
Con lo que la tensión en bornes de la fuente, aplicando la 2ª L.K., es:
( ) ( ) ( ) (3 4sen ) (20cos ) 12sen 20cos
g R L
u t u t u t t t t t
i(t)
Dipolo
+
u(t)
53. Energía y Potencia 51
2 2
2
20
60
180 W
20 20
abs R
U
P
2
20 2
20
60 V
En 3 A
180 W
abs R
U
R I
P
La tensión en la fuente de tensión dependiente es:
5 2
5 5 3 15 V
U I
Se puede hallar la tensión en la fuente de intensidad dependiente ya que:
2 5 3 3 3
60 15 45 V
U U U U U
Se tiene que:
3 4 4 45 V
U U U
Conocida esa tensión, se puede hallar la intensidad I4 aplicando la ley de
Ohm a la resistencia de 5 :
4 4 4 4
5 45 5 9 A
U I I I
Por tanto la potencia absorbida por la resistencia es:
2 2
=5 4 5 9 5 405W
abs R
P I
4
5 4
5
45 V
En 9 A
405W
abs R
U
R I
P
La intensidad I3 es, al ser una fuente de intensidad dependiente:
1
3
60
15 A
4 4
U
I
Luego en la fuente de intensidad dependiente (f.i.d.), con las referencias
tomadas para la tensión y la intensidad, y comparando con las referencias
del dipolo general, el producto de U3 por I3 será potencia absorbida.
54. 52 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
1 3 3
4
45 15 675 W
U
abs fid
P U I
1
3
1
3
4
45 V
En f.i.d. 15 A
4
675W
U
abs fid
U
U
I
P
La intensidad I5 es, aplicando la 1ª L.K.:
5 3 4 15 9 24 A
I I I
Luego en la fuente de tensión dependiente (f.t.d.):
2
5 5 5 15 24 360 W
abs ftd I
P U I
2
5
2 5
5
15 V
En f.t.d. 5 24 A
360 W
abs ftd I
U
I I
P
La intensidad I1 es:
1 2 5 3 24 27 A
I I I
En la fuente de tensión (f.t.) de 60 V, con las referencias tomadas para la
tensión y la intensidad, y comparando con las referencias del dipolo general,
el producto de U1 por I1 será potencia cedida, luego la potencia absorbida es:
abs 60 V 1 1 60 27 1620 W
ft
P U I
1
1
60 V
60 V
En f.t. 60 V 27 A
1620 W
abs ft
U
I
P
Se puede comprobar que:
Potencias absorbidas 0
1620 180 405 675 360 0 W
56. 54 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Por tanto la tensión UR7 es:
7 2 7 0 7 0 V
R
U I
Las resistencias de 3 y 6 están en paralelo, independientemente de que I2
sea igual a cero o no, por lo que siempre es aplicable el divisor de intensidad.
Luego aplicando la fórmula del divisor de intensidad en el nudo C:
1
6 72
3
12 12 8 A
1 1 6 3 9
3 6
I
Conocida la intensidad I, la fuente dependiente de tensión del circuito de la
izquierda tendrá un valor:
∙ 3∙8 24 V
I
Aplicando la ley de Ohm al lado izquierdo del circuito se calcula la
intensidad I1:
1
∙ 24
4 A
2 4
I
I
R
Por lo tanto:
4 4 1
∙ 4∙4 16 V
R
U R I
La tensión U es entonces:
4 7
10 16 10 0 26 V
R R
U U U
En cuanto a las potencias cedidas por las fuentes:
Para las referencias indicadas en el dipolo de la figura siguiente, el producto
de U por I es igual a la potencia cedida.
58. 56 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 3.4 ()
Calcular la potencia absorbida por cada elemento del circuito de la figura y
comprobar el balance de potencias. Calcular la energía almacenada en el
condensador y en la bobina en t = 20 s. Considerar que el circuito se
encuentra en estado estacionario.
Datos: R1 = 1 , R2 = 2 , R3 = 1 , R4 = 1 , R5 = 1 , R6 = 2 , Eg = 8 V,
C = 1 mF y L = 10 mH.
Solución:
Dado que la fuente es de continua, y que el circuito se encuentra en estado
estacionario, la bobina se comporta como un cortocircuito y el condensador
como un circuito abierto. En estas condiciones el circuito es equivalente a:
+
L
C
R1
R2
R3
R4
R5
R6
Eg
+
8 V
1
2
1
1
1
2
I
59. Energía y Potencia 57
Agrupando las dos resistencias de 1 que están en serie:
1 1 2
eq eq
R R
Agrupando las dos resistencias de 2 que están en paralelo:
1 1 1
1
2 2
eq
eq
R
R
Agrupando las dos resistencias de 1 que están en serie:
1 1 2
eq eq
R R
+
8 V
1
2
2
1
2
I
+
8 V
1
2 1
1
I
+
8 V
1
2 2
I
60. 58 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Agrupando las dos resistencias de 2 que están en paralelo:
1 1 1
1
2 2
eq
eq
R
R
Resolviendo el circuito:
8 (1 1) 4 A
I I
Conocida esa intensidad I se puede, apoyándose en los circuitos anteriores y
mediante el divisor de intensidad, hallar las intensidades en cada rama del
circuito. La intensidad de 4 A se divide entre dos ramas que tienen la misma
resistencia cada una, luego esa intensidad se dividirá por dos. Lo mismo
ocurrirá con la intensidad de 2 A.
+
8 V
1
1
I
+
8 V
1
2 2
4 A
2 A
2 A
61. Energía y Potencia 59
Conocida la intensidad que circula por cada una de las ramas, se puede
calcular la potencia absorbida o cedida en cada elemento del circuito. Para
las referencias dadas, esas potencias son:
1
2
3
4
5
6
2 2
1
2
2
2
2
2
8 4 32 W
4 1 16 W
2 2 8 W
1 1 1 W
1 1 1 W
2 1 4 W
1 2 2 W
ced fuente g
abs R
abs R
abs R
abs R
abs R
abs R
P E I
P I R
P
P
P
P
P
Se puede comprobar el balance de potencias en el circuito:
ced fuente abs resistencias
P P
32 W 16 8 1 1 4 2 W
La bobina no absorbe potencia ya que:
cte 0 V 0 W
L L abs L
I U P
El condensador no absorbe potencia ya que:
cte 0 A 0 W
C C abs C
U I P
+
8 V
1
2
1
1
1
2
1 A
4 A 2 A
1 A
2 A
62. 60 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Para calcular la energía almacenada en el condensador hay que tener en
cuenta que, aunque se comporta como un circuito abierto (IC = 0), sigue
estando presente en el circuito y está sometido a una tensión UC. Lo mismo
ocurre con la bobina, aunque se comporta como un cortocircuito (UL = 0),
sigue estando presente en el circuito, y por ella circula una corriente IL.
La energías almacenadas en el condensador y en la bobina son:
2
1
( ) ( )
2
C C
w t C u t
2
1
( ) ( )
2
L L
w t L i t
Como el circuito se encuentra en régimen estacionario, las variables del
circuito, entre ellas la tensión en el condensador y la intensidad en la bobina,
no dependen del tiempo, es decir, son constantes. Debido a ello, tanto la
energía almacenada en el condensador como la energía almacenada en la
bobina no dependen del tiempo.
Se puede calcular la tensión en el condensador como:
5 4 5 4
2 1 2 1 1 1 3 V
C R R C C
U U U U R R U
Por tanto la energía almacenada en el condensador es:
2 3
1
0,001 3 4,5 10 J
2
C
W
+
UC
+
8 V
1
2
1
1
1
2
1 A
4 A 2 A
1 A
2
IL
+
UR5
+
UR4
64. 62 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 3.5 ()
Se dispone de un radiotransmisor alimentado mediante un adaptador de
corriente alterna a corriente continua (AC/DC). Normalmente se utiliza
conectándolo a la red de alimentación eléctrica de 230 V AC, pero por causas
de fuerza mayor se ha de utilizar este transmisor en campo, donde no se
dispone de una red de alimentación eléctrica.
Los datos que aparecen en el adaptador son:
INPUT: AC 100‐240 V OUTPUT: DC 12 V
0,25 A (máx) 2,25 A (máx)
50‐60 Hz
El fabricante facilita los datos de consumo de potencia eléctrica del
radiotransmisor. Éste presenta un consumo continuo de 2 W en el modo de
funcionamiento de espera/recepción. Cuando el aparato está en modo
emisión, al consumo anterior hay que sumarle un consumo de 25 W.
Se ha pensado alimentar el radiotransmisor en campaña mediante una
batería de automóvil disponible, en la que pueden leerse sus características:
12 V y 60 Ah.
a) Calcular el tiempo de autonomía de funcionamiento del
radiotransmisor alimentándolo con dicha batería en modo espera, en
modo emisión y en un modo mixto de relación 60% espera y 40%
emisión.
b) Repetir los cálculos anteriores si no se quisiera sobrepasar una
“profundidad de descarga” del 70% en la batería.
Solución:
a) Antes de pasar a la solución del problema, se ha de hacer un comentario
sobre la manera en que los fabricantes de baterías expresan la capacidad
(energía almacenada) de las mismas. Es usual que la capacidad de una
batería se exprese en “Ah” (Amperios × hora), por ejemplo, como en este
caso 60 Ah. Esto corresponde al producto de la corriente que es capaz de
suministrar la batería, por el tiempo durante el cual es capaz de cederla. Es
66. 64 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Ha de notarse que este comportamiento se supone para una batería nueva y
cargada al 100%. Según una batería realiza ciclos carga/descarga su
capacidad (energía que puede almacenar y posteriormente ceder)
disminuye.
Hecha esta introducción y para calcular la autonomía de la que se dispondrá
con la batería citada, lo primero que se necesita conocer es el consumo
(Amperios) del transmisor en ambos modos de funcionamiento.
Del dato de la potencia eléctrica consumida en espera y en emisión se puede
calcular la intensidad consumida en ambos modos, ya que se conoce la
tensión de alimentación, 12 V.
Con el dato de la potencia consumida en espera:
12 2 W
ESP ESP
P U I I
de donde se obtiene que:
0,167 A
ESP
I
Esta intensidad IESP es consumida continuamente por el aparato por el hecho
de estar conectado, y es la consumida en el modo de espera.
Cuando el aparato se encuentra emitiendo, el consumo de potencia aumenta
en 25 W. Con este dato se puede calcular la intensidad consumida por el
hecho de emitir, que es:
12 25 W
EMI EMI
P U I I
de donde se obtiene que:
2,083 A
EMI
I
Esta intensidad IEMI es consumida por el aparato por el hecho de emitir. Con
lo que la intensidad total que consume cuando se encuentra emitiendo es la
suma de la consumida en modo espera, más la consumida por el hecho de
emitir:
67. Energía y Potencia 65
2,250 A
EMI TOT ESP EMI
I I I
Conocidos estos datos ya es posible calcular la autonomía que se tendrá con
la batería citada.
La autonomía en modo de espera será:
60 Ah
360,00 h
0,167 A
Autonomía espera
Y la autonomía en modo emisión será:
60 Ah
26,66 h
2,250 A
Autonomía emisión
Para calcular la autonomía en el modo mixto, antes se ha de calcular la
intensidad promedio consumida en ese modo, que es:
60% 40% 0,60 0,167 0,40 2,250 1 A
MIXTO ESP EMI TOT
I I I
La autonomía en modo mixto será:
60 Ah
mixto 60,00 h
1 A
Autonomía
b) La profundidad de descarga (PD), es un concepto que afecta al máximo
de energía que el fabricante aconseja extraer de una batería. Normalmente,
y si las circunstancias lo permiten, se intenta no descargar las baterías
totalmente, ya que el hecho de descargarlas totalmente acorta su vida útil al
máximo de capacidad. En el tipo de baterías utilizadas en automoción
(plomo‐ácido), una profundidad de descarga típica puede ser del 70%. Esto
significa que se intentará no utilizar más del 70% de la capacidad de la
batería, es decir, que se deja una reserva de energía del 30% sin utilizar, con
la intención de alargar la vida de la batería.
Los cálculos de autonomías anteriores se han realizado sin tener en cuenta el
concepto de profundidad de descarga, es decir, se han realizado
descargando la batería al 100%.
68. 66 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Si se tiene en cuenta este concepto, la capacidad de la que se dispone con
esa batería, al 70% de profundidad de descarga es:
70% 100% 70% 60 Ah 0,70 42 Ah
PD
Capaciad Capaciad
Si se repiten los cálculos de autonomía anteriores con esta nueva capacidad,
que se ha reducido al 70% de la original, obviamente, todos los resultados se
ven reducidos en esa misma proporción.
70%
42 Ah
252,00 h
0,167 A
PD
Autonomía espera
70%
42 Ah
18,66 h
2,250 A
PD
Autonomía emisión
70%
42 Ah
mixto 42,00 h
1 A
PD
Autonomía
Los cálculos de autonomía se han realizado en función del consumo previsto
por el radiotransmisor, sin descargar la batería totalmente para mejorar su
rendimiento futuro. Esto puede que no sea operativo en algunas
circunstancias especiales, que pueden exigir descargarla totalmente. Para
estas circunstancias, se sabrá que se dispone de un 30% más de capacidad de
“reserva” para solventar las posibles contingencias.
70. 68 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 3.7 ()
Dado el circuito de la figura, calcular la energía almacenada en la bobina y en
los condensadores y la potencia absorbida o cedida por las fuentes. El
circuito se encuentra en estado estacionario.
Resultados:
, , ,
‐3 ‐3 ‐6
L C 5 F C 10 F
W = 9 10 J W = 1 10 J W = 125 10 J
, , ,
abs 6A ced 20V abs 10V
P = 30 W P = 120 W P = 30 W
abs 3A
P = 15 W
Problema 3.8 ()
Todas las resistencias del circuito de la figura son del mismo valor R. Al
aplicar una tensión entre los terminales A y B, la resistencia que está
colocada entre estos mismos terminales consume una potencia de 110 W.
Calcular la potencia total consumida por el conjunto de las siete resistencias.
+
10 V
5 2 mH
5 F
+
10 F
6 A
3 A
20 V
71. Energía y Potencia 69
Resultados: Total
P = 150 W
Problema 3.9 ()
El circuito de corriente continua de la figura se encuentra en estado
estacionario. El condensador C1 tiene una energía almacenada de 1 Julio.
Calcular el valor del condensador C1.
Resultados: ‐5
1
C = 5 10 F
Problema 3.10 ()
Dado el circuito de la figura, calcular todos los valores que puede tomar la
fuente de tensión E para que la resistencia de 2 absorba una potencia de
R
R
R
R
R R
R
UAB
+
A
B
+
300 V
R
L
C1
R
L
C2
R
L
73. Tema 4: Métodos de análisis de circuitos
Problemas resueltos
Problema 4.1 ()
Aplicando el método de análisis por nudos, calcular las intensidades indicadas
en el circuito de la figura.
Datos: R1 = 2 , R2 = 4 , R3 = 6 , R4 = 8 , R5 = 10 , eg1(t) = 20 V,
eg2(t) = 8 V.
Solución:
Como se solicita aplicar el método de análisis por nudos, es recomendable
que todas las fuentes del circuito sean fuentes de intensidad. En el circuito
considerado, existen dos fuentes de tensión reales, por lo que pueden
transformarse en sus fuentes de intensidad reales equivalentes. El circuito,
equivalente al propuesto para todos sus elementos salvo para aquellos que
forman las fuentes reales transformadas, es:
+
R1
eg1
(t) +
eg2
(t)
R2
R5
R3
R4
i4
(t)
i5
(t)
i2
(t)
i3
(t)
i1
(t)
74. 72 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
A continuación se determina el número de nudos del circuito que se van a
considerar para la aplicación del método de análisis. Existen dos
comprobaciones importantes a realizar a la hora de localizar y denominar los
nudos de un circuito para la aplicación del método de análisis por nudos.
Estas dos condiciones son: verificar que todos los elementos del circuito
están flanqueados por un nudo en cada uno de sus extremos; y verificar que
no hay nudos unidos por un cortocircuito que tengan distinta designación. De
ahí que en este circuito, los dos nudos inferiores, al estar unidos por un
cortocircuito, se denominen ambos como nudo 0.
Una vez determinados los nudos, se toma uno de ellos como nudo de
referencia (en este caso el nudo 0), y se dibujan las tensiones de nudo.
Sustituyendo los valores de los elementos que componen el circuito:
R1
R2
R5
R3 R4
g2
4
e (t)
R
g1
1
e (t)
R
A B
0
R1
R2
R5
R3 R4
g2
4
e (t)
R
g1
1
e (t)
R
A B
0ref
+
uA0
(t)
uB0
(t)
+
75. Métodos de análisis de circuitos 73
Las ecuaciones correspondientes al análisis por nudos de este circuito,
aplicando escritura directa, son:
0
0
1 1 1 1
( ) 10
2 6 4 4
1 1 1 1 ( ) 1
4 4 8 10
A
B
u t
u t
Escrito en forma de sistema de ecuaciones:
0 0
0 0
0,916 ( ) 0,25 ( ) 10
0,25 ( ) 0,475 ( ) 1
A B
A B
u t u t
u t u t
y su solución es:
0
0
( ) 13,408 V
( ) 9,162 V
A
B
u t
u t
Se ha analizado un circuito equivalente al circuito dado en el enunciado, pero
hay elementos en él para los que las transformaciones realizadas no son
equivalentes. Para determinar las intensidades pedidas en el enunciado, es
necesario “volver” al circuito original y, para ello, hay que apoyarse en las
tensiones y/o intensidades calculadas en el circuito analizado sobre los
elementos que se no se han visto afectados por los cambios. En dichos
elementos, los valores de la tensión entre sus bornes calculados en el circuito
analizado sí serán los mismos que la tensión en dichos elementos sobre el
circuito original. Esto es:
6
A B
0ref
+
uA0
(t)
uB0
(t)
+
10 A 1 A
4
2
8 10
77. Métodos de análisis de circuitos 75
Problema 4.2 ()
Analizar por mallas el circuito de la figura. Calcular la potencia absorbida por
la resistencia R5 y la potencia cedida por las fuentes de tensión.
Datos: R1 = 5 , R2 = 2 , R3 = 1 , R4 = 3 , R5 = 4 , Eg1 = 10 V, Eg2 = 5 V.
Solución:
Se solicita que se analice el circuito por mallas. Al emplear este método de
análisis, es recomendable que todas las fuentes del circuito sean fuentes de
tensión. Como en este caso existen dos fuentes, y ambas son de tensión, no
será necesario apoyarse en un circuito equivalente para aplicar el método de
análisis.
Lo siguiente es determinar el número de mallas presentes en el circuito.
Recordando la definición de malla: “lazo de un circuito que no contiene
ningún otro lazo en su interior”, se observa que el circuito a analizar tiene
tres mallas.
A continuación se establecen las referencias para las intensidades de
circulación de cada una de estas tres mallas (se recuerda que dichas
referencias tienen sentido arbitrario).
R1
Eg2
+
+
Eg1
R2
R5 R4 R3
78. 76 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Las ecuaciones correspondientes al método de análisis por mallas de este
circuito, aplicando escritura directa, son:
4 2 3 3 2 10
3 3 1 0 5
2 0 5 2 5
a
b
c
I
I
I
Escrito en forma de sistema de ecuaciones:
9 3 2 10
3 4 5
2 7 5
a b c
a b
a c
I I I
I I
I I
Resolviéndolo se obtienen las intensidades de malla:
1,242 A
0,318 A
1,609 A
a
b
c
I
I
I
Y las potencias pedidas, según las referencias dadas a las intensidades de
malla, son:
5
5 V
+
+
10 V
Ia
Ib
Ic
2
1
3
4
80. 78 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 4.3 ()
Dado el circuito de la figura, calcular mediante el método de análisis por
nudos la intensidad que circula por todas las resistencias y por la fuente
dependiente de tensión, así como la tensión en bornes de las fuentes de
intensidad. Calcular la potencia absorbida por todos los elementos del
circuito y comprobar que se verifica el balance de potencias.
Datos: R1 = 2 , R2 = 3 , R3 = 1 , ig = 3 A, = 5.
Solución:
Para aplicar el método de análisis por nudos, es conveniente que todas las
fuentes del circuito sean fuentes de intensidad. En este caso, el circuito
contiene 2 fuentes de intensidad (reales) y una fuente de tensión (ideal y
dependiente). Al tratarse de una fuente ideal, no es posible transformarla
directamente en una fuente real de intensidad y, en consecuencia, se deja tal
cual en el circuito. Para solventar el hecho de tener en el circuito una fuente
de tensión, es necesario agregar una incógnita al sistema resultante de
aplicar el método de análisis y, por lo tanto, es necesario escribir una
ecuación adicional que permita que dicho sistema tenga solución única.
Se trata de un circuito con 3 nudos, y se toma el nudo inferior como nudo de
referencia (recordar que hay que asegurarse de que no existan nudos unidos
a través de un cortocircuito que tengan distinta designación, de ahí la forma
en la que se ha representado el nudo 0 en el circuito).
R2
ig
R1
+
ig
R3
∙u
u
+
81. Métodos de análisis de circuitos 79
Se ha añadido la incógnita ie (con referencia arbitraria) para solventar el
hecho de que la fuente de tensión dependiente es ideal. Dicha intensidad se
trata, cuando se escriben las ecuaciones del método de análisis, como la
intensidad proveniente de una fuente de intensidad.
Las ecuaciones para el circuito considerado, aplicando escritura directa, son:
0
0
1 1 1
3
2 3 3 ∙
1 1 1 3 3
3 3 1
A e
B
u i
u
Ecuaciones adicionales:
Por haber dejado en el circuito una fuente ideal de tensión (la
ecuación se construye escribiendo el valor conocido de la fuente en
función de las incógnitas principales del método de análisis):
0
5 A
u u
Por haber en el circuito una fuente dependiente (la ecuación se
construye escribiendo la variable de la cual depende la fuente en
función de las incógnitas principales del método de análisis):
0
B
u u
El sistema de ecuaciones a resolver es:
3
3 A
+
3 A
1
5∙u u
+
2
A B
0
+
uB0
+
uA0
ie
82. 80 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
0 0
0 0
0
0
0,833 0,333 3
0,333 1,333 6
5
0
A B e
A B
A
B
u u i
u u
u u
u u
cuya solución es:
A
B
e
u
u
i
u
0
0
10 V
2 V
6 A
2 V
Dibujando las referencias para las distintas ramas del circuito:
Se calculan las intensidades que circulan por las resistencias y por la fuente
de tensión, así como las tensiones en bornes de las fuentes de intensidad:
0
1
1
0 0
2
2
0
3
3
10
5 A
2
10 2
4 A
3
2
2 A
1
A
R
A B
R
A
R
u
i
R
u u
i
R
u
i
R
3
3 A
+
3 A
1
5∙u u
+
2
A B
0
+
uB0
+
uA0
ie
+
uI1
+
uI2
iR1 iR3
iR2
83. Métodos de análisis de circuitos 81
1 0 0
2 0
6 A
10 2 12 V
2 V
e
I A B
I B
i
u u u
u u
Las potencias absorbidas por los distintos elementos, para las referencias
indicadas en el circuito, son:
1
2
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2
3 3 3
1 1
2 2
0
∙ ( 5) ∙2 50 W
∙ ( 4) ∙3 48 W
∙ 2 ∙1 4 W
∙ 3∙( 12) 36 W
∙ 3∙2 6 W
∙ ( 10)∙( 6) 60 W
g
g
abs R R
abs R R
abs R R
abs i g I
abs i g I
abs u A e
P i R
P i R
P i R
P i u
P i u
P u i
En cuanto al balance de potencias:
1 2
1 2 3 0
50 48 4 36 6 60 0 W
g g
abs absR absR absR abs i abs i abs u
abs
P P P P P P P
P
84. 82 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Problema 4.4 ()
Dado el circuito de la figura, determinar mediante el método de análisis por
mallas la intensidad que circula por las resistencias y las fuentes de tensión,
así como la tensión en bornes de las fuentes de intensidad. Calcular la
potencia absorbida por las resistencias y la potencia cedida por las fuentes, y
verificar que se cumple el balance de potencias.
Datos: R1 = 1 , R2 = 1 , R3 = 2 , R4 = 2 , Eg1 = 4 V, Eg2 = 6 V, Ig = 3 A,
= 3.
Solución:
El circuito contiene dos fuentes de intensidad (una real y otra ideal, y ésta
última además dependiente) y dos fuentes de tensión. El método de análisis
por mallas prefiere que el circuito contenga fuentes de tensión, por lo que se
transforma la fuente real de intensidad en su fuente real de tensión
equivalente. Como no es posible transformar la fuente ideal de intensidad, se
deja en el circuito y, para solventar este inconveniente, se dibuja la referencia
de la tensión en bornes de dicha fuente. Se utilizará dicha tensión como si se
tratara de la tensión en bornes de una fuente de tensión. Posteriormente,
como esta tensión en la fuente de intensidad es una incógnita, se añadirá una
ecuación adicional al sistema. El circuito, equivalente al original, es entonces:
R2
R1
Eg1
∙I
+
+
Eg2
R3 R4
Ig
I
85. Métodos de análisis de circuitos 83
Sobre este circuito se han dibujado las referencias de las intensidades de
circulación de malla. Aplicando la escritura directa de las ecuaciones de este
método de análisis:
1 2 1 2 0 4 6
2 2 2 2 6
0 2 2 6
a
b I
c
I
I U
I
Ecuaciones adicionales:
Debido a la existencia de una fuente de intensidad ideal, se ha
añadido como incógnita la tensión en bornes de dicha fuente. La
ecuación adicional se construye relacionando el valor conocido de la
fuente (en este caso el valor de su intensidad) con las incógnitas
principales del método de análisis (en este caso las intensidades de
circulación de malla).
b
I I
Debido a que existe una fuente dependiente, cuyo valor depende del
valor de una variable en otra rama del circuito, se hace preciso escribir
una ecuación adicional. Esta ecuación se construye relacionando el
parámetro del cual depende dicha fuente con las incógnitas
principales del método de análisis.
Dado que la intensidad de la cual depende la fuente es la intensidad
que circula por la resistencia de la fuente real, que se ha transformado
1
1
4 V
3∙I
+
+
6 V
+ 2
Ib
Ia Ic
2
+ UI
6 V
87. Métodos de análisis de circuitos 85
De esta manera:
1
2
3
4
5
3 3
4 4 4
3
7 A
8 A
15 A
3 A
12 A
10 V
6 V
10 V
16 V
a
a b
b
b c
c
R
R
Ig R
I
I I
I I I
I I
I I I
I I
U R I
U R I
U U
U
La potencia absorbida por las resistencias es:
2
1 1 1
2
2 2 2
2
3 3 3
2
4 4 4
49 W
49 W
50 W
18 W
abs R
abs R
abs R
abs R
P R I
P R I
P R I
P R I
La potencia cedida por las fuentes (teniendo en cuenta las referencias
indicadas en el circuito) se calcula:
1 1 1
2 2 5
28 W
72 W
30 W
240 W
ced Eg g
ced Eg g
ced Ig Ig g
ced I I
P E I
P E I
P U I
P U I
R2
R1
Eg1
∙I
+
+
Eg2
R3 R4
Ig
I
UR2
UR1
UR3
I2
I1 I3
I4
I5
UR4
UIg
UI
+
+
+
+
+
+
Ia
–Ib
88. 86 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
A partir de las potencias absorbidas y cedidas calculadas, se puede
comprobar el balance de potencias del circuito:
166 W
Se cumple
166 W
ced fuentes abs resistencias
abs resistencias
ced fuentes
P P
P
P
89. Métodos de análisis de circuitos 87
Problema 4.5 ()
Para el circuito de la figura, calcular, aplicando el método de análisis por
nudos (tomando el nudo 0 como nudo de referencia), la potencia cedida por
las fuentes y la potencia absorbida por las resistencias. Verificar el balance de
potencias.
Datos: Eg = 8 V, Ig = 15 A, R1 = 1 , R2 = 1/2 , R3 = 1/3 , R4 = 1/4 ,
R5 = 1/5 , = 5
Solución:
Dado que el circuito se va a analizar aplicando el método de análisis por
nudos, se transforma la fuente real de tensión en su fuente real de intensidad
equivalente. Por otra parte, por estar en serie con una fuente ideal de
intensidad, se puede eliminar la resistencia R4 sin que el resto de los
elementos del circuito se vean afectados. Por último, se añade como
incógnita la intensidad que circula por la fuente ideal dependiente de
tensión, Ie.
Hechas estas transformaciones, el circuito queda:
R1
Eg
+
–
+
+
R2
U
∙U
R3
R4
Ig
R5
0 Ref
90. 88 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
Las ecuaciones correspondientes al análisis por nudos del circuito (mediante
escritura directa) son:
A
B e
C
U
U I
U
0
0
0
1 2 2 0 8
2 2 3 3
0 3 3 5 15
Debido a la presencia de una fuente de tensión ideal, se agrega la ecuación
adicional:
B
U U 0
Se añade otra ecuación adicional debido a la presencia de una fuente
dependiente:
0 0
A B
U U U
El sistema de ecuaciones a resolver es:
A B
A B C e
B C
B
A B
U U
U U U I
U U
U U
U U U
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
3 2 8
2 5 3
3 8 15
5
R1
Eg
/R1
+
–
+
R2
U
∙U
R3
Ig
R5
0 Ref
A B C
+ + +
UA0
UB0
UC0
Ie
91. Métodos de análisis de circuitos 89
La solución del sistema es:
0
0
0
6 V
5 V
0 V
1 V
13 A
A
B
C
e
U
U
U
U
I
Para calcular las potencias cedidas y absorbidas, hay que recordar que se ha
analizado un circuito equivalente al del enunciado, por lo que se hace preciso
volver a dicho circuito original.
A continuación se calculan, teniendo en cuenta las referencias indicadas en el
circuito anterior, las potencias cedidas por las fuentes y las potencias
absorbidas por las resistencias.
Potencia cedida por la fuente Eg:
1
1
1
1
1 0
1
∙
2 V
2 A
16 W
ced Eg g
R
R A g
ced Eg
P E I
U
I
R
U U E
I
P
Potencia cedida por la fuente dependiente U:
+
–
+
R2
U
∙U
R3
R5
0 Ref
A B
+ +
UA0
UB0
UC0
Ie
R1
Eg
+
+
+
UR1
I1
R4
Ig
C
+
+
UR4
UI
UR3
+
92. 90 Problemas de Fundamentos de Electrotecnia
0
( )
65W
ced U e B e
ced U
P U I U I
P
Potencia cedida por la fuente independiente Ig:
0 4
4 4
15
V
4
15
V
4
56,25W
ced Ig I g
I C R
R g
I
ced Ig
P U I
U U U
U I R
U
P
La potencia absorbida por las resistencias se calcula:
2
1 1 1
2
2 1 2
2
3
3
3
3 0 0
3
2
4 4
2
0
5
5
4 W
2 W
5 V
75W
56,25W
0 W
abs R
abs R
R
abs R
R B C
abs R
abs R g
C
abs R
P I R
P I R
U
P
R
U U U
P
P I R
U
P
R
Agrupando resultados:
1
2
16 W
65 W
56,25 W
4 W
2 W
ced Eg
ced U
ced Ig
abs R
abs R
P
P
P
P
P
95. Métodos de análisis de circuitos 93
g
R L D R R
C D C D
i t
L D L D i t i t
C D C D C D C D
i t
R L D R L D u t
1 1 2 2
2 2
1
2 2 2
2 1 2 1
3
2 2 2 2
1 1
0
( )
1 1 1 1
( ) ( )
( )
∙ ( )
Al existir una fuente dependiente, la ecuación adicional del sistema es:
u t L D i t i t
2 2 3
( ) ( ) ( )
Se trata de un sistema de 4 ecuaciones diferenciales con 4 incógnitas. La
correcta aplicación del método de mallas asegura que estas ecuaciones son
linealmente independientes y que, por lo tanto, el sistema tiene solución
única.
Se pueden obtener las expresiones temporales de las tensiones e
intensidades en todos los elementos que forman el circuito sin más que
resolver el sistema de ecuaciones diferenciales anterior. Para ello, es
necesario conocer las expresiones temporales de las fuentes presentes en el
circuito, los valores de los elementos que lo integran y las condiciones
iniciales en las bobinas y condensadores (intensidades y tensiones,
respectivamente).
97. Métodos de análisis de circuitos 95
Como en el circuito hay bobinas acopladas magnéticamente, no se va a
aplicar el método de análisis mediante escritura directa de las ecuaciones,
sino que se van a escribir la suma de las tensiones correspondientes a cada
malla y, dicha suma, se igualará a cero (aplicación de la 2ª L.K. a cada malla).
Se recuerda que el criterio a seguir al aplicar el método de mallas, consiste en
que caídas de tensión positivas las crea la intensidad de la malla que se
considera en cada caso:
o Malla 1:
2 1 3 3 1 2 1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
g
L D i t i t MDi t i t i t L Di t L Di t
CD
o Malla 2:
2 2 3 2 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
i
R i t i t u t i t i t
CD
o Malla 3:
1 3 3 3 3 1 2 3 2 2 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
R i t L Di t MD i t i t R i t i t L D i t i t MDi t
La ecuación adicional debida a la presencia en el circuito de una fuente de
intensidad ideal, es:
i t i t
2
( ) ( )
La ecuación adicional debida a que el circuito contiene una fuente
dependiente, es:
1 2
( ) ( ) ( )
i t i t i t
Estas 5 ecuaciones forman un sistema de ecuaciones diferenciales
linealmente independientes, cuya solución permite obtener el valor de las
intensidades de las mallas.
99. Métodos de análisis de circuitos 97
Los elementos en serie con una fuente ideal de intensidad pueden eliminarse
sin que el resto de elementos del circuito se vean afectados. Siguiendo este
criterio, se podrá eliminar la resistencia de 2 ya que está conectada en
serie con la fuente de intensidad de valor ∙U.
Los nudos que están unidos por un cortocircuito han de tener la misma
designación. Por lo tanto, si se elimina la resistencia de 2 , el circuito a
analizar tiene sólo 3 nudos, tal y como se indica en la figura siguiente. (Si no
se elimina la resistencia de 2 , el circuito tendrá entonces 4 nudos,
existiendo un nudo entre la fuente de intensidad ∙U y la resistencia de 2 ).
Aplicando escritura directa:
A
B e
U
U I U
0
0
1 1 1 1
1 1
1 1 0,5 0,5
1 1 2
0,5 0,5
Las ecuaciones adicionales son:
Por la fuente de tensión ideal:
0 2 V
B
U
Por la fuente dependiente (tal y como, aplicando la 2ª L.K. en el
circuito original, se deduce en la figura siguiente):
0
1 A
U U
0
+
1 A 1
0,5
2 V 2 A
∙U
= 1 S
A
B
+
UA0
+
UB0
1
1 A
Ie
