Programacion lineal con_lindo_lingo

PROGRAMACIÓN LINEAL CON
APLICACIONES COMPUTACIONALES
DE LINDO Y LINGO

PROGRAMACIÓN LINEAL

CON

APLICACIONES COMPUTACIONALES

DE LINDO Y LINGO

Elizabeth Valdivieso Lazo

Raúl Vilcahuamán Sanabria

Perú, 2010

PROGRAMACIÓN LINEAL CON APLICACIONES
COMPUTACIONALES DE LINDO Y LINGO

Autores
Elizabeth Valdivieso Lazo
Raúl Vilcahuamán Sanabria

Editado por: Elizabeth Valdivieso Lazo
Av. Máximo Abril 504. Dpto. 807
Jesús María. Lima. PERÚ

COPY RIGHT
Derechos Reservados
Prohibido la reproducción de esta obra por cualquier medio,
Total o parcialmente, sin permiso de los autores.

ISBN N° 978-612-00-0235-3
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N ° 2010-04441

Impreso en:
INDUSTRIA GRAFICA OBREGÓN SRL.
Jr. Arequipa N°326
Huancayo, PERÚ

Primera Edición Abril 2010.

DEDICATORIA

A Raúl, Ian y Mechita
Razones de mi existencia.

Liz

Para Liz y Ian
A mis padres Elva y Raul
A mi hermano Percy
A la memoria de mi Mami Ati que guía
mis pasos

Raúl

______________________________________________________________________________ 3
Programación Lineal Con Aplicaciones Computacionales de LINDO y LINGO. E. Valdivieso L. y R. Vilcahuamán S.

PROLOGO

El presente libro ha sido elaborado pensando en las necesidades básicas de los alumnos
de aprender programación lineal, como quien dice se les lleva de la mano paso a paso
por los saberes previos que ellos deben recordar como el plano cartesiano y la correcta
ubicación de puntos, un sistema de ecuaciones y sus métodos de resolver,
principalmente el método grafico.

Luego se les brinda nociones básicas de pendiente de una recta y ecuación de la recta
para que ellos lleven un sistema de ecuaciones a la grafica y luego a partir de la grafica
regresen al sistema, lo mismo se realiza para un sistema de inecuaciones y sus
respectivas graficas motivo importante para el desarrollo de un problema de
programación lineal.

Los ejercicios demostrativos han sido seleccionados para que el alumno los entienda de
la forma más simple posible de los mejores textos citados en las referencias
bibliográficas, donde están propuestos y luego los desarrollamos para la fácil
comprensión del alumno.

Los problemas han sido graduados desde los más simples hasta los de mayor grado de
dificultad siempre pensando en darle confianza y seguridad al alumno al momento de
resolver un problema.

Ya para terminar no podían faltar las tecnológicas de la información (TI): se presenta
los softwares de optimización LINDO y LINGO con los cuales se resuelven los
ejercicios planteados en los capítulos previos de un forma más rápida, precisa y
elegante.

Los autores

______________________________________________________________________________ 4

PRESENTACIÓN

La programación lineal es un arte y una ciencia: se refiere a la eficiente localización de
recursos. El arte tiene que ver con la habilidad entender los conceptos eficientemente y
definir bien el modelo matemático a solucionar. La ciencia consiste en derivar métodos
matemáticos-computacionales que resuelvan los modelos matemáticos planteados.

Dado que la ubicación óptima de recursos, dinero, horas-hombre, energía, o alguna otra
clase de esfuerzo es de importancia para la gente que toma decisiones en muchos
campos de aplicación, este material les será útil pues parte de los conceptos
fundamentales, los va profundizando mas y mas hasta llegar a su aplicación de las
tecnologías de la información a través de los software especializados en optimización
como son LINDO y LINGO.

Los autores

______________________________________________________________________________ 5

ÍNDICE GENERAL

Pagina
Dedicatoria…………………………… …………….……………………………………… …………… 3
Prologo …… ………………………. …………………….………………………………. . ………… 4
Presentación………………….. ……………………………………………………………….. ……….. 5
1. SABERES PREVIOS ......................................................................................................................... 8
1.1 PLANO CARTESIANO............................................................................................................... 8
1.2 UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO................................................................................ 9
1.3 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES .........................................9
1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES..................................9
1.5 CRITERIOS O MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA LINEAL .......................... 10
1.5.1. Criterio de sustitución ........................................................................................................ 10
1.5.2. Criterio de igualación ........................................................................................................ 11
1.5.3. Criterio de reducción o de sumas y restas.......................................................................... 13
1.5.4. Criterio de las gráficas....................................................................................................... 14
1.5.5. Ejercicios propuestos ......................................................................................................... 18
1.6 PENDIENTE DE UNA RECTA.................................................................................................19
1.6.1. TIPOS DE PENDIENTE .................................................................................................... 21
1.7 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA ............................................................................................. 21
1.8 ECUACIÓN DE LA RECTA ..................................................................................................... 22
1.8.1. Forma Punto – Pendiente................................................................................................... 22
1.8.2. Forma Pendiente – Ordenada al origen............................................................................. 23
1.9 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA ........................................................................................... 23
1.9.1. Ejercicios............................................................................................................................ 25
2. SISTEMA DE INECUACIONES.................................................................................................... 30
2.1 REGLA PRÁCTICA PARA GRAFICAR UNA INECUACIÓN (PLANOS Y SEMIPLANOS) ....... 31
2.2 EJERCICIOS: APRENDEMOS A GRAFICAR INECUACIONES PASO A PASO..................................... 38
3. PROGRAMACIÓN LINEAL ......................................................................................................... 43
3.1 CONCEPTOS............................................................................................................................. 44
3.1.1. Variables Decisorias .......................................................................................................... 44
3.1.2. Función objetivo ................................................................................................................. 44
3.1.3. Solución Factible................................................................................................................ 44
3.1.4. Solución Básica .................................................................................................................. 44
3.1.5. Conjunto Factible ............................................................................................................... 44
3.1.6. Región Factible .................................................................................................................. 44
3.1.7. Solución óptima .................................................................................................................. 45
3.2 DETERMINACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE ................................................................... 45
4. OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN OBJETIVO.................................................................... 49
4.1 MÉTODO GRÁFICO ................................................................................................................ 49
4.1.1. Método de las rectas de nivel ............................................................................................. 49
4.2 MÉTODO ANALÍTICO: ........................................................................................................... 54
4.2.1. Método de los vértices ........................................................................................................ 54
4.2.2. Teorema Fundamental de la Programación Lineal............................................................ 54
5. SOLUCIONES GRÁFICAS A PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIÓN
LINEAL (PROGRAMACIÓN LINEAL)............................................................................................... 55
5.1 PROBLEMA 1: FABRICA DE AUTOMÓVILES ..................................................................... 55
5.2 PROBLEMA 2: CARPINTERÍA SAC....................................................................................... 57
5.3 PROBLEMA 3: EMBOTELLADORA HUAYTAPALLANA .................................................. 59
5.4 PROBLEMA 4: EBANISTA ...................................................................................................... 61
5.5 PROBLEMA 5: .......................................................................................................................... 63
5.6 PROBLEMA 6: MANUFACTURA ........................................................................................... 64
5.7 PROBLEMA 7: PUBLICISTA.................................................................................................. 65
5.8 PROBLEMA 8: STAND DE BEBIDAS.................................................................................... 68
5.9 PROBLEMA 9: FLOTA BARRIOS .......................................................................................... 69
5.10 PROBLEMA 10: PAPELERAS .................................................................................................72
5.11 PROBLEMA 11: JUGADOR ..................................................................................................... 75
______________________________________________________________________________ 6

5.12 PROBLEMA: VIVA CAR INC .................................................................................................77
5.13 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 80
6. APLICACIÓN DE LINDO A LA DE PROGRAMACIÓN LINEAL ......................................... 85
6.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 85
6.2 LINDO........................................................................................................................................ 85
6.2.1. Características ................................................................................................................... 86
6.2.2. Obtener LINDO .................................................................................................................. 86
6.2.3. Instalando el software ........................................................................................................ 87
6.3 INGRESANDO UN MODELO MATEMÁTICO EN LINDO................................................................... 88
6.3.1. Abrir una ventana en blanco ............................................................................................. 88
6.3.2. Definir la función objetivo y variables ............................................................................... 89
6.3.3. Determinar las restricciones .............................................................................................. 90
6.3.4. Resolver el modelo.............................................................................................................. 91
6.3.5. Interpretar los resultados ................................................................................................... 92
6.4 SINTAXIS DEL MODELO LINDO................................................................................................... 93
6.4.1. Sintaxis de la función objetivo............................................................................................ 93
6.4.2. Nombre de las variables ..................................................................................................... 93
6.4.3. Nombre de las restricciones ............................................................................................... 93
6.4.4. Operadores reconocidos..................................................................................................... 94
6.4.5. Orden de precedencia......................................................................................................... 94
6.4.6. Agregar un comentario....................................................................................................... 94
6.4.7. Modelo splitting lines ......................................................................................................... 94
6.4.8. Sensitividad......................................................................................................................... 95
6.4.9. Sintaxis del lado derecho.................................................................................................... 95
6.4.10. Sintaxis del lado izquierdo.................................................................................................. 95
6.5 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DESARROLLADOS CON LINDO ........................................ 96
6.5.1. Ejemplo 1............................................................................................................................ 96
6.5.2. Ejemplo 2............................................................................................................................ 97
7. LINGO............................................................................................................................................... 99
7.1 CARACTERÍSTICAS ...................................................................................................................... 99
7.2 ¿QUÉ ES LINGO?...................................................................................................................... 100
7.3 LOGRANDO EL INICIO ............................................................................................................... 100
7.3.1. Instalación de LINGO ...................................................................................................... 100
7.3.2. Utilizando LINGO en Windows ........................................................................................ 102
7.3.3. Desarrollo del modelo matemático .................................................................................. 103
7.3.4. Resolviendo el problema .................................................................................................. 106
7.3.5. Estado de la solución........................................................................................................ 108
7.3.6. Reporte de solución .......................................................................................................... 109
7.3.7. Guardando el modelo ....................................................................................................... 109
7.4 EXAMINANDO EL REPORTE DE SOLUCIÓN .................................................................................. 110
7.4.1. Introducción ..................................................................................................................... 110
7.4.2. Costo reducido (reduced cost).......................................................................................... 110
7.4.3. Slack or surplus ................................................................................................................ 111
7.4.4. Precio dual (Dual Price) .................................................................................................. 111
7.5 EJERCICIOS DESARROLLADOS CON LINGO. .............................................................................. 112
7.5.1. Ejemplo 1.......................................................................................................................... 112
7.5.2. Ejemplo 2.......................................................................................................................... 114
8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................................... 116

______________________________________________________________________________ 7

PROGRAMACIÓN LINEAL CON APLICACIONES COMPUTACIONALES
DE LINDO Y LINGO

1. SABERES PREVIOS

Antes de resolver un problema de programación lineal debes recordar y conocer:

1.1 PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está caracterizado por:

• Dos rectas que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.
• En cada recta está representado el conjunto IR.
• Por convención, un recta es horizontal (EJE DE ABSCISAS) y la otra es
vertical (EJE DE ORDENADAS).
• Estos ejes dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los
cuales se ordenan en sentido anti horario.
• Se llama PAR ORDENADO porque no es lo mismo (a;b) que (b;a). Un par
ordenado se representa por un punto en el plano cartesiano.

y

Eje de
Ordenadas
II y (x;y) I

x
0 x
Eje de
Abscisas

III IV
Plano
Cartesiano

Los signos de los pares ordenados en cada cuadrante, son:
I II III IV
(-x; +y) (-x; -y) (+x; -y)
(+x; +y)

______________________________________________________________________________ 8

1.2 UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO

Recuerda y grafica en el plano los siguientes puntos e indica que figura determinan al
unirlo con segmentos de recta.
1. M (0;0) P (1;1) Q (2;2)
2. R (0;0) S (0;5) T (5;0)
3. A (0;3) B (0;-3) C (-3;0) D (3;0)
4. E (5;5) F (-5;-5) G (3;3) H (-3;-3)
5. I (-3;3) S (3;3) K (-5;-1) L (5;-1)
6. A (-4;4) B (0;4) C (4;4) D (0;0)

1.3 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES

Se denomina así cuando todas las ecuaciones que la conforman son de primer grado.

1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES

INCOMPATIBLES
No tienen solución

Sistema de
Ecuaciones DETERMINADOS
Lineales La solución es única
COMPATIBLES
Tienen solución
INDETERMINADOS
Tienen infinitas soluciones

______________________________________________________________________________ 9

1.5 CRITERIOS O MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA
LINEAL

Para resolver un sistema lineal se puede utilizar los siguientes criterios o métodos.

EJEMPLO:

Resolver el siguiente sistema por cada uno de los criterios o métodos:

6 − 5 = −9 … … (1)
4 + 3 = 13 … … (2)

1.5.1. Criterio de sustitución

Consiste en despejar a una de las incógnitas en función de la otra y a partir de esta
relación se constituye en la otra ecuación obteniéndose con una sola incógnita.
Luego el valor obtenido se remplaza en cualquiera de las ecuaciones y se deduce
la incógnita que falta.

Ejemplo:

6 − 5 = −9 … … (1)
4 + 3 = 13 … … (2)

Despejando “y” en (1):

6x – 5y = -9

- 5y = -9 – 6x

−9 − 6
=
−5

−9 − 6
Reemplazando “y” en (2)

4 +3 = 13
−5

27 18
4 − − = 13
−5 −5
4 27 18 13
+ + =
1 5 5 1

______________________________________________________________________________ 10

m.c.m. (5)

20x + 18x = 65 – 27

38
38x = 38

=
38

X=1

Hallando “y”:

−9 − 6(1)
=
−5

−9 − 6 −15
= =
−5 −5

y=3

C.S. { (1;3) }

1.5.2. Criterio de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita de las ecuaciones planteadas para luego
igualar los resultados, obteniéndose una ecuación con una sola incógnita. El valor
encontrado se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema y así se
determina la otra, o en todo caso se reemplaza en cualquiera de los valores despejados.

Ejemplo:

6 − 5 = −9 … … (1)
4 + 3 = 13 … … (2)

Despejando “y” en (1):

6x – 5y = -9

- 5y = -9 – 6x

______________________________________________________________________________ 11

−9 − 6
=
−5

Despejando “y” en (2)

4x + 3y = 13

3y = 13 – 4x

13 − 4
=
3

Igualando valores de “y”

−9 − 6 13 − 4
=
−5 3

3 ( -9 - 6x) = - 5 (13 – 4x)

-27 – 18x = -65 + 20x

-27 + 65 = 20x + 18x

38
38 = 38x

=
38

x=1

Reemplazando en “y”

−9 − 6(1)
=
−5

−9 − 6 −15
= =
−5 −5

y = 3. C.S. { (1; 3) }

______________________________________________________________________________ 12

1.5.3. Criterio de reducción o de sumas y restas

El objetivo en estos casos es lograr que la incógnita a eliminar tenga el mismo
coeficiente (o del mismo valor pero de signos contrarios), para ello se multiplica a
cada ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita en la otra; para luego
sumar o restar según convenga.

Ejemplo:

6 − 5 = −9 … … (1)
4 + 3 = 13 … … (2)

* Multiplicando a (1) por (3)

6 − 5 = −9 (3)
* Multiplicando a (2) por (5)

4 + 3 = 13 (5)

18 − 15 = −27
(+)
20 + 15 = 65

38 = 38

38
=
38

x=1

Reemplazando “x = 1” en (1):

6x – 5y = -9

6(1) – 5y = -9

−5 = −9 − 6

−9 − 6
=
−5

−15
=
−5

y=3

C.S. { (1; 3) }

______________________________________________________________________________ 13

1.5.4. Criterio de las gráficas

Se sugiere emplearlo específicamente para sistemas que presenten dos ecuaciones con
dos incógnitas; el procedimiento consiste en graficar las rectas representativas de las
funciones de primer grado en un sistema de ejes cartesianos. Donde las coordenadas del
punto de intersección de las rectas constituyen la solución del sistema.

Ejemplo:

Resuélvase gráficamente el sistema:

x + 2y = 4

3x - 2y = -12

Resolución:

La gráfica de cada recta aparece en la figura (1) en ésta se ve que las rectas se cortan
en el punto (-2;3). Como puede verificarse por criterio de la reducción, está en la
exacta; o sea x = 2, y = 3 y el par ordenado es (-2;3).

Y

(-2 ; 3) 3

3x - 2y = -12 x + 2y=4

X
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

FIGURA 1

Conviene hacer mención al siguiente caso:

x + 2y = 4
x + 2y = 8
______________________________________________________________________________ 14

Sus gráficas no se cortan, (fig. 2). El hecho de que no haya puntos de intersección
puede verse, evidentemente, por las mismas ecuaciones, puesto que no puede existir un
par de números tales que el primero más el doble del segundo sea igual a 4, y al mismo
tiempo, a 8.

Y

x + 2y = 8

X

x + 2y = 4

FIGURA 2

Así, como ya se observó anteriormente se llaman incompatibles. Ahora, analicemos el
caso en el que las gráficas sean dos rectas, tales como:

x + 2y = 4
3x + 6y= 12

Coinciden, todo par de valores (x,y) que satisface a una de las ecuaciones, satisface
también la otra (ver figura 3).

______________________________________________________________________________ 15

Y

x + 2y = 4
2 3x + 6y = 12

1

X
1 2 3 4

FIGURA 3

Dos ecuaciones de este tipo tienen un número infinito de soluciones y se dice que son
dependientes.

Ejemplo:

6 − 5 = −9 … … (1)
4 + 3 = 13 … … (2)

Hallando puntos en (1):

6x – 5y = -9

Cuando: x = 0

6x – 5y = -9

-5y = -9

−9
=
−5

y = 1,8

Cuando: y = 0
6x – 5y = -9

6x = -9

______________________________________________________________________________ 16

−9
=
6

y = - 1,5

( ; , )
(− , ; )

Hallando puntos en (2):

4x + 3y = 13

Cuando: x = 0
4x + 3y = 13

3y = 13

13
=
3

y = 4,333

Cuando: y = 0

4x + 3y = 13

4x = 13

13
=
4

y = 3,25

( ; , )
( , ; )

______________________________________________________________________________ 17

GRAFICANDO:

L2 Y

L1
4,3

3 (1 ; 3)

1,8

-1,5 3,25
X
1

C.S. { (1 ; 3) }

Como podemos observar por cada uno de los criterios o métodos se obtiene la
misma solución.

1.5.5. Ejercicios propuestos

Ahora pon en práctica lo aprendido y resuelve:

2 + 3 = 12
1. El siguiente sistema por c/u los criterios o métodos.

− =1

2. En el camino de ida resuelve los siguientes sistemas determinando el conjunto
solución por el método gráfico.

+ = 20
1)
− = 10

4 – = 22
2)
5 + 2 = 34

2 + 3 = 12
3)
− =1

______________________________________________________________________________ 18

3
+ =2
4) 5 4

− 5 = 25

3 + = 20
5)
2 − = 10

4 + 5 = 13
6)
3 + = −4

6 − 5 = −9
7)
4 + 3 = 13

3 −2 =4
8)
4 −3 =5

3 ( + 2) = 2
9)
2 ( + 5) = 7

3
⎧ + = 11
⎪2
10)
⎨
⎪ + =7
⎩ 2

1.6 PENDIENTE DE UNA RECTA

Sean: (x1; y1) y (x2; y2) dos puntos diferentes sobre una recta no vertical, la pendiente
de esta recta es:

−
= =
−

Mediante la definición de pendientes podemos medir la indicación de una recta L,
conforme nos movemos a lo largo de ella.

______________________________________________________________________________ 19

y y
(x2 ; y 2)
L2
y2 ∆y = Cambio vertical
∆y = y2 - y1
∆y
L1 (x1 ; y 1) ∆x = Cambio horizontal
y1
∆x = x2 - x1
∆x
∆y
x x ∴ m=
x1 x2 ∆x
L2 está más inclinada que L 1

Ejemplo:
Determinamos la pendiente de la recta que pasa por (2; 5) y (5; 11)
A partir de los datos elaboramos las siguientes igualdades:
(x1; y1) = (2; 5) y (x 2 ; y2) = (5; 11)

En la figura, podemos elegir cualquier punto como (x 1; y1).

Haciendo: (x1; y1) = (2; 5) y (x 2 ; y2) = (5; 11), aplicamos la fórmula de la

11 − 5 6
= = =2
pendiente:

5−2 3

La razón 2 significa que por cada unidad de aumento en x hay un aumento de 2
unidades en y. Debido a este aumento, la recta se eleva de izquierda a derecha.

y
(5 ; 11)
11
Cambio
=6
vertical
(2 ; 5)
5
Cambio
horizontal = 3

x
2 5

______________________________________________________________________________ 20

1.6.1. TIPOS DE PENDIENTE

La inclinación de una recta L, la determinamos recorriéndola de izquierda a derecha,
por lo tanto, la pendiente de la recta nos da una información de la inclinación que debe
ser interpretada en ese sentido. Un análisis de la pendiente nos permite concluir que
existen cuatro casos específicos.

a) m = (+) b) m = (-) c) m = 0 d) m = no definida

y y y y
L L

L

L
x x x x

1.7 Ecuación General de la Recta

El análisis que nos ha precedido permite demostrar que toda línea recta, en el plano
cartesiano, es la gráfica de una ecuación de la forma:

Ax + By + C = 0

Donde A, B, C son constantes, y A y B no son nulas a la vez.

Ejemplo:

= − + 3.
Determinemos la ecuación general de la recta cuya forma pendiente ordenada al

+ −3=0
origen es:

Transponiendo todos los términos al primer miembro:

Multiplicando por 5: 4x + 5y – 15 = 0
Esta es la ecuación general con: A = 4; B = 5 y C = -15

Observaciones:

1ra. Toda recta vertical que interseca al eje “x” en a, se representa por la ecuación: x =
a.

2da. Toda recta horizontal que interseca al eje “y” en b, se representa por la ecuación:
y = b.
______________________________________________________________________________ 21

y y
L
Recta
horizontal
y=b L
Recta
vertical b
x=a

x x
a

1.8 ECUACIÓN DE LA RECTA

1.8.1. Forma Punto – Pendiente

Si conocemos un punto (x1; y1) y la pendiente “m” de una recta, la ecuación, cuya
gráfica sea esa recta, es:

= → − = ( − )

Ejemplo: Determinemos la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 9) y cuya
pendiente es -2.

y

L

9 m = -2

x
5

Haciendo (x1; y1) = (5; 9); y reconociendo que m = -2; tenemos:

y – 9 = -2 (x – 5)
y – 9 = -2x + 10
∴ y = -2x + 19

______________________________________________________________________________ 22

1.8.2. Forma Pendiente – Ordenada al origen

Si conocemos el punto (0; b) donde la recta L interseca al eje “y”, a b se llama
“Intersección y”, y la pendiente “m” de ésta, su ecuación está dada por:

y – b = m (x – 0)  y = mx + b

Ejemplo: Determinemos la pendiente e intersección y de la recta cuya ecuación es: y
= 5(4 – 3x).

y

(0; 20) ; intersección
con el eje y

intersección
y = 20
m = -15

x
0

Efectuando operaciones en la ecuación de la recta tendremos:
y = 20 – 15x  y = -15x + 20
Y con comparación reconocemos: m = -15 ∧ b = 20

1.9 Ecuación Simétrica de la Recta

Si conocemos los puntos (0; b) y (a; 0) donde la recta L interseca al eje “y” y “x”
respectivamente, entonces la ecuación de ésta viene dada por:

+ =1

Ejemplo: Calculamos las intersecciones x e y de la recta L, cuya ecuación es: y = 3x +
5.

______________________________________________________________________________ 23

y

L
(0 ; 5) y = 3x + 5

b=5

(-5/3 ; 0)
x
a = -5/3

Despejando se tienen: -3x + y = 5

Dividiendo entre 5: + =1

Transformando: + =1

Finalmente, por comparación se tiene: a = -5/3 ∧ b = 5.

______________________________________________________________________________ 24

1.9.1. Ejercicios

En el camino de vuelta ahora:

+ =6
A) Relaciona cada sistema con el gráfico correcto.

)
− =0

+ =0
)
− = −6

+ = −6
)
− =0

+ =0
)
− =6

1 y 2 y

6 6

(3;3)
(-3;3)

x x
-6 0 0 6

3 y 4 y

-6
0 x 6
x
0
(-3; -3)
(3; -3)
-6

-6

______________________________________________________________________________ 25

Trabajando en Figura (1)

(0; 6)
Ubicando puntos en la recta:

∶
(−6; 0)

−
Hallando pendiente:

=
−

6−0 6
= =
0 − −6 6
m=1

Hallando la ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – 6 = 1 (x – 0)

y–6=x–0

x – y = - 6 …….. Ec. (1)

(−3 ; 3 )
Ubicando puntos en la recta:

∶
(0; 0)

−
Hallando pendiente:

=
−

3−0 3
= =
−3 − 0 −3
m=-1

Hallando la ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – 3 = -1 (x – (-3))

y–3=-x –3

x+y=-3+3

x+y=0

______________________________________________________________________________ 26

+ =0
Entonces el sistema es:

− = −6

Respuesta (C)

A hora resuelve los demás ejercicios y encuentra la relación correcta.

B) En los siguientes gráficos determina a + b; siendo P (a; b) el punto de intersección

de las rectas L1 y L2.
y

L1

4

P(a;b)

x
2 4

(0 ; 4)
L2

=
(2; 0)

4−0 4
= =
0−2 −2

m = -2

y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = - 2 (x – 0)
y–4=-2x

(0 ; 0)
=
2x + y = 4 ……. Ec. (1)

(4; 4)

0− 4 −4
= =
0− 4 −4

m=1

______________________________________________________________________________ 27

y – y1 = m (x – x1)
y – 0 = 1 (x – 0)
y–0= x

x - y = 0 ……. Ec. (2)

 2x + y = 4

x–y=0

3x = 4

x = 1,3

 x–y=0
1,3 – y = 0
1,3 = y

P (1,3 ; 1,3)

∴ “a+b“

1,3 + 1,3

 a + b = 2,6

______________________________________________________________________________ 28

C) Ahora tú realiza los siguientes ejercicios:

y
a)

P(a;b) 1

3 x
-1
L2

-3

L1

y
b)
L2

3
L1

P(a;b)
x
-2 -1
-1

c) y
L1

4 L2

P(a;b)
2

x
-3 3

______________________________________________________________________________ 29

2. SISTEMA DE INECUACIONES

Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones que se verifican para un
determinado conjunto de soluciones comunes.

Para indicar que varias inecuaciones forman un sistema, se limita el conjunto de todas

+ < + <
ellas por una llave. El sistema puede estar constituido de una o más incógnitas.

) )
+ > + >

Es necesario reconocer que las inecuaciones que forman el sistema no son
necesariamente de la misma naturaleza, es decir, pueden ser todas o parte de ellas de la
forma: < , >, ≥ , ≤ .
y

Ejemplos gráficos: 2x - 3y - 6 < 0

1) 2x – 3y – 6 < 0

Nótese que en este gráfico la recta 2x – x
(3 ; 0)
3y – 6 = 0; esta punteada es decir, los
puntos que ella contiene no pertenecen a
(0 ; -2)
la zona sombreada.

y

2x - 3y - 6 ≤ 0
2) 2x – 3y -6 ≤ 0

En este caso los puntos de la recta 2x –
2y – 6 = 0 ; si pertenecen a la zona
x
sombreada, aquí el trazo de la recta si es (3 ; 0)
continuo.
(0 ; -2)

______________________________________________________________________________ 30

2.1 REGLA PRÁCTICA PARA GRAFICAR UNA INECUACIÓN
(Planos y semiplanos)

• Graficar la COTA, es decir la ecuación: ax + by = 0 ; que es considerada como
Frontera, y divide al plano en dos regiones a cada lado de la recta, a estas
regiones se les llama semiplanos abierto.

• Sombrear la región que satisfaga a la relación R, para ello se busca un punto (xo ;
yo) cualesquiera del plano R x R pero que no pertenezca a la Frontera y se
reemplaza en la Inecuación.

Ejemplos:

1) 2x – y – 3 > 0
y

2x - y - 3 > 0
x

1º Se representa gráficamente la recta. Despejamos la y para dar valores.

2x – y – 3 = 0

y = 2x – 3

x 0 3
y -3 3

2º Elegimos un punto y vemos si satisface la inecuación o no.

Si satisface la inecuación la región solución de la inecuación es esa. Si no satisface la
inecuación la región solución es la contraria.

Tomamos un punto por ejemplo el punto (0,0) y lo sustituimos en la inecuación.

2x – y – 3 > 0

2 . (0) – 0 – 3 > 0  -3 > 0 … (F) falso

No satisface la solución, la región solución es la contraria.

______________________________________________________________________________ 31

Si tomamos el punto (4,2) y lo sustituimos en la inecuación:
2x – y – 3 > 0
2 . (4) – 2 – 3 > 0  3 > 0
Satisface la solución, la región solución es la zona donde se encuentra el punto (4, 2).

Podemos elegir el punto que queramos, menos aquellos por donde pasa la recta.

2) Y ≤ -1
y

y ≤ -1
x

-1

Representamos la recta y = -1, por ser una función constante no hace falta dar
valores. La zona solución es aquella que cumple la inecuación y ≤ -1.

3) X ≥ 1
y

x ≥ 1
x
1

Representamos x = 1, la zona solución es aquella que cumple x ≥ 1.

En esta actividad puedes ver las zonas solución de estas inecuaciones.

______________________________________________________________________________ 32

EJEMPLO:

− > 4 … … (1)
a) Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

3 + 2 < 3 … … (2)

Resolvemos gráficamente cada una de las inecuaciones de que consta.

La solución será la intersección gráfica de las distintas regiones solución.

• Trabajando en Inecuación (1)
x–y>4
Primero:
x – y = 4  Se vuelve ecuación para hallar la frontera.

Cuando: x = 0
x–y=4
y=-4

Cuando: y = 0
x–y=4

(0; −4)
x=4

(4 ; 0)


Probando puntos en (1)
x–y>4
Para: (0 , 0)
0 > 4  falso no se sombrea
Para: (+6 ; -6)
En: x – y > 4
+6 – (- 6) > 4
+12 > 4  (V) Si se sombrea

______________________________________________________________________________ 33

y L1

x- y> 4
4
x

-4

• Trabajando en Inecuación (2)
3x + 2y < 3
Primero:
La volvemos ecuación para hallar la frontera.

3x + 2y = 3  2y = 3

Cuando: x = 0
2y = 3
y = 3/2

y = 1,5
Cuando: y = 0
3x + 2y = 3
3x = 3

x = 3/3

(0; 1,5)
x=1

(1 ; 0)


Probando puntos en Inecuación (2)
3x + 2y < 3
Para: (0 , 0)
3 (0) + 2(0) < 3
0 < 3  (V)
Verdadero; si se sombrea debajo de la recta.

______________________________________________________________________________ 34

y

1,5
3x + 2y < 3

1 x

La solución del sistema será la zona que cumpla las soluciones de las dos.

y

3x + 2y < 3

x

x-y >4

Conjunto Solución no acotado

≥ 0 … (1)
b) Con más de 2 inecuaciones:

6− −
⎧
⎪ 4− ≥ 0 … (2)
4− ≥ 0 … (3)
⎨ ≥0
⎪
⎩ ≥0
Condiciones de no negatividad.
• * Constante de:
- Karush Kuhn Tucker
- - Lagrange
Nos indican que la solución está en
el primer cuadrante.
Trabajando en Inecuación (1)

Hallando: 6 – x – y = 0

______________________________________________________________________________ 35

Frontera:

Cuando: x = 0

6–y=0

y=6

Cuando: y = 0

6–x=0

(0 ; 6)
x=6

( 6;0 )

Probando puntos para sombrear:

6–x–y≥0

Para: (0 ; 0)

6–0–0≥0

6 ≥ 0  (V) Verdadero, se sombrea “debajo” de la frontera.

Trabajando en Inecuación (2):

4–x≥0

Hallando frontera:

4–x=0

4=x

• Para sombrear en Inecuación (2)

4 – x ≥ 0; multiplicando por (-1) y cambiando de sentido a la desigualdad

-4+x≤0
x≤4
Si x < 4 ó x ≤ 4  se sombrea a la izquierda de la frontera.

______________________________________________________________________________ 36

Trabajando en Inecuación (3):

4–y≥0

Hallando frontera:

4–y=0

4=y

• Para sombrear en Inecuación (3)

4 – y ≥ 0; multiplicando por (-1) y cambiando de sentido a la desigualdad

+4+y≤0
y≤4
Si y < 4 ó y ≤ 4  se sombrea debajo de la frontera.

Y
x=4

6

(0:4) (2;4)
y=4

(4;2)

X
(0;0) (4;0) 6
6-x-y=0

EL CONJUNTO SOLUCIÓN: Es la intersección de las partes sombreadas de cada
una de las inecuaciones, generando un polígono convexo cerrado y un conjunto
acotado.

______________________________________________________________________________ 37

2.2 EJERCICIOS: Aprendemos a graficar inecuaciones paso a paso.

1) Grafica las siguientes inecuaciones:

a) 6x + 3y < 4
b) x - 2y + 8 > 0
c) y ≤ 3x – 1
d) 9x + 3y – 7 ≥ 0
e) 2x + 3y ≤ 6
f) 4y – 3x > 12
g) x ≥ 0
h) y ≥ 0

2 + 4
2) Ahora en sistemas grafica la región definida.

−2 +  4
a)

8 − < −15
+ 4  20
− 0
b)

4 + 3  12
− 2  0
c)

− 2
6 + 7  25
5 − 4  − 48
+ 3 ≥ −2
d)

40 + 10  240
10 + 15  210
5 + 15  150
0 ; 0
e)

______________________________________________________________________________ 38

3) De la región sombreada escribe el:
a) Sistema de inecuaciones que lo describe:

y
L1

5x + 3y = 30
10

2
x
0 6 10
L2
x + 5y = 10

(0 ; 0)
Trabajando en L1:

(6 ; 0)

Hallando pendiente:

− 10 − 0
= =
− 0−6

10 −5
= =
−6 3

5
= −
3

______________________________________________________________________________ 39

Hallando Ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)

y – y1 = -5/3 (x – x1)
y – 10 = -5/3 (x – 0)
y – 10 = -5/3x
3 (y – 10) = -5x
3y – 30 = -5x

5x + 3y = 30 ……. Ec. (1)

(0 ; 2)
Trabajando en L2:

(10 ; 0)
Hallando pendiente:

− 2−0
= =
− 0 − 10

−2 1
= = −
10 5

1
= −
5

Hallando Ecuación de la recta:

y – y1 = m (x – x1)
y – 2 = - 1/5 (x – 0)
y – 2 = - 1/5 x
5 (y – 2) = - x
5y – 10 = - x

x + 5y = 10 ……. Ec. (2)

• Encontrando la Inecuación en L1:

5x + 3y = 30

Despejamos y:

______________________________________________________________________________ 40

30 − 5x
y=
3

Como la parte sombreada está debajo de la recta L1.

30 − 5x
y ≤
3

• Encontrando la Inecuación en L2:

x + 5y = 10

Despejamos y:

10 − x
y=
5

Como la parte sombreada está debajo de la recta L2.

10 − x
y ≤
5

Como la respuesta está en el primer cuadrante tiene la constante de no
negatividad.

≥0
≥0

Por lo tanto el sistema de inecuaciones más indicadas es:

5 + 3 ≤ 30
+ 5 ≤ 10
≥0 ; ≥0

______________________________________________________________________________ 41

b) Determina los sistemas de inecuaciones que definen a cada región:

y
y
b)
a)

5

4

2
2 (-1;1)

x
x 4
-2 4

(-1;-1)

-3

______________________________________________________________________________ 42

3. PROGRAMACIÓN LINEAL

Prácticamente en todo instante y durante toda nuestra vida, estamos evaluando
opciones y tomando decisiones. Desde el simple proceso rutinario de decidir que
ropa ponernos en la mañana al vestirnos o que calle seguir para ir de un punto a otro
de la ciudad, hasta decisiones de mayor trascendencia (al menos para la mayoría de las
personas) tales como contraer matrimonio, invertir en un bien raíz, viajar o adquirir
mayor educación. Este proceso de toma de decisiones que puede parecer muy simple,
es normalmente bastante complicado, por ello surge la programación lineal como un
método o conjunto de métodos de optimización cuya finalidad es maximizar o
minimizar una función lineal con variables llamada función objetivo, sujeta a
restricciones. En otras palabras queremos determinar “la mejor” opción y este proceso
se denomina optimización.

Un problema de programación lineal bidimensional tiene el siguiente formato.

( ) ( ; )= + +
⎧
:
⎪
⎪ + ><
+ >< ⎫
⎪ ⎪
. ⎪
⎨ .
⎪ . ⎬
⎪ + >< ⎪
⎪
⎪ ≥0 ; ≥0 ⎭
⎩
Condiciones de no
negatividad

Donde:

• F(x ; y) = ax + by + c, es llamada función objetivo que es necesario optimizar.
• x e y son llamados variables de decisión.
• a; b; c; ak; bk y ck (k = 1; 2; 3; … ; n) son constantes.

Optimizar una función implica
maximizarlo y/o minimizarlo.

______________________________________________________________________________ 43

3.1 CONCEPTOS

3.1.1. Variables Decisorias

Son cantidades desconocidas que indican los valores numéricos de los actos o
actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo.

3.1.2. Función objetivo

Es la representación matemática de la función a optimizar.

3.1.3. Solución Factible

Es el par ordenado (x0; y0) que verifica a todas y cada una de las restricciones.

3.1.4. Solución Básica

Es aquel por ordenado (x; y) que se encuentra en la intersección de las rectas o en la
intersección con los ejes coordenados.
3.1.5. Conjunto Factible

Es el conjunto formado por todas las soluciones factibles infinitos.

3.1.6. Región Factible

Es la representación del conjunto factible en el plano bidimensional (plano
cartesiano). La región factible puede ser acotada o no acotada.

______________________________________________________________________________ 44

y

Región
factible
acotada

x

(POLÍGONO CONVEXO)

y

Región
factible
no acotada

x

3.1.7. Solución óptima

Es la solución factible (x 0 ; y0) que hace que la función f se optimice cuando x = x 0 ;
y = y0.

3.2 DETERMINACIÓN DE LA REGIÓN FACTIBLE

La región factible incluye los lados y los vértices según lo que indiquen las
desigualdades (en el conjunto de restricciones). Si la región factible es acotada, su
representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual
al número de restricciones.

______________________________________________________________________________ 45

EJEMPLO:

Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3 ≥ y ; 8 ≥ x + y ;
y ≥ x ; x ≥ 0 ; y ≥ 0.

a) Dibujar la región del plano que definen dichas inecuaciones, y calcular los vértices
de la región limitada.
b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x;y) = 6x + 4y alcanza el valor
máximo y calcular dicho valor.

SOLUCIÓN:

a) Se debe dibujar la región factible correspondiente. Para ello vamos a representar las
rectas.
x – y = -3; x + y = 8 ; x – y = 3

La región factible es la determinada por los vértices O, A, B, C y D.

Las coordenadas de los vértices son:

y
x+y=8
x-y=-3
B

A
C

x
0 D
x-y=3

b) Para determinar dónde la función objetivo F(x; y) = 6x + 4y alcanza su máximo,
calculamos los valores que toma en los vértices:

+ 3 ≥ … (1)
⎧
En (1)

⎪8 ≥ + … (2)
≥ − 3 … (3)
⎨ ≥0
⎪
⎩ ≥0

En (1)
x+3=y

______________________________________________________________________________ 46

Cuando: x = 0
0+3=y
y=3

Cuando : y = 0
x+3=0

( 0 ; 3)
x = -3

(−3; 0)

En (2):
8=x+y

Cuando: x = 0 Cuando : y = 0
8=0+y 8=x+0
y=8 x=8

( 0 ; 8)
( 8 ; 0)

En (3):
y=x–3
Cuando: x = 0 Cuando : y = 0
y=0-3 0=x–3
y = -3 x=3

( 0 ; −3)
( 3 ; 0)
De (1) y (2)
x+3=y
x – y = -3
x+y=8
2x = 5

______________________________________________________________________________ 47

x = 2,5

2,5 – y = -3
-y = -3 – 2,5
-y = -5,5
y = 5,5

De (3) y (2)
X–y=3
X+y=8
2x = 11
x = 11/2
x = 5,5

5,5 – y = 3
5,5, - 3 = y
2,5 = y
Y

8

7

6

5
B(2,5 ; 5,5)
4

3 ,3 )
A (0 C(5,5 ; 2,5)
2

1
D(3,0)
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9

F(x; y) = 6x + 4y
A(0 ; 3)  6(0) + 4(3) = 12
B(2,5 ; 5,5)  6(2,5) + 4(5,5) = 37
C(5,5; 2,5)  6(5,5) + 4(2,5) = 43
D(3; 0)  6(3) + 4(0) = 18

______________________________________________________________________________ 48

4. OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN OBJETIVO

4.1 MÉTODO GRÁFICO

4.1.1. Método de las rectas de nivel

Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que con la función objetivo asumen
el mismo valor.

Si la función objetivo es f(x ; y) = ax + bx + c, entonces la ecuación de la recta de
nivel es de la forma ax + by = k, siendo k el que varía y así se obtendrá distintos
valores para la función objetivo. Pero como a y b no varían y ellas determinan la
pendiente de la recta de nivel, entonces las rectas ax + by = k 1 y ax + by = k2 con k1
≠ k2 son paralelas, por eso bastaría trazar una de estas rectas y las demás se obtendrán
por desplazamientos paralelos a ella.

En un problema de programación lineal, los únicos puntos que interesan son los de la
región factible y las únicas rectas de nivel que importan son aquellas que están en
contacto con dicha región. Como el nivel aumenta o disminuye desplazando las rectas,
el máximo o el mínimo de la función objetivo se alcanzará en el último o en el primer
punto de contacto de esas rectas con la región factible.

EJERCICIO

max ( ; )=3 +8
⎧ :
⎪
+ ≤6
⎨ + ≤2
⎪ ≥0
⎩ ≥0

En (1):
x+y≤6
x+y=6

(0 ; 6 )
( 6;0 )

En (2);
x+y≤2
x+y=2

______________________________________________________________________________ 49

(0 ; 2 )
( 2;0)
Y

8
L1
7

6

5

4
L2
3
,2 )
2 A(0

1
B(2,0)
X
C
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Max f(x ;y) = 3x + 8y

(0; 2) En A: 3(0) + 8(2) = 16

(2; 0) En B: 3(2) + 8(0) = 6

(0; 0) En C: 3(0) + 8(0) = 0

∴ Max f(0; 2) = 16

EJERCICIO

min ( ; ) = 40 + 60
⎧ :
⎪
⎪ + ≥2
2
⎨ + ≥3
⎪ +2 ≥4
⎪ ≥0
⎩ ≥0

Graficando fronteras en (1)

+ ≥2

+ =2
2

______________________________________________________________________________ 50

(0 ; 4)
(2; 0)

Cuando: x = 0

=2
2
y=4

Cuando: y = 0

+ =2
2

x=2


+ ≥2
Con (0,0):

0 + 0/2 ≥ 2

0 ≥ 2 (falso)

Se sombrea encima de la recta.

Graficando fronteras en (2):

x+y≥3

x+y=3

(0 ; 3)
(3; 0)

Cuando: x = 0

y=3

Cuando: y = 0

x=3


Con (0,0):

______________________________________________________________________________ 51

x+y≥3

0+0≥3

0 ≥ 3 (falso)

Se sombrea el contrario.

Graficando fronteras en (3):

(0 ; 2)
x + 2y ≥ 4

(4; 0)

Cuando: x = 0

2y = 4

y=2

Cuando: y = 0

x=4


Con (0,0):

x + 2y ≥ 4

0+0≥4

0 ≥ 4 (falso)

Se sombrea encima.

______________________________________________________________________________ 52

Y

L1

L2 A(0,4)
4

3

B(1,2)
2
L3

C(2,1)
1

D(4,0)
X
1 2 3 4 5 6

Min f(x; y) 40x + 60y

A(0; 4)  40(0) + 60(4) = 240

B(1; 2)  40(1) + 60(2) = 160

C(2; 1)  40(2) + 60(1) = 140

D(4; 0)  40(4) + 60(0) = 160

Rpta. Lo mínimo se encuentra en el punto (C)

Ejercicio planteado:

Resuelva el siguiente problema de programación lineal.

= +
⎧
( ; )
:
⎪
⎪
≤5
⎨ ≤5
⎪ 2 − ≥0
⎪
⎩ ≥0 ; ≥0

Resolución:

______________________________________________________________________________ 53

4.2 MÉTODO ANALÍTICO:

4.2.1. Método de los vértices

Cuando se desea optimizar una función objetivo que depende de dos variables se
puede utilizar el siguiente teorema.

4.2.2. Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

En un programa lineal con dos variables, si existe solución única que optimice la
función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo o vértice del polígono
convexo (región factible acotada), nunca en el interior de dicha región.

Corolario:

Si la función objetivo se optimiza en dos vértices consecutivos del polígono convexo,
entonces será solución óptima cualquier punto del segmento que los une a tales
vértices.

Nota: Cuando la región factible no es acotada, la función objetivo no necesariamente
se puede optimizar y si lo hace la solución óptima se encuentra en uno de los vértices
de la región.

______________________________________________________________________________ 54

5. SOLUCIONES GRÁFICAS A PROBLEMAS DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIÓN LINEAL (PROGRAMACIÓN LINEAL)

5.1 PROBLEMA 1: FABRICA DE AUTOMÓVILES

Una fábrica de carros hace autos y camioncitos, la fábrica está dividida en dos
secciones: la sección 1 ejecuta la operación de ensamblado básico y debe trabajar 5 días
– hombre; por cada camioncito y solo 2 días – hombre por cada automóvil.

La sección 2 ejecuta la operación final y debe trabajar 3 días - hombre para cada
automóvil o camioncito.

Debido a limitaciones de hombres y maquinarias la sección 1 está limitado a 180 días –
hombre por semana y la sección 2 tienen 135 días – hombre por semana.

Si el fabricante tiene una ganancia de US $ 300.00 por camioncito y de US $ 200.00 por
cada automóvil, ¿Cuánto de cada uno debe producir para maximizar su ganancia?

SOLUCIÓN:

Asumamos:

x  número de camioncito producidos por semana

y  número de automóviles producido por semana.

5x + 2y ≤ 180
3x + 3y ≤ 135

El objetivo es maximizar la función lineal.

Max. f(x; y) = 300 x + 200 y

Donde: x ≥ 0
y≥ 0

• Hallando rectas:

5x + 2y ≤ 180
x=0 y=0
y = 90 x = 36

3x + 3y ≤ 135
x=0 y=0
y = 45 x = 45

______________________________________________________________________________ 55

Y

90

80

70

60

50
A(0,45)

40

30

20 B(30,15)

10

C(36,0)

10 20 30 40
X

( ; ) = 300 + 200
El problema matemático:

⎧
:
⎪
5 + 2 ≤ 180
⎨ 3 + 3 ≤ 135
⎪ ≥0
⎩ ≥0

Max f(x; y) = 300 x + 200 y
A  300 (0) + 200 (45) = 9000
B  300 (30) + 200 (15) = 12000
C  300 (36) + 200 (0) = 10800
Solución:
x = 30 Camioncitos
y = 15 Automóviles

______________________________________________________________________________ 56

5.2 PROBLEMA 2: CARPINTERÍA SAC

Carpintería SAC fabrica escritorios. El modelo estándar requiere 2 horas de cortado y 1
hora de acabado. El modelo deluxe requiere 1 hora de cortado y 2 horas de acabado.
El cortado tiene 104 horas de tiempo disponible para este trabajo por mes, mientras que
el acabado tiene 76 horas disponibles.
El modelo estándar da una ganancia de US$ 6.00 por unidad mientras que el modelo
deluxe da una ganancia de US$ 11.00 por unidad.
La compañía por supuesto desea la máxima ganancia. Asumiendo que se pueden vender
cualquiera, cuantos de cada uno deben hacerse.

SOLUCIÓN:

x  estándar
y  deluxe

La máxima ganancia:

≥ 0
Max f(x; y) = 6x + 11y

≥0
No negatividad
Condición de KKLG
Karush Khun Tucker y Lagrange
El acabado tiene 76 horas disponibles
• Modelo estándar  1 hora de acabado
• Modelo deluxe  2 horas de acabado
∴ 1x + 2y ≤ 76

El cortado tiene 104 horas disponibles
• Modelo estándar  2 hora de acabado
• Modelo deluxe  1 horas de acabado
∴ 2X + 1 Y ≤ 104

______________________________________________________________________________ 57

Y

100

90

80

70

60

50

40 3 8)
A (0 ,
30

20
B(44,16)
10

C
(5
2,
)0
X
10 20 30 40 50 60 70 80 90

. ( ; ) = 6 + 11
El prob.

⎧ :
⎪
1 + 2 ≤ 76
⎨ 2 + 1 ≤ 104
⎪ ≥0
⎩ ≥0

Hallando rectas:

1x + 2y ≤ 76
x=0 y=0
y = 38 x =76

2x + 1y ≤ 104
x=0 y=0
y = 104 x = 52

Max f(x; y) = 6x + 11y

A(0, 38)  6(0) + 11(38) = 418
B(44, 16)  6(44) + 11(16) = 440
C(52, 0)  6(52) + 11(0) = 312

X = 44 estándar
Y = 16 deluxe

______________________________________________________________________________ 58

5.3 PROBLEMA 3: EMBOTELLADORA HUAYTAPALLANA

La embotelladora Huaytapallana desea embotellar 2 diferentes bebidas. Le toma 2 horas
embotellar la bebida A y 1 hora poner la etiqueta.
Le toma 3 horas embotellar la bebida B y 4 horas etiquetarla.
La embotelladora Huaytapallana hace US$ 10 de ganancia con la bebida A y US$ 20.00
con la bebida B.
Dado que el departamento de embotellado tiene 20 horas disponible y el departamento
de etiquetado 15 horas disponibles. Halle usted cuanta bebida A y B debe empacar para
maximizar su ganancia.

SOLUCIÓN:

Sea x número de bebida A
y número de bebida B

≥ 0
≥0
Max. f(x; y) = 10x + 20y

No negatividad
KKLG ( Karush Khun Tucker y Lagrange)

Embotellar:
2x + 3y ≤ 20

La bebida A le toma 2 horas
La bebida B le toma 3 horas

Etiquetar:

1x + 4y ≤ 15

La bebida A le toma 1 horas
La bebida B le toma 4 horas

. ( ; ) = 10 + 20
Matemáticamente:

⎧
:
⎪
2 + 3 ≤ 20
⎨ 1 + 4 ≤ 15
⎪ ≥0
⎩ ≥0

______________________________________________________________________________ 59

Y Método gráfico: Función Objetivo

10x + 20y = 200

10 x=0 x = 20
y = 10 y=0
9

8

7

6

5

4 B(3.75,0)
3

2 C(7,2)

1 D(1
0,0 )
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hallando rectas:
2x + 3y = 20

x=0 x = 10

y = 6.66 y=0

1x + 4y = 15

x=0 x = 15

y = 3,75 y=0

Max f(x; y) = 10x + 20y

0 (0; 0)  10 (0) + 20 (0) = 0
B(0, 3.75)  10 (0) + 20 (3.75) = 75
C(7 ; 2)  10 (7) + 20 (2) = 110
D(10 ; 0)  10 (10) + 20 (0) = 100

X = 7 bebida A
Y = 2 bebida B

______________________________________________________________________________ 60

5.4 PROBLEMA 4: EBANISTA

Un ebanista tiene 12 unidades de madera e intenta construir dos diferentes clases de
estantes en 36 horas. El modelo I requiere 3 unidades de madera y 6 horas de labor,
mientras que el modelo II requiere 2 unidades de madera y 8 horas. Los precios de venta
de los modelos son US$ 150 y US$ 90 respectivamente.
¿Cuántos estantes de cada modelo debe hacer el ebanista con el fin de maximizar sus
ganancias?. Construya un modelo para describir la situación y resuelva gráficamente
una solución óptima.

SOLUCIÓN:

Sean : x estante modelo I
y estante modelo II

La función objetivo será:

Max f(x; y) = 150x + 90y

Madera Labor (horas)

Modelo I 3 6
Modelo II 2 8

Total 12 36

3x + 2y ≤ 12 …… (1)

6x + 8y ≤ 36 …… (2)

x, y ≥ 0

Planteamiento matemático:

Max. f(x; y) = 150x + 90y

3 + 2 ≤ 12
s.a.:

6 + 8 ≤ 36
≥0
≥0

______________________________________________________________________________ 61

Y
Método gráfico: Función Objetivo

6
150X + 30 Y = 450
x=0 x=3
y=5 y=0
5

5 )
4.
0,
B(
4

3 C(2,3)

2

1

D(4,0)
X
A(0,0) 1 2 3 4 5 6

Graficando rectas:
3x + 2y = 12

x=0 x=4

y=6 y=0

6x + 8y = 36

x=0 x=6

y = 4,5 y=0

Max f(x; y) = 150x + 90y

A (0; 0)  150 (0) + 90 (0) = 0
B (0; 4.5)  150 (0) + 90 (4.5) = 405
C (2; 3)  150 (2) + 90 (3) = 570
D (4; 0)  150 (4) + 90 (0) = 600

______________________________________________________________________________ 62

5.5 PROBLEMA 5:

Resuelva el siguiente problema de programación lineal.

2 + ≤ 104
Maximice 6 L1 + 11 L2

+ 2 ≤ 76
; ≥ 0
Sujeto a:

SOLUCIÓN: 2 L1 + L2 ≤ 104
L1 = 0 L1 = 52
L2 = 104 L2 = 0

L1 + 2L2 ≤ 76
L1 = 0 L1 = 76
L2 = 38 L2 = 0
L2

110

100

90

80

70

60

50

40 B(0,38)

30

20
C(44,16)

10

D(52,0)
L1
A(0,0) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Max : 6 L1 + 11 L2
Sol.
A (0, 0)  6 (0) + 11 (0) = 0
B (0, 38)  6 (0) + 11 (38) = 418
C (44, 16)  6 (44) + 11 (16) = 440
D (52, 0)  6 (52) + 11 (0) = 312
L1 = 44
L2 = 16

______________________________________________________________________________ 63

5.6 PROBLEMA 6: MANUFACTURA

En un proceso de manufactura, el producto final tiene un requerimiento que debe pesar
exactamente 150 kilos. Las dos materias primas usadas son A con un costo de US $ 4
por unidad y B con un costo de US $ 8 por unidad.
Al menos 14 unidades de B y no más que 20 unidades de A deben ser usadas.

Cada unidad de A pesa 5Kg, y cada unidad de B pesa 10 Kg.

¿Cuánto de cada tipo de materia prima debe usarse para cada unidad para minimizar el
costo?

SOLUCIÓN:

La función objetivo es:
X para materia prima A
Y para materia prima B

MIN f(x; y) = 4x + 8y

5x + 10y = 150
y ≥ 14
x ≤ 20

Hallando fronteras:

5x + 10y = 150

x=0 x = 30

y = 15 y=0

______________________________________________________________________________ 64

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