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ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
FORMACIÓN POR COMPETENCIAS
Transformada inversa
de Laplace
Objetivos
 Calcular la transformada inversa de Laplace.
 Calcular la Transformada inversa de Laplace
mediante reducción de fracciones parciales.
 Identificar la función escalón unitario o de
Heaviside.
 Expresar una función 𝒇 en términos de la
función escalón.
 Calcular la transformada de Laplace de la
función escalón unitario.
 Aplicar los métodos estudiados a diferentes
problemas aplicativos del contexto real.
S9. transformada inversa-de_laplace
Definición
Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 , entonces decimos que 𝒇(𝒕) es la
transformada inversa de Laplace de 𝑭 𝒔 y se denota
así:
ℒ−𝟏
𝑭 𝒔 𝒕 = 𝒇(𝒕)
Linealidad de la transformada inversa
Suponga que ℒ−𝟏
𝑭 𝒔 (𝒕) y ℒ−𝟏
𝑮 𝒔 (𝒕) existen y
son continuas en 𝟎; ∞ además 𝒂 y 𝒃 constantes,
entonces:
𝓛−𝟏 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔 (𝒕) = 𝒂𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) + 𝒃𝓛−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕)
Breve tabla de la Transformada inversa de Laplace
𝑭 𝒔 ℒ−𝟏
𝑭(𝒔) (𝒕)
𝟏
𝒔
ℒ−𝟏
𝟏
𝒔
𝒕 = 𝟏
𝟏
𝒔 − 𝒂
ℒ−𝟏
𝟏
𝒔 − 𝒂
𝒕 = 𝒆 𝒂𝒕
𝒏!
𝒔 𝒏+𝟏
ℒ−𝟏
𝒏!
𝒔 𝒏+𝟏
𝒕 = 𝒕 𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; …
𝒂
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 ℒ−𝟏
𝒂
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕
𝒔
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 ℒ−𝟏
𝒔
𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐
𝒕 = 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕)
𝒂
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
ℒ−𝟏
𝒂
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝒕 = 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕)
𝒔
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
ℒ−𝟏
𝒔
𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐
𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕)
Ejemplo 1
1) Encuentre 𝒇 𝒕
a) 𝓛−𝟏 𝟒𝐬+𝟏𝟐
𝐬 𝟐+𝟖𝐬+𝟏𝟔
Solución:
𝒂) 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐
𝒔 𝟐+𝟖𝒔+𝟏𝟔
= 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐
𝒔+𝟒 𝟐
= 𝓛−𝟏 𝟒 𝒔−𝟒 −𝟒
𝒔+𝟒 𝟐
= 𝟒𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟒
− 𝟒𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟒 𝟐
= 𝟒𝒆−𝟒𝒕 − 𝟒𝒕𝒆 𝟒𝒕
= 𝟒𝒆−𝟒𝒕
(𝟏 − 𝒕)
Ejercicios
1) En los siguientes ejercicios encuentre 𝑓 𝑡
a) ℒ−𝟏 𝟏
𝒔+𝟐 𝟑
b) ℒ−𝟏 𝟏
𝒔 𝟐−𝟔𝒔+𝟏𝟎
c) ℒ−𝟏 𝟐𝒔+𝟓
𝒔 𝟐+𝟔𝒔+𝟑𝟒
Solución:
Ejercicios
2) Use la transformada de Laplace para resolver el
problema con valores iniciales:
a) 𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝒆−𝟒𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟐
b) 𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚′ 𝟎 = 𝟏
Solución
Ejercicios
3) Determine:
a) 𝓛−𝟏 𝒍𝒏(𝒔 𝟐 + 𝟏)
b) 𝓛−𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒔)
Solución
S9. transformada inversa-de_laplace
Fracciones Parciales
El uso de fracciones parciales es muy importante en
la búsqueda de transformadas inversas de Laplace.
Se analizará los casos donde el denominador de una
transformada de Laplace F(s) son de la forma
i) 𝐅 𝐬 =
𝟏
(𝒔−𝟏)(𝒔+𝟐)(𝒔+𝟒)
ii) 𝑭 𝒔 =
𝒔+𝟐
𝒔 𝟐(𝒔+𝟑) 𝟑
iii) 𝑭 𝒔 =
𝟑𝒔+𝟏
𝒔 𝟑(𝒔 𝟐+𝟏)
Ejemplo 1
1) Determine ℒ−1
𝐹(𝑠) , donde
a) 𝐹(𝑠) =
7𝑠−1
(𝑠+1)(𝑠+2)(𝑠−3)
b) F s =
𝑠2+9𝑠+2
𝑠−1 2(𝑠+3)
Solución
𝒂) 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 = 𝓛−𝟏
𝟕𝒔 − 𝟏
𝒔 + 𝟏 𝒔 + 𝟐 𝒔 − 𝟑
= 𝓛−𝟏
𝟐
𝒔 + 𝟏
−
𝟑
𝒔 + 𝟐
+
𝟏
𝒔 − 𝟑
= 𝓛−𝟏
𝟐
𝒔 + 𝟏
− 𝓛−𝟏
𝟑
𝒔 + 𝟐
+ 𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 − 𝟑
= 𝟐𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟏
− 𝟑𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 + 𝟐
+ 𝓛−𝟏
𝟏
𝒔 − 𝟑
= 𝟐𝒆−𝒕
− 𝟑𝒆−𝟐𝒕
+ 𝒆 𝟑𝒕
S9. transformada inversa-de_laplace
Definición
Se llama función escalón unitario o de Heaviside, a la
función 𝑯(𝒕) ó 𝒖(𝒕) definida por:
y su gráfica es:
𝒖 𝒕 = 𝑯 𝒕 =
𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟎
𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟎
𝑡
𝑢(𝑡)
Función escalón unitario
La función puede mover su escalón a otra posición,
así 𝑯(𝒕 − 𝒂) denotada por 𝑯 𝒂(𝒕), traslada su escalón
a la posición 𝒕 = 𝒂,
Observación:
1. También podemos usar la notación:
𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝒖 𝒕 − 𝒂 .
1. Una función continua por partes puede ser
expresada en términos de la función escalón
unitario.
𝐻 𝑎(𝑡) = 𝑯 𝒕 − 𝒂 =
𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝒂
𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝒂
Ejemplo 1
La siguiente función:
𝒇 𝒕 =
𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐
−𝟐 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓
𝟏 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟓
Puede expresarse en términos de la función escalón
en la forma siguiente:
𝒇 𝒕 = 𝟑 − 𝟓𝒖 𝒕 − 𝟐 + 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟓)
Ejercicio1
Exprese la siguiente función:
𝒇 𝒕 =
𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐
𝟏 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓
𝒕 𝒔𝒊 𝟓 < 𝒕 < 𝟖
𝒕 𝟐
𝟏𝟎
𝒔𝒊 𝟖 < 𝒕
en términos de la función escalón y grafique la función.
Traslación en 𝒕. (Segundo teorema de
traslación)
Si 𝒂 > 𝟎 y 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 , entonces para 𝒕 ≥ 𝟎:
Observación:
𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒇 𝒕 − 𝒂 𝒔 = 𝒆−𝒂𝒔
𝑭(𝑠)
𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒔 =
𝒆−𝒂𝒔
𝑺
𝓛−𝟏
𝒆−𝒂𝒔
𝑺
(𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝒂)
Ejercicios
1) Halle: 𝓛 𝒖 𝒕 −
𝝅
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝒕
2) Halle: 𝓛−𝟏 𝒆−𝒔
𝒔(𝒔+𝟏)
Solución:
Bibliografía
2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau
Xie
3. Fundamentals of Differential Equations –
Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur
1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado- Dennis G. Zill
4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime
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S9. transformada inversa-de_laplace

  • 1. ÁLGEBRA LINEAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES FORMACIÓN POR COMPETENCIAS Transformada inversa de Laplace
  • 2. Objetivos  Calcular la transformada inversa de Laplace.  Calcular la Transformada inversa de Laplace mediante reducción de fracciones parciales.  Identificar la función escalón unitario o de Heaviside.  Expresar una función 𝒇 en términos de la función escalón.  Calcular la transformada de Laplace de la función escalón unitario.  Aplicar los métodos estudiados a diferentes problemas aplicativos del contexto real.
  • 4. Definición Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 , entonces decimos que 𝒇(𝒕) es la transformada inversa de Laplace de 𝑭 𝒔 y se denota así: ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 𝒕 = 𝒇(𝒕)
  • 5. Linealidad de la transformada inversa Suponga que ℒ−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) y ℒ−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕) existen y son continuas en 𝟎; ∞ además 𝒂 y 𝒃 constantes, entonces: 𝓛−𝟏 𝒂𝑭 𝒔 + 𝒃𝑮 𝒔 (𝒕) = 𝒂𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 (𝒕) + 𝒃𝓛−𝟏 𝑮 𝒔 (𝒕)
  • 6. Breve tabla de la Transformada inversa de Laplace 𝑭 𝒔 ℒ−𝟏 𝑭(𝒔) (𝒕) 𝟏 𝒔 ℒ−𝟏 𝟏 𝒔 𝒕 = 𝟏 𝟏 𝒔 − 𝒂 ℒ−𝟏 𝟏 𝒔 − 𝒂 𝒕 = 𝒆 𝒂𝒕 𝒏! 𝒔 𝒏+𝟏 ℒ−𝟏 𝒏! 𝒔 𝒏+𝟏 𝒕 = 𝒕 𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐; … 𝒂 𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 ℒ−𝟏 𝒂 𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 ℒ−𝟏 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕) 𝒂 𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 ℒ−𝟏 𝒂 𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕) 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 ℒ−𝟏 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕)
  • 7. Ejemplo 1 1) Encuentre 𝒇 𝒕 a) 𝓛−𝟏 𝟒𝐬+𝟏𝟐 𝐬 𝟐+𝟖𝐬+𝟏𝟔 Solución: 𝒂) 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐 𝒔 𝟐+𝟖𝒔+𝟏𝟔 = 𝓛−𝟏 𝟒𝒔+𝟏𝟐 𝒔+𝟒 𝟐 = 𝓛−𝟏 𝟒 𝒔−𝟒 −𝟒 𝒔+𝟒 𝟐 = 𝟒𝓛−𝟏 𝟏 𝒔 + 𝟒 − 𝟒𝓛−𝟏 𝟏 𝒔 + 𝟒 𝟐 = 𝟒𝒆−𝟒𝒕 − 𝟒𝒕𝒆 𝟒𝒕 = 𝟒𝒆−𝟒𝒕 (𝟏 − 𝒕)
  • 8. Ejercicios 1) En los siguientes ejercicios encuentre 𝑓 𝑡 a) ℒ−𝟏 𝟏 𝒔+𝟐 𝟑 b) ℒ−𝟏 𝟏 𝒔 𝟐−𝟔𝒔+𝟏𝟎 c) ℒ−𝟏 𝟐𝒔+𝟓 𝒔 𝟐+𝟔𝒔+𝟑𝟒 Solución:
  • 9. Ejercicios 2) Use la transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales: a) 𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝒆−𝟒𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟐 b) 𝒚′′ − 𝟔𝒚′ + 𝟗𝒚 = 𝒕, 𝒚 𝟎 = 𝟎, 𝒚′ 𝟎 = 𝟏 Solución
  • 10. Ejercicios 3) Determine: a) 𝓛−𝟏 𝒍𝒏(𝒔 𝟐 + 𝟏) b) 𝓛−𝟏 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏(𝒔) Solución
  • 12. Fracciones Parciales El uso de fracciones parciales es muy importante en la búsqueda de transformadas inversas de Laplace. Se analizará los casos donde el denominador de una transformada de Laplace F(s) son de la forma i) 𝐅 𝐬 = 𝟏 (𝒔−𝟏)(𝒔+𝟐)(𝒔+𝟒) ii) 𝑭 𝒔 = 𝒔+𝟐 𝒔 𝟐(𝒔+𝟑) 𝟑 iii) 𝑭 𝒔 = 𝟑𝒔+𝟏 𝒔 𝟑(𝒔 𝟐+𝟏)
  • 13. Ejemplo 1 1) Determine ℒ−1 𝐹(𝑠) , donde a) 𝐹(𝑠) = 7𝑠−1 (𝑠+1)(𝑠+2)(𝑠−3) b) F s = 𝑠2+9𝑠+2 𝑠−1 2(𝑠+3) Solución 𝒂) 𝓛−𝟏 𝑭 𝒔 = 𝓛−𝟏 𝟕𝒔 − 𝟏 𝒔 + 𝟏 𝒔 + 𝟐 𝒔 − 𝟑 = 𝓛−𝟏 𝟐 𝒔 + 𝟏 − 𝟑 𝒔 + 𝟐 + 𝟏 𝒔 − 𝟑 = 𝓛−𝟏 𝟐 𝒔 + 𝟏 − 𝓛−𝟏 𝟑 𝒔 + 𝟐 + 𝓛−𝟏 𝟏 𝒔 − 𝟑 = 𝟐𝓛−𝟏 𝟏 𝒔 + 𝟏 − 𝟑𝓛−𝟏 𝟏 𝒔 + 𝟐 + 𝓛−𝟏 𝟏 𝒔 − 𝟑 = 𝟐𝒆−𝒕 − 𝟑𝒆−𝟐𝒕 + 𝒆 𝟑𝒕
  • 15. Definición Se llama función escalón unitario o de Heaviside, a la función 𝑯(𝒕) ó 𝒖(𝒕) definida por: y su gráfica es: 𝒖 𝒕 = 𝑯 𝒕 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟎 𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟎 𝑡 𝑢(𝑡)
  • 16. Función escalón unitario La función puede mover su escalón a otra posición, así 𝑯(𝒕 − 𝒂) denotada por 𝑯 𝒂(𝒕), traslada su escalón a la posición 𝒕 = 𝒂, Observación: 1. También podemos usar la notación: 𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝒖 𝒕 − 𝒂 . 1. Una función continua por partes puede ser expresada en términos de la función escalón unitario. 𝐻 𝑎(𝑡) = 𝑯 𝒕 − 𝒂 = 𝟎; 𝒔𝒊 𝒕 < 𝒂 𝟏; 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝒂
  • 17. Ejemplo 1 La siguiente función: 𝒇 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐 −𝟐 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓 𝟏 𝒔𝒊 𝒕 ≥ 𝟓 Puede expresarse en términos de la función escalón en la forma siguiente: 𝒇 𝒕 = 𝟑 − 𝟓𝒖 𝒕 − 𝟐 + 𝟑𝒖(𝒕 − 𝟓)
  • 18. Ejercicio1 Exprese la siguiente función: 𝒇 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒊 𝒕 < 𝟐 𝟏 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒕 < 𝟓 𝒕 𝒔𝒊 𝟓 < 𝒕 < 𝟖 𝒕 𝟐 𝟏𝟎 𝒔𝒊 𝟖 < 𝒕 en términos de la función escalón y grafique la función.
  • 19. Traslación en 𝒕. (Segundo teorema de traslación) Si 𝒂 > 𝟎 y 𝓛 𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 , entonces para 𝒕 ≥ 𝟎: Observación: 𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒇 𝒕 − 𝒂 𝒔 = 𝒆−𝒂𝒔 𝑭(𝑠) 𝓛 𝒖 𝒕 − 𝒂 𝒔 = 𝒆−𝒂𝒔 𝑺 𝓛−𝟏 𝒆−𝒂𝒔 𝑺 (𝒕) = 𝒖(𝒕 − 𝒂)
  • 20. Ejercicios 1) Halle: 𝓛 𝒖 𝒕 − 𝝅 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝒕 2) Halle: 𝓛−𝟏 𝒆−𝒔 𝒔(𝒔+𝟏) Solución:
  • 21. Bibliografía 2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau Xie 3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur 1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado- Dennis G. Zill 4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime Escobar A.