El documento describe el concepto de programación paramétrica y cómo analizar cómo cambia la solución óptima cuando varían los parámetros. Explica dos tipos de programación paramétrica y cómo realizar un análisis de variación paramétrica mediante la modificación de la tabla simplex. Proporciona un ejemplo numérico completo para ilustrar el proceso.

1. Profesora:
Leal, Lourdes

2. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÈCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÒN – MATURÌN
Maturín, 13/03/2013

3. PROGRAMACIÒN PARAMÈTRICA
I. Concepto
II. Tipos de Programación Paramétrica
Programación Paramétrica de los coeficientes de la función
objetivo.
Programación Paramétrica de los segundos miembros de las
restricciones
III. Variaciones en los coeficientes de los costes.
IV. Variaciones en los Recursos.

4. I. CONCEPTO
Se refiere al estudio sistemático de los cambios en la solución óptima
cuando cambia el valor de muchos parámetros al mismo tiempo, dentro de
un intervalo.

5. Programación Paramétrica de los coeficientes de la función
objetivo.
Programación Paramétrica de los segundos miembros de
las restricciones
II. Tipos de Programación Paramétrica

6. Consiste en analizar los coeficientes C de la función objetivo de la
siguiente manera:
Max Z = (C + (tC ) )X
Sujeto a
Ax = b
X ≥ 0
III. Variación en los Coeficientes de costes

7. Ejemplo:
Sea Z = C1X1 + C2X2 una función objetivo que representa el
con el parámetro t = (t1, t2) de forma que la función objetivo parametrizada
es:
Z = (C1 - t1)X1 + (C2 + 2t2)X2
Esta función objetivo se tiene como caso particular de la anterior en que
C = (-1,2)
= (-1, 2)

8. Ejemplo:
Función objetivo: Max = (45+ )X1 + (80 + )X2
Sujeta a las siguientes restricciones:
Para el problema original, cuando λ = 0, la solución óptima es X*1= 14, X*2 = 14 y
Z*= $2200. se necesita considerar lo que pasa ahora cuando λ se aumenta o
disminuye.

9. = (-1, 2)
La solución actual permanecerá óptima para -100/3 ≤ λ ≤ 25.
Se observa que:
• λ = 25 , Z = 70 X1 + 105 X2, la cual es paralela a 10 X1 + 15 X2 = 450.
• λ = -100/3, Z = 35/3 X1 + 140/3 X2, la cual es paralela a 5 X1 + 20 X2 = 400.
• λ = -100/3 ambos puntos (24, 14) y (0, 20) son soluciones optimas con Z* = $2800/3.
CB VB B X1 X2 S1 S2
80 + X2 14 0 1 2/25 -1/25
45 + X1 24 1 0 -3/25 4/25
0 Z 2200 + 38 0 0 (25 - )/25 100+ 3 )/25

10. IV. Variación en los Recursos.
En el caso de los recursos, también es posible realizar de forma sencilla un análisis
de variación paramétrica, ya que existen problemas en los cuales, los recursos no son
independientes y puede ocurrir que la variación en el nivel de alguno implique la
variación en los niveles de otros.

11. Procedimientos a seguir para el análisis de la solución:
Paso 0:
Calcular la tabla optima del simplex para t = 0 y añadir a esta una
columna a la derecha de la XB, cuyos elementos son los valores XºB
y Zº.
Paso 1:
Imponer a la tabla modificada la condición de factibilidad
(manteniendo la optimilidad), es decir, que los valores XB (t) sean no
negativos.
Determinar el recorrido del paramétrico para el que la tabla permanezca factible, es decir, determinar
los valores extremos I, S, tales que para I ≤ t ≤ S se mantiene la factibilidad.
Paso 2:
Sustituir t por aquellos valores extremos que sean finitos y aplicar el método del simplex dual a las filas
que pasen a degeneradas (es decir, XB (t) = 0), obteniendo una nueva tabla.
Paso 3:
Repetir los pasos 1 y 2 hasta haber analizado el recorrido paramétrico.

12. Ejemplo:
Max Z = 4 X1 + 7 X2 + 3 X3
Con sus restricciones:
2X1 + X2+ 2X3 ≤ 30 – T
X1 + 2X2+ 2X3 ≤ 45 – 2T
X1, X2, X3 ≥ 0
Tablero óptimo del simplex, para cuando t = 0
CB VB b T X1 X2 X3 S1 S2
4 X1 5 0 1 0 2/3 2/3 -1/3
7 X2 20 -1 0 1 2/3 -1/3 2/3
0 Z 160 -7 0 0 13/3 1/3 10/3

13. Ejemplo:
Se calcula XB y Z a partir de:
Los coeficientes
Objetivos originales
de las variables
básicas optimas
primales
Inversa Primal Optima
Resultado

14. Ejemplo:
Luego imponemos en el tablero anterior la condición de factibilidad, que se tiene para 20 - t 0. De la
primera condición no obtenemos nada y siempre que el valor de t se encuentre entre - < t 20), de aqui se
tiene que la solucion optima sea: X*1 = 5, X*2 = 20 - t, X*3 = 0, S*1 = 0, S*2 = 0 y Z*= 160 - 7t.
Posteriormente sustituimos los valores extremos finitos en el tablero anterior. Si t = 20 la variable X2 pasa
a ser degenerada y utilizamos el método del dual simplex para obtener el tablero que mostramos a
continuación con X2 como variable de salida de la base y S1 como variable de entrada a la base.
CB VB b T X1 X2 X3 S1 S2
4 X1 45 -2 1 2 2 0 1
0 S1 -60 3 0 -3 -2 1 -2
0 Z 180 -8 0 1 5 0 4

15. Ejemplo:
La condición de factibilidad impuesta en el último tablero viene dada por las condiciones 45 - 2t 0 Y -26 + 3t 0 O o lo que es lo mismo
20 t 45/2. En este caso la solución óptima es: X*1 = 45 - 2t, X*2 = 0, X*3= 0, S*1 = -60 + 3t, S*2 = 0 y Z* = 180 - 8t.
Finalmente reemplazamos en el último tablero t = 45/2 que lleva a la variable X1 a degenerada. Aplicamos el dual simplex, pero sin
embargo notamos que no existe pivote, luego el dual es no acotadoy por tanto el problema no tiene solución; así cuando t > 45/2 el
problema es infactible. Este resultado es natural, si observamos la segunda restricción, si t > 45/2 la disponibilidad del segundo recurso se
convierte en negativa, lo que carece de sentido.
Hasta aquí hemos examinado todo el recorrido del parámetro t y los resultados los resumimos en el siguiente cuadro:
Recorrido de t Solucion Optima Valor Optimo
- < t 20
X*1 = 5, X*2 = 20 -
t, X*3 = 0
S*1 = 0, S*2 = 0
Z* = 160 -t
20 t 45/2
X*1 = 45 - 2t, X*2 =
0, X*3 = 0,
S*1 = -60 + 3t, S*2 = 0
Z* = 180 - 8t
t > 45/2 Infactible