3. Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la
definición de la elipse como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.
4. 1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,
3) y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a
9.
Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal
es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio
entre ellos: C(0, 0).
• La distancia c es:
• El lado recto es:
330 c
2 2 2
b a c
922
ab
,
9
2 2
a
b
LR
5. • Sustituyendo:
• El valor negativo de a no se considera puesto que
a es una longitud. Por tanto a = 6.
9
92 2
a
a
01892 2
aa
22
182499
2
a
4
159
4
144819
a 6
4
24
1 a
2
3
4
6
2 a
6. • La ecuación de la elipse es:
922
ab
279362
b
1
3627
22
yx
7. 2) Los focos de una elipse son los puntos
F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la
elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.
• El eje focal es paralelo al eje y.
• El centro tiene la misma abscisa que los focos:
h = 3.
La distancia entre los focos es:
k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)
2b = 8 b = 4
8 2
3
2
c
222
cba 259162
a
8. • Ecuación de la elipse:
• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
• Excentricidad:
1
25
5
16
3
22
yx
c
e
a
5
3
9. 3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es
igual a la mitad de su distancia a la recta x –
16 = 0 e interpreta el resultado.
• Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16
= 0:
1d 22
04 yx
2d
2
1
16
x
10. El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con
centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje
menor igual a
1 2
1
2
d d
2 2
4x y
1
16
2
x
2 22 1
4 16
4
x y x
25632
4
1
168 222
xxyxx
21
8 64
4
x x
2 23
48
4
x y
2 2
3
1
4 48 48
x y
1
4864
22
yx
482
11. 4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una
altura máxima de 45m y un claro de 150m.
Encuentra la longitud de dos soportes verticales
situados de manera que dividan en claro en tres
espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la
elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación
es del tipo , con el
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.
Para que el claro se divida en tres partes iguales,
la distancia de los soportes a cada vértice y entre
ellos debe ser de 50m.
12
2
2
2
b
y
a
x
13. Para determinar la altura de los soportes, se hace
x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:
Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.
2 2
25
1
5625 2025
y
1
20255625
625 2
y
1
20259
1 2
y
9
8
2025
2
y
1800
9
162002
y 230y
14. Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la
definición de la hipérbola como un
lugar geométrico y su ecuación en la
forma canónica.
15. 1) Encuentra los elementos de la
hipérbola 1
169
22
xy
92
a
2
16 a = 3; b = 4b
222
bac 251692
c
5 (la raíz negativa se descarta)c
Centro C(0, 0)
Eje focal El eje y
Vértices V(0, 3), V’(0, –3)
Focos F(0, 5), F’(0, –5)
Distancia focal 10
Longitud del eje transverso 6
Longitud del eje conjugado 8
Longitud de cada lado recto
Excentricidad
Asíntotas
a
b2
2
3
32
a
c
e
5
3
xy
4
3
xy
4
3
16. 2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal
que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6
unidades y su excentricidad es 7
2
2
2
6
b
LR
a
ab 32
2 2
7
2
c a b
e
a a
4
7
2
22
a
ba 22
734 aaa
01247 22
aaa 0123 a 4
3
12
a 162
a
12)4(32
b
1
1216
22
yx
12
2
2
2
b
y
a
x
17.
18. 3) Determina la ecuación de la hipérbola con
C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa
por los puntos (4, 6) y (1, –3)
Hipérbola vertical:
Se sustituyen las coordenadas de los puntos por
los que pasa:
12
2
2
2
b
x
a
y
2 2
2 2
(6) (4)
1
a b
1
1636
22
ba
2222
1636 baab
2 2
2 2
( 3) (1)
1
a b
1
19
22
ba
2222
9 baab
19. Se despeja a2 en la segunda ecuación:
y se sustituye en la primera:
2222
9baba
222
91 bba
1
9
2
2
2
b
b
a
2
2
2
2
2
2
1
9
1
9
1636 b
b
b
b
b
b
1
9
1
144139
2
4
2
222
b
b
b
bbb
4224
91443636 bbbb 010827 24
bb
20. Se resuelve para b y se sustituye
para calcular a:
La ecuación de la hipérbola es:
10827 2
b
4
27
1082
b
5
36
14
)4(92
a
1
4
5
36
22
xy
21. 4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3,
2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6.
Encuentra la ecuación de la hipérbola, las
coordenadas de sus focos y su excentricidad.
V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es
vertical:
Centro de la hipérbola:
h = –3,
12
2
2
2
b
hx
a
ky
2 2 4
2 ( 3,0)
2 2
k C
22. Semieje transverso:
Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3
Ecuación de la hipérbola:
Focos:
Excentricidad:
a = 0 2 2
1
9
3
4
0
22
xy
2 2
c a b 1394
13,3 13,3
2
13
e
23. Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma
general de la ecuación de una elipse o de
una hipérbola y las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una elipse o a una
hipérbola.
24. 1) Comprueba que el lugar geométrico de la
ecuación
es una elipse y encuentra las coordenadas del
centro, de los vértices y focos.
A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.
D = 3, E = –12, F = 6;
la ecuación sí representa una elipse. Por los
valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo
al eje x.
0612342 22
yxyx
2 2
4CD AE ACF 642412234
22
= 36 + 288 - 192 = 132 > 0
25. Por lo tanto:
a2 = 4; a = 2; b2 = 2; b =
2
bA 2
aC hbD 2
2 kaE 2
2 222222
bakahbF
2
2 2 2
c a b 2242
c
2
2b
D
h
3
4
2
2a
E
k
12 3
8 2
2
3
,
4
3
C
3 3
2,
4 2
V
2
3
,
4
5 11 3
' ,
4 2
V
3 3
2,
4 2
F
3 3
' 2,
2 2
F
26. 2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el
producto de las pendientes de las rectas que los unen con los
puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):
El lugar geométrico es una hipérbola.
1
1
m =
2
y
x
2
5
m =
4
y
x
1 2
1 5
m m = 3
2 4
y y
x x
3
842
55
2
2
xxx
yyy
82356 22
xxyy 029663 22
yxyx
27. 3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el
producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los
puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a .
Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):
Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):
Es una elipse.
1m
3
2
x
y
2m
2
1
x
y
1 2m m 6
2
1
3
2
x
y
x
y
6
6
2
2
2
xx
yy 662 22
xxyy
03866 22
yxyx
28. 4) Encuentra todos los elemento de la elipse
• A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18; 2 ≠ 9,
ambos son positivos y C > A. La ecuación no
tiene términos en x ni en y por lo que el centro
está en el origen.
C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);
01892 22
yx
01892 22
yx
1892 22
yx
1
29
22
yx 7292
c
( 7,0)F '( 7,0)F
3
4
LR
3
7
e 2a = 6 2b = 2 2
