Se describen conceptos básicos del Movimiento Circular Uniforme (MCU) y ejemplos simples para una primera comprensión. Algunos de estos tenas incluye la definición de radián y longitud de arco, también se abordan parámetros cinemáticos circulares como desplazamiento y velocidad angulares. Se resuelven ejemplos de Aceleración y Fuerza centrípetas. Finalmente, se realiza un ejercicio de peralte de curvas idealizado útil para Ingeniería Civil.

1. Movimiento Circular
Uniforme
José Luis Morales
jlm_udal@hotmail.com
Ingeniería Civil, UDAL
Noviembre, 2017

2. Movimiento en una trayectoria circular
El movimiento circular uniforme es un movimiento en el
que la rapidez no cambia, es decir se mantiene
constante; pero existe un cambio en la dirección.
Es el tipo de movimiento más simple en dos dimensiones y se
caracteriza por presentar trayectorias circulares y con
rapidez constante. Para que se genere el movimiento circular
una fuerza externa constante debe actuar siempre radialmente
formando ángulos rectos con respecto a la trayectoria de la
partícula en movimiento. Esta fuerza resultante producirá
una aceleración que sólo cambia la dirección del movimiento
pero manteniendo dicha rapidez constante.

3. Definiciones Básicas
Ángulo: en un círculo, es la abertura entre dos radios.
Su medida más común es por medio de grados
sexagesimales y radianes.
Grados Sexagesimales:se obtienen al dividir al círculo en 360
partes iguales, de tal modo que 1/360 es igual a un
grado.
Longitud de Arco, s: en un círculo, es la medida del segmento
de circunferencia comprendida entre la abertura de dos
radios. Su medida se puede obtener sólo si se conocen
los radianes.
radio
radio
longitud de
arco, s

4. radián: es el ángulo que tiene por longitud de arco un
radio, como se muestra en la figura:
En 180° existen 3.1416 radios. Se deduce que: 180°=
También puede decirse que 1 radián equivale a 57.3°.
radio
radio
longitud de
arco= 1 radio
1radián
longitud de
arco= 3.1416 radios3.1416 radianes
180°

5. Conversiones de grados a radianes:
1.- Convertir 30° a radianes:
vamos a utilizar la identidad 180°= y el concepto de
“factor unitario” y simplificaciones adecuadas:
2.- Convertir 120° a radianes:
De manera análoga:
30°
180° 6
30°
180°
= =
1
6
cantidad a
convertir
Factor Unitario de la identidad.
Observe que la identidad se
convierte en una fracción y se
escribirán los 180° grados en
el denominador a modo de
quedar opuestos a los 30°
Eliminando grados, ceros y obtener
tercera en ambos términos
NOTA: Si el resultado se
expresa en términos de
“pi” no se escribe la
unidad “radianes”
120°
180°
2
3
120°
180°
= =
2
3
Eliminando grados, ceros y obtener
sexta en ambos términos

6. 3.- Convertir 2 /5 a grados:
vamos a utilizar la identidad 180°= y el concepto de
“factor unitario” y simplificaciones adecuadas:
180°
=
cantidad a
convertir
Factor Unitario de la identidad.
Observe que los “pi” deben quedar
opuestos en la fracción
Eliminando “pi”, y obtener tercera en
ambos términos
2
5
180°
=
2
3
1
60°
2x60° = 120°
Conversiones de radianes a grados:
4.- Convertir /2 a grados:
De manera análoga:
180°
=
cantidad a
convertir
Factor Unitario de la identidad.
Observe que “pi” debe quedar en el
denominador
2
180°
=
2
1
90°
90°
Eliminando “pi”, y obtener mitad en
ambos términos

7. desplazamiento angular, θ
Se define como el cambio en la posición angular, es decir:
Δθ=θ-θo
Donde θo es la posición angular inicial medido generalmente
desde un eje; y θ es la posición angular final.
5. Un cuerpo que se moverá en una trayectoria circular, se encuentra inicialmente a 15° con
respecto a la horizontal. Posteriormente se mueve circularmente a 65° con respecto al mismo
eje (ver figura). ¿Cuál es su desplazamiento angular?
radio
15°
65°
Δθ=65°-15°=50°
Posición angular
inicial, θo =15°
Posición angular final, θ =65°
Nota: Esta misma ecuación aplica
para ángulos en Radianes

8. velocidad angular,
Es una medida de la intensidad del desplazamiento angular,
es decir, es la razón del desplazamiento angular con
respecto al tiempo:
ω=∆θ/t
Las unidades de la velocidad angular son °/s, rad/s, etc.
Cuando el movimiento circular implica vueltas completas
(ciclos o revoluciones), se usa la unidad rpm que significa
revoluciones por minuto. Cabe aclarar que las unidades en
radianes comúnmente suelen omitirse, por ejemplo: rad/s=s-1
.
Por ello a la velocidad angular en radianes se le conoce
también como “frecuencia” angular.
6.- Calcular la rapidez angular de un objeto que sufre un desplazamiento angular es 2.5 grados
durante 2.0 segundos:
De la fórmula anterior se tiene:
ω=2.5°/2.0 seg =1.25°/s

9. 7.- Calcular la rapidez angular de un objeto que se encuentra inicialmente a 0.35 radianes
con respecto a la vertical y se mueve durante 3.5 segundos para llegar a la posición de 1.57
radianes:
De acuerdo a la figura, primero hallaremos el desplazamiento
angular:
0.35 rad
1.57rad
Δθ=1.57rad-0.35rad=1.22 rad
Posición angular
final, θ =1.57rad
Posición angular inicial, θo =0.35 rad
Se tiene:
ω=1.22rad/3.5 s
ω=0.349rad/s=0.349 s-1
8.- Calcular la rapidez angular en, a)radianes por minuto, b) grados por minuto y c) rpm, de
un objeto que se ha desplazado circularmente 6 (3 revoluciones o 1080°) en un tiempo de
2.0 minutos
De la fórmula de desplazamiento angular:
a) ω=∆θ/t=6 /2.0min=9.4 rad/min=9.4 min-1
b) ω=∆θ/t=1080°/2.0min=540°/min
c) ω=∆θ/t=3rev/2.0min=1.5rev/min=1.5 rpm

10. periodo en el movimiento circular,
Es el tiempo requerido para una revolución o ciclo completo
del movimiento.
El periodo y la velocidad angular en radianes están
relacionadas inversamente, por la ecuación:
=2 / rad
Nota: Si se desea trabajar en grados/s, entonces la ecuación del periodo es:
=360°/ deg
9.- Calcular el periodo de un cuerpo si su velocidad angular es 250°/s
primero habrá que convertir los grados sexagesimales a
radianes:
250°
180°
4.36 rad/s=4.36 s-1250°
180° s
= =
s
Ahora puede utilizarse la ecuación apropiada:
=2 / =2 /4.36s-1
=1.44 s
que es el tiempo que se tardaría ese objeto en dar una
vuelta completa dada su velocidad angular
=

11. Longitud de Arco
Como se definió anteriormente, es la
medida del segmento de circunferencia
comprendida entre la abertura de dos
radios. Su medida debe realizarse con
el ángulo en radianes. Su ecuación está
dada por:
s=rθrad
Donde s es la longitud de arco, r es el
radio del círculo y el ángulo, θ, tiene
que estar en radianes.
radio
radio
longitud de
arco, s
θ
10.- Encontrar la longitud de arco de la circunferencia si el ángulo contenido es de /4 y
posee un radio de 15 centímetros :
Debido a que el ángulo se encuentra en radianes, sólo habrá
que utilizar la fórmula anterior:
s=rθ=(15 cm)( /4)=11.78 cm

12. 11.- Encontrar la longitud de arco de la circunferencia si el ángulo contenido es de 50° y
posee un radio de 25 metros :
Primero habrá que convertir los grados sexagesimales a
radianes:
Ahora usando la fórmula para hallar longitud de arco:
s=rθ=(25 m)(5 /18)=21.8 m
50°
180°
5
18
50°
180°
= =
Velocidad Tangencial

13. 12. Un cuerpo que se mueve circularmente con un radio de 50 cm y se encuentra
inicialmente en /8 con respecto a la horizontal. Posteriormente se mueve circularmente a
/6 con respecto al mismo eje en un tiempo de 2.6 segundos (ver figura). ¿Cuál es su
velocidad tangencial?
r=50cm
/8
/6
Δθ= /6- /8= /24
Posición angular
inicial, θo = /8
Posición angular final, θ = /6
con tiempo de desplazamiento=2.6 sΔθ
v= r =
r Δθ
t
1. Primero obtenemos el desplazamiento angular:
2. Sustituyendo en fórmula:
v=
r Δθ
t
50cm x /24
2.6 s
= = 2.52 cm/s

14. Aceleración y Fuerza centrípeta
De la 1a
Ley de Newton: Todos los cuerpos se mueven en línea
recta a menos que una fuerza externa actúe sobre ellos. Por
lo tanto, en el movimiento circular debe existir una fuerza
que logre mantener al cuerpo en ese estado.

15. Aceleración Centrípeta
13.- Calcular la aceleración centrípeta si el radio del movimiento circular es de 6.5 cm y la
velocidad es de 56.2 cm/s
Sustituyendo en la fórmula:
a) a=v2
/r=(56.2 cm/s)2
/6.5cm
=486 cm/s2

16. Fuerza Centrípeta
14.- Calcular la fuerza centrípeta de los datos del ejercicio 13, para un cuerpo de masa de 5.0
kg.
Sustituyendo en la fórmula:
a) F=ma=(5. kg)* 486 cm/s2
=2430 kg cm/s2
= 2430 N = 2.4kN

17. Peralte de Curvas
Es la inclinación transversal que se da en las curvas a la
calzada de una carretera para vencer la inercia que mueve a
un vehículo hacia fuera de la curva.

18. 1. La fuerza centrípeta, , para mantener un vehículo en
movimiento circular es la fuerza de fricción estática,
, generada entre las llantas y el pavimento.
2. La fórmula de la fuerza de fricción es: =
donde: =fuerza de fricción estática; =Fuerza normal y
=coeficiente de fricción estática.
3. Entonces en el movimiento circular:
=
4. Si se considera que la curva no tiene peralte, entonces
= ∙ ; y la velocidad máxima con que se debe tomar la curva
es:
Nota: Esta ecuación es para vehículos con adecuada distribución de
masa y equilibrados verticalmente

19. Ángulo de Peralte

20. 15.- Calcular el ángulo de peralte para una curva de un boulevard que tiene por radio
r=250m y con un límite de velocidad de 90 km/h:
1. Antes que nada, las unidades físicas deben están en concordancia, entonces se
cambiarán las unidades de velocidad de km/h a m/s; haciendo uso del factor unitario
con las identidades:1 km=1000 m y 1 h=3600 s.
2. Sustituyendo en fórmula:
θ=arc tan (25 m/s)2
/(9.81 m/s2
x 250 m)
=arc tan(0.2548) = 14.3°
90 km
h
1000m
1 km
1 h
3600 s
=25 m/s

21. referencias
● Paul E. Tippens. (2011). Física, Conceptos
y Aplicaciones. McGraw-Hill