Propuesta didáctica para el aprendizaje de conceptos de geometría.

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS REQUERIDAS
EN EDUCACIÓN SECUNDARIA IMPLÍCITAS EN LA GEOMETRÍA
1
Maestría en Didáctica de las Matemáticas
Ing. Dulce Gabriela Rivera Sánchez
Historia y epistemología de las matemáticas.
M. En C. Martín Larios García.
Querétaro, Querétaro, Diciembre 2014.

Contenido
Introducción 3
Problemática 4
Hipótesis 6
Objetivos 7
Marco Teórico 8
Antecedentes 31
Metodología 34
Resultados esperados 73
Conclusiones 74
Referencias 75
2

Introducción
Este trabajo presenta una metodología didáctica para conseguir la adquisición de los
conceptos de: punto, recta, plano, vértice, arista, polígonos, poliedro, simetría y su
clasificación, patrones y teselaciones; a través del aprendizaje lúdico y discursivo
profesor-alumno.
El objetivo es devolver a las matemáticas el enfoque de actividad humana tal como
sugiere Freudenthal, mostrando al estudiante la existencia de la geometría en la
naturaleza y su aplicación artística.
La metodología se divide en dos sesiones de 45 minutos y se describen
detalladamente las actividades que se realizaran, con la finalidad de que cualquier
profesor interesado pueda reproducirla.
Algunas diapositivas incluyen imágenes que se recomienda mostrar al alumno y otras
en las que el profesor deberá decidir si es conveniente o no mostrarlas.
3

Problemática
“Al crecer no adquirimos
creatividad, sino que crecemos
perdiéndola”
Ken Robinson (1950- ). Educador, escritor y
conferencista británico, experto en asuntos relacionados con la
creatividad, la calidad de la enseñanza, la innovación y los recursos
humanos.
Con la sofisticación de la ciencia matemática hemos olvidado el arte y la creatividad que se
encuentra inmersa en su descubrimiento y desarrollo y la hemos aprendido como una
secuencia sistematizada de procedimientos para resolver problemas. Enseñamos
matemáticas que para los estudiantes son robotizadas, aburridas y sin sentido.
4

Problemática
No basta solamente con mostrar las aplicaciones en la vida cotidiana del conocimiento
visto en clase a los estudiantes. Para traer su atención debemos estimular su curiosidad y
creatividad para que ellos generen su propio aprendizaje y su propia necesidad por
aprender.
¿Cómo atraer la atención de los estudiantes para conseguir un aprendizaje significativo?
5

Hipótesis
Si se diseña un proyecto integrador de construcción física
incentivando la curiosidad y creatividad del estudiante, que
involucre las cuatro competencias matemáticas de educación
secundaria, entonces, se guiará a los alumnos hacia la
adquisición de un aprendizaje significativo.
6

Objetivo
Desarrollar una metodología de didáctica de las matemáticas
que abarque las cuatro competencias matemáticas de educación
secundaria establecidas por la SEP, a través de la construcción
física de figuras basadas en la simetría, y que pueda ser
reproducida por cualquier profesor.
7

Marco teórico
Breve historia de las matemáticas
Se piensa que las matemáticas iniciaron con la necesidad de contar.
La evidencia directa más antigua de conteo es de dos huesos de animales que
muestran signos claros de agrupación de cantidades hace alrededor de 34000 años. En
uno de ellos se estaban anotadas cincuenta y cinco marcas, agrupados en once
conjunto s de cinco marcas en cada uno.(Parama Dutta,2011)
Las primeras referencias de matemáticas avanzadas datan del año 3000 a.C. en las
civilizaciones de Babilonia y Egipto.
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios.
La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas
en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los
cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y
Pitágoras de Samos.
8

Marco teórico
Breve historia de las matemáticas
Después de un siglo de expansión en la que la religión musulmana se difundió desde
sus orígenes en la península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde
la península Ibérica hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a
incorporar a su propia ciencia los resultados de "ciencias extranjeras".
Los traductores de instituciones como la Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida
por los califas gobernantes y por donaciones de particulares, escribieron versiones
árabes de los trabajos de matemáticos griegos e indios.
Los trabajos de los árabes, junto con las traducciones de los griegos clásicos fueron los
principales responsables del crecimiento de las matemáticas durante la edad media.
Los matemáticos italianos, como Leonardo Fibonacci y Luca Pacioli (uno de los grandes
tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el
comercio), se basaron principalmente en fuentes árabes para sus estudios.
9

Marco teórico
¿Por qué es necesario aprender matemáticas?
Como bien es cierto, la matemática, conocida como la Reina de las Ciencias, es una
ciencia pura que busca estudiar patrones en las estructuras de entes abstractos y las
relaciones que entres ellas puedan existir, aporta métodos de orden y lógica que
aparte de desarrollar y potenciar el pensamiento científico, incentiva y capacita un
pensamiento abstracto que permite plantear y resolver problemas cotidianos y llegar a
conclusiones y convicciones apropiadas.
La matemática enseña a resolver problemas de manera ingeniosa y entrena en la
búsqueda de soluciones no triviales de los mismos. (Palacios,2007)
10

Marco teórico
Las matemáticas como actividad humana. Freudenthal
Desde que la aplicabilidad de la matemática es frecuentemente problemática,
Freudenthal (1905-1990) concluye que las matemáticas deben ser pensadas para ser
útiles.
Observa que esto no puede ser alcanzado simplemente por la enseñanza de
“herramientas matemáticas”, “Si esto significa enseñar matemática pura y después
mostrar cómo aplicarla, me temo que no estemos en mejores condiciones. Creo que
es justamente emplear el orden equivocado” (Freudenthal 1968).
En cambio, las matemáticas deben ser enseñadas como
matematización. Esta visión de la tarea matemática
escolar no está motivada solamente por importancia de
su utilidad; para Freudenthal las matemáticas son en
primer lugar y principalmente una actividad, una
actividad humana, como él suele enfatizar.
11

Marco teórico
¿Qué es “matematizar”?
Freudenthal usa la palabra “matematizar” en un sentido amplio: es una forma de
organización de la realidad que también incorpora la disciplina matemática.
Literalmente, matematizar está vigente en “hacer más matemáticamente”., lo que
significa pensar en ciertas características de las matemáticas como su generalidad,
certeza, exactitud y brevedad. Para clarificar qué se debe entender por matematizar
podemos considerar las siguientes estrategias específicas con estas características
(Gravemeijer 1994; ver también Treffers 1987):
• Generalidad: generalización (observar analogías, clasificar, estructurar).
• Certeza: reflexionar, justificar, probar (usando un abordaje sistemático, elaborando
y testeando conjeturas, etc.)
• Exactitud: modelizar, simbolizar, definir (limitando interpretaciones y validez)
• Brevedad: simbolizar y esquematizar (desarrollando procedimientos estándar y
notaciones).
12

Marco teórico
¿Qué es “matematizar”?
Visto desde este ángulo, matematizar objetos matemáticos y matematizar temas de
la realidad comparten las mismas características. Y esto es fundamental para
Freudenthal, ya que en esta perspectiva, la educación matemática de los niños debe
apuntar a matematizar la realidad de todos los días.
13

Marco teórico
La epistemología genética de Jean Piaget
Jean William Fritz Piaget (1896-1980) indica que el aprendizaje es
una reorganización de estructuras cognitivas consecuencia de
procesos adaptativos al medio, asimilación de la experiencia y
acomodación de las mismas.
Piaget sugiere que nuestro desarrollo genético nos
permite a partir de los 12 años, comprobar
hipótesis mentalmente, y que adquirimos
destrezas que se relacionan con procesos de
pensamiento frecuentes en la ciencia.
- Características funcionales: son los enfoques y
estrategias para abordar los problemas y tareas.
- Características estructurales: son estructuras
lógicas, sirven para formalizar el pensamiento de
los sujetos.
14

Marco teórico
¿Qué es la educación por competencias?
Fue creada originalmente como una solución a la crisis económica, donde
se requería que los estudiantes estuvieran capacitados para el trabajo, sin
embargo el concepto fue evolucionando hasta llegar a la conclusión de
que en toda las ciencias se tenía que capacitar al estudiante en tres tipos
de aprendizaje:
• Aprender a conocer.
• Aprender a hacer.
• Aprender a ser.
En matemáticas de educación secundaria, son requeridas además, cuatro
competencias específicas:
• Resolver problemas de manera autónoma.
• Comunicar información matemática.
• Validar procedimientos y resultados.
• Manejar técnicas eficientemente.
15

Marco teórico
¿Qué es creatividad?
Por creatividad se entiende a la facultad
que alguien tiene para crear. Es la
generación de nuevas ideas o conceptos, o
de nuevas asociaciones entre ideas y
conceptos conocidos, que habitualmente
producen soluciones originales.
También se conoce como capacidad de
inventiva, pensamiento original,
pensamiento divergente o imaginación
constructiva.
16

Marco teórico
“No tenía imaginación suficiente para ser
matemático”
David Hilbert (1862-1943) Después de que un estudiante suyo
abandonara la carrera de matemáticas para convertirse en poeta.
La imaginación en clase de matemáticas necesita ser cultivada. El sentido
común también. Imaginación y sentido común no son facultades innatas y
además interesa su estimulación, en nuestro caso, en la dirección adecuada:
la de la creatividad matemática. (Claudi Alsina)
17

Marco teórico
¿Cómo influye la imaginación en el aprendizaje de las matemáticas?
Gran parte de la intuición matemática reposa sobre visualizaciones mentales de
objetos matemáticos (figuras, movimientos, gráficos,…). La imaginación puede
estimularse dando importancia a las visualizaciones en clase (Alsina y Nelsen, 2006).
18

Marco teórico
¿Cuál es la diferencia entre ver y visualizar en matemáticas?
Lo propio de la visión es permitir una aprehensión simultánea, inmediata y directa de
todo lo que es accesible en el campo de la percepción. La aprehensión visual es
simultánea: eso da la posibilidad de entender juntos y en un único acto los múltiples
elementos del campo perceptivo así como sus relaciones.
Sin embargo, la visión es sometida a una doble limitación. En primer lugar, una
limitación de perspectiva: la visión es siempre relativa a un punto de vista,
determinado por la posición del que observa, de suerte que los objetos vistos no
estén bajo un solo aspecto.(Duval)
19

Marco teórico
¿Cuál es la diferencia entre ver y visualizar en matemáticas?
En primer lugar, la visualización es una representación que, a diferencia de la
percepción, no se desarrolla en el espacio real en 3D sino que se proyecta sobre una
superficie en 2D (roca, papel, pantalla electrónica...). Ciertamente, se pueden
visualizar los sólidos, o visualizar la profundidad propia a la percepción visual. Pero
esta representación es una visualización 3D/2D, y no una maqueta 3D/3D como un
poliedro construido a partir de un patrón de papel o en cualquier otro material.(Duval)
La visualización matemática por excelencia corresponde a la geometría.
Lo propio de la visualización es producir una representación que da lugar a una
aprehensión simultánea y casi inmediata, pero sin que esta representación constituya
una aprehensión de los objetos representados.
20

Marco teórico
¿Qué es el aprendizaje significativo?
Ausubel (1918-2008) plantea que el aprendizaje significativo del alumno depende de la
estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe
entenderse por "estructura cognitiva", al conjunto de conceptos, ideas que un
individuo posee en un determinado campo del conocimiento, así como su
organización.
El aprendizaje significativo ocurre cuando una
nueva información "se conecta" con un concepto
relevante ("subsunsor") pre existente en la
estructura cognitiva, esto implica que, las nuevas
ideas, conceptos y proposiciones pueden ser
aprendidos significativamente en la medida en que
otras ideas, conceptos o proposiciones relevantes
estén adecuadamente claras y disponibles en la
estructura cognitiva del individuo y que funcionen
como un punto de "anclaje" a las primeras.
21

Marco teórico
¿Por qué la geometría es útil para desarrollar el aprendizaje
significativo y las competencias matemáticas?
El estudio de la geometría ha sido tradicionalmente incluido en los currículos
escolares no solo por su utilidad práctica, sino además por ser un eficaz medio para
que los estudiantes aprendan a razonar, a deducir, a la vez que entiendan el método
axiomático con que la matemática opera. “La geometría ofrece una oportunidad
para que los estudiantes experimenten en cuanto a las interrelaciones creativas
entre las matemáticas y el arte” (Fundación polar, Matemática para todos)
22

Marco teórico
¿Qué estudia la geometría?
En la vida cotidiana encontramos modelos y
ejemplificaciones físicas de esos objetos
ideales de los que se ocupa la Geometría,
siendo muchas y variadas las aplicaciones de
esta parte de las matemáticas. Una de las
principales fuentes de estos objetos físicos
que evocan figuras y cuerpos geométricos
está en la propia Naturaleza. Multitud de
elementos naturales de distinta especie
comparten la misma forma, como ocurre con
las formas en espiral (conchas marina,
caracoles, galaxias, hojas de los helechos,
disposición de las semillas del girasol, etc.).
La Geometría estudia las formas y propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos
planos y en el espacio.
23

Marco teórico
La Naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un número reducido de formas
parecidas, y parece que tuviese predilección por las formas serpenteantes, las espirales
y las uniones de 120º. Pensemos en la disposición hexagonal perfecta de las celdillas
de los panales de las abejas, siendo su interior poliedros que recubren el espacio,
como el rombododecaedro.
24

Marco teórico
El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes
ideales que obtiene de la observación de la Naturaleza: realiza objetos de cerámica,
dibujos, edificios y los más diversos utensilios proyectando en ellos las figuras
geométricas que ha perfeccionado en la mente.
El entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo de la
Geometría. Así desde la construcción de viviendas o monumentos funerarios hasta
templos de los más diversos estilos han impulsado constantemente el descubrimiento
de nuevas formas y propiedades geométricas.
25

Marco teórico
Muchas profesiones, además de los matemáticos, arquitectos e ingenieros necesitan y
usan la Geometría: albañiles, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de
cuero, repujados de latón, tejedores de alfombras, bordadoras, encajes de bolillos,
etc.), decoradores, coreógrafos, diseñadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma
más o menos consciente, utilizan el espacio y las formas geométricas.
26

Marco teórico
¿Qué es la etnomatemática?
El termino hace referencia a las diferentes formas de matemática que son propias de
grupos culturales.
La etnomatemática crea un puente entre la Matemática y las ideas (conceptos y
prácticas) de otras culturas.
27

Marco teórico
¿Qué es y por qué es importante la simetría?
Dentro de la geometría, un concepto relevante es la simetría, que en su sentido más
general podría definirse como la armonía resultante de ciertas posiciones de los
elementos que constituyen un conjunto.
Si bien ésta define o genera armonía y belleza estética, “el arte, en sus variadas
manifestaciones, hace uso de la simetría con el fin de lograr belleza, equilibrio y la
armonía de los elementos que utiliza” (MJOCH, 2000)
Los patrones del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser bellos; las
ideas como los colores o las palabras, deben encajar juntos de manera armoniosa. La
belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las
matemáticas feas. (Godfrey H. Hardy, 1940).
28

Marco teórico
La simetría en su concepción geométrica se estudia por medio de la teoría de grupos,
específicamente con el denominado grupo de los movimientos rígidos del plano cuyo
objeto es el de determinar estos movimientos rígidos que dejan invariante a una
figura del plano. (MJOCH, 2000).
29

Marco teórico
La simetría se puede clasificar, por ejemplo, como simetría bilateral, cíclica, diedral y
de recubrimiento del plano.
30

Antecedentes
Modelo de Van Hiele para Didáctica de la Geometría
El modelo tiene su origen en 1957, en las disertaciones doctorales de Dina van Hiele-
Geldof y Pierre van Hiele en la Universidad de Utrecht, Holanda. El libro original donde
se desarrolla la teoría se titula “Structure and Insight”.
La idea básica de partida, dicho de forma sencilla y rápida, es que “el aprendizaje de la
Geometría se hace pasando por unos determinados niveles de pensamiento y
conocimiento”, “que no van asociados a la edad” y “que sólo alcanzado un nivel se puede
pasar al siguiente”.
31

Antecedentes
Modelo de Van Hiele para Didáctica de la Geometría
Es más, se señala que cualquier persona, y ante un nuevo contenido geométrico a
aprender, “pasa por todos esos niveles y, su mayor o menor dominio de la
Geometría, influirá en que lo haga más o menos rápidamente”.
En el libro, señalado anteriormente, Van Hiele concreta que “alcanzar un nivel
superior de pensamiento significa que, con un nuevo orden de pensamiento, una
persona es capaz, respecto a determinadas operaciones, de aplicarlas a nuevos
objetos”
32

Antecedentes
¿Cuáles son los niveles del modelo Van Hiele?
Los Van Hiele de acuerdo a su experiencia, señalaron que en la base del aprendizaje de
la Geometría, hay dos elementos importantes “el lenguaje utilizado” y “la
significatividad de los contenidos”.
Lo primero implica que los niveles, y su adquisición, van muy unidos al dominio del
lenguaje adecuado y, lo segundo, que sólo van a asimilar aquello que les es presentado a
nivel de su razonamiento. Si no es así se debe esperar a que lo alcancen para enseñarles
un contenido matemático nuevo.
Los niveles son cinco y se suelen nombrar con los números del 1 al 5, sin embargo, es
más utilizada la notación del 0 al 4. Estos niveles se denominan de la siguiente manera:
NIVEL 0: Visualización o reconocimiento
NIVEL 1: Análisis
NIVEL 2: Ordenación o clasificación
NIVEL 3: Deducción formal
NIVEL 4: Rigor
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Metodología
¿Qué es enseñar y qué es educar?
Enseñar es una palabra proveniente del latín insignare, compuesta de “in: en” y
“signare: señal”, lo que implica brindar una orientación sobre qué camino seguir. La RAE
también lo define como instruir, doctrinar, amaestrar con reglas o preceptos.
El origen etimológico de la palabra “educar” proviene de los vocablos en latín “ex: sacar”
y “ducere: encaminar o guiar”. La palabra hace referencia a desarrollar o perfeccionar las
facultades intelectuales y morales de una persona, o bien, de “sacar el potencial”.
Esta metodología pretende “enseñar” al estudiante algunos conceptos, pero sobre
todo, “educarlo” para que aproveche su imaginación y creatividad para matematizar
su entorno.
34

Metodología
Datos generales
Grado: Secundaria
Número de sesiones: 2
Duración de cada sesión: 45 minutos
Descripción breve: Los alumnos realizarán actividades lúdicas
para aprender significativamente el concepto de punto, recta,
plano, polígono, simetría, poliedro, patrón y teselaciones,
reforzando además las competencias matemáticas necesarias
en su nivel de estudios.
Variables: Participación, orden y responsabilidad del grupo.
35

Metodología
Diagrama de trabajo de la metodología
36

Metodología
Sesión 1:
a) Indagación de conocimientos previos.
Objetivos de la actividad:
Se busca que el estudiante esté consciente de su estructura cognitiva previa, para que
pueda “conectar” los nuevos conceptos generando el aprendizaje significativo que
sugiere Ausubel.
Los alumnos empezarán a trabajar la competencia 3 “Comunicar información
matemática”.
Recordaran y concretaran la definición de punto, recta y plano.
Materiales necesarios:
Computadora con Geogebra instalado y proyector.
Descripción de la actividad:
Se maneja el nivel 0 del modelo Van Hiele, a través de una interacción discursiva
profesor-alumno.
37

Metodología
Sesión 1:
Desarrollo y resultados esperados de la actividad:
1.Profesor: ¿Cómo se llama lo que aparece en la pantalla?
1.Alumnos:
-Es un punto.
-Es una bolita.
38

Metodología
Sesión 1:
2.Profesor: Es un punto, correcto. Y si agrego otros más, ¿Cómo diferencio uno de otro
sin cambiar su tamaño o su color?
2.Alumnos:
(Posiblemente tarden en responder o no lo hagan)
-Por su posición
39

Metodología
Sesión 1:
3.Profesor: Pero si agrego más puntos, entonces los que estaban hasta arriba podrían ya
no estarlo, ni tampoco los que estaban más a la derecha. La forma más fácil para
diferenciarlos es poniéndoles nombre. Hace aproximadamente 100 años antes de Cristo
un hombre llamado Euclides ya nombraba a los puntos, y utilizaba letras para hacerlo, así
como lo haremos ahora.
3.Alumnos:
(Posiblemente tarden en responder o no lo hagan)
-Por su posición 40

Metodología
Sesión 1:
4.Profesor: ¿Qué figura empezaríamos a formar si juntamos todos estos pequeños
puntos?
4.Alumnos:
-Una línea de puntos
-Una línea
-Una recta 41

Metodología
Sesión 1:
5.Profesor: Así es, es una línea, puede ser rectilínea o curvilínea, lo interesante es que
justamente la definimos como una serie continua de puntos. Sin embargo, para tener una
línea recta, o simplemente recta, basta con unir dos puntos… y observen que sucede si
trato de disminuir el zoom en la pantalla…
5.Alumnos:
-Los puntos se acercan
-La recta se mueve (algún perdido) 42

Metodología
Sesión 1:
Profesor: Bueno, parece que los puntos se acercan porque al disminuir el zoom, estoy
disminuyendo el espacio entre ellos. Lo que es interesante es que aún cuando los puntos
parezcan tan cercanos como ser uno solo, la línea recta permanece, y es porque se
considera que una recta es infinita, es decir no tiene fin.
43

Metodología
Sesión 1:
6. Profesor: Bien, las rectas también se nombran con letras, si una recta 𝑙1 se intersecta
con otra recta 𝑙2, ¿cuántos puntos en común tendrán?
6. Alumnos: ¡Uno!
44

Metodología
Sesión 1:
7. Profesor: ¿Qué cambia cuando muevo esta recta L2?
7. Alumnos:
-El tamaño
-Están más juntas o más separadas
-El ángulo 45

Metodología
Sesión 1:
8. Profesor: No cambia el tamaño de las rectas porque no puedo medir las rectas,
recuerden que son infinitas. Pero puedo medir la separación entre dos rectas, a esa
separación le llamamos ángulo y al punto de intersección de las rectas que estoy
midiendo le llamamos vértice. ¿Con qué instrumento medimos los ángulos actualmente?
8. Alumnos:
-Transportador
-Regla 46

Metodología
Sesión 1:
9. Profesor: Los medimos con transportador. Las cosas que solemos ver y tocar son
finitas, estas se forman con segmentos de rectas, y estos segmentos también debemos
nombrarlos, por ejemplo, éste que tenemos aquí lo llamaríamos 𝐴𝐵 "𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵“
porque se forma con los puntos A y B. Ahora, dibujen esta recta en su cuaderno y
escriban con la notación matemática los diferentes segmentos que ustedes puedan
observar:
47

Metodología
Sesión 1:
9. Profesor: Ahora observen el pizarrón y la pantalla que se proyecta sobre él, ¿Qué tipo
de figura geométrica forma la pantalla?
9. Alumnos: Un rectángulo.
48

Metodología
Sesión 1:
10. Profesor: Si dibujo las rectas que forman este rectángulo, ¿Cuántos segmentos,
cuántos vértices y cuántos ángulos tendré?
10. Alumnos: cuatro segmentos, cuatro vértices y cuatro ángulos.
49

Metodología
Sesión 1:
b) Aplicación de conceptos previos para generar nuevos.
Los alumnos aprenden el concepto de polígono y su clasificación.
Trabajarán la competencia “Resolver problemas de manera autónoma”.
Foami de colores.
Tijeras.
Pompones pequeños.
Limpiapipas.
Regla.
Lápiz o marcadores.
Silicón frío.
Se maneja el nivel 1 del modelo Van Hiele: experimentan con figuras para obtener
nuevas propiedades.
50

Metodología
Sesión 1:
11. Profesor: Utilicen sus pompones como vértices y sus limpiapipas como segmentos,
pueden recortarlos del tamaño que mejor les parezca, y únanlos, de a 2,3,4,5,6,7,8,9 y
10, hagan un dibujo en su cuaderno de cada una de las figuras que construyeron, anoten
las medidas de sus lados, el número de vértices, el número de ángulos y el número de
lados, dejen espacio para escribir el nombre de la figura, el cuál investigarán en casa y lo
traerán mañana. La única regla es: No puedes pegar más de dos extremos de limpiapipas
en cada pompón.
51

Metodología
Sesión 1:
12. Profesor: Lo que hemos hecho, es intersectar varias rectas, pero las hemos recortado
en segmentos, observen que si yo intersecto tres o más rectas, quedan pequeñas áreas
encerradas entre ellas, a éste espacio le llamamos “polígono”, ustedes han hecho varios
polígonos, de los cuáles deberán investigar sus nombres.
52

Metodología
Sesión 1:
12. Profesor: ¿Alguno de ustedes formó polígonos con lados de la misma medida? A
estos polígonos con lados congruentes, les llamamos polígonos regulares. Dibujaré aquí
unos polígonos regulares. Díganme, ¿Cómo son los ángulos internos de los polígonos
regulares?
12. Alumnos: Iguales.
53

Metodología
Sesión 1:
13. Profesor: ¿Recuerdan el concepto de simetría?
13. Alumnos:
-La posibilidad de dividir una figura en dos o más partes y que estas divisiones embonen
unas con otras sin que existan diferencias entre ellas.
-Es cuando tomas el eje medio de la figura y al partirla por ese eje los lados son idénticos
cuando los pliegas.
-Es algo que cuando doblas es igual.
14. Profesor: Bien, ustedes recuerdan la simetría axial o bilateral, en la que comparamos
dos figuras respecto a un línea, obtengan el eje de simetría de sus polígonos y dóblenlos
de manera que tengan lados iguales, ¿Todos los polígonos tienen eje de simetría?
14. Alumnos: ¡No!
15. Profesor: ¿A qué podría deberse?
15. Alumnos: Respuesta libre.
54

Metodología
Sesión 1:
Profesor: La simetría es una correspondencia de posición, forma y tamaño, pero no
solamente respecto a una línea, puede ser respecto a un punto, y le llamamos simetría
cíclica.
55

Metodología
Sesión 1:
Profesor: Y también puede ser respecto a un plano, tal como lo que haremos a
continuación. Un plano, es un espacio únicamente de dos dimensiones, largo por ancho o
base por altura, en los cuales puedes representar figuras de dos dimensiones, por
ejemplo, el pizarrón representa un plano, en el cual se proyecta la imagen cuadrada y
plana del proyector. Los polígonos que hemos creado también son planos. Pero podemos
construir con ellos figuras en tres dimensiones. Las cuáles tendrán, longitud, espesor y
altura.
Ahora vamos a crear una figura en tres dimensiones con
triángulos regulares, utilicen 4 pompones y 6 pedazos
iguales de limpiapipas, acomódenlos de tal manera que en
cada pompón queden pegados 3 extremos de limpiapipas.
Dibújenlo y anoten las medidas de sus lados, los cuales en
estas figuras se llaman aristas, el número de vértices y el
número de caras. Investiguen en casa el nombre de la figura.
56

Metodología
Sesión 1:
16. Profesor: Ahora utilicen 6 pompones y 12 limpiapipas del mismo tamaño pegando 4
extremos de limpiapipas en cada pompón. ¿Esta figura es simétrica?¿A partir de donde
podríamos determinar su simetría?
16. Alumnos: Si es simétrica, si la partimos por el cuadrado tenemos dos figuras iguales.
57

Metodología
Sesión 1:
Profesor: En casa, realizarán una figura que tenga 12 vértices y 30 aristas, utilicen los
materiales que se les haga más conveniente, mañana platicaremos sobre como lo
construyeron, deben investigar el nombre de la figura y la información que les parezca
interesante comentar.
FIN DE LA SESIÓN 1
58

Metodología
Sesión 2:
a) Exposición de icosaedros.
Los estudiantes ponen a prueba el nivel 1 del modelo Van Hiele.
Pondrán en práctica la “Comunicar información matemática” y “validar procedimientos y
resultados”.
Harán uso de la definición de recta, arista, punto, vértice, plano y simetría.
Icosaedro de los alumnos.
El profesor seleccionará a algunos de sus estudiantes para explicar su trabajo,
orientándolo a utilizar los conceptos vistos en la sesión anterior.
59

Metodología
Sesión 2:
b) Indagación de conceptos previos.
Se busca que el estudiante esté consciente de su estructura cognitiva previa, para que
pueda “conectar” los nuevos conceptos generando el aprendizaje significativo que
sugiere Ausubel.
Recordaran y concretaran la definición de ángulos internos y ángulos externos.
Computadora con geogebra instalado y proyector.
El profesor ayudará a concretar las definiciones de ángulos internos y ángulos externos a
través de una interacción discursiva profesor-alumno.
60

Metodología
Sesión 2:
1. Profesor: ¿Recuerdan el concepto de ángulo?
1.Alumnos:
-Es la separación entre dos rectas
-Es la separación de dos líneas que se cruzan.
-Es la medida de la apertura de dos líneas que se cruzan.
2. Profesor: Correcto, un ángulo es la porción que se encuentra limitada por dos rectas
que tienen un punto en común, pero también puede estar limitada por dos planos, como
el piso y la pared, que forman un ángulo recto. ¿Recuerdan cuánto mide un ángulo
recto?
2.Alumnos:
-No
-90°
61

Metodología
Sesión 2:
3. Profesor: Pero imaginemos que tenemos estas dos semi-rectas, (se llaman semirectas
porque tienen un punto de inicio y no un punto final). Ambas comparten el punto de
intersección o vértice el cuál es su punto inicial. ¿Cuáles son los ángulos diferentes que
puedo medir?
62

Metodología
Sesión 2:
4. Profesor: Tengo dos ángulos diferentes, uno que puedo medir desde L1 a L2 y otro que
puedo medir de L2 a L1. ¿Esto para qué me sirve?
63

Metodología
Sesión 2:
Profesor: Los ángulos internos y externos también se encuentran en los polígonos, y hace
más de 2000 años que se utiliza con finalidades ornamentales. Un gran ejemplo es la
ciudad Alhambra situada en Granada, España.
64

Metodología
Sesión 2:
Profesor: Si observan bien, en la imagen tenemos figuras que se repiten y que además
son simétricas, generando simetría también al repetirse, a esto le llamamos patrones, y
los patrones están presentes en la naturaleza.
65

Metodología
Sesión 2:
Profesor: Si observan bien, en la imagen tenemos figuras que se repiten y que además
son simétricas, generando simetría también al repetirse, a esto le llamamos patrones, y
los patrones están presentes en la naturaleza.
66

Metodología
Sesión 2:
c) Aplicación de patrones en el plano.
Los estudiantes aplican el concepto de recubrimiento del plano.
Desarrollan la competencia matemática “Manejar técnicas eficientemente”.
Ponen en práctica el nivel 1 del modelo de Van Hiele.
Foami de colores.
Cartulina de 20cmx20cm.
Pegamento.
Tijeras y regla.
El profesor divide al grupo en parejas y otorga a cada una un triángulo y un cuadrado con
lados de la misma medida, indicando que deben reproducir las figuaras el número de
veces que deseen para cubrir un plano de entre 15cmx15cm y 20cmx20cm.
67

Metodología
Sesión 2:
5. Profesor: ¿Cómo podría saber qué figuras combinar para cubrir el plano?
Profesor: Podemos partir del hecho de que un punto está rodeado de 360°, y hay que
agregar polígonos cuyos ángulos internos sumen 360°. Aquí algunos ejemplos.
68

Metodología
Sesión 2:
Profesor: Cundo un polígono no cubre el plano, suele combinarse con otros polígonos
para conseguirlo.
69

Metodología
Sesión 2:
Profesor: A continuación les entregaré una muestra de un triángulo y un cuadrado con
las mismas dimensiones de sus lados, ustedes deberán reproducir tantos como deseen
para cubrir su cartulina, pueden hacerlo de 15cmx15cm o de 20cmx20cm.
70

Metodología
Sesión 2:
d) Aplicación de patrones en tres dimensiones.
Los estudiantes desarrollan la competencia matemática “Manejar técnicas
eficientemente”.
Ponen en práctica el nivel 1 del modelo de Van Hiele.
Foami de colores..
Tijeras y regla.
El profesor divide al grupo en parejas y otorga a cada uno un patrón para que ellos lo
reproduzcan en foami y utilicen su imaginación para crear una figura geométrica.
71

Metodología
Sesión 2:
d) Aplicación de patrones en tres dimensiones.
Profesor: A continuación les entregaré una pieza que ustedes deberán reproducir y
pensar en qué pueden formar con ellas.
FIN DE LA SESIÓN 2
72

Resultados esperados
73
Los alumnos desarrollarán un aprendizaje significativo ya que durante la
metodología se ha buscado concretar los conocimientos previos para
posteriormente enlazarlos con nuevos conocimientos.
Se consigue abarcar las cuatro competencias de nivel secundaria sugeridas por la
SEP, a través de las construcciones geométricas.
Los estudiantes se divierten y expresan su creatividad e imaginación.

Conclusiones
74
La metodología sugerida está fuertemente basada en el aprendizaje significativo
sugerido por Ausubel, y se ha buscado ubicar las actividades en los niveles del modelo
Van Hiele, sin embargo, no hemos pasado del nivel 2, debido a que en esta actividad
no se le solicita a los estudiantes generar demostraciones geométricas formales.
También se ha incluido un apartado en el que lo estudiantes pueden observar la
aplicación de los patrones en la vida real, mostrando como las matemáticas forman
parte de una actividad humana, tal como lo sugiere Freudenthal.
Se han reconocido las cuatro competencias sugeridas por la SEP para educación
secundaria, y forman parte de los objetivos de cada actividad para que el profesor
esté consceinte de cuál es el resultado esperado en cada actividad.

Fuentes de información
75
• Alsina, C. (2007). Educación matemática e imaginación. Unión, 9-17.
• Ana María Bressan, M. F. (2011). La educación matemática realista, bases teóricas. Congreso Nacional de
Matemática y Problemáticas de la Educación Contemporánea.
• Anónimo. (12 de Septiembre de 2011). De Greta para el mundo. Recuperado el Septiembre de 2014, de
http://degretaparamundo.wordpress.com/2011/09/12/b-poliedros-o-esferas-de-papel-base-cuadrada/
• Ausubel, D. (1983). Teoría del aprendizaje significativo.
• Delors, J. (1996). Los cuatro pilares de la educación. En J. Delors, La educación Encierra un Tesoro (págs.
91-103). Santillana.
• Fernando Fouz, B. d. (2013). Modelo de Van Hiele para la didáctica de la Geometría. DONOSTIA.
• García, L. S. (2008). Modelo sistemático basado en competencias para instituciones educativas públicas.
CIDEM.
• Hardy, G. (2005). A Mathematician's Apology. University of Alberta Mathematical Sciences Society.
• Ipernity. (5 de Agosto de 2011). ipernity.com. Recuperado el Noviembre de 2014, de
http://www.ipernity.com/doc/mariomarin_poliedros/11158406
• Juan D. Godino, F. R. (2002). Geometría y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros.
• K.Gravemeijer, J. (2000). Hans Freudenthal, un matemático en didáctica y teoría curricular. J.Curriculum
studies, 777-796.
• Mercedes Arablea Chong Muñoz, R. C. (2013). Sistema educatio en México: El modelo de competencias,
de la industria a la educación. Sincronía.
• Salazar, D. P. (2007). Enseñanza de simetrías a través del arte: Propuesta para promover un estudio
integral. Universidad Central de venezuela.

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