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Naturaleza de los objetos geométricos
Antes de comenzar a estudiar la geometría y
de ver cómo podemos ayudar a los niños a que
aprendan geometría, consideramos necesario
aclarar de qué trata esta rama de las matemáticas
y reflexionar sobre la naturaleza de sus objetos. El
significado etimológico de la palabra geometría,
'medida de la tierra', nos indica su origen de
tipo práctico, relacionado con las actividades
de reconstrucción de los límites de las parcelas
de terreno que tenían que hacer los egipcios,
tras las inundaciones del Nilo. Pero la geometría
dejó, hace ya hace mucho tiempo de ocuparse
de la medida de la tierra. Con los griegos, la geometría se interesó por el mundo de
las formas, la identificación de sus componentes más elementales y las relaciones y
combinaciones entre dichos componentes.
La geometría se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras
como, punto, recta, plano, triángulo, polígono, poliedro, etc. Tales términos y
expresiones designan figuras geométricas, las cuales son consideradas abstracciones,
conceptos, entidades ideales o representaciones generales de una categoría de objetos.
Por tanto, hay que tener en cuenta que la naturaleza de los entes geométricos es
esencialmente distinta de los objetos perceptibles, como este ordenador, una mesa o
un árbol. Un punto, una línea, un plano, un círculo, etc., no tienen ninguna consistencia
material, ningún peso, color, densidad, etc.
Un problema didáctico crucial es que, con frecuencia,
usamos la misma palabra para referirnos a los objetos
perceptibles con determinada forma geométrica
(“el triángulo es un instrumento de percusión”) y al
concepto geométrico correspondiente (el triángulo
isósceles). Además, en la clase de matemáticas, y en
los textos escolares, no se diferencian los dos planos
(objeto abstracto, realidad concreta) y encontramos
expresiones como la siguiente: “Dibuja una recta (un
triángulo, etc.)". Como entidades abstractas que son,
LECTURA
PREVIA
LA GEOMETRÍAY SUS
APLICACIONES1
[[
1
Recuperado de Godino y Ruiz (2002).
Godino y Ruiz.
"¿Cómo crear contextos adecuados para poder enseñar matematizando?
[...]necesitamos problemas matemáticos que tengan un contexto
significativo para los estudiantes". (Freudenthal, 1983: )](https://image.slidesharecdn.com/mdulosecundariamatematicafinal-150727002001-lva1-app6891/85/Didactica-de-la-Matematica-Modulo-IV-13-320.jpg)
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- 1. PERÚ Ministerio de EducaciónPERÚMinisterio de EducaciónPERÚ Ministerio de EducaciónPERÚ Ministerio de Educación PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA EDUCACIÓN SECUNDARIA MÓDULODE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA L A G E O M E T R Í A A N U E S T R O A L R E D E D O R
- 2. Módulo de Actualizaciónen Didáctica de la Matemática. La geometría a nuestro alrededor Educación Secundaria MINISTERIO DE EDUCACIÓN Calle Del Comercio 193, San Borja, Lima, Perú Teléfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe Ministro de Educación: Jaime Saavedra Chanduví Viceministro de Gestión Pedagógica: Flavio Figallo Rivadeneyra Directora General de Educación Básica Regular: Cecilia Ramírez Gamarra Elaboración de contenido: Verónica Ugarte Galdos Zoe Anne Gillett de Pumayalli Edición: Gerson Rivera Cisneros Revisión y organización pedagógica del enfoque: Pedro David Collanqui Colaboradores: Hugo Tamara Salazar Olber Muñoz Solís Corrección de estilo: Cecilia Castillo Vargas Diagramación: Christian Bendezú Impresión: xxxxxxxxxx Tiraje: xxxxxxxxxx Primera edición, primera impresión, xxxxx 2015 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2015-04619
- 3. AGRADECIMIENTOS A la comunidadeducativa, profesoras, personal administrativo, padres de familia y estudiantes de la I. E. Manuel Gonzáles Prada, en especial al subdirector de Formación General I lic. Faustino Jurupe Yampufe, a los profesores Joe Condori Marcos y Ezequiel Matos Pérez y al auxiliar José Carlos Maldonado Huatuco.
- 4. 4 Lectura previa: Lageometría y sus aplicaciones ................................................... 13 Primera situación para la reflexión pedagógica: Reconociendo regiones de amenaza de tsunamis y rutas de evacuación...................................................................... 16 Resumen de la secuencia didáctica de la situación................................................ 30 TAREA: Reflexionando sobre la primera situación propuesta ................................. 31 Primer taller presencial ....................................................................................... 33 Segunda situación para la reflexión pedagógica: Diseñando círculos de seguridad... 35 Resumen de la secuencia didáctica de la situación................................................ 49 TAREA: Reflexionando sobre la segunda situación propuesta ................................ 50 Círculo de interaprendizaje colaborativo 1 ........................................................... 52 Orientaciones para la elaboración de la propuesta de práctica pedagógica en el aula... 53 Profundización teórica y pedagógica: Enseñanza de la geometría .............................54 Recursos en línea ............................................................................................... 67 TAREA: Sobre la profundización teórica y pedagógica ........................................... 68 Segundo taller presencial ................................................................................... 70 Presentación de las propuestas pedagógicas........................................................ 71 Foro de intercambio: Planificación de las prácticas pedagógica .............................. 72 Círculo de interaprendizaje colaborativo 1 ........................................................... 73 Ejecución de la práctica pedagógica 1 en el aula y elaboración de la narración documentada.............................................................................. 74 Tercer taller presencial ....................................................................................... 76 II. GEOMETRÍA I. INFORMACIÓN GENERAL Programa de Actualización en Didáctica de la Matemática - Educación Secundaria..... 6 Presentación del módulo de actualización La geometría a nuestro alrededor ......... 8 Actividades y tareas........................................................................................... 9 Secuencia formativa del módulo ......................................................................... 10 Productos previstos para este módulo.................................................................. 12 CONTENIDO
- 5. 5 Ejecución de lapráctica pedagógica 2 en el aula y elaboración de la narración documentada ............................................................................. 78 Círculo de interaprendizaje colaborativo 3............................................................ 79 Continuación de la elaboración de las narraciones documentadas.......................... 79 Círculo de interaprendizaje colaborativo 4............................................................ 80 Entrega de las propuestas y narraciones documentadas........................................ 81 Cuarto taller presencial....................................................................................... 82 Autoevaluación del participante........................................................................... 83 Glosario ........................................................................................................... 84 Bibliografía ....................................................................................................... 86 Anexo 1. Organización del módulo ...................................................................... 87
- 6. 6 PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓNEN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA CONDICIONES PARA APRENDER IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMÁTICA FINANCIERA la GEOMETRÍA a nuestro alrededor 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMÁTICA FINANCIERA LA GEOMETRÍA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMÁTICA FINANCIERA LA GEOMETRÍA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMÁTICA FINANCIERA LA GEOMETRÍA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA 66 ROL DOCENTEY CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO MATEMÁTICA FINANCIERA LA GEOMETRÍA A NUESTRO ALREDEDOR PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA
- 7. 7 LOS DOCENTES PARTICIPANTES TEMARIO Reflexionansobre su desempeño con relación a la enseñanza de geometría, reconociendo aciertos y proponiendo mejoras. Formulan secuencias didácticas contextualizadas y reales para desarrollar nociones de geometría usando diversas estrategias y considerando la pertinencia al contexto, necesidades e intereses de sus estudiantes.. Reconocen estrategias valiosas, desarrolladas en el módulo o compartidas por otros docentes, y las incorporan en su actuar cotidiano. Resuelven adecuadamente problemas de geometría contextualizados con su realidad, y explica los aspectos claves, así como los pasos necesarios para su resolución. Fortalecen sus competencias pedagógicas y disciplinares interactuando en comunidades de aprendizaje. Hacemos geometría en áreas de recreación de nuestro entorno Diseñando círculos de seguridad Enseñanza de la geometría
- 8. 8 Este módulo tienepor finalidad aportar a la práctica pedagógica que diariamente realizas en el aula para orientar a los estudiantes en el logro del aprendizaje fundamental relacionado con matemática. En este sentido, te presentaremos dos situaciones didácticas: a. Hacemos geometría en áreas de recreación de nuestro entorno b. Diseñando círculos de seguridad Esperamos que este módulo contribuya al logro de los aprendizajes esperados de los estudiantes que están a tu cargo. PRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN en didáctica de la Matemática: LA GEOMETRÍA A NUESTRO ALREDEDOR
- 9. 9 En este módulo,el participante de la modalidad semipresencial intervendrá en talleres presenciales y círculos de interaprendizaje colaborativo. Además, interactuará en un foro, elaborará propuestas pedagógicas para aplicarlas en el aula y presentará tareas y narraciones documentadas de la práctica realizada. El participante que siga la modalidad virtual (e-learning 1 o 2) participará en todas las actividades mencionadas, excepto en los talleres presenciales y los círculos de interaprendizaje. ACTIVIDADESYTAREAS A continuación te presentamos la secuencia formativa del módulo en la modalidad semipresencial.
- 10. 10 FORODE Foro para plantearconsultas, REFLEXIÓN 2 SITUACIÓN 2 SITUACIÓN PARA REFLEXIONAR1 REFLEXIÓN SOBRE LASITUACIÓN PRESENTADA1 TAREA TAREA TALLER PRESENCIAL CIAC CIAC LECTURA PREVIA EJECUCIÓNDELA PRÁCTICA1 Y ELABORACIÓN DELANARRACIÓN DOCUMENTADA EJECUCIÓNDELA PRÁCTICA2 Y ELABORACIÓN DELANARRACIÓN DOCUMENTADA CONTINUACIÓNDELA ELABORACIÓNDELAS NARRACIONES DOCUMENTADAS *CIAC: círculo de interaprendizaje colaborativo SECUENCIA FORMATIVA DEL MÓDULO 10
- 11. 11 DUDAS dudas, sugerencias ydificultades sobre el módulo. TALLER PRESENCIAL TALLER PRESENCIAL CIAC* CIAC PROFUNDIZACIÓN TEÓRICAY PEDAGÓGICA AUTOEVALUACIÓN PRESENTACIÓNDE LASPROPUESTASDE PRÁCTICAPEDAGÓGICA FORODEINTERCAMBIO: PLANIFICACIÓNDELAS PRÁCTICAS1Y2 ENTREGA DE LASPROPUESTAS Y NARRACIONES DOCUMENTADAS TALLER PRESENCIAL TAREA (MODALIDAD SEMIPRESENCIAL) 11
- 12. 12 Los productos previstosse elaborarán a partir de la planificación e implementación en el aula de dos propuestas pedagógicas, cada una de las cuales consiste en una secuencia didáctica que puede durar una, dos o más sesiones de aprendizaje. Estas propuestas se acompañarán de su respectiva narración documentada. Estos productos son los siguientes: a. Una propuesta de práctica pedagógica y su narración documentada sobre la resolución de problemas con áreas y perímetros de triángulos, rectángulos y trapecios, las cuales se encuentran en "Primera situación para la reflexión pedagógica" pedagógica de este módulo. b. Una propuesta de práctica pedagógica y su narración documentada sobre la resolución de problemas con círculos y circunferencias, las cuales se desarrollan en la "Segunda situación para la reflexión pedagógica" de este módulo. Las propuestas se realizarán en el aula teniendo en cuenta las diversas características educativas de los estudiantes con el fin deplantear situaciones de aprendizaje pertinentes y con propósitos claros. PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MÓDULO Las narraciones documentadas iránacompañadas de evidencias delproceso (fotos, diálogos, trabajosde algún estudiante, entre otras). Nota
- 13. 13 Naturaleza de losobjetos geométricos Antes de comenzar a estudiar la geometría y de ver cómo podemos ayudar a los niños a que aprendan geometría, consideramos necesario aclarar de qué trata esta rama de las matemáticas y reflexionar sobre la naturaleza de sus objetos. El significado etimológico de la palabra geometría, 'medida de la tierra', nos indica su origen de tipo práctico, relacionado con las actividades de reconstrucción de los límites de las parcelas de terreno que tenían que hacer los egipcios, tras las inundaciones del Nilo. Pero la geometría dejó, hace ya hace mucho tiempo de ocuparse de la medida de la tierra. Con los griegos, la geometría se interesó por el mundo de las formas, la identificación de sus componentes más elementales y las relaciones y combinaciones entre dichos componentes. La geometría se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras como, punto, recta, plano, triángulo, polígono, poliedro, etc. Tales términos y expresiones designan figuras geométricas, las cuales son consideradas abstracciones, conceptos, entidades ideales o representaciones generales de una categoría de objetos. Por tanto, hay que tener en cuenta que la naturaleza de los entes geométricos es esencialmente distinta de los objetos perceptibles, como este ordenador, una mesa o un árbol. Un punto, una línea, un plano, un círculo, etc., no tienen ninguna consistencia material, ningún peso, color, densidad, etc. Un problema didáctico crucial es que, con frecuencia, usamos la misma palabra para referirnos a los objetos perceptibles con determinada forma geométrica (“el triángulo es un instrumento de percusión”) y al concepto geométrico correspondiente (el triángulo isósceles). Además, en la clase de matemáticas, y en los textos escolares, no se diferencian los dos planos (objeto abstracto, realidad concreta) y encontramos expresiones como la siguiente: “Dibuja una recta (un triángulo, etc.)". Como entidades abstractas que son, LECTURA PREVIA LA GEOMETRÍAY SUS APLICACIONES1 [[ 1 Recuperado de Godino y Ruiz (2002). Godino y Ruiz. "¿Cómo crear contextos adecuados para poder enseñar matematizando? [...]necesitamos problemas matemáticos que tengan un contexto significativo para los estudiantes". (Freudenthal, 1983: )
- 14. 14 parece obvio queno se puede dibujar una recta o un triángulo. Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente. La recta, como entidad matemática, es ilimitada y carece de espesor, no así los dibujos que se hacen de ella. Del mismo modo, un triángulo no es una pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el papel: es una forma controlada por su definición. Las entidades matemáticas y también las geométricas son creadas en última instancia mediante definiciones, reglas que fijan el uso de los términos y expresiones. Ciertamente que no serán reglas arbitrarias, sino que se harán de manera que sean útiles para la descripción del mundo que nos rodea –o de mundos imaginarios–, pero su naturaleza hace que establecer una propiedad geométrica (por ejemplo, que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo plano sea un ángulo llano) sea un acto esencialmente distinto al de descubrir que todos los leones son carnívoros. Esta naturaleza es de tipo “gramatical” (puesto que se deriva de las reglas de uso de las palabras y expresiones) y es la que concede a las entidades matemáticas su carácter necesario, universal y atemporal. El “lenguaje” geométrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo de las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamaño y posición en el espacio. Pero superada la primera fase de clasificación de las formas, de identificación de las propiedades de las clases de objetos y la creación de un lenguaje que permita su descripción de manera precisa, la actividad geométrica se ocupa de estructurar el mundo de entidades geométricas creadas y de deducir las consecuencias lógicas que se derivan de los convenios establecidos. Rápidamente somos arrojados fuera del cómodo mundo de nuestras percepciones para entrar en el mundo del lenguaje, de la gramática y de la lógica. Cuando pedimos a un niño que entre una colección de paralelogramos identifique los rectángulos, no le exigimos que discrimine la forma perceptible de los rectángulos de entre las restantes figuras, sino que sea capaz de aplicar los convenios que hemos establecido para el uso de la palabra rectángulo. Siendo un poco exigentes, incluso podemos criticar la pertinencia de esa tarea, ya que visualmente es imposible saber si un romboide, cuyos ángulos miden 89º (y 91º) debe ser considerado o no un rectángulo. La respuesta correcta que un niño debería dar sería algo así: "Si los ángulos de estas figuras son efectivamente rectos, entonces, decimos que son rectángulos”; también debería incluir los cuadrados entre los rectángulos. Como conclusión, debemos tener claro que cuando hablamos de figuras o formas geométricas no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque ciertamente los dibujos, imágenes y materializaciones concretas son, al menos en los primeros niveles del aprendizaje, la razón de ser del lenguaje geométrico y el apoyo intuitivo para la formulación de conjeturas sobre las relaciones entre las entidades y propiedades geométricas.
- 15. 15 Aplicaciones de lageometría La geometría estudia las formas de las figuras y los cuerpos geométricos. Son muchas y variadas las aplicaciones de esta parte de las matemáticas. En la vida cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones físicas de esos objetos ideales de los que ella se ocupa. Una de las principales fuentes de estos objetos físicos que evocan figuras y cuerpos geométricos se encuentra en la propia naturaleza. Multitud de elementos naturales de distinta especie comparten la misma forma, como ocurre con las figuras en espiral (conchas marinas, caracoles, galaxias, hojas de los helechos, disposición de las semillas del girasol, etc.). Igualmente encontramos semejanzas entre las ramificaciones de los árboles, el sistema arterial y las bifurcaciones de los ríos; o entre los cristales, las pompas de jabón y las placas de los caparazones de las tortugas. La naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un número reducido de formas parecidas, y parece que tuviese predilección por las formas serpenteantes, las espirales y las uniones de 120º. Pensemos en la disposición hexagonal perfecta de las celdillas de los panales de las abejas, cuyo interior se recubre de poliedros, como el rombododecaedro. El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imágenes ideales que obtiene de la observación de la naturaleza: realiza objetos de cerámica, dibujos, edificios y los más diversos utensilios para proyectar en ellos las figuras geométricas que ha perfeccionado en la mente. El entorno artístico y arquitectónico ha sido un importante factor de desarrollo de la geometría. Así, desde la construcción de viviendas o monumentos funerarios (pirámides de Egipto) hasta templos de los más diversos estilos, han impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geométricas. Muchos trabajos, además de los que desarrollan los matemáticos, los arquitectos y los ingenieros, necesitan y usan la geometría: albañiles, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados de latón), tejedores de alfombras, bordadoras (encajes de bolillos), decoradores, coreógrafos, diseñadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma más o menos consciente, utilizan el espacio y las formas geométricas. También se encuentra la geometría en los juegos: billar (bolas y mesa en forma de doble cuadrado con rombos en los bordes), parchís, ajedrez, la rayuela, el juego de los barcos, así como multitud de juegos de ordenador. El mundo de los deportes está repleto de figuras geométricas: fútbol (el rectángulo del campo, las áreas, el balón, las porterías, etc.), baloncesto (canastas, zonas, campo, etc.), tenis, rugby, béisbol, etc. Seguramente el lector puede completar estas listas de situaciones y ámbitos donde podemos encontrar objetos geométricos, y cuyo manejo facilita el conocimiento de tales ámbitos.
- 16. 16 Esta situación sucedeen un en un aula de cuarto de Secundaria. Busca que los estudiantes se enfrenten a una problemática real relacionada con los desastres naturales, para la cual deben usar mapas, obtener áreas de regiones geométricas regulares y no regulares, y emplear ángulos y razones trigonométricas en contextos diversos. El énfasis de la situación está en relacionar la información y desarrollar estrategias de resolución que involucran el uso de la proporcionalidad. PRIMERA SITUACIÓN PARA LA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA [[ RECONOCIENDO REGIONES DE AMENAZA DETSUNAMISY RUTAS DE EVACUACIÓN PROPÓSITO APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD CIERRE DE LA ACTIVIDAD Desarrollar la competencia “Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización” relacionada con modelos basados en mapas, obtención de áreas, uso de escalas y resolución de problemas de ángulos y relaciones trigonométricas. 1. PROPÓSITO Adaptar y combinar estrategias heurísticas relacionadas con la proporcionalidad al re- solver problemas con ayuda de mapas o planos, recursos gráficos, etcétera. Describir diseños de planos a escala con regiones y formas bidimensionales. Expresar los procedimientos de diseños de planos a escala con regiones y formas bidi- mensionales. 2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES SECUENCIA DIDÁCTICA: RECONOCIENDO ZONAS DE RIEGOS HACIENDO USO DE MAPASTOPOGRÁFICOS 3. PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD El docente reconoce un problemática relacionada con los desastres naturales. A partir de esta situación se plantea las siguientes interrogantes: ¿Qué aprendizajes voy a promover con esta situación? ¿Qué conocimientos espero que los estudiantes desarrollen? En las situaciones que nos rodean, reconocemos figuras geométricas, cuando hacemos un proceso de abstracción que expresa las las propiedades características del tamaño y forma de dichas situaciones.
- 17. 17 En lasituación donde se menciona el tsunami, se reconoce la necesidad de identificar o reproducir características de las zonas en peligro. Esto permite reconocer los atributos de formas bi y tridimensionales, ubicar la posición de los objetos y reconocer relaciones entre ellos. ¿Cuáles son las características de mis estudiantes? ¿Qué esperaría de ellos al desarrollar sus aprendizajes? En el VII ciclo los adolescentes están en condiciones de desarrollar aprendizajes más complejos. En lo social y emocional, vuelven más autónomos y tienden a la formación de grupos, en los que puedan expresarse expresarse y sentirse bien. El adolescente asume conscientemente los resultados de su creatividad, muestra interés por las experiencias científicas. Se comunica de manera libre y autónoma en los diversos contextos donde interactúa. Lo que se esperaría de ellos es que manipulen adecuadamente mapas y planos, empleen la proporcionalidad en el uso de escalas, reconozcan cuando una forma geométrica es regular e irregular. ¿Con qué recursos cuento para plantear actividades y desarrollarlas? Esto involucra investigar entre otros aspectos, los siguientes sobre el tsunami: Reconocer cómo se origina. Cómo afecta a las olas que llegan a las costas. La distancia de penetración de las olas. Qué hacer antes y durante el tsúnami, etc. ¿Qué conocimientos están vinculados a esta situación? Es necesario elaborar un esquema de los mapas. serepresentan mediante quetienen Coordenadas geográficas Coordenadas cartesianas Figuras poligonales serepresentan Forma Tamaño Reducir Ampliar cuadriculas Polígonos conocidos secalcula por sonde Tres tipos Geométricamente MAPAS La superficie Gráficas Numéricas semiden Escalas TopográficoGeográfico Perfil altimétrico puedeser Regular Irregularestaspermiten
- 18. 18 4. REALIZACIÓN DELA ACTIVIDAD a. Inicio El docente muestra una noticia a los estudiantes sobre un simulacro de sismo y tsunami que se llevó a cabo en la región, pero en el que solo participó el 40 % de la población. A continuación, el docente comparte con los estudiantes un hecho que sucedió hace algunos años: “El 23 de junio de 2001, como resultado de un evento sísmico de tsunami en Camana, provincia de Arequipa, se generaron tres olas, la mayor alcanzó una altura de 8,14 m y causó la muerte de 23 personas, además de 63 desaparecidos y cuantiosos daños materiales”. Asimismo, el docente brinda información a los estudiantes respecto sobre las medidas de prevención que se deben tomar ante un tsunami. El docente formula preguntas interrogantes (lluvia de ideas) a los estudiantes sobre el tsunami y las medidas de prevención que se deben tomar. Asimismo, pregunta sobre el significado de 40%, si menor o mayor que la mitad, y en esta situación qué significa. Esta situación se desarrolla en el aula de Secundaria de un colegio de Arequipa. Arequipa: participación en simulacro de sismo fue de 40 % La participación de la ciudadanía arequipeña durante el I Simulacro Nacional de Sismo y Tsunami fue de solo el 40 %, de acuerdo con la evaluación de la capacidad de respuesta realizada por el Centro de Operaciones de Emergencia de la Provincia de Arequipa. https://www.dhn.mil.pe/cnat/index.php?cat=tsunamis
- 19. 19 El docenteplantea la siguiente interrogante: ¿si nuestra localidad se encuentra en una zona de la costa, qué debemos saber sobre ella para poder actuar en caso de un tsunami? A continuación, muestra mapas de la región que pertenece a la capitanía de la caleta de Quilca, en Arequipa, la cual fue afectada por el tsunami del 2001.
- 20. 20 En casode emergencia, una de la recomendaciones es buscar zonas seguras que se encuentren en sitios altos, es decir, cuyas líneas de seguridad se ubiquen a 30 msnm. Si el lugar se halla a menos altitud, este se considera una zona de amenaza de tsunami. Los estudiantes se organizan en grupos de trabajo, analizan la información de los mapas y se plantean la problemática que van a desarrollar. Al respecto, el docente plantea lo siguiente: "Supongamos que ustedes forman parte del co- mité de defensa civil de la caleta de Quilca. ¿Qué estrategias llevarían a cabo para lograr una mayor participación de la población en los simulacros de evacuación frente a los tsunamis?" Las cinco partes planteadas en esta situación: reconoce un problema vinculado a la realidad, concreta una finalidad problemática y reconoce como resolverla, hace suposiciones o experimenta, realiza la formulación matemática, y valida la solución, responden a la propuesta de orientaciones didácticas para desarrollar prácticasdeaprendizajebasadasenproblemasdemodelaciónmatemática.Dicha propuesta se encuentra en el fascículo de Matemática de las Rutas de Aprendizaje (Minedu 2015). I.
- 21. 21 La docente garantizaque los estudiantes comprendan el problema en su contexto, y cuenten con los datos necesarios para resolverlo. Puede reconocerse cómo la docente pro- mueve que el estudiante participe y se conflictue, expresando sus ideas y nocio- nes matemáticas en torno a la situación mostrada. b. Desarrollo 1. Reconocer un problema muy vinculado a la realidad Miriam: Hemos reconocido que la información de los mapas y las imágenes nos ubican en la caleta de Quilca. Docente: ¿Qué información nos proporcionan cada una de estas fuentes? Javier: Expresan líneas y curvas. También nos indican lugares como el faro de Punta Quilca y el desembarcadero pesquero artesanal. Ximena: Además, las líneas están acompañadas de números. Docente: Excelente, Ximena. ¿Qué creen que significa que estos valores de las líneas? Miriam: Las líneas me indican las distancias que hay entre los lugares. Docente: Puedes explicar mejor esto con un ejemplo. Miriam: Sí, profesora. Por ejemplo, la distancia entre el faro de Punta Quilca y el puesto de capitanía de la caleta de Quilca es de aproximadamente 180 metros, porque sumé 60 m + 50 m + 40 m + 40 m, que son los valores que se indican en el mapa.
- 22. 22 Docente: ¿Qué opinael resto del equipo? Alberto: Uhm... Me parece que para conocer la distancia entre el faro de Punta Quilca y el puesto de capitanía de la caleta de Quilca, se tiene que usar la información que se indica debajo del mapa, es decir, hacer uso de la escala. Ximena: Se muestra que el Faro está a una mayor... ahhh..., y que puerto de la capitanía está más cerca del mar. Miriam: Entonces las líneas que están asociadas a los mapas nos permiten reconocer las diferentes alturas respecto al nivel del mar. Docente: ¿Y para qué nos será útil toda esta información Alberto, Ximena, Javier y Miriam: Para hallar las regiones de hasta 30 metros sobre el nivel del mar que pueden ser afectadas por un Tsunami. Prudencio: Profesora, también se podría identificar las zonas de más altura para evadir los estragos del tsunami y establecer una ruta de acceso a ellas según la ubicación de las personas. Docente: Muy bien, Prudencio. ¿Qué conocimientos matemáticos se deben desarrollar? conocimientos matemáticos nos serán necesarios desarrollar. Miriam: uhmm... • Área de regiones regulares e irregulares. • Lectura de mapas a escala gráfica. • Empleo de escalas • Procedimientos de conversión de unidades. Docente: Muy bien. ¿Les parece si en esta situación concretamos nuestro objetivo? Vamos a reconocer los lugares que podrían ser considerados zonas de riesgo de tsunami y las áreas aproximadas que serían afectadas. Docente: Si tomamos como ejemplo el faro de Punta Quilca, ¿qué reconocemos entre los dos mapas?
- 23. 23 2. Concretar una finalidadproblemática y reconocer cómo resolverla Jaime: Profesora, hemos marcado con un color las zonas que serían afectadas por un tsunami. Docente: Muy bien, ¿y características tienen esas zonas? Pamela: En esta situación tenemos problemas, profesora, debido a que muestran tienen formas irregulares. Docente: ¿Y por qué tienen formas irregulares? Fiorella: Es que las curvas nos han indicado las variaciones de altura que hay respecto al nivel del mar, además, estas curvas no son regulares. Docente: Timoteo, ¿cómo podríamos hallar el área en regiones irregulares? Timoteo: Podemos calcular un valor aproximado reconociendo figuras regulares conocidas. Jaime: Sí, y podemos generar cuadrículas en todo el mapa; consideraríamos la medida a escala… Podemos reconocer formas geométricas basadas en cuadrados y rectángulos con el fin de obtener la superficie. 6,5 cm < > 250 m Lado del cuadrado = 0,5 cm Lado del cuadrado = 1,6 cm c. Hace suposiciones o experimentar Desarrollo del grupo 01
- 24. 24 Todos los ladosdel cuadrado = 0,5 cm d. Realizar la formulación matemática Desarrollo del grupo 01 Hay 6 cuadrados que miden aprox. 1,6 cm por lado. Hay 142 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado. Obtenemos el valor real de los cuadrados que miden 1,6 cm por lado, empleando la escala gráfica. Obtenemos el valor real de los cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado, usando la escala gráfica. Área del cuadrado (de aprox. 1.6 cm) = (61.54) (61.54) Área del cuadrado (de aprox. 1.6 cm) = 3787.17 m2 Se cuenta con 6 cuadrados= 6 (3787.17 m2 ) = aprox. 22723.02 m2 L1 = aprox. 61,14 cm Æ Æ L1 = aprox. 19,23 cm Si: Si: = 6,5 cm 1,6 cm 250m L1 = 6,5 cm 0,5 cm 250m L1 =L 250m(1,6cm) (6,5 cm)1 =L 250m(0,5 cm) (6,5 cm)1
- 25. 25 Área del cuadrado(de aprox. 0,5 cm de lado) = (19,23) (19,23) Área del cuadrado (de aprox. 0,5 cm) = 369,79 m2 Se cuenta con 142 cuadrados = 142 (369,79 m2 )= aprox. 52 510,18 m2 Total de área aproximada afectada por un tsunami. Se cuenta con 6 cuadrados = 6(3 787,17 m2 ) = aprox. 22 723,02 m2 Se cuenta con 142 cuadrados = 142(369,79 m2 ) = aprox. 52 510,18 m2 Total área aprox. = 22 723,02 m2 + 52 510,18 m2 En el caso de los cuadrados que miden 0,5 cm por lado: Se considera el conteo de los cuadrados y se halla el área: 179 x 0,25 cm2 = 44,75 cm2 104 x 0,25 cm2 = 26 cm2 Área total = 70,75 cm2 … (1) La escala gráfica muestra lo siguiente: 6,5 cm <> 250 m 1 cm <> x Si: 1 cm <> 38,46 m Considerando (1): 1 cm2 <> 1 479,2 m2 70,75 cm2 <> y Por tanto, el: El área total de la superficie menor o igual que 30 msnm es la siguiente: 11 cm2 <> 1 479,2 m2 Total área aprox. = 75 233,2 m2 Desarrollo del grupo 02 0,5 cm 0,5cm Æ A = (0,5 cm)2 = 0,25 cm2 x x= = 1cm x 250 cm 6.5 cm 38.46m y y= = 70.75cm x1 479,2 cm 1cm 104 653.4m 2 2 2 2 Æ Área total = 104 653,4 m2
- 26. 26 e.Validación de lasolución Solución obtenida por el grupo 1 Solución obtenida por el grupo 2 ❱ Hay 6 cuadrados que miden aprox. 1, 6 cm por lado. ❱ Hay 142 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado. ❱ Un área total de 75 233,2 m2 . ❱ Hay 179 cuadrados que miden aprox. 0,5 cm por lado. ❱ Hay 104 cuadrados compuestos que miden aprox. 0,5 cm por lado. ❱ Un área total de 104 653,4 m2 . Docente: ¿Qué estamos reconociendo de las respuestas y procedimientos desarrollados? Javier: Que los resultados y gráficos de cada grupo son diferentes. Ximena: Profesora, en un gráfico se reconoce que las medidas son de 1,6 cm, mientras que en otro son de 0,5 cm. Docente: ¿Se debe a estas medidas el que no se obtuvieran los mismos valores? Miriam: Es que han sido aproximaciones, además, hay regiones irregulares. Ximena: Profesora, lo que pasa es que nuestro grupo no consideró en el conteo las regiones irregulares como...(grupo 1)
- 27. 27 Docente: ¿Qué hizoel grupo 2 en esta situación? Javier: Docente: ¿Qué opinan del procedimiento? ¿Cómo podríamos obtener con más precisión el área de esta zona de Quilca? Miriam: Podríamos cuadricular más estas regiones y reconocer sus medidas, es decir, dividir los cuadraditos de 0,5 cm de lado a cuadraditos de 0,1 cm x 0,1 cm. Docente: ¿Qué les parece si comprobamos la afirmación de Miriam resolviendo la siguiente situación? (grupo 2) Cuadrados de 0,1 cm
- 28. 28 Docente: ¿Qué conclusionespodemos sacar de la experiencia? Ximena: Mientras más pequeña sea la región que se toma como referencia en la medida de las figuras irregulares, más precisa es esta medida. Javier: Hemos visto un tipo de mapas en de mapas, donde es importante reconocer información sobre la escala y los relieves de las regiones, que en este caso son zonas de riesgo. Fiorella: También hemos usado medidas, conversiones de medidas y relaciones de proporcionalidad. DESCRIPCIÓN DEL MAPA: ❱ ZONA DE ALTO PELIGRO: (es de color rojo. Está circunscrita a un área semicircular alre- dedor del cráter. ❱ ZONA DE MODERADO PELIGRO: (es de color naranja. Se extiende desde los 3.0 km hasta una distancia máxima de 12 km (flanco sur) del cráter. ❱ ZONA DE BAJO PELIGRO: es de color amarillo. Seproyecta hasta un radio aproximado de 16 km alrededor del cráter. 5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD El docente aclara términos que surgieron durante la participación de los estudiantes. Estos se relacionan con los siguientes conceptos: ❱ Relaciones proporcionales. ❱ Regiones regulares e irregulares. ❱ Valores de áreas en cm2 y m2 . Asimismo, explica la siguiente información sobre los mapas topográficos:respecto a los mapas topográficos: Dada la forma tridimensional de una parte deL terreno, se dibujan sobre una superficie plana algunas líneas curvas, llamadas curvas de nivel, en las que confluyen todos los puntos que tienen la misma cota. Cerca de algunas curvas de nivel se indica la altura en metros respecto al nivel del mar.
- 29. 29 SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Acciones quefavorecen la aplicación de los conocimientos geométricos en problemas reales: Acciones que dificultan la aplicación de los conocimientos geométricos en problemas reales: Promover actividades de representación de figuras y cuerpos, en las que se trate un objeto desde varios puntos de vista y con diversos procedimientos. Por ejemplo: Diseñar esquemas de superficies a partir de un contexto dado. Plegar y cortar figuras de tal manera que se aprecien los atributos de forma y propiedades. Determinar el área y el perímetro de regiones sombreadas regulares e irregulares. Considerar diferentes puntos de vista o reconocerlos a partir de relacionar variadas fuentes. Los estudiantes pueden reconocer una única representación de un concepto, de modo que generan la representación de un objeto particular y no de un objeto geométrico general. Por ejemplo: Un ángulo recto debe tener siempre un ángulo horizontal. Para ser lado de una figura, el lado debe de ser siempre vertical. A partir de situaciones basadas en formas dadas, promover la reproducción de formas geométricas de similar o distinto tamaño para explorar en ellas. Por ejemplo: Recortar o reproducir una figura igual, de mayor o menor dimensión. Promover que los estudiantes escuchen, localicen, lean, relacionen e interpreten información geométrica que se obtiene de diferentes fuentes. Por ejemplo: Seguir instrucciones escritas. Atribuir significado a los símbolos convencionales. Inventar símbolos y luego compararlos con los convencionales. No tener cuidado con términos que tienen sonido parecido, pero significado distinto; por ejemplo: razón y radio, generatriz y bisectriz, etc. Usar términos del lenguaje cotidiano cuando no significan lo mismo en términos matemáticos. Por ejemplo: Línea y recta Borde y perímetro Congruente e igual Dirección y sentido, etc. A Lado LadoLado Lado B O 90º 90º 90º 90º 90º
- 30. 30 Resumen de lasecuencia didáctica de la situación INICIO DESARROLLO CIERRE Presentación de una situación relacionada con la prevención de riesgos. Fuentes de información Relacionan fuentes de información Concretan una finalidad relacionada con el uso de escalas, mapas y áreas en regiones irregulares Empleo de instrumentos (también se pueden utilizar las TIC, por ejemplo, Google Earth), desarrollo trazos a partir de diversos puntos de vista. Uso de la proporcionalidad para identificar relaciones entre cantidades y establecer valores en cm, cm2 , m y m2 . Características de los mapas topográficos, reconocimiento de procedimientos para calcular el valor de área de regiones en mapas o planos a escala. Conexiones con saberes previosReconocer un problema vinculado a la realidad Los estudiantes analizan y asocian información sobre el reconocimiento de zonas de riesgo de tsunami. Concretar una finalidad problemática y y establecer cómo resolverla En equipos de trabajo, los estudiantes se plantean cómo localizar la zona de riesgo de tsunami, así como el área que se vería afectada. Lanzar suposiciones o experimentar Cada grupo de trabajo entiende que es necesario hallar el área de las regiones irregulares. Para conseguirlo, utilizan diversos planteamientos de solución, a partir de instrumentos y trazos. Realizar la formulación matemática Los grupos ubican el área de la región expuesta a un tsunami, gracias a valores de equivalencia relacionados a escala, conceptos de área y regiones conocidas basadas en cuadrados. Validar la solución Los estudiantes obtienen diversos valores a como solución del problema, debido a los diversos métodos efectuados. Sin embargo, comprueban que mientras más pequeñas sean las unidades de referencia, los resultados se aproximan más a los valores reales de la superficie de la situación. Los estudiantes reconocen los procedimientos efectuados para calcular el área de las zonas de tsunami y transfieren los conocimientos a otra situación. Fuentes de información Razón, proporcionalidad, escalas Conversión de unidades Regiones regulares e irregulares
- 31. 31 Escribe las respuestasde la sección “Reflexionando sobre la primera situación propuesta” según las indicaciones y colócalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA PRIMERA SITUACIÓN PROPUESTA Reflexiona sobre la situación planteada y, a partir de ella, responde las siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. Según la situación planteada: a. Revisa los comentarios del docente durante la situación planteada e identifica momen- tos en que los estudiantes llevan a cabo lo siguiente: Relacionan información a partir de dos fuentes. Tienen conflictos que pueden generar la lectura de un mapa topográfico. Las acciones que ejecutan los orientan a a superar el conflicto. Seleccionan y utilizan la unidad de referencia apropiada para determinar las regio- nes sombreadas. 1. ANÁLISIS DELTEXTO a. ¿Qué aspectos del rol desempeñado por el docente implementas en tu aula? b. Según tu experiencia, menciona un factor que favorece la aplicación de conocimientos geométricos en situaciones reales, así como uno que lo dificulta (deben ser distintos a los de la tabla de sugerencias metodológicas). Identifica dos aspectos de tu entorno que puedes considerar al momento de plantear situaciones problemáticas relacionadas con el empleo de mapas a escala. Revisa el "Mapa de progreso de la competencia" (Minedu 2015:110-114). a. Identifica aspectos relacionados con esta situación. b. Describe los aspectos que aplicarías en una sesión correspondiente. 2. RELACIÓN CONTU PRÁCTICA PEDAGÓGICA 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 4. RELACIÓN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL
- 32. 32 Indicaciones Extensión máxima deldocumento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mate Sec Geo Tarea 1_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
- 33. 33 PRIMERTALLER PRESENCIAL Los tallerespresenciales tienen como finalidad acompañar a los do- centes en su proceso de formación profesional y desarrollo personal. Promueven la reflexión sobre la didáctica de la matemática desde el enfoque basado en la resolución de problemas. Ofrecen información actualizada y difunden prácticas pedagógicas, secuencias didácticas, actividades, videos y publicaciones específicas. Generan un clima de confianza y camaradería entre los docentes. 1. PROPÓSITOS El participante: Se presenta ante el grupo y expresa sus inquietudes y expectativas sobre el módulo; se familiariza con este y aclara dudas sobre que ahí se plantean. Comparte con los otros docentes su comprensión sobre las propuestas pedagógicas que debe aplicar el aula, así como las narraciones documentadas respectivas. Propone actividades relacionadas con las nociones previas para el reconocimiento de áreas en regiones irregulares a partir de mapas topográficos. Comparte sus opiniones sobre la lectura motivadora. Comparte con otros docentes sus ideas acerca de cómo se construyen las nociones de perímetro y área de figuras planas considerando mapas y planos. Comparte sus respuestas sobre la tarea que se desarrolló en la primera situación de aprendizaje.primera situación de aprendizaje.
- 34. 34 Aplicar enel aula nuevas estrategias aprendidas en el taller. Iniciar el diseño de las propuestas de las prácticas pedagógicas que se aplicarán en el aula. Organizar un cronograma de fechas en la que cada docente comparta con sus colegas estrategias didácticas sobre la enseñanza de la geometría. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS 2. TEMAS ATRATAR: Lectura previa: “La recta y el punto: un romance matemático”. Situación para la reflexión pedagógica 1: “Aplicamos la geometría en áreas de recreación de nuestro entorno”. Esquema del módulo, tareas, orientaciones para la propuesta de práctica pedagógica y orientaciones para la narración documentada.
- 35. 35 SEGUNDA SITUACIÓN PARA LAREFLEXIÓN PEDAGÓGICA [[DISEÑANDO CÍRCULOS DE SEGURIDAD Esta situación se plantea a los estudiantes, a fin de que propongan alarmas de Tsunami, reconozcan el valor de distancias inaccesibles, empleando conocimientos sobre el teorema de Pitágoras, la circunferencia y puntos notables, poniendo énfasis en las estrategias de resolución de problemas. PROPÓSITO APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD REALIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD CIERRE DE LA ACTIVIDAD Desarrollar la competencia de "Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización", empleando conocimientos del teorema de Pitágoras, el punto notable circuncentro para resolver un problema de su comunidad. Seleccionar información para obtener datos relevantes en situaciones de distancias inaccesibles, ubicación de cuerpos, y de superficies, con el fin de dar a conocer un modelo que refiera a relaciones métricas de un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras y ángulos de elevación y depresión. Expresar las relaciones métricas en un triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras). Emplear procedimientos con líneas y puntos notables del triángulo y la circunferencia al resolver problemas. Expresar las líneas y puntos notables del triángulo usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas. 1. PROPÓSITO 2. APRENDIZAJES QUE LOGRAN LOS ESTUDIANTES 3. PREPARACIÓN DE LA ACTIVIDAD El docente reconoce una problemática relacionada con la prevención de riesgos. A partir de la situación se plantea las siguientes interrogantes. SECUENCIA DIDÁCTICA: PROPONEMOS ALARMAS PARA ALERTAR DETSUNAMIS HACIENDO USO DE LA GEOMETRÍA
- 36. 36 ¿Qué aprendizajes voya promover con esta situación? ¿Qué conocimientos espero que los estudiantes adquieran? En esta situación los estudiantes van a analizar información, realizar trazos, emplear escala. Con esto, se pretende que los estudiantes resuelvan problemas. ¿Cuáles son las características de mis estudiantes? ¿Qué esperaría de ellos al desarrollar sus aprendizajes? En el VII ciclo los adolescentes están en condiciones de desarrollar aprendizajes más complejos. En lo social y emocional, se vuelven más autónomos, tienden a la formación de grupos, en los cuales pueden expresarse y sentirse bien. El adolescente asume conscientemente los resultados de su creatividad, muestra interés por las experiencias científicas. Y se comunica de manera libre y autónoma en los diversos contextos donde interactúa. ¿Con que recursos cuento para plantear actividades y llevarlas a cabo? Esto involucra analizarla siguiente información en torno al punto de la capitanía de Quilca. Reconocer las distancias a partir de las condiciones del problema. Emplear escalas. Hallar ángulos de elevación y depresión. ¿Qué conocimientos se vinculan con esta situación? PUNTOS NOTABLES Para hallar ángulos de elevación CIRCUNCENTRO Intersección de mediatrices Circuncentro RELACIONES MÉTRICAS TEOREMA DE PITÁGORAS LÍnea de mira ángulo de elevación Observador Línea horizontal Objeto TRIÁNGULOS MEDIANAALTURABISECTRIZMEDIATRIZ LÍNEAS NOTABLES Para hallar distancias inaccesibles A c b aC B c2 =a2 +b2 LADOS VÉRTICES ÁNGULOS
- 37. 37 4. REALIZACIÓN DELA ACTIVIDAD: a. Inicio El docente muestra el afiche informativo de un sistema de alerta para tsunamis. Asimismo, enseña el mapa topográfico de la región de la capitanía de Quilca. TSUNAMI SISTEMAS DE ALERTA TEMPRANA Sirenas de alta potencia, voz y sonido; cobertura individual de un radio de 250 m aproximadamente, según condiciones de terreno. Bocinas fabricadas en aluminio de alta resistencia frente a condiciones ambientales. Unidad de control en gabinete metálico, para instalación en intemperie. Alimentación monofásica de 220 vac con respaldo de baterías. Esta situación presenta en el aula de Secundaria de un I. E. en Arequipa.
- 38. 38 El docente planteala siguiente situación: “La capitanía de Quilca se dispone a instalar sistemas de alarmas, contra tsunamis por encima de las zonas de riesgo como una medida de prevención. De esta forma, la población podrá reconocer la procedencia de la alerta y dirigirse a ese lugar”. Propón lugares donde ubicarías las alarmas y justifica su radio de acción con respecto a la población. Calcula la distancia entre el puesto de capitanía y cada alarma (considerar que los postes para las alarmas tienen una altura aprox. de 5 m). Halla el ángulo de elevación con que el jefe de capitanía verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas asume que la altura promedio de una persona es 1,75 m). Si deseas instalar tres postes de alarma tomando como criterio que estén en la misma distancia que puesto de la capitanía y cumplan su función, ubica en el mapa qué puntos serían. Al respecto, el docente plantea lo siguiente: supongamos que ustedes forman parte del comité de defensa civil de la caleta de Quilca. ¿Qué procedimientos llevarían a cabo para ubicar las zonas seguras y rutas de acceso con el fin de promover la realización consciente de simulacros y así consciente de simulacros y evitar pérdidas de vidas humanas? Los estudiantes se organizan en grupos de trabajo, analizan la información de los mapas e imágenes, y se plantean la problemática que van a desarrollar. A continuación, se muestra el desarrollo de un taller matemático, el objetivo de esta orientación didácticaesqueelestudianteseenfrente aproblemascon un gradode complejidadparaque mo- vilicen sus competencias y capacides desarrolladas. Esto involucra lo siguiente: — La familiarización. — Problemas de traducción simple — Problemas de traducción compleja — Problemas de interpretación, aplicación y valoración Del documento Rutas del Aprendizaje, versión 2015. Matemática, ciclo VII. b. Desarrollo Familiarización De acuerdo con la problemática que se plantea en la situación, los estudiantes reconocen condiciones que se exponen. Por ejemplo, para resolver el primer problema, ubican las zonas pobladas en el mapa y las resaltan con un color, con el fin de saber dónde se colocarían las alarmas de prevención contra tsunamis.
- 39. 39 A continuación, losestudiantes reconocen y plantean propuestas basadas en razonamientos sobre la ubicación de las alarmas. Docente: ¿Cómo van, chicos? Maritza: Profesora, hemos llegado a la conclusión de que para proponer las alarmas debemos de saber las zonas que están pobladas en Quilca. Docente: ¿Qué otras condiciones debemos saber para ubicar las alarmas? Jaime: Profesora, debemos conocer la medida del radio de acción de las alarmas. Estas tienen que estar distribuidas de tal forma que no sobren ni falten. Docente: Y como hallamos este radio de acción. Evelyn: Según lo que nos indica la situación, el radio de acción es de 250 m. Podemos emplear la escala gráfica para hallar este valor en el mapa. PROBLEMA DE TRADUCCIÓN SIMPLE Grupo 01 Actividad 01 Plantea tres lugares donde ubicarías las alarmas, justificando su radio de acción con respecto a la población.
- 40. 40 Los estudiantes pormedio de la regla y compas van proponiendo las zonas donde se colocarían las alarmas. La docente adopta el rol de coordinadora y solo interviene como mediadora. Cada grupo de trabajo expresa sus planteamientos, los cuales se basan en razonamientos consensuados entre los miembros. Por ejemplo, el grupo 2, ubicaría un poste para la alarma cerca del faro, mientras que el grupo 1 lo colocaría en el otro extremo de la bahía . Reconocimiento para una alarma. Grupo 02 Actividad 2 Halla la distancia entre el puesto de la capitanía y cada alarma (considerar que los postes para las alarmas tienen una altura aprox. de 5 metros). a. Reconociendo la distancia entre el punto de capitanía (P) y la alarma (A). b. Hallando el valor real de la distancia AP como base. L1 = aprox. 165,4 cm Si: L 250m(4.3cm) (6.5 cm)1 = Æ A B Alturasobre elniveldelmar 350 300 250 200 150 100 50 0 0 3 6 91 4 7 10 122 5 8 11 13 14 15 16 río 6,5 cm 250 m 4,3 cm L1 =
- 41. 41 c. Expresando losvalores y condiciones del problema en forma gráfica d. Hallando el valor d1 . En el ABP: (d1 ) = (35 m)2 + (165,4 m)2 d (35m) (165,4m) d 1225m 27357,16m d 169.1m 1 2 2 1 2 2 1 2 = + = + = La resolución de este problema involucra varias etapas, entre las que se encuentran las siguientes: — Identificar los datos en el mapa. — Hallar el valor real a partir de la escala gráfica. — Representar la situación y considerar puntos particulares en un soporte gráfico. — Formular una ecuación (basada en el teorema de Pitágoras) para resolver el problema. — El estudiante puede plantearse interrogantes para reconocer la resolución de un problema mostrado. Es decir, el desarrollo de este problema involucra la movilización y combinación de estrategias heurísticas. Capitanía de Quilca 165,54 m d1 35 m 10 m 5 m 165,4 m d1 35 m A P B
- 42. 42 Actividad 3 Halla elángulo de elevación con que el jefe de capitanía verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas (se asume que la altura promedio de una persona es 1,75 m). Hallando el ángulo de elevación con el que el jefe de capitanía puede ver una alarma para verificar su permanencia y funcionamiento. a. Reconociendo la distancia entre el punto de capitanía (P) y la alarma (A). b. Expresando los valores y condiciones del problema en forma gráfica. c. Hallando el valor d1 . A B Capitanía de Quilca Línea de mira Ángulo de elevación Línea horizontal 165,4 m d1 α 33,25 m 1,75 m 10 m 5 m 165.4 m d1 33,25 m A P B α
- 43. 43 En el ABP: Para: d.Usand la tabla de valores naturales de las RT. Tg 33,25m 165,4 m Tg 0,2 α α = = Tg 0,2α = Ang. Sen Cen Tan Ctg Sec Cosec 0° 00 0,0000 1,0000 0,0000 --------- 1,0000 --------- 90° 00' 1° 00 0,0175 0,9998 0,0175 57,290 1,0002 57,299 89° 00' 2° 00 0,0349 0,9994 0,0349 28,636 1,0006 28,654 88° 00' 3° 00 0,0523 0,9986 0,0524 19,081 1,0014 19,107 87° 00' 4° 00 0,0698 0,9976 0,0699 14,301 1,0024 14,336 86° 00' 5° 00 0,0872 0,9962 0,0875 11,430 1,0038 11,474 85° 00' 6° 00 0,1045 0,9945 0,1051 9,5144 1,0055 9,5668 84° 00' 7° 00 0,1219 0,9925 0,1228 8,1443 1,0075 8,2055 83° 00' 8° 00 0,1392 0,9903 0,1405 7,1154 1,0098 7,1853 82° 00' 9° 00 0,1564 0,9877 0,1584 6,3138 1,0125 6,3925 81° 00' 10° 00 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713 1,0154 5,7588 80° 00' 11° 00 0,1908 0,9816 0,1944 5,1446 1,0187 5,2408 79° 00' 13° 00 0,2079 0,9781 0,2126 4,7046 1,0223 4,8097 78° 00' Toma el valor aproximado de 11°. El ángulo de elevación con que observa una persona la alarma señalada es de 11° aprox. α = 11° En la resolución de este tipo de problemas de traducción compleja, en la que se desarrollan varias etapas y estrategias heurísticas, el docente promueve la reflexión del estudiante planteando interrogantes. Por ejemplo: — ¿Qué procedimientos te permitieron resolver el pro- blema? — ¿En que parte del problema encontraste una dificul- tad?, ¿cómo la superaste? — Si ahora quisiéramos hallar la distancia del obser- vador a la alarma, ¿cómo variarían los datos en relación con la actividad 2? Es decir, en el desarrollo de este problema involucra la movilización y combinación de estrategias heurísticas.
- 44. 44 Problemas de interpretación,aplicación y valoración Actividad 04 La instalación de las alarmas, requieren de una unidad de control, que equidiste de las ubicaciones de las tres alarmas planteadas. Reconoce dónde estaría situada la unidad de control y toma en consideración que debe encontrarse fuera de la zona de riesgo de tsunami. Para esta actividad, podrás considerar hacer ajustes a la propuesta inicial desarrollada en la primera actividad. A continuación, se muestra el fragmento de un diálogo, en el cual se reconoce que el empleo del concepto de la mediatriz está relacionado con el del circuncentro, el cual es importante para hallar el punto en que equidistan las alarmas planteadas en el problema. En los dos extractos siguientes de la clase, se ilustran formas de razonamiento para llevar a cabo una construcción geométrica con respecto al problema. En la primera sección, un estudiante pretende utilizar un procedimiento de construcción del punto medio del segmento, para lo cual utiliza una regla graduada. Docente: Por tanto, la mediatriz del segmento no es nada más que la línea recta perpendicular a dicho segmento, al que divide en dos partes exactamente iguales, ¿de acuerdo? La división se hace para conseguir el punto medio de ese segmento y partirlo en dos partes iguales. Alexánder: ¿Podría medirla con esto? (Levanta una regla). Docente: Podría medirlo con la regla, pero me saldría exactamente igual. Podría... Patricio: Con el compás. Docente: Con el compás... (agarra el compás). El compás es el instrumento de medida adecuado para que el centro del segmento me salga a la perfección. Por otro lado, en el extracto que aparece a continuación docente comprueba que la construcción cumple las propiedades de la definición. Docente: Por tanto, una condición es que la recta que divide el segmento en dos partes iguales es la mediatriz del segmento que ha de ser perpendicular. ¿Cómo El desarrollo de este tipo de problemas adquiere de un alto grado de complejidad debido a que involucra la movilización de referentes conceptuales y el desarrollo de procedimientos creativos, debidamente justificados en la solución.
- 45. 45 Asimismo, con respectoa la situación planteada, algunos grupos de trabajo van a ubicar la unidad de control dentro de la zona de riesgo de tsunami; por esto, va a realizar ajustes a la propuesta empleando los conceptos de circuncentro y mediatrices. Igualmente, el procedimiento requiere una lectura y comprensión del mapa para que se puedan proponer otros puntos de ubicación de las alarmas. puedo yo saber si estas dos rectas son perpendiculares? ¿De qué manera lo puedo verificar? Perpendicular (con las manos señala los cuatro cuadrantes que se forman en la intersección del segmento y la recta perpendicular a este). Hugo: Midiéndolo con el transportador de ángulos. Docente: Midiéndolo con el transportador de ángulos (agarra el transportador de ángulos). Anely: Es un ángulo recto. Docente: Y me tiene que dar... Kenny: Un ángulo recto, noventa grados. Docente: ... y me tiene que dar cuatro ángulos rectos. Uno, dos, tres y cuatro. Si yo pongo el transportador de ángulos aquí (coloca el transportador sobre el segmento y mide el ángulo del primer cuadrante) y lo hago coincidir, seguro que, que me sale perfectamente un ángulo de 90º. ¿Lo ven? Si lo pongo al revés, aquí me sale también exactamente 90º. Por lo tanto, yo puedo decir que la mediatriz del segmento y que lo divide en dos partes perfectamente iguales. Exactamente.
- 46. 46 En las siguientespropuestas los estudiantes han desarrollado las mediatrices respecto a los lados, los cuales resultan de la triangulación de los lugares de las alarmas, así como del empleo del circuncentro. Propuesta 2 Unidad de control Alarma 2 Alarma 3 Alarma 1 Propuesta 1 Alarma 2 Alarma 3 Unidad de control Alarma 1
- 47. 47 Respecto al problema3 5. CIERRE DE LA ACTIVIDAD Los estudiantes en grupos de trabajo elaboran organizadores. En ellos se muestran los pasos para resolver los problemas planteados y los conceptos que han empleado en dicho proceso. Respecto al problema 4 Trazo de mediatrices Punto equidistante Selecciónde puntos Uniónde puntos Construcción dela circunferencia Trazo deltriángulo Intersección de mediatrices Por ejemplo: Por ejemplo: Para hallar el ángulo de elevación con que el jefe de la capitanía verifica la permanencia y funcionamiento de las alarmas. ÁNGULO DEELEVACIÓN Seconsideralaalturadel puntodelacapitaníaylaaltura delapersonaqueobserva. AplicacióndeR.T. Modelación delasituación AplicacióndeR.T. Usodelaescala gráfica Conversión decmam Establecelosvalores deloscatetos Aplicación detangente Usodelatabla devaloresnaturales delasR.T. 158,1 m 33,25m
- 48. 48 SUGERENCIAS METODOLÓGICAS Acciones quefavorecen la aplicación de los conocimientos geométricos en problemas reales. Acciones que dificultan la aplicación de los conocimientos geométricos en problemas reales. Un aprendizaje significativo de conceptos y propiedades de la geometría debe ir de la mano con la realización de actividades de comprobación y verificación. Por ello, es aconsejable efectuar actividades de construcción con regla y compas, a la vez que se desarrollan y profundizan en los conocimientos geométricos. Los procedimientos deben ponerse en práctica de una manera sencilla. El uso de métodos de organización de ideas, como como los mapas conceptu- ales o mentales, permite representar los conceptos relacionados con símbolos. Así, un mapa mental parte de una palabra central, alrededor de la cual se definen cinco a diez ideas principales que guardan relación con ella. Plantear a los estudiantes, situaciones de desafío en las que deban utilizar uno o más procedimientos de construcción aprendidos. A la vez, darles libertad para que apliquen su creatividad en la resolución de dichos problemas. A continuación, veamos algunos. Inducir a los estudiantes a realizar algunos trazos auxiliares en la resolución de ciertos problemas les dará un panorama cada vez más amplio de las potencialidades de las propiedades en la resolución de problemas. Planteamiento de prácticas totalmente desligas de una construcción geométrica. En otras palabras, se desarrolla una geometría que no se encuentra sostenida por una base espacial suficientemente sólida. No tener en cuenta los recursos didácticos estructurados, semiestructurados ni los recursos TIC (geoplano, plantillas de figuras, etc.) para la construcción de los conceptos geométricos se convierte en una fuente inagotable de obstáculos didácticos que quitan consistencia y rigor al aprendizaje de esta materia. La enseñanza de la geometría, basada en métodos de demostración y en ejercicios tipos de aplicación de reglas y algoritmos geométricos, permite resolver problemas del mundo real y otras disciplinas.
- 49. 49 Resumen de lasecuencia didáctica de la situación INICIO DESARROLLO CIERRE Presentación de una situación relacionada con desastres naturales. Fuentes de información Identificar información relevante Proponer tres puntos para instalar alarmas de tsunami Problemas para hallar distancias y longitudes inaccesibles Dificultades para reconocer puntos equidistantes Concepto de mediatriz y circuncentro Conexiones con saberes previos Familiarización Los estudiantes analizan y relacionan información respecto a la imple- mentación de alarmas. Problemas de traducción simple Los estudiantes realizan trazos a partir de las condiciones dadas en la situación; los planteamientos son variados en cada grupo de trabajo. Problemas de traducción compleja Los estudiantes desarrollan representa- ciones gráficas, en las que reflejan las condiciones del problema, además, efectúan varios procesos y emplean de forma flexible estrategias heurísticas. Problemas de interpretación, aplicación y valoración Los estudiantes emplean conceptos sobre puntos y líneas notables asociadas al triángulo. Sus trazos a realizan refieren a un proceso más reflexivo respecto a la condición del problema. Los estudiantes reconocen los procedimientos que se llevan a cabo para establecer las zonas de Tsunanmi, y como obtener el área, lo trasfieren a otra situación. Fuentes de información Trazos asociados a la circunferencia Regiones regulares e irregulares Teorema de Pitágoras Ángulo de elevación y depresión
- 50. 50 TAREA Luego de leerel texto, responde las siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. Señala tres procesos de aprendizaje que hayas observado en la situación que has leído. Señala en qué parte se evidencian dichos procesos y explícalos (usa de referencia la página 19 del Módulo de Actualización sobre Condiciones para Aprender). 1. ANÁLISIS DELTEXTO Primero, revisa los textos “Resolvamos 1” y “Resolvamos 2”, y encuentra dos problemas relacionados con la geometría. Segundo, revisa la página 114 de la Rutas del Aprendizaje, versión 2015, mapas del progreso. Matemática. "Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización" además, señala qué aspectos de la descripción de los niveles se desarrollan en los dos problemas elegidos. Finalmente, fundamenta tu respuesta. • ¿Has empleado previamente el enfoque de resolución de problemas al desarrollar algún concepto matemático? • Si la respuesta es positiva, señala tres ventajas que hayas comprobado al enseñar bajo dicho enfoque. Si la respuesta es negativa, menciona tres ventajas que crees que puede tener su uso. 2. RELACIÓN CONTU PRÁCTICA PEDAGÓGICA Redacta un problema que sea distinto del formulado en esta segunda situación, y que permita el uso de los conocimientos de círculo, circunferencia, puntos notables y el teorema de Pitágoras, para resolver una situación real. Recuerda que debe estar contextualizado a tu grupo de estudiantes y sus intereses. Además, ten presente que debes incluir preguntas de alta demanda cognitiva. 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES 4. RELACIÓN CON EL CURRÍCULO [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA SEGUNDA SITUACIÓN PROPUESTA
- 51. 51 Escribe las respuestasde la sección “Reflexionando sobre la segunda situación propuesta”, de acuerdo con las indicaciones, y colócalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensión máxima del documento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Secundaria III. Tarea 2_Apellido y nombre Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
- 52. 52 El círculo deinteraprendizaje colaborativo (CIAC), al ser una práctica pedagógica orientada a la profesionalización docente, tiene por finalidad que este amplíe y enriquezca, de forma colectiva, su propio desempeño mediante el análisis de su práctica pedagógica en el aula. 2. PREPARACIÓN PARA EL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE 3. ACUERDOSY COMPROMISOS El participante: Revisa las respuestas de la sección "Segunda situación para la reflexión pedagógica". Reconoce y registra ideas centrales del enfoque del área esta sección. Escribe las dudas e interrogantes que le suscita el material del módulo. Selecciona actividades y estrategias para la enseñanza de la geometría, según el cronograma establecido en el "Primer taller presencial". Concretar en su aula algunas de las ideas y sugerencias recogidas de sus colegas en el CIAC. Diseñar actividades en las que los estudiantes tengan la oportunidad de desarrollar las competencias y las capacidades matemáticas planteadas en el fascículo de Matemática de las Rutas del Aprendizaje (Minedu 2015). Preparar estrategias didácticas para la enseñanza de la geometría con el fin de compartirlas con sus colegas la semana siguiente. Incluir la manipulación de material concreto como parte importante de la enseñanza de conceptos de geometría. 1. PROPÓSITOS Comparte sus opiniones sobre la"Segunda situación para la reflexión pedagógica". Identifica y comenta las ideas que subyacen a esta sección. Comparte el desarrollo de la tarea con sus colegas. Propone actividades y estrategias para el desarrollo de la competencia financiera en los estudiantes y dialoga sobre ellos. CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 1 Comienza a pensar en las prácticas pedagógicas que podrías aplicar en tu aula. Desarrollarás dos de ellas.
- 53. 53 A continuación, teofrecemos algunas pautas para la elaboración de las propuestas de práctica pedagógica que realizarás en el aula. 1. Vuelve a revisar la sección: “Segunda situación para la reflexión pedagógica”, a fin de elaborar tu propuesta. 2. Adapta la secuencia didáctica propuesta en esa sección para aplicarla en el aula de acuerdo con tu realidad y las características de tus estudiantes. 3. Plantea una propuesta pedagógica donde se evidencien las capacidades de matema- tización, comunicación, representación y argumentación, así como el uso de diversas estrategias y actividades que promuevan el razonamiento y la problematización perma- nente de los estudiantes. También debe asegurar acciones que promuevan un clima fa- vorable y de confianza en el que los estudiantes manifiesten libremente lo que piensan y proponen, así como actividades de vivenciación y uso de materiales manipulativos durante la secuencia. 4. Continúa la elaboración de las propuestas tomando en cuenta los siguientes aspectos: Nombre de la propuesta pedagógica Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar Propósito con el que los estudiantes desarrollarán la situación Secuencia de las actividades que realizarán. Registro de sus avances. 5. Recuerda que la propuesta será entregada en el aula virtual en la fecha indicada. Orientaciones para la elaboración de la segunda práctica pedagógica Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienen en un foro de intercambio paraconcretar los propósitos del círculode interaprendizaje, así como losacuerdos y compromisos. Nota
- 54. 54 ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA Profundización teóricaypedagógica Tradicionalmente, el aprendizaje de la geometría se ha fundamentado en el desarrollo ló- gico que tenía básicamente como única referencia el contenido de los libros que forman la obra Elementos, Euclides. Este planteamiento seguía las pautas correspondientes a lo que usualmente entendemos como método axiomático (proposiciones que constituyen el punto de partida de la teoría, sin ser deducidas de otras proposiciones). A Euclides se le debe la primera tentativa de la axiomatización de la geometría, la cual re- ferencia a quince axiomas. El axioma más célebre Euclides, denominado quinto postulado, puede ser enunciado así: "Por un punto pasa una paralela a una recta y solo una”. En la práctica escolar este aprendizaje comporta que los estudiantes memoricen aspectos como propiedades y definiciones sin que muchas veces se tenga en cuenta su comprensión. Por ejemplo, este dinero depositado (capital) será trabajado por la mencionada entidad y parte del dinero generado con él será “pagado” al dueño del depósito, en este caso, tú. En cambio, si solicitas un préstamo bancario (capital) a cualquier entidad financiera, le tendrás que pagar intereses a ella. En cartografía, la escala es definida como la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad (en un mapa, plano, esquema o croquis, dibujo, etc.). Estas pueden ser grandes y pequeñas. La escala también puede numérica o gráfica: La geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula. ESCALA ESCALA 1: 10,000 500 m Escala numérica Escala gráfica 100 m
- 55. 55 Así pues, debemostener en cuenta los siguientes aspectos al trabajar con escalas: La relación entre una distancia medida sobre un plano a una escala dada y la distancia que hay en la realidad se establece mediante una simple correspondencia entre la medida realizada sobre el plano (mm, cm, etc.) y la medida real (mm, cm, etc.). Podemos trabajar con cualquier unidad de medida siempre que hablemos de distancia, nunca de volumen o área, los cuales no se pueden obtener de manera directa al aplicar la escala. Todas las mediciones efectuadas en un levantamiento topográfico deben ser representadas gráficamente y en forma precisa. Generalmente, los planos topográficos son utilizados para la elaboración de algún proyecto, por lo que es necesario plasmar en ellos y ellos, de forma resumida, la mayor información posible. Cualquier persona que desee trabajar con un plano topográfico debe ser capaz de tomar de él, de manera analítica o mediante medición directa, cualquier tipo de información necesaria: coordenadas, distancias, cotas, elevaciones, depresiones etc. Cálculo de distancia con escala En un mapa 1:10,000 da igual decir lo siguiente: 1 m en plano <> 10,000 m en realidad 1 mm en plano <> 10,000 mm en realidad 1 cm en plano <> 10,000 cm en realidad Entonces, si queremos hallar la distancia entre los puntos A y B por medio de la escala gráfica, debemos considerar: Centímetros en el plano Metros reales 6,5 cm 250 m 8 cm ¿? Si: = 6,5 cm 8 cm 250m L1 =L (250m)(8 cm) (6,5 cm)1 =L aprox. 203,125 m1 6,5 cm < > 250 m A B 8 cm
- 56. 56 Cálculo de áreas Enfunción de la forma de la superficie, podemos elegir varios modos de cálculo del área. Æ Considerar polígonos regulares: El área rectangular es: L1 x L2 = 7395,85 m2 Si: = X 250m 2,5 cm 6,5 cm = X 250m 2 cm 6,5 cm L1 = 96,15 m L2 = 76,92 m 2 cm 2.5 cm Æ Considerarpolígonos irregulares: Para conocer el área de una superficie, dibujamos cuadrícu- las en ella. Contamos el número de cuadrículas completas que quedan dentro de la superficie considerada. A continuación, estimamos el porcentaje de la superficie que queda dentro del área a calcular de las cuadrículas res- tantes, y contamos su número. Medimos una cuadrícula y hallamos su área, luego procede- mos a multiplicar por el número de cuadrículas.
- 57. 57 La circunferencia esuna línea curva plana cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro punto llamado centro. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie, llamada círculo. El término equidistar significa 'estar a la misma distancia'. Sus principales elementos son centro, radio, diámetro, cuerda y semicircunferencia. Una semicircunferencia es cada una de las partes en las que un diámetro divide a la circunferencia. CIRCUNFERENCIA Centro Conjuntos de puntos que comprenden a una circunferencia y a su interior: CÍRCULO Conjuntos de puntos que conforman el borde del círculo: CIRCUNFERENCIA Plano • Círculo Es la superficie plana que está que está limitada por la circunferencia. • Radio Es toda recta limitada por el centro y un punto de la circunferencia. Un círculo tiene infinitos radios y todos ellos son iguales: OD, OB, OA y OC son radios. • Cuerdas Es toda recta limitada por dos puntos de la circunferencia. • Diámetro Es toda cuerda que pasa por el centro círculo, además, es el doble del radio. Los infinitos diámetros de un mismo círculo son iguales. El diámetro también divide en dos partes iguales a la circunferencia. Cuerda Diámetro O C D A B
- 58. 58 Entre dos circunferencias,se pueden presentar situaciones, en las cuales las circunferencias adquieren posiciones relativas. Exteriores: los puntos de cada circunferencia son exteriores a la otra. Interiores: los puntos de una de las circunferencias son interiores a la otra. Además, si tienen el mismo centro, decimos que son concéntricas. Tangentes: se presenta un punto en común y serán tangentes exteriores o tangentes interiores, dependiendo de la posición de los puntos que no son comunes a ambas. 1. Centro: punto fijo O. 2. Radio: segmento de recta que une el centro con cualquiera de los puntos de la circunferencia. R=OB 3. Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia. (PQ) 4. Diámetro (D): cuerda que pasa por el centro; también recibe el nombre de cuerda máxima. Divide la circunferencia en dos partes iguales, llamadas semicircunferencias. AB = 2R = D 5. Secante: recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos. (L1) 6. Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un punto, llamado punto de tangencia. (L2) Dos circunferencias Elementos de la circunferencia A 01 02 Cd R1 R2 B P Q A O B E T L2 L1 L3
- 59. 59 7. Normal: recta quepasa por el centro y por el punto de tangencia. (L3) 8. Flecha: parte del radio que se origina al trazar una cuerda perpendicular. (ET) 9. Arco: parte de la circunferencia PQ. En la figura la cuerda P subtiende al arco PQ. Se mide en unidades de longitud o también en unidades angulares. Toda la circunferencia mide 360°. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES La altura Es la recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación. Ortocentro Punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. Todo triángulo tiene un ortocentro. En un triángulo obtusángulo Característica: el ortocentro es un punto exterior. A A A B B B Acutángulo Obtusángulo Rectángulo H H Ortocentro C C C
- 60. 60 Mediana Es el segmentode recta que une un vértice con el punto medio del triángulo del lado opuesto. Baricentro o gravicentro Punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. En un triángulo acutángulo Característica: el ortocentro es un punto interior. En un triángulo rectángulo Característica: el ortocentro, es un punto ubicado en el vértice del ángulo recto. A H B O C H M N M C Alturas del VABC Medianas del VABC AN AN CH BM BM CP A P B N G C M
- 61. 61 En un triángulorectángulo Características: El Baricentro es siempre un punto interior en todo triángulo. Todo triángulo tiene un solo baricentro. Mediatriz Es la recta perpendicular a uno de los lados del triángulo que pasa por su punto medio. Circuncentro Punto de concurrencia de las tres mediatrices de un triángulo. Todo triángulo tiene un solo circuncentro. Bisectriz Es el rayo que biseca el ángulo interno o externo de un triángulo. En un triángulo obtusángulo Característica: el circuncentro es un punto exterior. INCENTRO Punto de concurrencia de las bisectrices interiores. Características: • Todo triángulo tiene un solo incentro. • El incentro siempre es un punto interior al triángulo. En un triángulo rectángulo Característica: El circuncentro se encuentra ubicado en el punto medio de la hipotenusa. A H B N M C G P O RQ B A C Circuncentro B I β θ ϕ ϕθ β A C
- 62. 62 Línea visual:es la línea recta que une el ojo de un observador con el objeto que se observa. Línea horizontal: es la línea recta, paralela a la superficie horizontal referencial, que pasa por el ojo del observador. EXCENTRO Punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una interior. Características: • Todo triángulo tiene tres excentros. • Los excentros son puntos exteriores a todo triángulo. ÁNGULOS VERTICALES Los ángulos verticales están ubicados en un plano vertical. Es decir, se encuentran formados por una línea visual y una línea horizontal. A B C E β θ θ β α α Observador HorizontalÁngulo de elevación Ángulo de depresión Línea de visión arriba del observador Línea de visión abajo del observador
- 63. 63 IMPULSAR EL USODE MATERIALES La papiroflexia Se puede definir como la creación de figuras con características geométricas, simétricas y estéticas fácilmente reconocibles. Se construye a partir de una hoja de papel, sin cortar ni pegar, solo con dobleces. Sus características son las siguientes: Incita a la observación y la abstracción. Fomenta el pensamiento matemático y el desarrollo de estrategias. Estimula el espíritu artístico y fomenta la creatividad. Desarrolla y fortalece las actitudes relacionadas con la autoestima y la confianza en uno mismo. María Consuelo Cañadas Santiago y otros (2003) asocian acciones y contenidos implicados con esta actividad: IDEAS PARA PROMOVER EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA Tipo de tarea Descripción Contenidos implicados Doblado de elementos geométricos básicos Doblar: Un folio a partir de un folio A4. Un cuadrado a partir de un trozo irregular de papel Cuadrilateros de distintos tipos. Un triángulo equilátero Un hexágono Un pentágono regular. Otros polígonos (regulares e irregulares). Cuadrilateros, perpendicularidad, paralelismo, geometría del triángulo, clasificación de polígonos. Simetría Calcula el simétrico de un punto con respecto a otro punto. Calcula el simétrico de un punto con respecto a una recta. Simetría plana Lugares geométricos Doblar: La bisectriz de un ángulo La mediatriz de un segmento Las cónicas Geometría sintética elemental Lugares geométricos Proporcionalidad de semejanza Doblar: Un rectángulo de proporciones 1:2 Un rectángulo 1:3 Un rectángulo 1:V2 Un rectángulo 1:V3 Dos triángulos semejantes. Construye dos polígonos semejantes Divide el segmento dado. Cuadriláteros, proporcionalidad, números racionales e irracionales, semejanza, teorema de Thales. Geometría del espacio Doblar: Un poliedro regular (cubo, tetaedro, dodecaedro, icosaedro) Un ditetraedro. Un icosaedro estrellado. Poliedros Problemas Problemas diversos Resolución de problemas
- 64. 64 Por ejemplo: Construyendo untrapecio D P A' B' "BASE" C A P B
- 65. 65 El uso deestos rompecabezas geométricos desarrolla la visualización, así como las habilidades de reproducción, construcción y comunicación. Por ejemplo: Actividad 01: construye con cartón los tangrams que se muestran en los dibujos. Actividad 02: reconstruye un cuadrado con solo, con sólo dos piezas (un triángulo y un trapecio). El cuadrado se puede reconstruir de ocho formas diferentes. ¿De cuántas formas podemos reconstruir el rectángulo, el cual obtiene al juntar cuatro piezas (dos triángulos y dos trapecios)?. Uso del tangram
- 66. 66 Consiste en uncuadrado de madera al que previamente se ha trazado una cuadrícula (del tamaño deseado). En cada punto de intersección de dos líneas de la cuadrícula se clava un clavo dejando una parte de él fuera para que pueda sujetar ligas. Un buen número de clavos es 5 x 5 = 25. Con las ligas de colores pueden formarse diferentes figuras geométricas. Ideales para validar o construir figuras simétricas. Si se elabora un libro de espejos (dos espejos pegados por uno de lados, a manera de bisagra que se abre y se cierra), se puede explorar la generación de polígonos regulares. ¿Cuánto debe medir el ángulo entre los espejos para que, al ponerse sobre un papel con una recta dibujada, forme determinado polígono semejante? Los usos del geoplano son múltiples. A continuación, mostramos algunos ejemplos de actividades de investigación son: Formar en el geoplano un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un trapecio, etcétera. Reproducir en el geoplano una figura dibujada en el pizarrón o construida en el geoplano del docente. Formar en el geoplano todos los segmentos diferentes que puedan construirse (cuando se haya estudiado el teorema de Pitágoras, se puede pedir la longitud de cada uno). Formar en el geoplano todos los cuadrados de diferentes tamaños que puedan formarse (lo mismo para rectángulos, triángulos rectángulos, etcétera). Hallar la figura simétrica con respecto al eje indicado. Geoplano Uso de espejos Ejedesimetría C B B' A' C' L A
- 67. 67 Información completa sobreel teorema de Pitágoras. http://teoremadepitagoras.net/ Información y ejercicios sobre círculos. http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/geometria_part4/ geometria_part4_right.xhtml Sangakoo. Matemáticas para la vida. http://www.sangakoo.com/es/temas/area-y-perime- tro-de-una-circunferencia KhanAcademy. Problemas de área y perímetro de rectángulos. https://es.khanacademy. org/math/cc-fourth-grade-math/cc-4th-measurement-topic/cc-4th-area-and-perimeter/e/ area-and-perimeter-of-rectangles-word-problems Perímetros y áreas. Cuadrado y rectángulo. http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/ area1.htm Elementos de la circunferencia y el círculo. www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCir- cunfelementos.htm La circunferencia y el círculo. www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm Calcular la circunferencia de un círculo. www.aaamatematicas.com/geo612x4.htm Recursos en línea
- 68. 68 Luego de leerel texto, responde las siguientes preguntas por escrito para enviarlas como tarea. TAREA [[sobre la profundización teóricay pedagógica ¿Consideras que el enfoque planteado en la "Profundización teórica y pedagógica" desa- rrolla la autoestima de los estudiantes? Da tres razones que expliquen tu respuesta. 1. Análisis del texto Redacta tres problemas sencillos, relacionados unos con otros, que amplíen el grado de profundidad de un mismo contenido, como el indicado en el ejemplo de la "Profundización teórica y pedagógica". Menciona con qué contenido se relacionan. 3. PLANTEAMIENTOS POSIBLES Revisa el Marco de buen desempeño docente, del Ministerio de Educación y señala tres desempeños que hayan sido desarrollados por el docente de la situación. Explica brevemente el porqué. http://www.perueduca.pe/documents/60563/ce664fb7-a1dd-450d- a43d-bd8cd65b4736 4. RELACIÓN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL Narra brevemente la manera en que has desarrollado con tus estudiantes algún contenido relacionado con el círculo y la circunferencia. Encuentra tres semejanzas y diferencias con el ejemplo dado en la "Profundización teórica y pedagógica". Explica por qué son similares o distintas. 2. RELACIÓN CON TU PRÁCTICA PEDAGÓGICA
- 69. 69 Escribe las respuestasde la sección “Reflexionando sobre la segunda situación propuesta”, de acuerdo con las indicaciones, y colócalas en el aula virtual. Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensión máxima del documento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Secundaria III. Tarea 3_Apellido y nombre Escribe la primera versión de la narración documentada tomando en cuenta lo siguiente: Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO. Participante en la modalidad virtual: COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
- 70. 70 El participante: Compartealgunas de las tareas realizadas haciendo énfasis en el enfoque problémico de la enseñanza de geometría. Comparte su comprensión del desarrollo y secuencia de las propuestas pedagógicas que deberá aplicar en el aula, así como la importancia del registro de evidencias. Comparte y discute sus propuestas pedagógicas para enriquecerlas con los aportes de sus colegas. Profundizan en algunos recursos para iniciar su narración documentada. Selecciona las nociones sobre las que desarrollará la segunda propuesta de práctica pedagógica en el aula. Propone estrategias para el desarrollo de las nociones relativas a perímetros y áreas de figuras planas. 1. PROPÓSITO 2. TEMAS ATRATAR Aspectos por incorporar en las propuestas pedagógicas para aplicarlas en el aula, precisando las nociones que abordará cada una. La importancia de la construcción del aprendizaje por parte del estudiante mediante el enfoque problémico y la aproximación, redondeo y ensayo-error. Propuestas pedagógicas y la narración documentada. SEGUNDOTALLER PRESENCIAL
- 71. 71 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Incluirestrategias constructivistas en la enseñanza de las matemáticas. Diseñar las propuestas de las prácticas pedagógicas que se aplicarán en el aula. Comprometerse a usar estrategias constructivistas para la enseñanza de multiplicación y división con números mayores de 10. Preparar estrategias para compartir con sus colegas durante la semana siguiente. Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienenen un foro de intercambio paraconcretar los propósitos del círculode interaprendizaje, así como losacuerdos y compromisos. Nota Presentación de las propuestas pedagógicas 1. Vuelve a revisar las situaciones para la reflexión pedagógica, desarrolladas en las pri- meras dos semanas, así como la profundización teórica y pedagógica para mejorar tus propuestas. 2. Escribe las propuestas de práctica pedagógica y preséntalas en el foro de intercambio del aula virtual. Indicaciones Extensión máxima del documento: 4 páginas (2 páginas por propuesta). Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Sec III. Propuesta 1 y 2 _Apellido y nombre
- 72. 72 [[Planificación de las prácticaspedagógicasintercambio Foro de Dialoga e intercambia sugerencias sobre tus propuestas pedagógicas y las de otros co- legas, relacionadas con los siguientes aspectos: ¿En qué medida la sesión planteada ofrece oportunidades a los estudiantes para de- sarrollar competencias y capacidades matemáticas? ¿Cuál es la secuencia de las actividades que realizarán los estudiantes? ¿Cómo se registrará el avance de los estudiantes? Brinda sugerencias acerca de las propuestas de por lo menos dos compañeros, sobre los aspectos mencionados. Incorpora a tus propuestas pedagógicas las sugerencias brindadas en el foro. Este foro lo realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.
- 73. 73 El participante: 2. PREPARACIÓNPARA EL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE Revisa la primera propuesta de práctica pedagógica sobre perímetro y área de figuras planas. Escribe las dudas e interrogantes que le suscita la información del módulo, leída y desarrollada hasta ahora. Selecciona actividades, juegos y estrategias para compartir con sus colegas. 1. PROPÓSITOS Comparte con sus colegas la primera propuesta de práctica pedagógica en el aula s, acerca del perímetro y área de figuras planas. Brinda y recibe aportes para mejorar el diseño de esta. Plantea actividades y estrategias para trabajar las nociones previas al desarrollo de problemas con perímetros y áreas de figuras planas. Recibe los aportes de sus pares. Recoge nuevas estrategias de enseñanza, aprende juegos y toma nota de estrategias informáticas que puede usar para mejorar la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Ejecutar la primera propuesta pedagógi- ca y documentar evidencias del desar- rollo de esta. Elaborar la versión preliminar de la narración documentada de la primera propuesta de práctica pedagógica sobre perímetros y áreas de figuras planas. Aplicar en el aula algunas de las activi- dades, juegos y estrategias desarrolla- das en el círculo. Preparar estrategias sobre perímetro y área de figuras planas para la semana siguiente. CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 2 Los participantes que seencuentrenen la modalidade-learning intervienen en un forode intercambio de propuestaspedagógicas con el fin deejecutarlas en el aula. Nota
- 74. 74 Implementa en elaula la propuesta de práctica pedagógica tomando en cuenta las suge- rencias de mejora brindadas por tus colegas y tu formador. EJECUCIÓN DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA 1 EN ELAULAY ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA Esta práctica la realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Orientaciones para la elaboración de la narración documentada de la práctica pedagógica Escribe la versión preliminar de la ejecución de la primera parte de tu propuesta pedagógica efectuada en el aula y colócala en el aula virtual. Toma en cuenta lo siguiente: 1. Identifica qué parte de la experiencia que realizaste en tu aula deseas compartir y por qué razón (recupera trabajos de los estudiantes, fotos, registros de diálogo, la propuesta que elaboraste, entre otros elementos que te permitan recordar lo vivido en el aula). 2. Define y escribe el título de la narración de tu experiencia. 3. El contenido del relato: Piensa y narra la práctica que llevaste a cabo. Ten en cuenta el asunto que quieres contar, los cuestionamientos y las interpretaciones que presentarás. También puedes apoyarte en las siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar lo sucedido): ¿Cómo propusiste la actividad a los estudiantes y de qué manera ellos respondieron? ¿Sucedió algo que no habías previsto? De ser este el caso, ¿cómo enfrentaste la si- tuación? ¿Cómo fue la participación de los estudiantes en la actividad? ¿Cómo los apoyaste en el desarrollo de sus aprendizajes? ¿Qué aprendieron ellos? ¿Qué aprendiste tú? ¿Cómo registraste su aprendizaje? Recogeevidenciasdelaexperiencia(fotos,grabacionesdelasinteraccionesdocente-estudianteyestudiante-estudiante paradespuéstranscribirlas,trabajosdelosestudiantes, entreotras). Importante
- 75. 75 Indicaciones Extensión máxima deldocumento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Sec III. Práctica pedagógica 1_Apellido y nombre Escribe la versión preliminar de la segunda narración documentada tomando en cuenta lo siguiente:
- 76. 76 El participante: Compartelas reflexiones de la aplicación de su primera pro- puesta pedagógica. Comparte con otros docentes su comprensión sobre el desarrollo de la narración documentada y el análisis respectivo. Propone estrategias informá- ticas para reforzar de las no- ciones relativas a perímetro y área de figuras planas en sus estudiantes. 1. PROPÓSITO 2. TEMAS ATRATAR Propuestas pedagógicas y narración documentada. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Aplicar la segunda propuesta pedagógica y documentar evidencias del desarrollo de esta. Usar estrategias constructivistas para la enseñanza de las matemáticas. Desarrollar la narración documentada analizando la primera práctica pedagógica. El grupo asignado deberá preparar estrategias sobre el desarrollo de la competencia financiera para la semana siguiente. TERCER TALLER PRESENCIAL
- 77. 77 Indicaciones Extensión máxima deldocumento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Com. IV-V ciclo. Práctica pedagógica 1_Apellido y nombre. Escribe la versión preliminar de la segunda narración documentada tomando en cuenta lo siguiente:
- 78. 78 Implementa en elaula la segunda propuesta de práctica sobre pro- blemas con circunferencia y círculos. Escribe la versión preliminar de la narración documentada de la segunda parte de tu propuesta pedagógica realizada en el aula y sigue las orientaciones para la elaboración de la narración documentada. Esta práctica la realizan tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. EJECUCIÓN DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA EN ELAULAY ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA Recogeevidenciasdelaexperiencia(fotos,grabacionesdelasinteraccionesdocente-estudianteyestudiante-estudiante,trabajodelosestudiantes,entreotras)paradespués transcribirlas). Importante Lee tu escrito las veces que sean necesarias, además, revisa la claridad de las ideas, la coherencia, la lógica de la secuencia propuesta y la ortografía. También ten en cuenta los aspectos formales para la elaboración de un documento (numeración, espacios o interlineado, sangría, viñetas, etc.). Coloca la narración en el aula virtual. Indicaciones Extensión máxima del documento: 3 páginas. Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat. Sec III Práctica pedagógica 2_Apellido y nombre ENVÍALA A TRAVÉS DEL AULA VIRTUAL.
- 79. 79 El participante: 2. PREPARACIÓNPARA EL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE Establece pautas de análisis para la práctica pedagógica sobre la resolución de problemas de perímetros y áreas de figuras planas. Revisa y mejora la primera versión de la narración documentada. 1. PROPÓSITOS Comparte con sus colegas el avance de la narración documentada de la primera y segunda propuesta pedagógica ya aplicadas. Recibe sugerencias. Comparte estrategias informáticas para la construcción de nociones de perímetro y área de figuras planas, que pueden ser aplicadas en el aula.. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Mejorar la primera versión de la narración documentada de la práctica pedagógica 2 en el aula. Implementar las estrategias compartidas con sus colegas. Preparar estrategias para desarrollar problemas con círculos y circunferencias para compartirlas la semana siguiente. CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 3 Continuación de la elaboración de las narraciones documentadas Al concluir la elaboración de las narraciones documentadas, las colocarás en el aula virtual. Este trabajo lo realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.
- 80. 80 El participante: 2. PREPARACIÓNPARA EL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE Concluye las narraciones documentadas de las prácticas pedagógicas y adjuntalas evidencias. 1. PROPÓSITOS Mejora las narraciones documentadas de ambas prácticas pedagógicas ya realizadas en el aula. Comparte estrategias para el desarrollo de la competencia financiera, que pueden ser aplicadas en el aula (presentación del último grupo). 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Mejorar y culminar las narraciones documentadas de ambas prácticas pedagógicas. Desarrollar estrategias constructivistas e informáticas para la enseñanza de las matemáticas. Usar las estrategias aprendidas en el módulo para mejorar su desempeño docente. CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 4 Los participantes que se encuentrenen la modalidad e-learningintervienen en un foro deintercambio para mejorar lanarración documentada de susegunda práctica. Nota Concluye la elaboración de las narraciones documentadas y colócala en el aula virtual. Este trabajo lo realizarán tanto los participantes de lamodalidad semipresencial como los de la modalidad virtual.
- 81. 81 Entrega de laspropuestasy narraciones documentadas Coloca en el aula virtual las versiones finales de tus dos propuestas pedagógicas y las dos narraciones documentadas con las evidencias correspondientes. Esto lo realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los de la modalidad virtual. Indicaciones Extensión máxima del documento: 3 páginas Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos Interlineado: sencillo Nombre del archivo: Mat Sec III Propuesta Narración 1_apellidos y nombres Mat Sec III Propuesta Narración 2_apellidos y nombres Participante en la modalidad semipresencial: LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE LAS DOS NARRACIONES DOCUMENTADAS AL CUARTO TALLER PRESENCIAL. Participante en la modalidad virtual: COLOCA LAS DOS NARRACIONES DOCUMENTADAS EN EL AULA.
- 82. 82 El participante: Compartecon sus colegas las prácticas pedagógicas realiza- das en el aula. Entrega las dos narraciones documentadas y las respec- tivas evidencias. 1. PROPÓSITO 2. TEMAS ATRATAR Presentación de las narraciones documentadas de las prácticas pedagógicas realizadas. Sistematización de los aprendizajes desarrollados en el módulo. Compromisos para el trabajo futuro en el aula. 3. ACUERDOSY COMPROMISOS Aplicar los acuerdos y compromisos que se aprueben después de la presentación. CUARTO TALLER PRESENCIAL
- 83. 83 Hacer una evaluaciónde lo aprendido nos permite reflexionar sobre las ideas fuerza que nos quedan claras y que podríamos incorporar en la práctica docente; pero también sobre los temas que necesitan seguir siendo reforzados. Luego de concluir el módulo, te invitamos a realizar una reflexión personal sobre lo aprendido hasta este momento. Para ello, te sugerimos las siguientes preguntas: Revisa los desempeños de este módulo: ¿consideras que has avanzado hacia el logro de estos? ¿Qué actuaciones concretas en tu trabajo en aula son evidencias de dicho avance? ¿En qué aspectos de tu desarrollo personal y profesional consideras que ha contribuido el trabajo en conjunto con otros docentes, a través de los foros, talleres presenciales y círculos de interaprendizaje? ¿El trabajo de este módulo te ha algunas interrogantes o inquietudes sobre las que quisieras seguir profundizando? ¿Qué más te gustaría conocer al respecto? Responde estas preguntas en el espacio asignado en la plataforma virtual. AUTOEVALUACIÓN DEL PARTICIPANTE La autoevaluación es personal,obligatoria y no implica ningunacalificación. Nota
- 84. 84 GLOSARIO ÁNGULO Porción de planocomprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común. ARCO Porción de circunferencia limitada por los extremos de una cuerda. En particular, una semicircunfe- rencia es un arco limitado por los extremos de un diámetro. ÁREA Eláreadeunafiguraplanaeslaextensióndelafiguraplanamedidaen unidadescuadradasdelongitud. CENTRO Punto equidistante de todos los puntos de circunferencia. CÍRCULO Región interior del plan, limitada por una circunferencia. CIRCUNFERENCIA Perímetro de un círculo. COMUNICARY REPRESENTAR IDEAS MATEMÁTICAS Expresar el significado de conceptos matemáticos de manera oral y escrita por medio de diferentes representaciones y lenguajes matemáticos. CUADRADO Paralelogramo equilátero y equiángulo. El cuadrado es un caso especial de rectángulo, ya que sus lados son iguales. CUADRILÁTEROS Polígonos que poseen cuatro lados y cuatro vértices colineales. Se clasifican en paralelogramos y trapecios. CUERDA Segmento que une dos puntos de una misma circunferencia. DIÁMETRO Cuerdadedemayorlongitudquepasaporelcentrodelacircunferenciadividiéndolaenpartesiguales. ELABORARY USAR ESTRATEGIAS Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas usando diversos recursos para resolver problemas. FLECHA Segmento levantado perpendicularmente del punto medio de una cuerda al arco. La prolongación de la flecha siempre pasa por el centro. LADO Una de las líneas que forman una figura plana (bidimensional) o una de las superficies que forman un objeto sólido (tridimensional).
- 85. 85 MATEMATIZAR Expresar problemas diversosen modelos matemáticos. PARALELOGRAMO Tipo de cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos y de igual longitud. Los ángulos en los extremos de un lado son suplementarios. Los paralelogramos son cuatro: romboide, rombo, rectángulo y cuadrilátero. PERÍMETRO La suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. RADIO Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. RAZONARY ARGUMENTAR Justificar y validar conclusiones, supuestos conjeturas e hipótesis. RECTÁNGULO Paralelogramo que tiene los ángulos rectos y en 90°. ROMBO Paralelogramo cuyos lados son rectas congruentes entre sí. Sus diagonales con perpendiculares y son bisectrices de los ángulos vértices que los unen. ROMBOIDE Paralelogramo con lados consecutivos que no son congruentes. SECANTE Estodarectaenelplanodelacircunferenciaendospuntos.Cabenotarquelasecantecontienealacuerda. TANGENTE Es toda recta en el plano de la circunferencia que tiene solo un punto común con este (T), el cual recibe el nombre de punto de tangencia. TRAPECIO Figura que tiene un par de lados opuestos paralelos que se llaman bases, los ángulos formados por un lado y las bases son suplementarios. El segmento que une los puntos medios de los lados paralelos es la base media. Hay tres clases de trapecios: a) escaleno si sus lados no paralelos tienen diferente longitud, b) isósceles si sus lados no paralelos son congruentes, c) rectángulo siuno de los lados no paralelos es perpendi- cular a las bases. TRAPEZOIDE Cuadriláteros que tienen los cuatro lados no paralelos. Hay tres clases de trapezoides: a)trapezoide convexo (sus ángulos son menores de 180°), b) trapezoide cóncavo (tiene un ángulo mayor a 180°), c) trapezoide biisósceles (tienedos pares de lados adyacentes iguales. TRIÁNGULOS Figura geométrica que resulta de unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta. Los puntos se denominan vértices del triángulo. VÉRTICE Un punto donde dos o más líneas se encuentran.
- 86. 86 GODINO, Juan yFrancisco Ruiz (2002). Geometría y su didáctica para maestros. Granada: Universidad de granada. Consulta: 15 de mayo de 2015. <http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/4_Geometria.pdf> MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2015). Rutas del Aprendizaje. ¿Qué y cómo aprenden nuestros estudiantes? VII ciclo. Área curricular de Matemática. Lima: Autor. Consulta: enero de 2015. <http://recursos.perueduca.pe/rutas/documentos/Secundaria/Matematica-VII.pdf> MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2013a). “Matemática: números y operaciones”. Mapas de Progreso del Aprendizaje. Lima. Consulta: diciembre de 2014. <http://www.minedu.gob.pe/minedu/archivos/a/002/03-bibliografia-para-ebr/50-mapasprogreso_ matematica_numerosoperaciones.pdf> MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2013b). “Resolvamos 1”. Módulo de Resolución de Problemas. Lima: Minedu. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2013c). “Resolvamos 2”. Módulo de Resolución de Problemas. Lima: Minedu. MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2012). Marco de buen desempeño docente. Lima: Minedu. Consulta: diciembre de 2014. <http://www.perueduca.pe/documents/60563/ce664fb7-a1dd-450d-a43d-bd8cd65b4736> OLABARRIETA, Luciano (2004). Ejercicios de geometría moderna. Bilbao: El Mensajero del Corazón de Jesús. RENDÓN GÓMEZ, Álvaro (2000). Geometría, paso a paso. Volumen 1. s/l: Tébar. RUBIÑOS (2014). Geometría 2014. Lima: Ediciones Rubiños. SCHETTINO, Carmel (2012). Teaching Geometry through Problem-Based Learning. Mathematics Teacher. s/l. Consulta: diciembre de 2014. <http://www.academia.edu/1210143/Teaching_Geometry_with_Problem-Based_Learning> BIBLIOGRAFÍA
- 87. 87 ANEXO 1 ORGANIZACIÓN DELMÓDULO ACTIVIDADES COMUNES PARA LAS DOS MODALIDADES: SEMIPRESENCIAL Y VIRTUAL L M M J V SÁBADO Lectura previa. La geometría y sus aplicaciones Primera situación para la reflexión pedagógica: Reconociendo regiones de amenaza de tsunamis y rutas de evacuación Reflexionando sobre la situación propuesta Tarea Segunda situación para la reflexión pedagógica: Diseñando círculos de seguridad Reflexionando sobre la situación propuesta Tarea Presentación de las propuestas para las prácticas pedagógicas Foro de intercambio: Planificación de las prácticas 1 y 2 Ejecución de la práctica pedagógica 1 en el aula y elaboración de la narración documentada Ejecución de la práctica pedagógica 2 en el aula y elaboración de la narración documentada Continuación de la elaboración de las narraciones documentadas Entrega de las propuestas y narraciones documentadas Presentación de las narraciones documentadas Autoevaluación Profundización teórica y pedagógica: Enseñanza de la geometría Foro de intercambio: Planificación de las prácticas 1 y 2 Taller presencial Círculo de interaprendizaje colaborativo Taller presencial Taller presencial Círculo de interaprendizaje colaborativo Círculo de interaprendizaje colaborativo Taller presencial Círculo de interaprendizaje colaborativo SOLO PARA SEMIPRESENCIAL Sem. Sem. Sem. Sem. Sem. Sem. Sem. Sem. 1 2 3 4 5 6 7 8 TUTORÍA