Conociendo los elementos geométricos básicos

Pedro Arteaga Cezón
Sesión 3.
Conociendo los
elementos geométricos
básicos

Bibliografía
 Segovia, I y Rico, L. (2011). Matemáticas para maestros de
Educación Primaria. Madrid: Ediciones Pirámide.
 Coriat, M. (2010). Educación matemática infantil.
Departamento de didáctica de las matemáticas. Universidad
de Granada.
 Chamorro, M.C. (2006). Didáctica de las matemáticas para la
educación infantil. Madrid. Pearson educación

Bibliografía
 Clemens, S., O´Dafeer, P. y Cooney, T. (1989). Geometría
con aplicaciones y solución de problemas. Wilmington.
Addison-Wesley Iberoamericana, S.A.
 Alsina, A. (2004). Cómo desarrollar el pensamiento
matemático de 0 a 6 años. Ediciones Octaedro.
 Aguilar, B., Ciudad, A., Láinez, M.C. y Tobaruela, A.
(2010). Construir, jugar y compartir: Un enfoque
constructivista de las matemáticas en la Educación
Infantil. Jaén. Enfoques educativos S.L.

REAL DECRETO 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se
establecen las enseñanzas mínimas del segundo ciclo de Educación
infantil.
 Área de conocimiento y experiencia: Conocimiento del
entorno
Bloque 1. Medio físico: Elementos, relaciones y medida
 Contenidos relacionados con “la geometría”:
“Situación de sí mismo y de los objetos en el espacio. Posiciones
relativas. Realización de desplazamientos orientados.
Identificación de formas planas y tridimensionales en
elementos del entorno. Exploración de algunos cuerpos
geométricos elementales”

REAL DECRETO 1630/2006, de 29 de diciembre, por el que se
establecen las enseñanzas mínimas del segundo ciclo de Educación
infantil.
 Criterios de evaluación
“Se tendrá en cuenta, asimismo, el manejo de las nociones
básicas espaciales (arriba, abajo; dentro, fuera; cerca,
lejos…)” (p. 479)
“Discriminar objetos y elementos del entorno inmediato
y actuar sobre ellos. Agrupar, clasificar y ordenar
elementos y colecciones según semejanzas y diferencias
ostensibles” (p.479)

Introducción: Espacio y Geometría
 La Geometría estudia ciertas propiedades del espacio y
elementos inmersos en él
 La Geometría está presente en múltiples ámbitos de la vida
cotidiana: producción industrial, arquitectura, topografía, etc…
 La Geometría es un componente esencial en el arte y en el aula
de infantil puede trabajarse a la vez que creatividad plástica
 La Geometría está presente en la naturaleza

Introducción: Espacio y Geometría

Introducción: Orígenes de la Geometría
Libro “Historia de la matemática” de Carl B. Boyer
Orígenes difusos (no hay documentos de la época
prehistórica): En el Neolítico hay dibujos y diseños que
muestran interés por relaciones espaciales. Alfarería
muestran dibujos con simetrías
Herodoto sostenía que se había originado en Egipto a partir
de la necesidad de poner límites a las tierras después de la
inundación anual del río Nilo
Geométras egipcios se les llamaba “tensadores de cuerdas”

Papiro Ahmes (copiado por Ahmes en 1650 a.C.)
Es el papiro más
extenso de los que
contienen información
matemática de la
época con 30 cm de
alto y unos 6 metros de
largo

 Área de un triángulo isósceles y trapecio isósceles
transformándolos en rectángulos

b
h

A(Triángulo) = A(Rectángulo) =
(1/2*b)*h
¿Área trapecio
isósceles?

ELEMENTOS
GEOMÉTRICOS
BÁSICOS:
RECORDATORIO

Elementos geométricos básicos
 Geometría: Rama de la matemática que se ocupa del estudio
detallado de las figuras geométricas y sus características, en
el plano y en el espacio.
 ¿Cuáles son las componentes elementales de las figuras
geométricas? ¿Elementos básicos/fundamentales de la
Geometría?
PuntoRecta Plano
¿Ejemplos de la vida real que
asociemos con estos elementos?

Elementos geométricos básicos:
punto
 Punto, recta y plano, son los elementos fundamentales de la
Geometría ya que no se definen a partir de otros elementos
PUNTO
 Idea o abstracción, no tiene dimensiones (longitud, anchura…)
 Se utiliza para dar una posición en el espacio
 Se representa por medio de una marca lo más pequeña que se
pueda dibujar
 Se nombran con letras mayúsculas al lado de las marcas
 ¿Objetos que sugieren que sugieren la idea de punto?
A
X
B

punto
Estrellas:
constelaciones
Objetos que sugieren la idea de punto:
http://www.allthesky.com/constellations/zodiac.html

recta
RECTA
 Una recta también es una abstracción, tiene longitud ilimitada, no
tiene grosor y no tiene extremos, continua
 Se considera que dos puntos determinan una única recta
 Tres o más puntos pueden determinar una o varias rectas
 Una recta tiene infinitos puntos
 Se nombran con consonantes minúsculas
A
B

recta
RECTA
 Una recta también es una abstracción, tiene longitud ilimitada, no
tiene grosor y no tiene extremos, continua
 Se considera que dos puntos determinan una única recta
 Tres o más puntos pueden determinar una o varias rectas
 Una recta tiene infinitos puntos
 Se nombran con consonantes minúsculas
A
B
r

recta
RECTA
 En ocasiones para representar una recta utilizamos flechas que nos
indican que son ilimitadas
 ¿Objetos que sugieren la idea de recta?
A
B
r

recta
 ¿Objetos que sugieren la idea de recta?
Línea del
Horizonte

plano
PLANO
 Idea o abstracción, es ilimitado y continuo. Tiene dos dimensiones
 Representamos los planos mediante superficies como la que se
muestra en el figura
 Un plano está formado por infinitos puntos
 Tres puntos no colineales determinan un plano , por lo tanto una
recta y un punto exterior a ella determinan un plano
 ¿Objetos reales que evocan planos?
α
A
B
C

Relaciones entre objetos
geométricos
 Intersección de dos rectas
 Rectas paralelas son rectas que están en el mismo plano y no se
corta n
r
s
V
Modelo
físico
r
s
Modelo
físico

Líneas curvas y rectas
 Una línea es un conjunto infinito de puntos en
plano o espacio
Línea recta
Línea curva

Actividad propuesta Alsina, A. (2004). Cómo
desarrollar el pensamiento matemático de 0 a 6 años. Ediciones Octaedro.
 Concepto de línea:
 Hacer líneas en una bandeja con serrín, arena, serpentinas,
plastilina, etc..
 Hacer filas como un tren, regar con un botijo, caminar sobre una
cuerda, etc (relacionado con psicomotricidad)
 Actividades gráficas (dibujar en un papel, laberintos,etc)
 Línea recta y línea curva:
 Caminar hacia alguien, estirar trozos de lana,
 Actividad (3-4 años)
 Distintos materiales (regadera, tiza, …) dejar rastros que otros
tendrán que seguir. Distinguir entre líneas rectas y curvas.

Figuras y cuerpos geométricos básicos
POLIGONALES
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo
común
Una línea poligonal es un conjunto finito ordenado de
segmentos consecutivos. Los vértices de una línea poligonal
son los distintos extremos de los segmentos que la componen
A
B
C
A
B
C
D
E
F

POLIGONALES
¿Se trata o no de líneas poligonales?

POLIGONALES
¿Se trata o no de líneas poligonales?
SI
SI
SI
SI SI
SI
SI
SI

TIPOS DE POLIGONALES
¿Clasificar las siguientes poligonales?
SI
SI
SI
SI SI
SI
SI
SI

TIPOS DE POLIGONALES
¿Clasificar las siguientes poligonales?
Líneas
poligonales
cerradas y
simples
Líneas
poligonales
cerradas y
no simples
Líneas
poligonales
abierta y
no simple
Líneas
poligonales
abierta y simple

Polígonos simples
Un polígono simple es la región del plano delimitada por una línea
poligonal cerrada y simple

Polígonos simples: Elementos
Elementos de un polígono
• Vértices del polígono
• Lados
• Ángulos interiores

Clasificación polígonos simples
 Los polígonos simples se pueden clasificar por:
 Número de lados: triángulo, cuadrilátero, etc…
 Longitud de los lados: Regulares, No regulares.
 Fijándonos en los ángulos interiores: Mayores de
180º o menores de 180º (convexos, cóncavos)

Polígonos simples: clasificados
por número de lados
Número de lados del polígono Nombredel polígono
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Nonágono
10 Decágono
11 Eneágono
12 Dodecágono

Clasificados por longitud de los lados:
Polígonos regulares y no regulares
 POLÍGONOS REGULARES: polígonos que tienen todos
sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales
 ¿Cuadrilátero regular? ¿Triángulo regular?

Polígonos regulares y no regulares
 POLÍGONOS REGULARES: polígonos que tienen todos
sus lados iguales y todos sus ángulos interiores iguales
 ¿Cuadrilátero regular? ¿Triángulo regular?
CUADRADADO
TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
 POLÍGONOS IRREGULARES: no
cumplen las anteriores condiciones

Clasificados por ángulos
interiores: Polígono Convexo
Polígono convexo:
Dados cualquier P y Q puntos
contenidos en la figura, el
segmento que los une también
está contenido en la figura
Los ángulos interiores son
menores de 180º
Polígono cóncavo:
 El que no es convexo, es decir
podemos encontrar dos puntos P y Q
del polígono tal que el segmento que
los une no esté contenido en el
polígono

Clasificados por ángulos
interiores: Polígono Convexo
Polígono convexo:
 Dados cualquier P y Q puntos
contenidos en la figura, el
segmento que los une también
está contenido en la figura
Los ángulos interiores son
menores de 180º
Polígono cóncavo:
 El que no es convexo, es decir
podemos encontrar dos puntos P y Q
del polígono tal que el segmento que
los une no esté contenido en el
polígono
Tiene algún ángulo interior mayor
de 180º
P
Q
P
Q
Convexo
Convexo

Polígonos simples: TRIÁNGULOS
 Triángulo: Polígono simple
 ¿Clasificación de los triángulos?
3 rectas que
se cortan

Polígonos simples: Cuadriláteros
Clasificación de
cuadriláteros
CONVEXOS

Clasificación cuadriláteros
convexos
 ¿Cuáles de estos cuadriláteros son convexos?

¿Cómo clasificar estos
cuadriláteros convexos?
C
Buscar características
comunes que cumplan
determinadas de estas
figuras
A
B
C
D
E
F
G H

¿Cómo clasificar estos
cuadriláteros convexos?
C
A
B
C
D
E
F
G H
Clase 1: tienen los lados
paralelos dos a dos
Clase 2: Tienen dos lados
paralelos
Clase 3: Ninguno de sus
lados es paralelo
Clase 1
Clase 2
Clase 3

Clasificación de cuadriláteros
convexos
Cuadriláteros
convexos
Paralelogramos Trapecios Trapezoides
Rectángulo
Rombo
Romboide
Cuadrado

Clasifica los siguientes
cuadriláteros

 Circunferencia: región del plano que equidista de un
punto fijo llamado centro
 Círculo: conjunto de todos los puntos del plano que se
encuentran comprendidos en una circunferencia
Circunferencia y Círculo

Práctica del Tangram
 El tangram chino es un material manipulativo que puede
utilizarse en el aula de Infantil, que promueve las
siguientes habilidades relacionadas con las matemáticas:
 Orientación espacial
 Reconocimiento formas geométricas
 Coordinación visomotora
 Razonamiento lógico espacial, etc…
 Componer y descomponer figuras

Curiosidades:
 http://www.superjocs.com/super-juegos/juego/tangram-
animal/
 http://www.youtube.com/watch?v=7wWQWUWHr5U
 http://www.youtube.com/watch?v=OInI2tbUe7s
 http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/m
ate/imagina/mate3z.htm
 http://www.youtube.com/watch?v=6f8Y2knmvqo

Trabajo en el aula de Educación
Infantil
 Aprender matemáticas es construir matemáticas (Luisa
Ruiz Higueras, 2005)
 Muy importante el uso de contexto de la vida real en el
trabajo con matemáticas

Trabajo en el aula de Educación
Infantil
 Hipótesis fundamentales sobre las que se apoya esta
teoría:
1. El aprendizaje se apoya en la acción, pero no sólo entendida como
manipulación
2. La adquisición, organización e integración de los conocimientos
del alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y
desequilibrio, en el curso de los cuales los conocimientos
anteriores se ponen en duda
3. Se conoce en contra de conocimientos anteriores
4. Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo
social pueden facilitar la adquisición de conocimientos

Trabajar formas geométricas en
E. Infantil
 Identificar:
 Propiedadesgeométricas de formas en una dimensión (línea
recta y curva, cerrada y abierta, continua y discontinua)

E. Infantil
 Identificar:
 Propiedadesgeométricas de formas en dos dimensiones (lados
rectos o curvados, número de lados, número de vértices,
superficie curva, etc…)

Ejemplos disponibles en Internet
 Taller de Geometría de Mequé Edo
 Exposición de arte Ángel Alsina
 Adaptaciones
 Jugar con cojines

MOVIMIENTOS EN EL
PLANO Y
TESELACIONES

Movimientos rígidos en el plano
 Traslación : Una traslación es el movimiento rígido en el
que todos los puntos del plano se mueven en la misma
dirección y la misma distancia.
A´
A

 El giro o rotación es otro de los movimientos rígidos
básicos. Consiste en girar todos los puntos del plano
alrededor de un punto fijo (centro del giro) un cierto
ángulo que será el ángulo de giro.
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_207_g_1_t_3.html?open=activities&from=category_g_1_t_3.html

Simetría axial: La
simetría o reflexión sobre un
espejo es el movimiento rígido
del plano que se produce fijando
una recta r del plano y hallando
para cada punto P otro punto P’
de tal manera que la recta r es
mediatriz del segmento PP’. Esto
quiere decir que r es
perpendicular a PP’ y que pasa
por el punto medio del segmento
PP’.
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_206_g_1_t_3.html?open=activities&fro
m=category_g_1_t_3.html
Eje de
simetría
Imagen en
un espejo

Actividad Simetría
 Mediante doblado de papel y un sólo corte recto
con tijeras obtén las figuras siguientes:

Figuras simétricas
¿Cuáles de estos dibujos
tienen eje de simetría?
¿Cuál es dicho eje?
En cuales de los
siguientes dibujos la
línea dibujada no es un
eje de simetría

Figuras simétricas en la
naturaleza

 Recursos on-line: Tess
SIMETRÍA ROTACIÓN
TRANSLACIÓN

Rosetones, Frisos y Mosaicos
 Los rosetones, frisos y mosaicos constituyen la principal
manifestación de simetría, tanto en la naturaleza como en
la obra humana
Rosetones Se gira una figura en torno a
un punto O un determinado
ángulo α=360º/n donde n
indica las veces que se repite
la figura mínima que giro

Rosetones, Frisos y Mosaicos
Frisos
Los frisos o cenefas son bandas
ornamentales que se obtienen
mediante repetición de una
figura base a lo largo de una
franja rectangular (traslación)

Teselaciones
 Con frecuencia en el diseño se emplea un concepto
geométrico llamado teselado
 Teselado es un conjunto de polígonos dispuestos de
manera que no se sobreponen unos a otros ni quedan
separaciones entre ellos por lo que permiten cubrir el
plano

Teselaciones
Más ejemplos de teselaciones
Mosaicos de la
Alhambra

Teselaciones o Mosaicos
Mosaicos/ Teselaciones
Un mosaico o teselado
plano es un cubrimiento
de una superficie plana
mediante repetición de
algún motivo inicial en el
que no existen huecos ni
solapamientos

 Página web dónde trabajar teselaciones:
 http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_163_g_1_t_3.html?open=activities&
from=category_g_1_t_3.html

Composición de movimientos

Ejercicios con el Polydron
1. Realiza una serie primeramente utilizando
únicamente el criterio del color, otra que tenga
en cuenta sólo la forma y por último otra que
tenga en cuenta tanto color como forma .
Ejemplo:

Ejercicios con el Polydron
1. ¿Con qué polígonos regulares es posible hacer una
teselación del plano? Utilizar el polydron para realizar
teselaciones.
2. Inventa teselaciones utilizando dos o más polígonos
regulares distintos
3. ¿Alguna actividad para el aula de infantial a realizar con
el Polydron?

Poliedros
 Algunos tipos
de poliedros
 Poliedros regulares
Pirámides
Primas

Poliedros regulares con
Polydron
Poliedros regulares convexos
(realizados grupo E de Educación
Infantil curso 2011-12)

CUBO
 Las caras son cuadrados
 En cada vértice el número
de caras que inciden son 3
 Tiene seis caras (hexaedro
regular)

Tetraedro regular
 Las caras son triángulos
equiláteros
 Tiene cuatro caras

Octaedro regular
equiláteros
 Tiene ocho caras

Polígonos regulares convexos
Icosaedro
regular
equiláteros
 Tiene 20 caras

Dodecaedro
regular
 Las caras son pentágonos
regulares
 Tiene 12 caras

Prismas y Pirámides regulares
Prisma:
Poliedro limitado por dos polígonos
regulares congruentes situados en
planos paralelos y que se unen por
rectángulos
Prisma pentagonal
Pirámide:
Tienen una cara que es un polígono
regular (base) y el resto de caras son
triángulos equiláteros o isósceles iguales
que tienen un vértice en común llamado
vértice de la pirámide Pirámide pentagonal

Prismas y Pirámides regulares

Sólidos de revolución simples
 Cuerpo de revolución: cuerpo que se obtiene al hacer girar
una figura plana alrededor de un eje
¿Ejes de giro y figuras que hay que hacer girar para obtener
cilindro, esfera y cono?
Cilindro
Esfera
Cono

86
radio
ejegiro
altura
EJE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE
Sólidos de revolución simples:
Cono
Se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre
uno de sus catetos

Poliedros regulares convexos:
Desarrollos planos
Desarrollo
plano del cubo

Ejercicios
con el
Polydron
35 hexaminós
¿Cuáles de
ellos son
desarrollos
planos del
cubo?

E. Infantil
 Objetos tridimensionales:
 Psicomotricidad: cilindros grandes, pelotas, colchones,
etc…
 Comparar superficies planas y curvas
 Tumbarse encima de los distintos materiales: ¿cómo se
queda tu cuerpo?
 ¿Ruedan? ¿No ruedan?

Geoplano
 Construye todos los triángulos posibles en un geoplano
cuadrado ¿Algún tipo puedes no representarlo?
 Geoplanos virtuales:
 http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_279_g_4_t_3.ht
ml?open=activities

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