Este documento presenta ejercicios resueltos sobre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división, factorización y radicación de expresiones algebraicas. Los ejercicios incluyen sumas y restas de fracciones algebraicas, aplicación de productos notables, factorización por método de Ruffini y propiedades de radicales como suma, resta, multiplicación y división.

1. Republica Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular Para la
Educación.
Producción Escrita
Matemática.
Jorge Pacheco
28691165
Gonzalo Pineda
29.913.125
Sección 0103
Bibliografía: Algebra de A. Baldor

2. Suma, Resta y Valor Numérico de
Expresiones Algebraicas
Ejercicio 1
Realizar la siguiente suma ( 9x + y + z + u) ; (-3x -
4y -2z +3u) ; (5x +5y +3z -4u) ; (-9x –y +z +2u)
Teniendo en cuenta( para conseguir el valor
numérico) lo siguiente:
X= -2 ; y= 4 ; z=6 ; u=-3
Solución:
9x + y + z + u
-3x -4y -2z +3u
5x +5y +3z -4u
-9x -y +z +2u
2x + y + 3z + 2u
Sustituimos para conseguir
el valor numérico:
2x + y +3z + 2u
2(-2) +4 +3(6) +2(-3)
-4 +4 +18 -6
=12
Ejercicio 2
Realizar lo siguiente, de (2ab +3ac -3cd -6de) restar (-
4ac +8ab -5cd +6de)
Teniendo en cuenta (para conseguir el valor numérico)
lo siguiente:
a= 1 ; b= 3 ; c= -2 ; d= -1 ; e= 4
Solución:
2ab +3ac -3cd -6de
-(-4ac +8ab -5cd +6de)
Multiplicamos signos y
ordenamos la operación:
2ab +3ac -3cd -6de
-8ab +4ac +5cd -6de
-6ab +7ac +2cd -12de
Sustituimos para conseguir el
valor numérico:
-6ab +7ac +2cd -12de
-6(1)(3) +7 (1)(-2) +2(-2)(-1) -12(-1)(4)
-18 -14 +4 +48
=20

3. Multiplicación y división de expresiones
algebraicas
Ejercicio 1
Realizar la siguiente multiplicación,
(3×^4 +2x^3 +6x^2 -4x -1) × ( x +5)
Solución:
3x^4 + 2x^3 + 6x^2 - 4x-1
× x+5
15x^4 +10x^3 +30x^2 -20x -5
3x^5 + 2x^4 + 6x^3 -4x^2 -x +
= 3x^5 +17x^4 +16x^3 +26x^2 -21x -5
Ejercicio 2
Realizar la siguiente división, (7x^5
+3x +2) ÷ (3x +2)
Solución:
7x^5 + 0×^4 +0x^3+0x^2 +3x+2|3x +2__
-7x^5-14/3 x^4 |7/3x^4-14/9x^3+28/27x^2 -56/81x+335/243
0x^5-14/3×^4+0x^3
+14/3x^4+28/9×^3
0x^4 +28/9×^3 +0x^2
-28/9x^3-56/27x^2
0x^3 -56/27x^2 +3x
+56/27x^2+112/81x
0x^2 +355/81×+2
-335/81x -670/243
Residuo = 0x + 184/243

4. Productos notables de expresiones algebraicas
Algunos productos aparecen con mucha
frecuencia en los cálculos algebraicas, por lo
cual a estos se les conoce como productos
notables. Los principales productos notables
son:
1. (a +b)(a -b) =a^2 - b^2
2. (a +b)^2 = a^2 +2ab +b^2
3. (a -b)^2 = a^2 - 2ab +b^2
4. (a +b)^3= a^3+ 3a^2(b)+3ab^2 +b^3
5. (a -b)^3= a^3 -3a^2(b) +3ab^2 -b^3
Ejercicio 1
Aplicando los productos
notables hallar:
(3x^3+√(8)) (3x^3 -√(8))
Solución:
Aplicando fórmula 1
(3x^3+√(8)) (3x^3 -√(8)) = (3x^3)^2 – (√(8))^2 = 9x^6 – 8
Ejercicio 2
Aplicando los productos
notables hallar:
(4x^2 +3y)^3
Solución Al Ejercicio N° 2:
Aplicando fórmula 4
(4x^2 + 3y)^3 = (4x^2)^3 +3 (4x^2)^2 (3y) +3 (4x^2)(3y)^2 +3y^3
= 64x^6 +3 (16x^4)(3y) +3(4x^2)(9y^2) +27y^3
= 64x^6 +144x^4 + 108x^2(y^2) +27y^3

5. Factorización por Productos Notables
Se llama factorización al proceso de
convertir una expresión algebraica en el
producto de sus factores. La factorización
por Productos Notables no es más que los
productos notables escritos de izquierda a
derecha, estos son:
1. a^2 -b^2 = (a +b)(a -b)
2. a^2 +2ab +b^2 = (a +b)^2
3. a^2 -2ab +b^2 = (a -b)^2
4. a^3 -b^3 = (a -b)(a^2 +ab+b^2)
5. a^3 +b^3 = (a +b)(a^2 -ab +a^2)
Ejercicio 1:
Aplicando fórmula 1
9×^4 -16y^2 =(3x^2)^2 –(4y)^2
= (3x^2 + 4y)(3x^2 -4y)
Ejercicio 2:
Aplicando fórmula 4
8x^3 -27 = (2x)^3 -3x^3
= (2x-3) ((2x^2)+(2x)(3) +9^2)
= (4x -3) (4x^2 +6x +9)

6. Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y
resta de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción una fracción
algebraicas se factorizan el numerador y el
denominador, para así simplificar los factores
comunes. Para ello se utilizan el factor común y la
factorización por Productos Notables.
Ejercicio 1:
Por Factor Común x^2 -3x
3 -x
Solución:
Se toman -× como factor común, así se
simplifica el ( 3 -x) del numerador con el ( 3
-x) del denominador.
x^2 -3x = -× (3 -x)
3 -x 3-x
= -x
Ejercicio 2:
Por factorización por Productos Notables.
x^2 - y^2
x^2 +2xy +y^2
Solución:
Solución: Se utiliza fórmula 1 para el
nominador y fórmula 2 para el denominador.
Así simplificamos el (x +y) del nominador con
uno de los (x+ y) del denominador. Ya que
(x +y)^2 es igual a (x +y)(x +y).
x^2 - y^2 = (x +y) (x -y)
x^2 + 2xy + y^2 (x + y)^2
= x - y
x +y

7. Para Sumar o restar fracciones que tienen el
mismo denominador, simplemente se suman o
restan los numeradores y se coloca el mismo
denominador. Por otro lado cuando el
denominador es diferente, se multiplican los
denominadores y se realiza un producto cruzado.
Ejercicio 1:
Por denominador Común
6 + x - x -2
x +2 x +2 x +2
Solución:
= 6 +x - ( x -2 )
x + 2
= 6 +x -x +2
x+ 2
= 8_
x + 2
Ejercicio 2:
Por Producto cruzado.
2_ + 3x___
x +2 x^2 -7x +10
Solución:
Después de realizar producto cruzado sacar factor
común y así simplificar la fracción.
2_ + 3x___
x +2 x^2 -7x +10
= 2x^2 -14x +20 +3x^2 -6×__
x^3 -7x^2 +10x -2x^2 +14x -20
= 5x^2 -20x +20__
x^3 -9x^2 +24x -20
= 5 (x^2 -4x +4)_
(x^2 -4x +4)(x -5)
= 5__
( x -5 )

8. Multiplicación y División de Fracciones
Algebraicas
Para resolver estos se deben a cabo las
siguientes propiedades:
• a_ × c_ = ac_
b d bd
• a_ ÷ c_ = a_ × d_ = ad_
b d b c bc
Ejercicio 1:
Multiplicación
x^3 -2^3 × y^2 +y +1
y -1 x^2 +2x +4
Solución:
Utilizando fórmula 4 de factorización por
Productos Notables simplificar la
operación.
x^3 -2^3 × y^2 +y +1
y -1 x^2 +2x +4
= (x -2)(x^2 +2x +4) × y^2 +y +1_
y -1 x^2 +2x +4
= ( x -2 ) × y^2 +y +1
y -1 1
= xy^2 + xy -x -2y^2 -2y +2
y – 1

9. Ejercicio 2:
División
2x___ ÷ 4x___
(x +1)(x -1) (x -1)(x +1)
Solución:
Ser convierte la división en una
multiplicación según la ecuación 2.
2x___ ÷ 4x___
(x +1)(x -1) (x -1)(x +1)
= 2x___ × (×+1)(x-1)_
(x +1)(x -1) 4x
= 2x__ = 1_
4x 2

10. Factorización por el método de Ruffini
Se utiliza para factorizar Polinomios
de grados altos.
Ejercicio 1:
x^3 -x^2 -10x -8 =0
Solución 1:
Tenemos como candidatos 1, -1 , 2 , -
2 , 4 y -4 . Tomamos los coeficientes y
los ordenamos de mayor a menor
exponencial.
1 -1 -10 -8
-
2
-2 6 8
1 -3 -4 0
-
1
-1 4
1 -4 0
4 4
1 0
Luego agrupamos los números elegidos (-
2, -1, 4) y los multiplicamos por – 1 y
ordenamos de la siguiente manera
obtenido la factorización (x +2)(x+1)(x -4).
Ejercicio 2:
x^3 +x^2 -14x -24 = 0
Solución:
Tenemos como candidatos
2, -2, 3 , -3 , 4, -4.
1 1 -14 -24
-2 2 24
1 -1 -12 0
4 12
1 3 0
-3
1 0
Teniendo como resultado: (x +2)(x -4)(x +3)

11. Radicación. Suma y resta de Radicales
La radicación es la operación opuesta a la
potenciación. Consiste en simplificar
radicales de la siguiente manera:
√9 = √3^2 ya que 3×3= 9
√3^2 = 3
Ejercicio 1:
Radicandos iguales.
6√3x + 5√3x -2√3x
Solución:
Se suman y restan los coeficientes y se
deja el mismo radicando común.
6√3x + 5√3x -2√3x = 9√3
Ejercicio 2 :
Radicandos diferentes.
4 ∛54 – 3 ∛128 + 2 ∛250
Solución:
En este caso se busca factorizar de manera
conveniente la operación. Y luego se suman y
restan los coeficientes, dejando el radicando
común obtenido.
4 ∛54x – 3 ∛128x + 2 ∛250x
= 4 ∛3^3 (2x) – 3 ∛4^3 (2x) +2∛ 5^3 (2x)
= 4( ∛3^3)( ∛2x) – 3( ∛ 4^3)( ∛2x) + 2 (∛5^3)( ∛2x)
= 4 (3)( ∛2x) – 3 (4)( ∛2x) + 2(5)( ∛2x)
= (12 -12 + 10) ∛2x
= 10∛2x

12. Multiplicación y División de Radicales
Para multiplicar y dividir radicales es
necesario que tengan el mismo número de
índice. Hay que tener presentes las
propiedades de los radicales.
1) Si se multiplican se suman los
exponentes.
2) Si se dividen se restan los
exponentes.
Ejercicio 1:
Índices iguales.
√6x × √10x ÷ √2x
Solución:
Se toma la raíz con índice común y se
multiplican o dividen los radicandos.
√6x × √10x ÷ √2x
= √6x × 10x ÷ 2x
= √60x^2 ÷ 2x
= √30x
Ejercicio 2:
Índices diferentes:∛(64x^2 / 125x) ×√36x
Solución:
Para obtener una raíz con índice común sacamos el
m.c.m de sus raíces ( 2; 3) el cual es 6. Luego
dividimos el nuevo índice (6) entre el índice original de
la operación ( 2; 3) y elevamos nuestros radicandos a
los mismos. Extraemos los radicandos posibles y
realizamos la multiplicación y división de los restantes.
∛(64x^2 / 125x) ×√36x
= ⁶√(64x^2/ 125x)^2 × ⁶√(36x)^3
= ⁶√ (4^3×x^2/ 5^3)^2 × ⁶√(6^2×x^3
= ⁶√4^6(x^4) × ⁶√6^6 (x^3)
⁶√5^6(x^2)
= 4⁶√x^2 × 6⁶√x^3
5
= 24 ⁶√ x^5
5

13. Expresiones conjugadas
Se utilizan para racionalizar el numerador o
denominador de determinada operación.
Tomar en cuenta lo siguiente.
1. ( a +b) (a -b) = a^2 – b^2
2. ( a +b) ( a^2 -ab + b^2) = a^3 +b^3
3. ( a -b) ( a^2 + ab +b^2)
Ejercicio 1:
2a _
√a+1 - √ a-1
Solución 1:
Realizar la conjugada. Multiplicar tanto
nominador y denominador por el
denominador con el signo inverso.
Tenemos presente fórmula 1.
…
Continuación..
2a _
√a+1 - √ a-1
= 2a _ × √a+1 + √ a-1
√a+1 - √ a-1 √a+1 + √ a-1
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
( √a+1) ^2 – ( √ a-1)^2
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
( √a+1) ^2 – ( √ a-1)^2
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
a+1– ( a-1)
= 2a ( √a+1 + √ a-1) _
2
= a ( √a+1 + √ a-1)

14. Ejercicio 2:
16x -1 _
2∛x – 1
Solución:
Decimos que 1 =∛1. Tomamos en cuenta
fórmula 3.
16x -1 _
2∛x – ∛1
= 16x -1 _ × ( 2∛x)^2 + 2∛x (∛1) + ∛1^2
2∛x -∛1 ( 2∛x)^2 + 2∛x (∛1) + ∛1^2
= 16x -1( 4∛x^2 + 2∛x (1) + 1 )
( 2∛x)^3 – (1^3)
= 16x -1( 4∛x^2 + 2∛x (1) + 1 )
8x – 1
= 2( 4∛x^2 + 2∛x +1)
= 8∛x^2 +4∛x +2